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2.3直线平面平行的判定和性质

时间:2017-01-22


2.3 空间中的垂直关系 1.线线垂直 如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面),那么这两条直 线互相垂直. 2.直线与平面垂直 (1) 定义:如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直 ,我们就说 ______________________, 记作______.直线 l 叫做______________, 平面 α 叫做 ______________.直线与平面垂直时,它们惟一的公共点 P 叫做______.垂线上任 意一点到垂足间的线段, 叫做这个点到这个平面的垂线段, 垂线段的长度叫做这 个点到平面的________. (2)判定定理:一条直线与一个平面内的______________都垂直,则该直线 与此平面垂直. 推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直 于这个平面.用符号表示:a∥b,a⊥α?b⊥α. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线__________. 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________, 叫做这条直线和这个 平面所成的角. 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行, 或在平面内, 我们说它们所成的角是 0°的角.任一直线与平面所成角 θ 的范围是 ____________. 4.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的______________________叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别 作______________的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 .二面 角的范围是__________. 5.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是____________, 就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理:一个平面过另一个平面的________,则这两个平面垂直. (3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于______的直线与另一个 平面垂直. 自查自纠: 1.直角 2.(1)直线 l 与平面 α 互相垂直 l⊥α 平面 α 的垂线 直线 l 的垂面 垂足 距离 (2)两条相交直线(3)平行 3.锐角 [0°,90°] 4.(1)两个半平面所组成的图形 (2)垂直于棱 [0°,180°] 5.(1)直二面角 (2)垂线 (3)交线

设 m, n 是空间两条不同的直线, α, β 是空间两个不同的平面, 当 m?α,

n?β 时,下列命题正确的是( ) A.若 m∥n,则 α∥βB.若 m⊥n,则 α⊥β C.若 m⊥β,则 m⊥nD.若 n⊥α,则 m⊥β 解:易知 A,B,D 错误.故选 C. 设 α,β 为两个不同的平面,直线 l?α,则“l⊥β”是“α⊥β”成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:据面面垂直的判定定理可知,若 l?α, l⊥β?α⊥β,反之则不一 定成立.故选 A. 在三棱柱 ABCA1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解:如图,

取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,可知 AE⊥侧面 BB1C1C,∠ADE 就是 AD 1 3 与侧面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 a, 则在 Rt△AED 中, DE=2a, AE= 2 a, tan∠ADE= 3,所以∠ADE=60°.故选 C. 如图,二面角 α?lβ 的大小是 60°,线段 AB?α,B∈l,AB 与 l 所成的 角为 30°.则 AB 与平面 β 所成的角的正弦值是________.

解:过点 A 作平面 β 的垂线,垂足为 C,连接 BC,在 β 内作 CD⊥l,交 l 于点 D, 连接 AD.∵l⊥CD, l⊥AC, AC∩CD=C, ∴l⊥面 ACD.∴l⊥AD.故∠ADC 为二面角 α?lβ 的平面角,即∠ADC=60°,

易知∠ABC 为直线 AB 与平面 β 所成的角. 设 CD=a,则 AD=2a,AC= 3a. 又∵∠ABD=30°,∴AB=4a. AC 3a 3 ∴sin∠ABC= AB = 4a = 4 .故填. 在正方体 ABCDA′B′C′D′中, 过对角线 BD′的一个平面交 AA′于 E, 交 CC′ 于 F,则

①四边形 BFD′E 一定是平行四边形; ②四边形 BFD′E 有可能是正方形; ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④平面 BFD′E 有可能垂直于平面 BB′D. 以上结论正确的为____________.(写出所有正确结论的编号) 解:根据两平面平行的性质定理可得 BFD′E 为平行四边形,①正确;若四 边形 BFD′E 是正方形,则 BE⊥ED′,又 A′D′⊥EB,A′D′∩ED′=D′,∴BE ⊥面 ADD′A′,与已知矛盾,②错;易知四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是 正方形 ABCD,③正确;当 E,F 分别为棱 AA′,CC′的中点时,EF∥AC,又 AC⊥平面 BB′D,∴EF⊥面 BB′D,④正确.故填①③④.

