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四川省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(4)数列

时间:2013-05-29


四川省各地市 2013 年高考数学最新联考试题分类汇编(4)数列
一、选择题: 4. (四川省绵阳市 2013 届高三第三次诊断性考试文)设数列{an}是等比数列, 则“a1<a2 广是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不 必要条件 C.充要条件 【答案】B 2、(四川省内江市 2013 届高三第一次模拟文)已知等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn,若 B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a4 ? 18 ? a5 ,则 S3=
A.54 B.68 C.72 D.90 【答案】C 4、(四川省内江市 2013 届高三第一次模拟文)已知函数 y=f(x) ? R) (x ,数列{ an }的通 项公式是 an =f(n) ? N ) (n ,那么“函数 y=f(x)在[1,+ ?) 上递增”是“数列{ an }


是递增数列”的 A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A

3、(四川省眉山市高中 2013 届高三第 二次诊断性考试理)已知 ?an ? 为等比数列.若

a3 a5 ?

1 9 a1 ,且 a4 与 a7 的等差中项为 ,则公比 q 4 8
B. 4 C.

A. 2 【答案】C 二、填空题:

1 2

D.

1 4

15.(四川省凉山州 2013 届高三第三次诊断理)若有穷数列 {an }(n ? 3) 同时满足: (1) (2) ? a4 ? 0 ; ? k | a4 |? 1 ;则称数列 ?an ? 为 n 阶好数列.
k ?1 k ?1 n n

给出以下命题(以下数 列项数都大于或等于 3) : ①小存在有穷常数列,它是好数列; ②存在等差数列,它是好数列;

1

③若有穷等比数列 ?an ? 是 2k 阶好数列(k≥2) ,则它的公比只能等于-l; ④存在各项非负的 2013 阶好数列. 以上所有 正确命题的序号为 【答案】①②③ 。

13.(四川省南充市高 2013 届第三次高考适应性考试理)已知正项等比数列 ?an ? 满足

a7 ? a6 ? 2 a5,若存在两项 am、an 使得 am an ? 2a1 ,则
【答案】

1 4 ? 的最小值是 m n

11. (四川省成都十二中 2013 届高三 3 月考理)已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足

9 4

am ? an ? 2a1 ,则
三、解答题:

1 9 ? 的最小值为 m n

7 2



17. (四川省绵阳市 2013 届高三第三次诊断性考试文) (本小题满分 12 分) 已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2. (I )求数列{an}, {bn}的通项公式; (II)设 c n ?

2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ? Sn 2

17.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, ? b1 ? q ? 2a1 ? d ? 10, ? 由题意可得: ? 5? 4 2 ?5a1 ? 2 ? d ? 5b1q ? 3(a1 ? d ), ?

17 (舍),d=2. 5 ∴ 数列 {an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n?1 . ?7 分 2 1 1 n(3 ? 2n ? 1) ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ? , ? n2 ? 2n ,于是 cn ? Sn n n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1? ? ? 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 3 < . ????12 分 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 2
解得 q=2 或 q= ? 18、(四川省内江市 2013 届高三第一次模拟文)(本题满分 12 分) 已知各项均不相等的等差数列{ an }的前四 项和为 S4=14,且 a1 , a3 , a7 成等比。

2

(1)求数列 { an }的通项公式; (2)设 Tn 为 数列 ? 的最小值。

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 ,对一切 n ? N 恒成立,求实数 ? ? an an ?1 ?

19. (四川省南充市高 2013 届第三次高考适应性考试理)(本小题满分 12 分) .在直角坐 标平面上有点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ),?, 对一切 正整数 n,点 Pn 在函数 1

y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,-1 为公差的等差数列 ?xn ? . 4 2

(Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)对于二次函数列 C1,C2,C3,?,Cn,?,其中二次函数 Cn 的顶点为 Pn,且过点

n2 Dn (0, ? 1 ) .记与二次函数 Cn 图象相切于点 Dn 的直线的斜率为 kn, an ? kn ? 4 , 令
求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 Tn . n ? ?2 ?

19. (本小题满分 12 分)

3

解:(Ⅰ) ,

? xn ? ?

5 3 ? (n ? 1) ? (?1) ? ? n ? 2 2
????4 分

? y n ? 3xn ?

