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高中数学常用公式及知识点(北师大版必修1-必修5及选修2-1)

时间:2018-06-30


北师大版教材(必修 1 ~必修 5 及选修 2-1)常用公式及知识点记忆检测

北 师 大 版 教 材



中 数



常用公式及知识点 记忆检测
( 必 修 1 必 修 5 及 选 修 2-1)

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必 修 必 修 必 修 必 修 必 修 选 秀



1 ????????????????????3 2 ????????????????????7 3 ????????????????????10 4 ????????????????????13 5 ????????????????????18 2 - 1 ??????????????????22

后 记 ?????????????????????28

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必 修
§
1.集合的基本运算 ;

1

集 合



2. .集合的包含关系: ; ; 3.识记重要结论: A ? B ? A ? A ? B ; A ? B ? A ? A ? B ;

CU ? A ? B? ? CU A ? CU B ; CU ? A ? B? ? CU A ? CU B

4.对常用集合的元素的认识
2

? ? ② B ? ? x x ? x ? 6 ? 0? 中的元素是不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解, B 即不等式的解集; ③ C ? ? y y ? x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 5? 中的元素是函数 y ? x ? 2x ?1,0 ? x ? 5 的函数值,
2 2 ① A ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 中的元素是方程 x ? 3x ? 4 ? 0 的解, A 即方程的解集;

2

2

2

C 即函数的值域;

2 2 ④ D ? x y ? log 2 x ? 2 x ? 1 中的元素是函数 y ? log 2 x ? 2 x ? 1 的自变量, D 即函

?

?

??

?

?

数的定义域; ⑤M ?

?? x, y ? y ? 2x ? 3? 中的元素可看成是关于 x, y 的方程的解集,也可看成以方程
n

y ? 2 x ? 3 的解为坐标的点, M 为点的集合,是一条直线。
5. 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2
n

个;真子集有 2 –1 个;非空子集有 2 –1 个;

n

n

非空的真子集有 2 –2 个. 6.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的 一个必要而不是充分条件 . 特别地 , 方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
7.闭区间上的二次函数的最值问题:

k ? k2 b ? 1 , 或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

2 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 处及区间的 2a

两 端 点 处 取 得 , 具 体 如 下 : (1) 当 a>0 时 , ① 若 x ? ?

b ? ? p, q ? , 则 2a

f ( x) m i ? n

b f? ( 2a

) ,f ( xm ) a?x

? m a fx

p ? (; f)q , ( )

二次函数在闭区间上必有

b 最值, 求最值问题用 “两看法” : ? ? p, q ?, f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , ②x?? 一看开口方向;二看对称轴与 2a 所给区间的相对位置关系。 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? .

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(2)当 a<0 时,①若 x ? ? ②若 x ? ?

b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 2a

b ? ? p, q ?,则 f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? . 2a 8. a ? f ? x ? ? a ? ? ? f ? x ?? ? max ; a ? f ? x ? ? a ? ? ? f ? x ?? ? min
9. 由不等导相等的有效方法:若 a ? b 且 a ? b ,则 a ? b .

§
1.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数; 如果 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数.

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

⑶单调性性质: ①增函数+增函数=增函数;②减函数+减函数=减函数;③增函数-减函数=增函数;④减函 数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 2. 复合函数单调性的判断方法: ⑴如果函数 f ( x) 和 g ( x) 都是减函数(增函数),则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也 是减函数(增函数); ⑵ 对于复合函数 y ? f [ g ( x)] 的单调性,必须考虑 y ? f (u)与 小结:同增异 u ? g ( x)的单调性,从而得出 y ? f [ g ( x)] 的单调性。 减。研究函数 的单调性,定 y ? f ?u ? y? f ? u ? g ? x? ? g ? x ?? ? 义域优先考 增函数 增函数 增函数 虑,且复合函 数的单调区间 增函数 减函数 减函数 是它的定义域 减函数 增函数 减函数 的某个子区 减函数 增函数 减函数 间。 3.函数的奇偶性(注:奇偶函数大前提:定义域必须关于原点对称) ⑴若 f ( x ) 是偶函数,则 f ? x ? ? f ? ? x ? ? f

? x ? ;偶函数的图象关于 y 轴对称;偶函数在

x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间。 ⑵定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数) ;奇函数的图象关于原点对称;奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间。 ⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式: f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 或者

f ? ?x? ? ?1? f ? x ? ? 0? f ? x?

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⑷奇偶函数的图象特征: 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来, 如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. ⑸多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ? ?? a0 的奇偶性 多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 4. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 .) ? f ( a ? x) ? f ( a? x ) ? f ( 2a ? x) ? f ( x 5.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ? f ( x) 的图象关于直线 y ? 0 (即 x 轴)对称. (3)指数函数 y ? a x 和 y ? loga x 的图象关于直线 y=x 对称. 6.若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象;若 将曲线 f ( x, y) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 7.互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a . 8.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型 (1)正比例函数 f ( x) ? kx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? k .
x (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ), f (1) ? a ? 0 .

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), f ( ) ? f ( x) ? f ( y ), .

x y

f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1)
(4)幂函数 f ( x) ? x? , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f ' (1) ? ? . (5) 余 弦 函 数 f ( x) ? cos x , 正 弦 函 数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

f (0) ? 1 .
2 3 9.对于 y ? x , y ? x , y ? x , y ? x 2 , y ?
1

1 的图象,了解它们的变化情况.如 x
2

h?x? = x3

右下图:
1.5

g?x? = x2 f?x? = x q?x? =

10.几个函数方程的周期 ? a ? 0 ? ⑴ y ? f ? x ? 对 x ? R 时,

x

1

0.5

r?x? =

1 x

f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f ( x) 的周期为 a 的周
期函数 ⑵ f ? x ? a? ? f ? x ? a? 或 f ? x ? 2a ? ? f ? x ? ? a ? 0 ?