类型一

线线垂直问题

如图, 在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中, D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60°.

(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. 证明:(1)∵D1D⊥面 ABCD,且 BD?面 ABCD,∴D1D⊥BD.

又∵AB=2AD,∠BAD=60°, 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos60°=3AD2, 2 2 2 ∴AD +BD =AB . ∴AD⊥BD. 又∵AD∩D1D=D,∴BD⊥面 ADD1A1. 又 AA1?面 ADD1A1, ∴AA1⊥BD. (2)连接 AC,A1C1,设 AC∩BD=E,连接 A1E. 1 ∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴EC=2AC. 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 A1C1∥EC 且 A1C1=EC,∴四边形 A1ECC1 为平行四边形. ∴CC1∥A1E.

又∵A1E?面 A1BD,CC1?面 A1BD, ∴CC1∥面 A1BD. 点拨: 本题主要考查线线、线面位置关系.第(1)问证明线线垂直,其实质是通过证 明线面垂直,再化归为线线垂直;第(2)问证明线面平行,需转化为证明线线平 行,由于面 A1BD 中没有与 CC1 平行的直线,故需作辅助线. (2013〃江苏)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB ⊥BC,AS=AB,过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.

求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC;(2)BC⊥SA. 证明:(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F 是 SB 的中点. 又∵E 是 SA 的中点,∴EF∥AB. 又 EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,∴EF∥平面 ABC. 同理可证 FG∥平面 ABC. 又∵EF∩FG=F, EF,FG?平面 ABC,∴平面 EFG∥平面 ABC. (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB,AF?平面 SAB,AF ⊥SB,∴AF⊥平面 SBC. 又∵BC?平面 SBC,∴AF⊥BC. 又∵AB⊥BC, AB∩AF=A, AB,AF?平面 SAB,∴BC⊥平面 SAB.又∵SA? 平面 SAB,∴BC⊥SA. 类型二 线面垂直问题

如图,四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线 段 AD 上,且 CE∥AB.

(1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45°,求四棱锥 PABCD 的 体积. 解:(1)证明:因为 PA⊥底面 ABCD,CE?平面 ABCD,所以 PA⊥CE. 因为 AB⊥AD,CE∥AB,所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD=A,所以 CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,CE=CD· sin45°=1,DE=CD· cos45°=1, 又因为 AB=1,则 AB=CE. 又 CE∥AB,AB⊥AD, 所以四边形 ABCE 为矩形,四边形 ABCD 为梯形.

因为 AD=3,所以 BC=AE=AD-DE=2, 1 1 5 SABCD=2(BC+AD)· AB=2(2+3)×1=2, 1 1 5 5 VP?ABCD=3SABCD〃PA=3×2×1=6. 5 于是四棱锥 PABCD 的体积为6. 点拨: 证明线面垂直的基本思路是证明该直线和平面内的两条相交直线垂直, 亦可 利用面面垂直的性质定理来证明;第(2)问的难点在于求底面四边形 ABCD 的面 积,注意充分利用题设条件,先证明底面 ABCD 是直角梯形,从而求出底面面 积,最后求体积. (2014〃浙江)如图,在四棱锥 ABCDE 中,平面 ABC⊥平面 BCDE, ∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= 2.

(1)证明:AC⊥平面 BCDE; (2)求直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值。

证明:(1)连接 BD,在直角梯形 BCDE 中,由 DE=BE=1,CD=2,∠CDE =∠BED=90°得∠BDC=45°.BC2=BD2+CD2-2BD· CDcos45°=2, ∴BC= 2 2 2 2,又 AC= 2,AB=2,得 AB =AC +BC ,即 AC⊥BC.又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE. (2)在直角梯形 BCDE 中,由 BD=BC= 2,DC=2,得 BD⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BCDE,∴BD⊥平面 ABC.作 EF∥BD,与 CB 延长线交于 F,连结 AF, 则 EF⊥平面 ABC.∴∠EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角.在 Rt△BEF 中, 2 2 由 EB=1,∠EBF=45°,得 EF= 2 ,BF= 2 .在 Rt△ACF 中,由 AC= 2, 3 2 26 2 26 CF= 2 ,得 AF= 2 .在 Rt△AEF 中,由 EF= 2 ,AF= 2 ,得 tan∠EAF= 13 13 . ∴直线 AE 与平面 ABC 所成角的正切值是 13 13 .