13 5 3 5 ? ?3n ? . ? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4

(Ⅱ)? C n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn, ∴设 C n 的方程为 y ? a ( x ? 把 Dn (0, n 2 ? 1)代入上式 得a ? 1 , , ∴ C n 的方程为 y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1. ∵ k n ? y? | x?0 ? 2n ? 3,

2n ? 3 2 12n ? 5 ) ? . 2 4
??????7 分 ??????8 分

? an ? kn ? 4 ? 2n ?1
1 1 1 1 Tn ? 1? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ......... ? (2n ? 1) ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ? Tn ? 1? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 4 ? ......... ? (2n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2
.① - .②:? Tn ? ① ②??????9 分

1 2

1 1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? .........? n ? ? n?1 2 2 ? 2 ?2 2

1 ? 2n ? 1 ?1 1 ?Tn ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ......... ? n?1 ? ? n 2 ? 2 ?2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 2n ? 1 2 2n ? 1 2 ? 1? 2? 2 ? n ? 3 ? n ?1 ? n 1 2 2 2 1? 2 2n ? 3 ? 3? ??????12 分 2n 17. (四川省宜宾市高中 2013 届高三二诊考试理)在数 列 ?an ? 中,a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为
常数, n ? N ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?
?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an an ?1
?..(2 分)

17. 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c

4

∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c . 又 a1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) 2 ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2 当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 ∴ bn ? ?.(4 分)

?????..(5 分)

????????(6 分)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

???????(9 分)

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? ?(1 ? 3 ) ? ( 3 ? 5 ) ? ? ? ( 2n ? 1 ? 2n ? 1)? 2? ?
?(12 分)

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

21. ( 四 川 省 宜 宾 市 高 中 2013 届 高 三 二 诊 考 试 理 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数

f t ( x) ?

1 1 ? (t ? x) ,其中 t 为正常数. 1 ? x (1 ? x) 2 (Ⅰ)求函数 ft ( x) 在 (0, ??) 上的最大值; 5 (Ⅱ)设数列 {an } 满足: a1 ? , 3an?1 ? an ? 2 , 3
(1) 求数列 {an } 的通项公式 an ;(2) 证明: 对任意的 x ? 0 ,

1 ? f 2 ( x)(n ? N *) ; an 3n

1 1 1 n2 (Ⅲ)证明: ? . ? ??? ? ? a1 a2 an n ? 1
解: (Ⅰ)由 ft ( x) ?

1 1 2(t ? x) ? (t ? x) ,可得 ft? ( x) ? ( x ? 0) , 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x)3
???????(2 分)

所以, f t? ( x) ? 0 ? 0 ? x ? t , f t? ( x ) ? 0 ? x ? t ,???????(3 分) 则 ft ( x) 在区间 (0, t ) 上单调递增,在区间 (t , ??) 上单调递减,

1 .???????(4 分) 1? t 1 2 (Ⅱ) (1)由 3an?1 ? an ? 2 ,得 an ?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? , 3 3 2 1 n ?1 2 则数列 {an ?1} 为等比数列,且 an ? 1 ? ? ( ) ? n ,???????(5 分) 3 3 3 n 2 2?3 故 an ? n ? 1 ? 为所求通项公式.???????(6 分) 3 3n
所以, ft ( x) max ? ft (t ) ?

5

(2)即证,对任意的 x ? 0 ,

1 1 1 2 ? f 2 ( x) ? ? ( n ? x) (n ? N *) 2 an 1 ? x (1 ? x) 3 3n
???????( 7 分)

证法一: (从已有性质结论出发) 由(Ⅰ)知 f 2 ( x) max ? f 2 (
3n 3n

2 1 3n 1 )? ? n ? ???????(9 分) n 2 3 1 ? n 3 ? 2 an 3

即有

1 ? f 2 ( x)(n ? N *) 对于任意的 x ? 0 恒成立.???????(10 分) an 3n

证法二: (作差比较法)

2 2 ? 1 ? 0 及 an ? 1 ? n ? 0 ???????( 8 分) n 3 3 1 1 1 1 2 1 1 1 ? f 2 ( x) ? ? ? ( n ? x) ? ? ? (an ? 1 ? x) 2 an an 1 ? x (1 ? x) 3 an 1 ? x (1 ? x)2 n 3
由 an ?