3

2

1

O

11

2

3

4

0.5

1

1.5

2

恒成立,则 y ? f ? x ? 是周期为 2 a 的周期函数 ⑶若 y ? f ? x ? 是偶函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则是周期为 2 a 的周期函数 ⑷若 y ? f ? x ? 是奇函数,其图像又关于直线 x ? a 对称,则是周期为 4 a 的周期函数

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⑸ y ? f ? x ? 对 x ? R 时,f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 , 或 f ( x ? a) ? ? 的周期 2 a 的周期函数 11. 函数图像变换 向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位

1 ( f( )x 0 )? f ( x)

,则 y ? f ? x ?

y ? f ? x ? ? b 图象

向左(φ >0)或向右(φ <0)移︱φ ︱单位

y ? f ? x ? ? ? 图象
y = Af ? x ? 图象

y ? f ? x ? 图象

点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变 点的横坐标变为原来的1/ω 倍 纵坐标不变

y = f(wx) 图象

12.分数指数幂 :(1) a (2) a
? m n

m n

? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 );
?

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).
n

13 .根式的性质: ( 1 ) ( n a )n ? a ; ( 2 )当 n 为奇数时,
n

an ? a ;当 n 为偶数时,

?a, a ? 0 . a n ?| a |? ? ??a, a ? 0
(1) a ? a ? a
r s

14.有理指数幂的运算性质

(a ? 0, r, s ? R) ;(2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R) ; r r r (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R) .
15.指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 16.对数的换底公式 : log a N ? 推论 log a m b ?
n

r ?s

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m

17.对数有关性质: ⑴ loga b 的符号有口诀“同正异负”记忆; ⑵ loga a ? 1 ; ⑶ loga 1 ? 0 ; ⑷对数恒等式: a
loga N

? N ? a ? 0, a ? 1, N ? 0?
2

⑸ loga bm ? m ? loga b ;
2 ⑹设函数 f ( x) ? logm (ax ? bx ? c)(a ? 0) , 记 ? ? b ? 4ac . 若 f ( x) 的定义域为 R , 则

a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检
验.; 18. ⑴对数函数

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1? 的图像和性质分析:
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a 的符号

a ?1
y

0 ? a ?1
y

图像
o

1 x

o 1

1 x

定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分布情况

? 0, ???

? ??, ???
在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

?1, 0 ?

0 ? x ? 1 时, y ? 0 ; x ? 1 时, y ? 0 a ?1
y

0 ? x ? 1 时, y ? 0 ; x ?1时 , y ? 0 0 ? a ?1
y 1

⑵指数函数 y ? a x ? a ? 0, a ? 1? 的图像和性质分析:

a 的符号

图像

1 x

o
定义域 值域 单调性 过定点 函数值的分 布情况 在 ? ??, ??? 上是增函数

o
? ??, ???
? 0, ???

x

1

1

在 ? ??, ??? 上是减函数

? 0,1?

x ? 0 时, y ? 1 ; x ? 0 时, 0 ? y ? 1

x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ; x ? 0 时, y ? 1

19. 平均增长率的问题 如 果 原来 产 值的 基 础数为 N ,平 均 增长 率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总 产 值 y ,有

y ? N(1? p)x .


§
1.常用公理和定理



2

立 体 几 何 初 步

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公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 定理:①空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. ③一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. ④一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直. ⑤一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直. ⑥一条直线与一个平面平行, 则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. ⑦两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. ⑧垂直于同一个平面的两条直线平行.
B

⑨两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 2.三余弦定理(最小角定理:立平斜公式) 设 AB 与平面α 所成的角为 ? 1 ,AC 是α 内的任一条 直线,且 AC 与 AB 的射影 AB 所成的角为 ?2 ,
/

A C

B'

AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .如右图⑴。
/

图⑴

3. 面积射影定理: S ?

面所成锐二面角的为 ? ).如图⑵。

S ' . (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平 cos ?
B

'

4. 已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

?、?、? ,因此有 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 ;若长方体的体对角 ? ,则有 线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为?、? 、
(线线面 12) cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 。
A

B'

C

图⑵ 5.棱锥的平行截面的性质: 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. )

4 ? R 3 ,其表面积 3 S ? 4? R2 ;②球的半径(R) ,截面圆半径( r ) ,球 心到截面的距离为( d )构成直角三角形,因而有关
6.①球的半径是 R,则其体积 V ? 系: r ? R2 ? d 2 ,它们是计算球的关键所在,如图⑶. 7.球的组合体
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O R d r O'

?

P

图⑶

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(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切 球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. 8.柱体、锥体的体积

1 1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高); V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 3 3
h 是锥体的高).

