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【备战高考】数学复习教与学:立体几何中的向量方法(Ⅱ) 求空间角与距离_图文

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2019年 立体几何中的向量 方法(Ⅱ) 求空间角 与距离 主页 要点梳理 忆一忆知识要点 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方 向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两 不共线向量,n 为平面 α 的法向量,则求法向量的方程组为 ? a=0 ?n· ? . ? b=0 ?n· 2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ= |cos〈m1,m2〉| . 要点梳理 忆一忆知识要点 (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ= |cos〈m,n〉| . (3)求二面角的大小 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 〈 AB ,CD〉 线,则二面角的大小 θ= . 2° 如图②③,n1,n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α,β 的 法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ=cos θ=cos〈n1,n2〉或 -cos〈n1,n2〉 . 要点梳理 3.点面距的求法 忆一忆知识要点 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α AB ? n 的距离 d= n . [难点正本 疑点清源] 1.空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来 计算的,对空间各种角概念必须深刻理解.平行和垂直可以 看作是空间角的特殊情况. 2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻 找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位置关系的 判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量 的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 3.求点到平面距离的方法:①垂面法:借助面面垂直的性质来 作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键;②等体积 法,转化为求三棱锥的高;③等价转移法;④法向量法. 求异面直线所成的角 例 1 如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E、 F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= BF=1.求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余 弦值. (1)本题易于建立空间直角坐标系,把 EC1 与 FD1 所成角看作向 → → 量EC1与FD1的夹角,用向量法求解. (2)平移线段 C1E 让 C1 与 D1 重合,转化为平面角,放到三角形 中,用几何法求解. 解 方法一 → → → 以 A 为原点,AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直 角坐标系,则有 D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0), → → C1(4,3,2),于是EC1=(1,3,2),FD1=(-4,2,2), 设 EC1 与 FD1 所成的角为 β,则: → → |EC1· FD1| cos β= → → |EC1|· |FD1| 1×(-4)+3×2+2×2 21 = 2 2 2 2 2 2= 14 , 1 +3 +2 × (-4) +2 +2 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14 方法二 延长 BA 至点 E1,使 AE1=1, 连结 E1F、DE1、D1E1、DF, 有 D1C1∥E1E,D1C1=E1E, 则四边形 D1E1EC1 是平行四边形. 则 E1D1∥EC1. 于是∠E1D1F(或补角)为直线 EC1 与 FD1 所成的角. 在 Rt△BE1F 中, E1F= E1B2+BF2= 52+12= 26. 2 在 Rt△D1DE1 中,D1E1= DE2 1+DD1 2 2 2 2 2 = AE2 1+AD +DD1= 1 +3 +2 = 14. 在 Rt△D1DF 中,FD1= FD2+DD2 1 2 2 2 = CF2+CD2+DD2 = 2 + 4 + 2 = 24. 1 在△E1FD1 中,由余弦定理得: 2 2 D1E1 +FD2 21 1-E1F cos∠E1D1F= = . 14 2×D1E1×FD1 21 ∴直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值为 . 14 探究提高 可以从两个不同角度求异面直线所成的角:一把角的求解转化为 向量运算;二体现传统方法,作—证—算.应注意体会两种方法 的特点.“转化”是求异面直线所成角的关键.平移线段法,或 化为向量的夹角.一般地,异面直线 AC、BD 的夹角 β 的余弦为 → → |AC· BD| cos β= . → → |AC||BD| 变式训练 1 如图,在四棱锥 O—ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, π ∠ABC= .OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 4 的中点. (1)证明:直线 MN∥平面 OCD; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小. (1)证明 作 AP⊥CD 于点 P. 如图,分别以 AB,AP,AO 所在直 线为 x,y,z 轴建立直角坐标系. ? ? 2 ? A(0,0,0),B(1,0,0),P?0, ,0? ?, 2 ? ? ? ? ? 2 2 ? ? D?- , ,0?,O(0,0,2),M(0,0,1),N? ?1- 2 2 ? ? ? ? 2 2 ? , ,0?. 4 4 ? ? ? 2 2 2 → ? → ? ? ? ? (1)MN=?1- , ,-1?,OP=?0, ,-2? ?, 4 4 2 ? ? ? ? ? 2 2 → ? ? OD=?- , ,-2? ?. 2 2 ? ? 设平面 OCD 的法向量为 n=(x,y,z), ? ? 2y-2z=0, ?2 → → 则 n· OP=0,n· OD=0

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