类型三

面面垂直问题

如图所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.

(1)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (2)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 解:(1)因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角, 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90°. B1M 而 A1B1=1,B1M= B1C+MC= 2,故 tan∠MA1B1=A B = 2. 1 1 (2)证明:由 A1B1⊥平面 BCC1B1,BM?平面 BCC1B1, 得 A1B1⊥BM.① 由(1)知,B1M= 2,又 BM= BC2+CM2= 2,B1B=2, B1M2+BM2=B1B2,从而 BM⊥B1M.② 又 A1B1∩B1M=B1,由①②得 BM⊥平面 A1B1M. 而 BM?平面 ABM,∴平面 ABM⊥平面 A1B1M. 点拨: 求异面直线所成的角, 一般方法是通过平移直线, 把异面问题转化为共面问 题,通过解三角形求出所构造的角;证明面面垂直,可转化为证明线面垂直,而 线面垂直又可以转化为证明线线垂直,在证明过程中, 需充分利用规则几何体本 身所具有的几何特征简化问题, 有时还需应用勾股定理的逆定理, 通过计算来证 明垂直关系,这在高考题中是常用方法之一. 如图,在三棱锥 VABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的 π? ? 中点,且 AC=BC=a,∠VDC=θ?0<θ<2?. ? ?

(1)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; π? ? (2)当角 θ 在?0,2?上变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围. ? ? 解:(1)证明:∵AC=BC=a,∴△ACB 是等腰三角形.又 D 是 AB 的中点, ∴CD⊥AB. 又 VC⊥底面 ABC,∴VC⊥AB. 于是 AB⊥平面 VCD.又 AB?平面 VAB,

∴平面 VAB⊥平面 VCD.

(2)在平面 VCD 内过点 C 作 CH⊥VD 于 H,则由(1)知 CH⊥平面 VAB. 连接 BH,于是∠CBH 就是直线 BC 与平面 VAB 所成的角. 2 在 Rt△CHD 中,易知 CH= 2 asinθ. 设∠CBH=φ,在 Rt△BHC 中,CH=asinφ, 2 ∴ 2 sinθ=sinφ. π 2 ∵0<θ<2,∴0<sinθ<1,0<sinφ< 2 . π π 又 0<φ<2,∴0<φ<4. π? ? 即直线 BC 与平面 VAB 所成角的取值范围为?0,4?. ? ? 类型四 垂直综合问题

︵ 如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,C 是AB的 中点,D 为 AC 的中点.

(1)证明:平面 POD⊥平面 PAC; (2)求二面角 BPAC 的余弦值. 解:(1)证明:∵OA=OC,D 为 AC 中点,∴AC⊥OD.

又∵PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,∴AC⊥PO.∵OD∩PO=O,∴AC⊥平 面 POD.而 AC?平面 PAC,∴平面 POD⊥平面 PAC. (2)在平面 POD 中, 过 O 作 OH⊥PD 于 H, 由(1)知, 平面 POD⊥平面 PAC, ∴OH⊥平面 PAC.又 PA?平面 PAC,∴PA⊥OH. 在平面 PAO 中,过 O 作 OG⊥PA 于 G,连接 HG,则有 PA⊥平面 OGH, 从而 PA⊥HG,∴∠OGH 是二面角 BPAC 的平面角.