§
1.斜率公式

解 析 几 何 初 步

y2 ? y1 ?? ? (P 2 ( x2 , y2 ), x1 ? x2 ) ? tan ? ? ? ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P ? ;②直线 y ? kx ? b 的 x2 ? x1 2? ? 一个方向向量为 ?1, k ? 一般两点斜截距
①k ? ....... 2.直线的五种方程 k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(3)两点式 3.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ,则有 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2 (3)直线 l : Ax ? By ? C ? 0 中,若 A ? 0, B ? 0 ,则 l 垂直于 y 轴;若 A ? 0, B ? 0 ,则 l 垂 直于 x 轴。 有谁垂(吹)谁
4.四种常用直线系(具有共同特征的一族直线)方程 (1) 定点直线系方程:经过定点 P 0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( 除直线

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P 0 ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直 线系方程为 ( A 1x ? B 1 y ? C1 ) ? ? ( A 2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方 程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变
量. (4) 垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A ≠ 0 , B ≠ 0) 垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
5.点到直线的距离

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d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

6. 圆的三种方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ;( 2 ) 圆 的 一 般 方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F > 0). ( 3 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
( 1 ) 圆 的 标 准 方 程 7.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 若

d ? (a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 , 则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P
在圆内. 8.直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有 三种: d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中

d?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

9.两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
10. 圆 的 切 线 方 程 : 已 知 圆 x2 ? y 2 ? r 2 . 过 圆 上 的 P 0 ( x0 , y0 ) 点 的 切 线 方 程 为

x0 x ? y0 y ? r 2 ;
11.空间直角坐标系中点的坐标及距离公式:3.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

???? ? AB ? AB ?

??? ? ??? ?2 OB ? OA ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

.








§ 统

1. 抽样方法主要有:①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时, 它的主要特征是从总体中逐个抽取;②系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要 特征就是均衡成若干部分, 每一部分只取一个; ③分层抽样, 主要特征分层按比例抽样, 主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。每层样 本数量与每层个体数量的比与样本容量与总体容量的比相等或相近。即:

每部分抽取的个体数 样本容量 ? 该部分的个体总数 总体中的个体数

或者

nk n ? Nk N

2.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

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类 别 简 单 随 机 抽 样

共同点

各自特点

联 系

适 用 范 围

( 1)抽样过程 总体个数 从总体中逐个抽取 中每个个 较少 体被抽到 将 总 体 均 分 成 几 部 在起始部分 总体个数 的 可 能 性 分,按预先制定的规则 样时采用简 较多 相等 在各部分抽取 随机抽样 系 统 ( 2)每次抽出 抽 样 总体由差 个体后不 分层抽样时采 将总体分成几层, 异明显的 再将它放 用简单随机抽 分 层 分层进行抽取 几部分组 回, 即不放 样或系统抽样 抽 样 成 回抽样 3.总体分布的估计:用样本估计总体的方法就是把样本的频率作为总体的概率。一般地,样 本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图. 4. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 中位数:算出来可避免极端数据,代表着数据总体的中等情况。 ( 如果总数个数是奇数的 话,按从小到大的顺序,取中间的那个数 ; 如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序, 取中间那两个数的平均数) 众数: 一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。 例如:1,2,3,3,4 的众数是 3。 但是, 如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的, 那么这几个数都是这组数据的众 数。 例如:1,2,2,3,3,4 的众数是 2 和 3。 还有,如果所有数据出现的次数都一样,那么这组数据没有众数。 例如:1,2,3,4,5 没有众数。

x1 ? x2 ? x3 ? ... ? xn ; n 2 2 2 2 1 2 样本方差: s ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? x3 ? x ? ... ? xn ? x ? ; ? ? ? n?
样本平均数: x ?

?

? ?

? ?

?

?

?

样本数据 x1,x2,?, xn 的标准差 S ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

? ? bx ? a 必过样本平均点 x, y ,其中 b 为斜率,如 b ? 0 ,则变量 x 每增加 5. 回归直线 y ? ? bx ? a 系数公式 : 1 个单位时,变量 y 平均减少 1 个单位;线性回归方程方程为 y

? ?

b?

? x y ? nx?y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

,

a ? y ? bx 。

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§ 算
2 2 2 2







1. ① 画出计算 2 ? 4 ? 6 ? ??? ? 100 的程序框图,如图⑴; ② 对图⑵,若输入
开始 s=0 i=2 开始 输入 y 输入

1 ,则执行程序后输出 y 的值为:____ 2

开始

x1 , ???, x4
S1=0,i=1
i=i+1

s=s+i

2

x>1 Y N x<1 N 是 Y

i=i+2

1 s ? s1 i

i<=4
y=4
x



S1=S1+xi

i<=100 否

y=x

2

y=1

否 输出 S

输出 y 输出 s 结束 结束 结束

图⑴ ③ 某城市缺水问题比较 突出,为了制定节水管 理办法,对全市居民某 年的月均用水量进 行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量 分别为: x1 , ???, x4 (单位: 吨)。根据如图所示 的程序框图,若 x1 , x2 , x3 , x4 分别为 1, 1.5,1.5,2,则输出 的结果 s 为___________. ④ 如果执行下面的程序 框图,如图⑷,输入 N=5,则输出的数等于___; ⑤ 阅读下面的程序框图 ⑸,运行相应的程序后, 则输出 S 的值为______.
开始

图⑵

图⑶
开始 s=0

输入 N S=0,k=1

i=1

s ? s?

1 k ? k ? 1?

k=k+1

a ? i ? 2i

s ? s ?a


k<N 否 输出 S

i ? i ?1
否 s>11 是

结束 输出 s

图⑷
结束

图⑸

§ 概



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1.等可能性事件的概率:

P ( A) ?

m 事件A包含的基本事件数 m = (古典概率公式) n 试验的基本事件总数 n

2. P(A)=

构成事件 A的区域长度(面积或体 积) (几何概率公式) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体 积)

必 修

4

§ 三 角 函 数
1.⑴终边相同的角的集合: ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z ; ⑵角度与弧度的换算:

?

?

180 ? 180 ? ? rad ,1 ? ? rad ? ,1 rad ? ? ? ?; 180 ? ? ?
? ?

