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2018学年高中数学第3章导数及其应用3.2导数的运算3.2.2函数的和差积商的导数课件苏教版选修7_图文

时间:

3.2

3.2. 1
函数 的和、 差、 积、 商的 导数

理解教材 新知

第 3 章

导 数 的 运 算

把握热点 考向

考点一 考点二 考点三

应用创新 演练

3.2

导数的运算

3.2.2

函数的和、差、积、商的导数

高铁是目前非常受欢迎的交通工具, 既低 碳又快捷.设一高铁走过的路程 s(单位:m) 关于时间 t(单位:s)的函数为 s=f(t)=2t2,求 它的瞬时速度,即求 f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当 Δs Δt→0 时, 所趋近的那个定值,运算比较复杂.而且,有的 Δt 函数如 y=sin x· ln x 等很难运用定义和直接利用公式求导数. 问题:是否有更简捷的方法求 y=sin x· ln x 的导数呢?

提示:利用求导运算法则.

设两个函数分别为 f(x)和 g(x)

两个函数的
和的导数 两个函数的 差的导数

f′(x)+g′(x) [f(x)+g(x)]′=______________ f′(x)-g′(x) [f(x)-g(x)]′=______________

常数与函数的 乘积的导数 两个函数的 积的导数 两个函数 的商的导数

C· f′(x) (C 为常数) [C· f(x)]′=_______ f′(x)g(x)+f(x)g′(x) [f(x)· g(x)]′=_________________

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? 2 ? ? [ g ? x ? ] ?g?x??′=_____________________ ? ?
(g(x)≠0)

1 1.公式(logax)′= ,(ax)′=axln a 记忆较难,要区分公 xln a 式的结构特征,找出它们的差异去记忆. 2.[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)≠f′(x)· g′(x); f′?x? f?x? [ ]′≠ , 避免与[f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)混淆. g?x? g′?x?

利用求导法则直接求导数
[例 1] 求下列函数的导数:
1 3

4 (1)f(x)=x + 2;(2)f(x)=sin x-cos x; x cos x (3)f(x)= x ;(4)f(x)=exsin x. [思路点拨] 这些函数都是由基本初等函数经过四则运算 得到的简单函数, 求导时可直接利用四则运算法则和基本初等 函数的导数公式求导.

1 ? 1 ? 4 [精解详析] (1)f′(x)= ? x 3 ? 2 ? ′=(x 3 )′+(4x-2)′ x ? ?

1 ?2 8 1 -3 3 = x -8x = 2 - 3. 3 x 3 3x (2)f′(x)=(sin x-cos x)′=(sin x)′-(cos x)′ =cos x+sin x.
?cos (3)f′(x)=? x ?

x?

?cos x?′· x-x′cos x ?′= x2 ?

-xsin x-cos x sin x cos x = =- x - x2 . x2 (4)f′(x)=(exsin x)′=(ex)′sin x+ex(sin x)′ =exsin x+excos x=ex(sin x+cos x).

[一点通]

理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活

进行求导运算的前提条件,若运算过程中出现失误,其原因主 要是不能正确理解求导法则,特别是商的求导法则.另外,在 求导过程中对符号判断不清,也是导致出错的原因之一.

1.求下列函数的导数: (1)y=x5-3x3-5x2+6; (2)y=(2x2+3)(3x-2); x-1 (3)y= . x+1

解:(1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′ =(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′ =5x4-9x2-10x.

(2)法一:y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+3(2x2+3) =18x2-8x+9. 法二:∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6, ∴y′=18x2-8x+9.

?x-1? ? (3)法一:y′=? ?x+1?′ ? ?

?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ = ?x+1?2 ?x+1?-?x-1? 2 = = . ?x+1?2 ?x+1?2 x-1 x+1-2 2 法二:∵y= = =1- , x+1 x+1 x+ 1
? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ∴y′=?1-x+1?′=?-x+1? ?′ ? ? ? ?

0-2?x+1?′ 2 =- = . ?x+1?2 ?x+1?2

2.求下列函数的导数: (1)f(x)=x3+cos x; (2)f(x)=xln x; x (3)f(x)= x. e
解:(1)f′(x)=3x2-sin x; (2)f′(x)=x′ln x+x(ln x)′=ln x+1; x′ · ex-x· ?ex?′ ex-x· ex 1-x (3)f′(x)= = = x . 2x x 2 e e ?e ?

导数的简单应用
[例 2] 已知 f′(x)是一次函数,

x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1,求 f(x)的解析式. [思路点拨] 根据题意设出 f(x)的解析式,用待定系数法求解.

