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高中数学选修2-2 推理与证明习题

时间:2015-11-18

推理与证明
1.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数,例如:

.

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似地,称图 2 中的 1,4,9,16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正 方形数的是( A.289 2.观察下列等式: ) B.1024 C.1225 D.1378

?i ? 2 n
i ?1 n

n

1

2

1 ? n, 2

?i
i ?1 n

2

1 1 1 ? n3 ? n2 ? n, 3 2 6 1 1 1 ? n 4 ? n3 ? n 2 , 4 2 4 1 1 1 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30 1 1 5 1 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , 6 2 12 12 1 1 1 1 1 ? n7 ? n6 ? n5 ? n3 ? n, 7 2 2 6 42

?i
i ?1 n

3

?i
i ?1 n

4

?i
i ?1 n

5

?i
i ?1

6

……………………………………

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ?1 ? ak nk ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 nk ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,

可 以 推 测 , 当 k ? 2(k ? N? ) 时 , ak ?1 ?

1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2



ak ?2 ?

.

3.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行 (n ? 3) 从左向右的第 3 个数为 .

4.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49 …… 照此规律,第 n 个等式为 .

5.把正整数排列成如图甲的三角形数阵,然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶 数,得到如图乙的三角形数阵,再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列,得到一个数列

?an ? ,若 an ? 2015 ,则 n ?

.

6.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等差数列. 类比以上结论有: 设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn , 则 T4 , 等比数列. , , 成

作业:
1.观察下列各式: 5 ? 3125 , 5 ? 15625 , 5 ? 78125 ,…,则 5
5 6 7 2011

的末四位数字

为(

) A. 3125

B. 5625

C. 0625

D. 8125 )

2.下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?


3.设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

b 为纯虚数”的( i

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 已知 (3 ? 3i ) ? z ? ?2 3i ( i 是虚数单位) ,那么复数 z 对应的点位于复平面内的 ( ) (A)第一象限 5.设函数 f ( x) ? (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

x ( x ? 0) ,观察: x?2
x , x?2

f1 ( x) ? f ( x) ?

f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ?

x , 3x ? 4
x , 7x ? 8 x , 15 x ? 16

??
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ? 6.设 n ? 2 , n ? N ,
?

.

1 1 (2 x ? ) n ? (3x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n , 2 3
将 ak (0 ? k ? n) 的最小值记为 Tn ,则

T2 ? 0, T3 ?

1 1 1 1 ? 3 , T4 ? 0, T5 ? 5 ? 5 , ???, Tn , ??? 3 2 3 2 3

其中 Tn = 7.已知复数 z ?

.

3 ?i ,则 z ? (1 ? i ) 2

.


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