?

?

⑶弧长与扇形的面积公式:弧长 l ? ⑷常见三角不等式 ① 若 x ? (0,

? ? r ,扇形面积 S ? lr ?
?

1 2

1 ? ? r2 . 2
; 2 ③

) , 则 s i nx ? x ? t a nx ; ② 若 x ? (0, ) , 则 1 ? si nx ? cos x? 2 2 | sin x | ? | cos x |? 1 .
y 45° 角终边 O 225° 角终边 x

?

2.常用三角函数不等式及相关等式的解集: ⑴ ① sin x ? cos x 的 x 集合是

3? ? ? ? ? 2k ? , k ? Z ? ; ? x ? 2k? ? x ? 4 ? 4 ? ② sin x ? cos x 的 x 集合是 ? ? ? ? x x ? ? k? , k ? Z ? ; 4 ? ? ③ sin x ? cos x 的 x 集合是 3? ? ? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k ? , k ? Z ? 。 ?x ? 4 4 ? ? ⑵ ① sin x ? cos x 的 x 集合 3? ? ? ? 是 ? x ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? ; 4 ? 4 ? ② sin x ? cos x 的 x 集合是

半个月亮爬上来

y 135° 角终边 O 45° 角终边 x

? 3? ? ? 所谓伊人 在水一方 ? k? , k ? Z ? ; ? x x ? ? k? , or x ? 4 4 ? ? ? ? ? ? ③ sin x ? cos x 的 x 集合是 ? x ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ? 。 4 4 ? ?
3.⑴ 对于“ sin ? ? cos ? ,sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? ”三个式子,已知其中任意一个式子的
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值,可求出其余二式的值。 ⑵三角函数的诱导公式: “奇变偶不变,符号看象限, , ” 形似角中的角 ? 不论多大,都看作锐角;形似角在原名称、原象限中的符号作为等式右边 的符号;

1800 ? ? 1800 - ? ) 900 ? ? 900 ? ? 2700 ? ? 2700 ? ? 3600 ? ? 3600 ? ? ??

2 ? 900 ? ? 2 ? 900 - ? ) 1? 900 ? ? 1? 900 ? ? 3 ? 900 ? ? 3 ? 900 ? ? 4 ? 900 ? ? 4 ? 900 ? ? 0 ? 900 ? ?
2?

sin(1800 ? ? ) ? ? sin ? , sin(1800 - ? ) ? sin ? , sin(900 ? ? ) ? cos? , sin(900 ? ? ) ? cos? , sin(2700 ? ? ) ?
? cos?

sin(2700 ? ? ) ? ? cos?, sin(3600 ? ? ) ? sin ? , sin(3600 ? ? ) ? ? sin ? , sin(?? ) ? ? sin ? ,

,

注意:总共两套 诱导公式(一套 是函数名不变; 另一套是函数名 必须改变) ; 对于 余弦函数和正切 函数的诱导公式 规律记忆同正弦 函数。

4.三角函数的周期公式 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A ≠0, ω >0)的周期 T ?

?

; 函数 y ? A tan(? x ? ? ) ,? x ? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为

常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

5.①类正弦函数 y = Asin(wx+? ) 的图像的变换:两种办法殊途同归。 作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间)的图像 沿 x 轴平移|φ | 个单位(左加右减) 得 y=sin(x+φ )的图像 横坐标伸长或缩 短到原来的 ? 倍 得 y=sin(ω x+φ )的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍
1

横坐标伸长或 缩短到原来的 ? 倍 得 y=sinω x 的图像 沿 x 轴平移 | ..

1

? |个单位(左加右减) ? ...

得 y=sin(ω x+φ )的图像 纵坐标伸长或缩 短到原来的 A 倍

得 y = Asin(wx+? ) 的图象, 先 在一个周期闭 区间 上再扩充到R 上。 ② 类 正 弦 函 数 y = Asin(w ?x ? +

?)

的参数计算:振幅 A? ?b 0? A

b?

ymax ? ymin 。 2

ym a x? y 2

min



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注意:对于类余弦函数 y ? A cos ?? x ? ? ? 也有以上①②相应的结论。 7.正弦函数和余弦函数的图像和性质 函 数 图 像 定 义 域 值 域
y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y = sinx
y
1

y = cos x
y=cosx
y
1

o
-1

π/2

π

3π/2 2π

x

-2π -3π/2



- π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

R
??1,1?

x?
最 值

?
2

? 2k? , k ? Z 时,ymax ? 1

x??

?
2

? 2k? , k ? Z 时,

x ? 2k? , k ? Z 时, ymax ? 1

ymin ? ?1
单 调 性 奇 偶 性 周 期 性 对 称 性

x ? ? 2k ?1? ? , k ? Z 时, ymin ? ?1

? ? ? ? x ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 时, 增函数x ? ? ? 2 k? , 2 ? 2 ?
3? ?? ? x ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? k ? Z ? 2 ?2 ?

? 2k ? 1? ? ? ? ? k ? Z ? 时,减函数

时, 减函数x ? ? ?? 2k ? 1? ? , 2k? , ? ? ? k ? Z ? 时,增函数 偶函数

奇函数

最小正周期为 2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z 对称轴: x ? k? , k ? Z 对称中心: (

2

对称中心: (k? ,0) k ? Z

?
2

? k? , 0) k ? Z

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8.正切函数的图像和性质 函数

y ? tan x
f?x? = tan?x?
2.5

y

2

1.5

1

图像

3?π 2

π = –4.71
4 3 2

0.5

2

= –1.57
1

π 2

= 1.57
2 3

3?π 2
4

= 4.71

O
0.5

1

x

1

1.5

2

2.5

定义域 值域 单调性 奇偶性 周期性 对称性

x?