2 在 Rt△ODA 中,OD=OA· sin45°= 2 . 2 2× 2 PO〃OD 10 在 Rt△POD 中,OH= = 5 , 2 2= 1 PO +OD 2+2 PO〃OA 2×1 6 在 Rt△POA 中,OG= =3, 2 2= PO +OA 2+1 10 5 OH 15 在 Rt△OHG 中,sin∠OGH=OG= = 5 , 6 3 10 所以 cos∠OGH= 5 . 10 故二面角 BPAC 的余弦值为 5 . 点拨: 本题以圆锥为载体,主要考查面面垂直及二面角的计算等.第(1)问是利用隐 含的线线、线面垂直得出面面垂直,充分利用圆及圆锥的性质是证明的关键;第 (2)问的难点在于如何作出二面角 BPAC 的平面角, 这主要是利用第(1)问面面垂 直的性质作图来实现的,在作出二面角的平面角后,构造(或找出)含此角的三角 形,计算即可.注意尽量将计算问题放在直角三角形内. 广东)如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90°,BC= (2013· 6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,CD=BE= 2,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥 A′?BCDE,其中 A′O= 3. (1)证明:A′O⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A′?CDB 的平面角的余弦值.

解:(1)证明:在图 1 中,易得 OC=3,AC=3 2,AD=2 2.

如图示,连接 OD,OE,在△OCD 中,由余弦定理可得 OD= OC2+CD2-2OC· CDcos45°= 5.由翻折不变性可知 A′D=2 2, 易得 A′O2 +OD2=A′D2,∴A′O⊥OD.同理可证 A′O⊥OE. 又∵OD∩OE=O,∴A′O⊥平面 BCDE. (2)过 O 作 OH⊥CD 交 CD 的延长线于 H, 连接 A′H, ∵A′O⊥平面 BCDE,

由三垂线定理知 A′H⊥CD,∴∠A′HO 为二面角 A′?CDB 的平面角. 1 3 2 结合图 1 可知,H 为 AC 中点,又 O 为 BC 中点,故 OH=2AB= 2 ,从而 30 OH 15 A′H= OH2+OA′2= 2 ,∴cos∠A′HO= = 5 ,∴二面角 A′?CDB 的 A′H 15 平面角的余弦值为 5 .

1.判断(证明)线线垂直的方法 (1)根据定义; (2)如果直线 a∥b,a⊥c,则 b⊥c; (3)如果直线 a⊥面 α,c?α,则 a⊥c; (4)向量法:两条直线的方向向量的数量积为零. 2.证明直线和平面垂直的常用方法 (1)利用判定定理:两相交直线 a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α. (2)a∥b,a⊥α?b⊥α; (3)利用面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (4)利用面面垂直的性质: α⊥β, α∩β=m, a?α, a⊥m?a⊥β; α⊥γ, β⊥γ, α∩β=m?m⊥γ. 3.证明面面垂直的主要方法 (1)利用判定定理.在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用 等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理的逆定理等结论; (2)用定义证明.只需判定两平面所成二面角为直二面角; (3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面: α∥β,α⊥γ?β⊥γ. 4.平面与平面垂直的性质的应用 当两个平面垂直时, 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面 垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识 证明垂直关系),构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等. 5.注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化 6.线面角、二面角求法 求这两种空间角的步骤: 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出该角,再解三角形求 出该角,步骤是作(找)?证?求(算)三步曲. 也可用射影法: 设斜线段 AB 在平面 α 内的射影为 A′B′,AB 与 α 所成角为 θ,则 cosθ=; 设△ABC 在平面 α 内的射影三角形为△A′B′C′,平面 ABC 与 α 所成角为 θ, 则 cosθ=.