[精解详析]

由 f′(x)为一次函数可知 f(x)为二次函数.

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 把 f(x),f′(x)代入方程 x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1 中,得 x2(2ax +b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1, 即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0. 因为方程对任意 x 恒成立,则有 a=b,b=2c,c-1=0, 解得 a=2,b=2,c=1,∴f(x)=2x2+2x+1.

[一点通]

根据题意巧设函数的解析式是解决此类问题的

关键.设出解析式后,再利用条件到关于参数的方程或方程组 求解.另外,正确的运算是解题成功的保障.

1 3.设函数 f(x)=ae +bln x,且 f′(1)=e,f′(-1)= ,求 a,b 的值. e
x

b 解:f′(x)=(ae )′+(bln x)′=ae +x.
x x

f′?1?=e, ae+b=e, ? ? ? ? ? ?a=1, ∵? ∴?a 解得? 1 1 ? f′?-1?= , -b= , ?b=0, ? ? e e ? ?e 所以 a,b 的值分别为 1,0.

4.偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图像过点 P(0,1),且 在 x=1 处的切线方程为 y=x-2,求 y=f(x)的解析式.

解:由 f(x)是偶函数,易知 b=d=0,即 f(x)=ax4+cx2+e. 则 f′(x)=4ax3+2cx. ∵函数在 x=1 处的切线方程为 y=x-2, ∴4a+2c=1, ①切点坐标为(1,-1).

∴a+c+e=-1. ②

又函数 f(x)的图像过点 P(0,1). ∴e=1. ③ 5 ? ?a=2, ? 9 由①②③解得? ?c=-2, ? ?e=1, 5 4 9 2 故 f(x)= x - x +1. 2 2

导数的综合应用

[例 3]

已知抛物线 C1:y=x2+2x 和 C2:y=-x2+a,

如果直线 l 同时是 C1 和 C2 的切线,那么称 l 是 C1 和 C2 的 公切线.当 a 取什么值时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线? 写出此公切线的方程. [思路点拨] 分别设出切点, 求出两抛物线 C1, C2 的切 线方程,使其表示同一条直线,即可找到解题的突破口.

[精解详析] 函数 y=x2+2x 的导数 y′=2x+2. 曲线 C1 在点 P(x1,x2 1+2x1)的切线方程是 y-(x2 1+2x1)=(2x1+2)(x-x1), 即 y=(2x1+2)x-x2 1 ①,

函数 y=-x2+a 的导数 y′=-2x,
2 曲线 C2 在点 Q(x2,-x2 +a)的切线方程是 2 y-(-x2 +a)=-2x2(x-x2),

即 y=-2x2x+x2 ②, 2+a

若直线 l 是过 P 和 Q 的公切线, 则①式和②式都是 l 的方程,
? ?2x1+2=-2x2, ∴? 2 2 ? - x = x ? 1 2+a.

消去 x2 得

2 x2 1+2x1+1+a=0, 1 当判别式 Δ=4-4×2(1+a)=0,即 a=- 时, 2 1 解得 x1=- ,此时点 P 与 Q 重合. 2 1 即当 a=- 时,C1 和 C2 有且仅有一条公切线, 2 1 由①得公切线方程为 y=x- . 4

[一点通] 下两个问题:

利用导数研究曲线的切线时,一定要熟练掌握以

(1)切点既在曲线上, 又在切线上, 即切点坐标既满足函数关 系式,也满足切线方程; (2)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率, 即已知切点坐 标可求切线斜率,已知斜率可求切点坐标.

5.已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别 为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A, 则点 A 的纵坐标为________. 1 2 解析:如图,易知抛物线 y= x 上的点 2
P(4,8),Q(-2,2),且 y′=x,则过点 P 的切线方程为 y=4x-8,过点 Q 的切线 方程为 y=-2x-2,联立两个方程解得交点 A(1,-4),所 以点 A 的纵坐标是-4.
答案:-4

b 6.设函数 f(x)=ax-x,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程 为 7x-4y-12=0,求 f(x)的解析式. 7 解:方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4

∵点(2,f(2))既在曲线上,又在切线上, 1 ∴当 x=2 时,y= . 2 b 1 ? ?2a-2=2, b 又 f′(x)=a+ 2,于是有? x ?a+b=7, 4 4 ? 3 故 f(x)=x-x.
? ?a=1, 解得? ? ?b=3.

关键在态度

对导数几何意义综合应用的几点认识 (1)导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在 某点处的导数,即切线的斜率,注意与相关知识的结合,如函 数、方程、不等式等. (2)导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求 斜率,已知斜率也可以求切点,从而可以与解析几何的知识相 联系.


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