?
2

? k? ? k ? Z ?
R

? ? ? ? x ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 时,增函数 2 ? 2 ?

奇函数 最小正周期为 ? 对称中心: (

k? , 0) k ? Z 2

§ 平 面 向 量
1.向量的加减法的代数结构:⑴ AB ? BC ? AC

??? ? ??? ?

??? ?

首首接 尾尾联 指向被减向量 2.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. (不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底. ) 3.向量平行与垂直的坐标表示

??? ? ??? ? ??? ? ⑵ OB ? OA ? AB

尾首接 首尾联

? ? a ? b ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , 且 b ? 0 , 则 a ∥ b ( b ? 0 ) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 ;

?

?

?

?

?

?

?

?

4. a 与 b 的数量积(或内积):a·b=|a||b|cosθ .其几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 5.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;(2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ;(3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) ;

??? ? ??? ? ??? ?

, ?)y ; (4)设 a= ( x, y ), ? ? R , 则 ? a= (? x (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) , 则 a· b= x1 x2 ? y1 y2 .
6.两向量的夹角公式: cos? ? (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 7.平面两点间的距离公式: d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) (A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ). 8.①线段的定比分公式:
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x1 x2 ? y1 y2

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? 是实数,且 PP 设P 1 2 的分点, 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP 1 ? ? PP 2 ,则
x1 ? ? x2 ???? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? OP ? ? OP 1 1? ? 1 2 t? ). ? OP ? ? OP ? tOP 1 ? (1 ? t )OP 2( y1 ? ? y2 1? ? 1? ? 1? ? ②中点的向量形式 :平面内,设线段 AB 的中点为 C , O 为直线 AB 外任意一点,则有 ....... ??? ? ??? ? ???? OA ? OB ; OC ? 2 x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 设此时 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则中点 :? ..C ? x, y ? 的坐标公式 ..... ? y ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x? ? ? ? ?y ? ? ?
9.三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ), 则△ABC 的重心的坐标是 G (

??? ?

????

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

10. 三角形四“心”向量形式的充要条件 .... 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则

??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

§ 三 角 恒 等 变 换
1.同角三角函数的基本关系式: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? cos ?

推论:
cos 2 ? ? 1 1 1 1 ? tan 2 ? ? ? 1;c os ? ? ? , tan ? ? ? ?1 2 2 2 1 ? tan ? cos ? 1 ? tan ? cos2 ?

(正负号取决于 ? 所在的象限) 2.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? ; 1 ? tan ? tan ? ( 正 弦 平 方 差 公 式 sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ?

;

);

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 所在的象限来决定 , b 且 tan ? ? ). a

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3.二倍角公式:

sin 2? ? sin ? cos ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ;
万能公式:

2 tan ? ; 1 ? tan 2 ? 1 ? tan 2 ? cos 2? ? ; 1 ? tan 2 ? 2 tan ? sin 2? ? 1 ? tan 2 ? tan 2? ?
4.半角公式(降幂公式) :

2

辅 助 直 角 三 角 形

1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? 2 ? ? ? ; sin ; tan 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? ? ② tan ? 2 1 ? cos ? sin ?
① cos
2

?

?




§ 数 列

5

1.⑴自然数和公式: ① 1 ? 2 ? ??? ? n ?
3 3 3

n ? n ? 1? n ? n ? 1?? 2n ? 1? 2 2 2 ;② 1 ? 2 ? ??? ? n ? ; 2 6
2

n2 ? n ? 1? ③ 1 ? 2 ? ??? ? n ? 4 1 1 1 1 1? 1 1 ? ⑵常见的拆项公式: ① ;② ; ? ? ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?
? 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ;④ n ? n ? 1?? n ? 2 ? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? 1?? n ? 2 ? ? a ? b a ?b ⑤ an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 2? .
③ ⑶数列的通项公式与前 n 项的和的关系 ① an ? ?

?

a? b ;

?

n ?1 ?s1 , ② Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) ?sn ? sn?1 , n ? 2

(注:该公式对任意数列都适用)

③ Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

(注:该公式对任意数列都适用)

2. ⑴ 等 差 数 列 的 通 项公 式 : ① 一 般 式 : an ? a1 ? (n ?1) ? d (n ? N * ) ; ② 推 广 形 式 :

an ? am ? (n ? m)d ; d ?

an ? am ③前 n 项和形式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任 n?m

意数列都适用)④前 n 项和公式为:

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sn ?

n(n ? 1) n(a1 ? an ) n( n ? 1) d 1 d ? n 2 ? (a1 ? d )n . ? na1 ? d ? nan ? 2 2 2 2 2

⑵ 数列?an ? 为等差数列? an?1 ? an ? d ( n ? N * , d 为常数)

? 2an =an?1 ? an?1 ? n ? 2, n ? N *? ? an ? an ? b ? An2 ? Bn

⑶ 常用性质:①若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq ;特别地:若 am是an , a p 的等差中 项,则有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差数列;②等差数列的“间隔相等的连续等长片 断和序列” (如 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6, a7 ? a8 ? a9 , ??? )仍是等差数列;③ ?an ? 为等差 数列, Sn 为其前 ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , S4m ? S3m , . . .也成等差数列;④ .n .项和 ..

ap ? q, aq ? p, 则ap?q ? 0 ; ⑤1+2+3+?+n=

n( n ? 1) 2
n ?1

3. ⑴等比数列的通项公式:①一般形式: an ? a1q

?

a1 n ? q (n ? N * ) ;②推广形式: q

an ? am ? qn?m , q

n?m

?

an (视 n ? m 的奇数或偶数等来开方得到 q 的值) am

③前 n 项和形式 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用)

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? ④前 n 项的和公式为: sn ? ? 1 ? q ,或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 ⑵数列?an ? 为等比数列

?