1.已知 α,β 为两个不同的平面,l 为直线,若 α⊥β,α∩β=l,则( ) A.垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B.垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C.垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D.垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都垂直 解:由面面垂直的判定定理可知,垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都 垂直.故选 D. 2.()设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( ) A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 解:选项 A,B,D 中 m 均可能与平面 α 平行、垂直、斜交,或 m 在平面 α 内.故选 C. 3.如图,在正方形 SG1G2G3 中,E,F 分别是 G1G2,G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE,SF 及 EF 把这个正方形折成一个几何体,使 G1,G2,G3 三点 重合于点 G, 这样, 下列五个结论: (1)SG⊥平面 EFG; (2)SD⊥平面 EFG; (3)GF⊥ 平面 SEF;(4)EF⊥平面 GSD;(5)GD⊥平面 SEF.正确的是( )

A.(1)和(3) B.(2)和(5) C.(1)和(4) D.(2)和(4) 解:∵正方形中折叠前后都有 SG⊥GE,SG⊥GF, ∴SG⊥平面 EFG.(1)正确,(2)错误. ∵SG⊥GF,SG⊥GD,∴GF 并不垂直于 SF,GD 并不垂直于 SD,即(3)(5) 错误.∵EF⊥GD,EF⊥SG,GD∩SG=G,∴EF⊥面 GSD.(4)正确.故选 C. 4.已知直二面角 α?lβ,点 A∈α,AC⊥l,C 为垂足,B∈β,BD⊥l,D 为垂 足.若 AB=2,AC=BD=1,则 D 到平面 ABC 的距离等于( ) A. B. C. D.1 解:由题意知平面 ABC⊥平面 β,∴点 D 到 BC 的距离为点 D 到平面 ABC 的距离.由题设知 BC=,CD=, ∴点 D 到平面 ABC 的距离为=.故选 C. 5.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解: 当 α⊥β 时, 由面面垂直的性质定理知 b⊥α, 则 b⊥a.∴ “α⊥β” 是“a⊥b” 的充分条件.而当 a?α,且 a∥m 时,∵b⊥m,∴b⊥a,而此时平面 α 与平面 β 不一定垂直.∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件.故选 A. 6.把等腰直角△ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 BADC, 则 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为( ) A. B. C.1 D. 解:在面 ADC 中,过 D 作 DE⊥AC,交 AC 于点 E.

连接 BE ,二面角 BADC 为直二面角,∴ BD ⊥平面 ADC , BD ⊥ AC. 又 ∵DE∩BD=D,∴AC⊥平面 BDE.∴平面 BDE⊥平面 ABC,故∠DBE 是 BD 与 平面 ABC 所成角,由翻折不变性可知 DE=AB=BD,在 Rt△BDE 中,tan∠DBE ==(亦可由射影法 cos∠BED====或坐标法求得).故选 B. 7.如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF=______时,CF⊥平面 B1DF.

解:B1D⊥平面 ACC1A1,所以 B1D⊥CF. 要 CF⊥平面 B1DF,只要 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,∠A1FD=∠ACF,∠AFC=∠A1DF, 设 AF=x,则 A1F=3a-x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=, 即=,解得 x=a 或 x=2a.(亦可由勾股定理求得).故填 a 或 2a. 8.已知直线 l⊥平面 α, 直线 m?平面 β.给出下列命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β ?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正确命题的序号是____________. 解:由面面平行的性质和线面垂直的定义知①正确;l⊥α,α⊥β?l∥β 或 l ?β,l 与 m 平行、相交、异面都有可能,故②错;由线面垂直的定义和面面垂 直的判定知③正确;l⊥α,l⊥m?m?α 或 m∥α,又 m?β,所以 α,β 可能平行 或相交,故④错误.故填①③. 9.如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是正方形 BCC1B1 的 中心,点 F,G 分别是棱 C1D1,DD1 的中点.设点 E1 是点 E 在平面 DCC1D1 内的 正投影.

(1)证明:直线 FG⊥平面 FEE1; (2)求异面直线 E1G 与 EA 所成角的正弦值.