? 1 a ? an 1 2 ? ? ? ?? ? n ? ? 0 ???????(9 分) an 1 ? x (1 ? x)2 ? an 1 ? x ? ? ?
即有

2

1 ? f 2 ( x)(n ? N *) 对于任 意的 x ? 0 恒成立.???????(10 分) an 3n
1 1 1 2 ? ? ( n ? x) , 2 an 1 ? x (1 ? x) 3

(Ⅲ)证法一: (从已经研究出的性质出发,实现求和结构的放缩) 由(Ⅱ)知,对于任意的 x ? 0 都有 于是,

n ? 1 ? 1 1 1 1 2 ? ? ??? ? ? ? ? ? ( k ? x) ? 2 a1 a2 an k ?1 ?1 ? x (1 ? x) 3 ? n 1 2 2 2 ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ? nx) 2 1 ? x (1 ? x) 3 3 3 ???????(11 分)对于任意的 x ? 0 恒成立

特别地,令 1 ?

1 1 1 ? nx0 ? 0 ,即 x0 ? (1 ? n ) ? 0 ,???????(12 分) n 3 n 3 1 1 1 n n n2 n2 ? ??? ? ? ? ? ? 有 ? ,故原不等式成立. a1 a2 an 1 ? x0 1 ? 1 (1 ? 1 ) n ? 1 ? 1 n ? 1 n 3n 3n

???????(14 分) 以下证明小组讨论给分 证法二: (应用柯西不等式实现结构放缩)
2 2 2 2 2 2 由柯西不等式: ( x1 y1 ? x2 y2 ???? ? xn yn )2 ? ( x1 ? x2 ???? ? xn )( y1 ? y2 ???? ? yn )

其中等号当且仅当 xi ? kyi (i ? 1, 2, ???n) 时成立. 令 xi ?

1 , yi ? ai ,可得 ai

6

(


1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? )(a1 ? a2 ? ??? ? an ) ? ( ? a1 ? ? a2 ? ??? ? ? an )2 ? n2 a1 a2 an a1 a2 an

1 1 1 n2 ? ? ??? ? ? a1 a2 an a1 ? a2 ? ??? ? an

1 1 (1 ? n ) 2 3 ? n ? 1? 1 而由 an ? n ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? ??? ? an ? n ? 2 ? 3 1 3 3n 1? 3 2 2 1 1 1 n n ? ??? ? ? ? 故 ? ,所证不等式成立. a1 a2 an n ? 1 ? 1 n ? 1 3n 证法三: (应用均值不等式“算术平均数” ? “几何平均数” ) a ? a2 ? ??? ? an n ? a1 ? a2 ????? an ,其中 ai ? 0 由均值不等式: 1 n 1 1 1 1 可得 a1 ? a2 ? ??? ? an ? n ? n a1 ? a2 ????? an , ? ? ??? ? ? n ? n a1 a2 an a1 ? a2 ????? an 1 1 1 两式相乘即得 ( ? ? ??? ? )(a1 ? a2 ? ??? ? an ) ? n2 ,以下同证法二. a1 a2 an
证法四: (逆向分析所证不等式的结构特征,寻找证明思路) 欲证

1 1 1 n2 , ? ? ??? ? ? a1 a2 an n ? 1
n2 n2 ? 1 ? 1 1 n 1 3n 2 ? ? n ?1? ? n? ,而 ? n ? 1? n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an 3 ? 2 3 ?2

注意到

从而所证不等式可以转化为证明

2 2 2 n ? 2 ? ??? ? n ? 3 ?2 3 ?2 3 ? 2 n ?1
1

在此基础上可以考虑用数学归纳法证明此命题 19.(四川省资阳市 2013 届高三第二次高考模拟考试文)(本小题满分 12 分)已知数 列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 , 2an?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ( n ? N* ) . (Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? an ? ? ? n2 ,若 b2 n ?1 ? b2 n 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 19.解析 (Ⅰ)由 2an?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ,得 2an ? 3Sn ?1 ? 3n ? 1 ( n ? 2 ) , 两式相减得 2an?1 ? 2an ? 3(Sn ? Sn ?1 ) ? 3 ,即 2an ?1 ? an ? 3 , ········· 2 分 1 3 1 ∴ an?1 ? ? an ? ,则 an?1 ? 1 ? ? (an ? 1) ( n ? 2 ) ··········· 4 分 , 2 2 2 1 ?1 a2 ? 1 2 1 1 ? ?? , 由 a1 ? 2 ,又 2a2 ? 3S1 ? 7 ,得 a2 ? ,则 a1 ? 1 2 ? 1 2 2 1 故数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项, ? 为公比的等比数列. 2