? a1、q ? 0,n ? N* ? ? Sn ? A ? qn ? B

an?1 ? q ? n ? N ? , q ? 0 ? ? an 2 ? an?1 ? an?1 ? 0 ? n ? 2, n ? N ? ? ? an ? a1 ? q n?1 an

⑶ 常用性质:①若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ;特别地:若 am是an , a p 的等比中 项,则有 am ? an ? ap ? n、m、p 成等比数列;②等比数列的“间隔相等的连续等长片断和
2

序列” (如 a1 ? a2 ? a3 , a4 ? a5 ? a6, a7 ? a8 ? a9 ,??? )仍是等比数列;③ ?an ? 为等比数列, . . .也成等比数列(当 q ? ?1 或 Sn 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , S4m ? S3m , 者 q ? ?1 且 m 不是偶数时候成立) ;④设等比数列 {bn } 的前 为 Tn ,则 Tk , .n 项积 ..

T2 k T3k , , Tk T2 k

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T4 k ,…成等比数列. T3 k

§ 解 三 角 形
1.⑴正弦定理: 的一种算法 。 ). .....

a b c ? ? ? 2 R .(R 为 ?ABC 外接圆的半径,也是外接圆半径 ....... sin A sin B sin C
等 地

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C 号 位 两 相 sin A sin C sin B a b c ? ? ? 2R ? a ? b ? ① ,c ? a? ,b ? c? 等; 边 同 sin B sin A sin C sin A sin B sin C a b c a c b ? ? ? 2 R ? sin A ? sin B ? , sin C ? sin A ? , sin B ? sin C ? 等; ② sin A sin B sin C b a c
⑵余弦定理

b2 ? c 2 ? a 2 a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ? cos B ? ; 2ac a 2 ? b2 ? c 2 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? cos C ? . 2ab
2 2 2

⑶正弦定理和余弦定理的应用解题常与三角形内角和定理相伴。解题时注意一种重要关系: 在 ?ABC 中 , 给 定 角 A、B 的 正 弦 或余 弦 值 , 则 角 C 的 正 弦 或余 弦 有 解 ( 即 存 在 )

? cos A ? cos B ? 0

2. 三角形内角和定理: 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
3. 面积定理 (1) S ?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) 2 2 2

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 2 2 (3) S?ABC ? 2R sin Asin B ? 2R sin Asin C ? 2R2 sin C sin B (其中 R 为 ?ABC 的外接
圆的半径) ⑷ S ?ABC ? ⑸ S?ABC ?

abc (R 为 ?ABC 外接圆的半径,也是外接圆半径的一种算法 。 ) ............ 4R

1 ? r ? ? a ? b ? c ? (其中 r 为 ?ABC 的内切圆的半径, 也能导出内切圆半径的一种 ............ 2
a?b?c ,其中 a、 b 为两条直角边,c 为 2

算法 。顺便说下,直角三角形中内切圆的半径 .. ............r ? 斜边。)

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⑹ S?ABC ? ⑺ S ?OAB ?

p ? ? p ? a ? ? ? p ? b ? ? ? p ? c ? (其中 p ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 (注意:此时以坐标原点 的三角 ....O 为一个顶点 ..... 2

a?b?c ,海伦公式) 2

形的面积公式) ;设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 S ?AOB ?

1 x1 y2 ? x2 y1 2

§ 不


2 2



1.常用不等式:⑴重要不等式: a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号);

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号); 2 ⑶三角形不等式:① a ? b ? a ? b ? a ? b (对于 ab ? 0 时,当 ab 同号时右边取等号, 当 ab 异 号 时 左 边 取 等 号 ; 对 于 ab ? 0 时 , 易 判 断 等 号 成 立 的 条 件 ) ;② a ? b ? a ? b ? a ? b (对于 ab ? 0 时,当 ab 同号时左边取等号,当 ab 异号时右边取
⑵均值不等式: a, b ? R ? ? 等号;对于 ab ? 0 时,易判断等号成立的条件+) 2.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 “一定二正三相等”

“积定和最小 和定积最大”

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 推广形式 :已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) 2 ? ( x ? y) 2 ? 2xy ....
(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大;当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最 小. (2) 若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最 大. 3. ① 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
2 2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根外,异号两根间. 线小线 段” .. .. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; 对于 a ? 0 的情形“大射 x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .

②简单的高次不等式的解法:数轴标根法(穿针引线法) 。注意重因式的处理,奇次重根一 次穿过,偶次重根穿而不过。 例如: 1 -3 5 2 3 从 ? x ? 3? ? x ? 1?? x ? 1? ? x ? 5? ? 0 ,如图 - - -1 图中易知解集为

? ??, ? 3? ? ? ?3, ?1? ? ?1,5?
2

4.含有绝对值的不等式,当 a> 0 时,有

大射 线 .. .