解:如图示,连接 EE1,EB. (1)证明:∵E1G=2,FE1=FG=, 易得 FE+FG2=E1G2, ∴FG⊥FE1. 又∵EE1⊥面 CC1D1D, ∴EE1⊥FG. 又 EE1∩FE1=E1,∴FG⊥平面 FEE1. (2)∵E1G∥AB, ∴∠EAB 即为异面直线 E1G 与 EA 所成的角. ∵BE⊥AB,AB=2,BE=,∴AE=. ∴sin∠EAB===. 10.已知四棱锥 PABCD 中,PD⊥平面 ABCD,ABCD 是正方形. (1)若 PD=AD,求 PC 与面 ABCD 所成的角; (2)求证:平面 PBC⊥平面 PCD. 解:(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴DC 是直线 PC 在平面 ABCD 上的射影,∴ ∠PCD 是直线 PC 和平面 ABCD 所成的角. 又∵PD=DA,四边形 ABCD 是正方形,∴PD=DC.∴∠PCD=45°,即直 线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°. (2)证明:∵PD⊥平面 ABCD,BC?平面 ABCD, ∴PD⊥BC, ∵ABCD 为正方形,∴BC⊥CD, ∵PD∩CD=D,PD,CD?平面 PCD, ∴BC⊥平面 PCD. 又∵BC?平面 PBC,∴平面 PBC⊥平面 PCD. 11.()如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.

(1)求证:A1C⊥CC1; (2)若 AB=2,AC=,BC=,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC?A1B1C1 体积最 大,并求此最大值. 解:(1)证明:由 AA1⊥BC 知 BB1⊥BC,又 BB1⊥A1B, BC∩A1B=B,∴BB1⊥平面 BCA1.∴BB1⊥A1C,又 BB1∥CC1,∴A1C⊥CC1. (2)设 AA1=x,在 Rt△A1BB1 中,A1B==. 同理,A1C==.在△A1BC 中, cos∠BA1C==-, sin∠BA1C=,S△A1BC=A1B〃A1C〃sin∠BA1C=.从而三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=S△A1BC〃AA1=,

∵x= =, 故当 x==,即 AA1=时,体积 V 取到最大值. ()如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC =2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的 中点.

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并 证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 AA1M?N 的余弦 值.

解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,交 AB,AC 于 M,N. ∵l?A1BC,BC?A1BC,∴l∥平面 A1BC.∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴BC⊥ AD , l ⊥ AD. ∵ AA1 ⊥平面 ABC ,∴ AA1 ⊥ l. 又 ∵AD∩AA1 = A ,∴直线 l⊥ 平面 ADD1A1. (2)连接 A1P,A1M,A1N,过 A 作 AE⊥A1P 于 E,过 E 作 EF⊥A1M 于 F,连接 AF.由(1)知,MN⊥平面 AEA1,∴平面 AEA1⊥平面 A1MN.∴AE⊥平面 A1MN,则 A1M⊥AE,∴A1M⊥平面 AEF,则 A1M⊥AF.故∠AFE 为二面角 A?A1M?N 的平面 角(记为 θ),设 AA1=1,则由 AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120°,有∠BAD= 60°,AD=1.又 P 为 AD 的中点,∴M 为 AB 的中点,且 AP=,AM=1,∴在 Rt△AA1P 中,A1P=.在 Rt△A1AM 中,A1M=.由等面积法得 AE==,AF==, ∴sinθ==.∴cosθ===.故二面角 AA1M?N 的余弦值为。


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人教版高中数学必修二教案:2-2《直线与平面平行的判定》

直线与平面平行的判定》教案 教学目标 1、理解并掌握直线与平面平行的判定定理; 2、并会用判定定理证明直线与平面平行; 3、培养学生的空间思维能力. 教学重难点...

1.2.4.1 平面与平面平行的判定和性质(三)

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8.2空间中的平行的判定和性质

8.2空间中的平行的判定和性质 - 直线平面平行的判定与性质 例 1.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC=2, AB ? 2 2 ,CC1=4,M 是...

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3.2.2 空间线面关系的判定(一)

3.2.2 空间线面关系的判定(一) ——平行关系的判定 一、基础过关 1. 空间直角坐标系中 A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线 AB...

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