7

1 1 1 则 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? (? )n?1 ? (? )n?1 ,∴ an ? (? )n?1 ? 1 , ·········· 6 分 2 2 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? ?[(? )n?1 ? 1] ? ? ? n2 ? ? (? )n?1 ? n2 , 2 2 1 2n?2 1 2n?1 由题意得 b2 n ?1 ? b2 n ,则有 ? (? ) ? (2n ? 1)2 ? ? (? ) ? (2n)2 , 2 2 (4n ? 1) ? 4n 1 1 即 ? (? )2n?2 [1 ? (? )] ? (2n ? 1)2 ? (2n)2 ,∴ ? ? ? , ······· 10 2 2 6



(4n ? 1) ? 4n (4n ? 1) ? 4n (4 ? 1) ? 4 对于 n ? N* 时单调递减,则 ? 的最大值为 ? ? ?2 , 6 6 6 故 ? ? ?2 . ····························· 12
而? 分 19、 (四川省眉山市高中 2013 届高三第二次诊断性考试理) (本小题 12 分) 已知数列 ?an ?为 等差数列, ?an ?的前 n 项和为 Sn , a1 ? a 3 ? (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)数列 ?bn ?满足 a n bn ?

3 , S5 ? 5 . 2

1 , Tn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? ? ? bn bn ?1 ,若不等式 4

2kTn ? bn 恒成立,求实数 k 的取值范围. 3 1 1 19、 解:由 a1 ? a 3 ? , S 5 ? 5 ,得 a1 ? , d ? ??????????3 分 2 2 4 n ?1 ∴ an ? ???????????5 分 4

n ? 1 , a b ? 1 ,?b ? 1 ???????????6 分 n n n 4 4 n ?1 1 1 1 bn bn ?1 ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 ?Tn ? b1b2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? bn bn ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ? )?( ? ) 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 3 3 4 n ? (1 ? 1) ?? ? ( 1 ? 1 ) ? 1 ? 1 ? ???????????8 4 5 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)
(2)? a n ? 分

kn2 ? (1 ? k )n ? 2 ? 2kSn ? bn ? kn ? 1 ? n ? 2 n ?1 (n ? 1)(n ? 2)
由条件,可知当 kn2 ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 恒成立时即可满足条件。设

f (n) ? kn2 ? (1 ? k )n ? 2 ,当 k ? 0 时,由二次函数的性质,知 kn2 ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 不可 能恒成立;当 k=0 时, f (n) ? ?n ? 2 ? 0 恒成立;当 k<0 时,由于对称轴直线 (1 ? k ) 1 1 1 n? ? ? ?? 2k 2k 2 2

8

? f (n)在[1,??) 上为单调递减函数; ?只要f(1)? 0 ,即可满足 kn2 ? (1 ? k )n ? 2 ? 0 恒成立。 3 由 f (1) ? k ? (1 ? k ) ? 2 ? 0, 得k ? , 又k ? 0,? k ? 0 2
综上可知,当 k≤0 时,不等式 2kSn<bn 恒成立。?????????????12 分 (注:k<0 的单调性,可用导数。求 k 的范围,也可用分离变量。 ) 20.(四川省成都十二中 2013 届高三 3 月考理)(本小题满分 13 分) 数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ? n ? 1(n ??? ) (Ⅰ)求证:数列 ?an ? n? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 项公式; (III)在(Ⅱ)的条件下,令 cn ?

(Ⅱ)若数列满足 b1 ? 2b2 ??? nbn ? (1? 2 ? 3 ? ?? n)log 2 (an ? n) ,求数列 ?bn ? 的通

1 ? bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,若不等式 3(an ? n)

Tn ? m2 ? m 对任意 m ? ? ? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

9


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