小线段 ...

x ? a ? x 2 ? a ? ? a ? x ? a ; x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a
5. ①理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:

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| a ? b |?| a | ? | b | , a, b ? R ;
6. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 C ? 0 ,则用原点 O ? 0,0? 试, 结果适合不等式, 表示原点所在的平面区域就是。 否则, 边界的另一区域才是; 若 C ? 0 ,则用点 ?1,0 ? 或者 ? 0,1? 试,方法同上。 是 0, (0,1) 、 (1,0)试 非 0, (0、0)试

选 修
§ 常 用 逻
1.真值表(表 1) p 真 真 假 假

2-1
辑 用 语

q 真 假 真 假

非p 假 假 真 真

p或q 真 真 真 假

p且q 真 假 假 假

同真为真 同假为假 真假相对

2.常见结论的否定形式(见表 2) 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x , 不成立 对任何 x ,不成立 存在某 x ,成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

12.四种命题的相互关系如下图所示

原命题 “ 若p则q ” 互 为

互逆 否 逆 互 为 逆 互逆 否

逆命题 “ 若q则p ” 互 否 逆否命题 “ 若?q则?p ”

交 换 位 置 同 时 否 定

互 否 否命题 “ 若?p则?q ”

13.充要条件 (1)若 p ? q ,则说 p 是 q 的充分条件,同时 q 是 p 的必要条件

一个命题 一种形式 两样说法

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(2)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件. 另外:如果条件最终都可化为数字范围,则可转化为集合的包含关系来刻画,二者逻辑关系 一目了然。 设 A ? x p ? x? , B ? x q ? x? , ① 若 A?B ,则 p 是 q 的充分不必要条件; 小充分 大必要 等充要 ② ②若 B?A ,则 p 是 q 的必要不充分条件;③若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件。

?

?

?

?

§ 空 间 向

量 与 立 体 几



1.空间向量的直角坐标运算律 (1)若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,① a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ② a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2 ? 0 。

?

?

? ?

? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? ③夹角: cos a ? b ? ? .(规定: 0 ?? a, b ?? ? ) 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
④模长公式: | a |?

?

? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3 .

2.若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) ,如下图,则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) . 3.直线的方向向量: 我们把直线 l 上的向量 e 以及 与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量.
k B(b1,b2,b3) O j y z

??? ?

A(a1,a2,a3)

4.平面的法向量:如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α
x

i

则称这个向量垂直于平面α ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做平面α 的法向量。 5.用向量描述空间线面关系: 设空间两条直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 , 两个平面 ? 1 , ? 2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则由如下结论 空间线面关系 平 行 垂 直

l1 与 l 2 l1 与 ? 1

e1 // e2

e1 ? e2

e1 ? n1
n1 // n2

e1 // n1
n1 ? n2

?1 与 ? 2

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6.法向量在求面面角中的应用: 原理:一个二面角的平面角 ? 1 与这个二面角的 两个半平面的法向量所成的角 ? 2 相等或互补。 7.法向量在求线面角中的应用: 原理:设平面 ? 的斜线 l 与平面 ? 所的角为 ? 1,斜线 l 与平 面 ? 的法向量所成角 ? 2,则 ? 1 与 ? 2 互余或与 ? 2 的补角互余。 8.利用向量求二面角的大小。 方法一:转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条
l

a3 a1 a2

直线上的两个向量的夹角(注意:要特别关注两个向量的方向 ) ............ 如图:二面角 α-l-β 的大小为 θ,A,B∈l,AC ? α,BD ? β,

A C B D

?

?

AC⊥l,BD⊥l 则θ =< AC , BD >=< CA , DB > 方法二: 先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离, 然后通过解直角三角
?

形求角。 如右图:已知二面角 α-l-β,在 α 内取一点 P,
l A

P

O

?

过 P 作 PO⊥β,及 PA⊥l,连 AO,则 AO⊥l 成立,∠PAO 就是二面 角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|,然后解三角形 PAO 求出∠PAO。 方法三:转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
A

P B

如右图 P 为二面角 α-l-β 内一点,作 PA⊥α, PB⊥β,则∠APB 与二面角的平面角互补。

§ 圆 锥 曲 线 与 方 程
1.①椭圆定义: MF ; a 2a ?| F1F2 |? 0) 1 ? MF 2 ? 2(
2 2 2 2 ② F1 B1 ? OF1 ? OB1 (即 c ? b ? a ,注意 Rt ?FOB 1 1) 2 2

③ 设 P 是椭圆上任意一点,且 ?F 1 PF2 ? ? ,则有

PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 cos ? ? ? 2c ? .
2 2 2

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下表是椭圆的标准方程及几何性质。 标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
B1 y

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2
y
F1

分 母 较 大 者 的 分 子 是 谁 , 焦 点 就 在 谁 轴 上

图形

A1

F1

O
B2
1

F2

A2 x
1

x O
F2

B1

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距

|x|≤a,|y|≤b

|x|≤b,|y|≤a
0 ?、 ? a? ? ?b, ? 0, ? c? ?0,

0? ?0, ?b?、 ? ?a, 0? ? ?c,

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

长半轴椭长为 a ,短半轴长为 b 焦距为 2c

a、b、c
关系 离心率

a 2 ? b2 ? c 2
e? c a
2 ? ? b ?2 b? ? ? ? ? 1 ? e2 or e ? 1 ? ? ? ? ?? a ? ?a? ?

? ? ? ?

( 1 ) 椭 圆

x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( ? x) ? a ? e x 焦 半 径 公 式 : , 1 a 2 b2 c

a2 PF2 ? e( ? x) ? a ? ex ; c
(2)椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1; 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 ②点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 ⑶椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? C . a b 2 2 2 ?O B1 ? AB 2.①双曲线定义: MF1 | -| MF2 = 2a ?0 < 2a <| F1F2 |? , ② AO (即 1 1 1

①点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

O 为坐标原 c 2 ? b2 ? a 2 ,注意 Rt ?AOB 1 1 ,其中 A 1、B 1 为同一象限内的实顶点、虚顶点, 点 。 ) ③ 设 M 是 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 且 ?F1MF2 ? ? , 则 有

MF1 ? MF2 ? 2 MF1 ? MF2 cos ? ? ? 2c ? ④设 P 是双曲线上任意一点,有
2 2 2

) PF1 ? PF2 ? 2a (当且仅当点 P 落在顶点时取到等号。

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下表是其标准方程及几何意义。 标准方程

平 方 项 为 正 者 的 分 子 是 谁 , 焦 点 就 在 谁 轴 上

x2 y 2 ? ? 1(a、b ? 0) a 2 b2 y
M

y 2 x2 ? ? 1(a、b ? 0) a 2 b2 y
M F2

图形
F1 o F2

x
F1

x

范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半长轴 焦距

x ? a 或者 x ? ? a

y ? a 或者 y ? ? a

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称

0? ? ?a, 0? ? ?c,

? a? ?0, ? c? ?0,

实半轴长为 a ,虚半轴长为 b 焦距为 2c

a、b、c 关
系 离心率 渐近线

a 2 ? c 2 ? b2
e? c a
2 ? ? b ?2 b? ? ? ? ? e2 ? 1 or e ? 1 ? ? ? ? ?? a ? ?a? ?

? ? ? ?

y??

b x a

y??

a x b

(1) 双 曲 线

x2 y 2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) PF ? | e ( x ? )| , 的 焦 半 径 公 式 : 1 a 2 b2 c

a2 PF2 ?| e( ? x) | ; c
(2)双曲线的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) ? ? ?1; 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 ②点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 ; a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 ⑶双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 2 3. ⑴抛物线 y ? 2 px? p ? 0?的焦点弦(过焦点的弦)为 ...........AB , A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则

①点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

有 如 下 结 论 : ① 焦 半 径 公 式 :

p ; ② 焦 点 弦 长 2 p2 p p AB ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p ;③通径长为 2 p ;④ y1 y2 ? ? p2 , x1 x2 ? . 2 2 4 AF ? x1 ?

⑵抛物线的内外部:
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① 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y?2 ? 2 px? ( p ? 0) ; ②点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y?2 ? 2 px? ( p ? 0) ;

y ⑶抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上的动点可设为 P ( ? , y? ) ,可简化计算。 2p
2

2

⑷ 抛物线的切线方程: ① 抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) ; ②抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB2 ? 2 AC . ⑸.抛物线:平面内到一个定点和一条定直线的距离相等的点轨迹。 四 .大 .方 .程 . 四 . 下表是其标准方程及图形 方程 焦点 准线 图形 条规律 : ... y ⑴一次项是 p ?p ? x F ? ,0? x?? y 2 ? 2 px ? p ? 0? 啥,对称轴是 2 ?2 ? 啥轴; y ⑵一次项系数 p ? p ? 2 F ? , 0 x? y ? ?2 px ? p ? 0? 的正负,代表 x ? ? F O 2 ? 2 ? 开口方向的上 下或右左; y p p ? ? ⑶焦点坐标一 x F F ? 0, ? x2 ? 2 py ? p ? 0? y?? O 2 ? 2? 个是 0, 另一非 0,且刚好是 y 一次项系数的 p? p ? 2
O F

x ? ?2 py ? p ? 0?

F ? 0, ? ? 2? ?

y?

2

O

F

x

1 ; 4
⑷准线方程的 数值刚好是焦 点的非 0 坐标 的相反数。

4.①直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? 或 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

(1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? 1 ? k 2 ? | x1 ? x2 |
2 2 1 2

1 ? | y1 ? y2 | k2 ?y ? kx ? b 2 ( 弦 端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 由 方程 ? 消 去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ?F( x, y) ? 0 ? ? 0 , k 为直线的斜率); 2 2 ②中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax ? By ? 1 ; ③处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法 ,设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 为椭圆 ..... ?

?1 ? k ? ? ? ?( x ? x )

? 4 x1 x2 ? ? ? 1?

x2 y 2 b2 AB ? ? 1( a ? b ? 0) k ? k ? ? 上不同两点, 是 中点,则 ;对于双 M x , x ? ? AB OM 0 0 a 2 b2 a2 x2 y 2 b2 2 曲线 2 ? 2 ? 1(a、b ? 0) ,类似可得:k AB ? kOM ? 2 ;对于抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 有 a b a 2p . k AB ? y1 ? y2
5.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 .

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( 2 ) 曲 线 F ( x, y ?) 关 0 于 直 线 Ax ? By ? C ? 0 成 轴 对 称 的 曲 线 是 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) F (x ? ,y? ) ? 0 (其中这里的 x, y 跟 F ? x, y ? ? 0 的相同) 2 2 A ?B A2 ? B 2

后 记
依据本人 10 多年的一线高中数学教学经历和经验,整理了北师大版教材必修 1~必修 5 以及选修 2-1 的各章节常用公式及知识点,形成该资料。有目录,按章节顺序编排。对于教 师上课、出试卷、编排教案、制作课件等工作大有帮助。将会带来很大的方便,以致于节省 更多的时间投入科研或家庭生活。对于同学们,也是学习中现成的系统化的好材料,不仅将 给学习带来很大的收获,同时为自己节省更多时间,投入数学更多的别的方面的学习时间。 由于本人水平有限,失误和错误之处在所难免,恳请读者批评指正,谢谢! 未完待续

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