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陕西省宝鸡中学2012届高三第四次月考试题(数学文)

时间:2019-06-03

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陕西省宝鸡中学 2012 届高三第四次月考试题(数学文)

第Ⅰ卷

一、选择题.本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.若向量 a ? (1,?1) , b ? (?1,1) , c ? (5,1) ,则 c ? a ? b ?
()

A. a

B. b

2.下列几个式子化简后的结果是纯虚数的是

()

A. 1 ? i i

B. (1? i)3

3.等比数列 x,2x ? 2,3x ? 3,?的第四项为

C. c C. i 6

D. a ? b D. 1 ? i
1?i

()

A ? 27 2

B 27 2

4.已知 sin ? ? cos? ? 2 ,则 tan? ? cot? ?
3

()

A. ? 5 9

B. 5 9

C -27
C. ? 18 5

D 27
D. 18 5

5 . 三 角 形 ABC 中 , ( AB ? AC) ? (OC ? BO) ? 0 , AB ? AC ? 6 则 三 角 形 ABC 的 形 状 为

() A 直角等腰三角形 C 钝角等腰三角形

B 锐角等腰三角形 D 不等边三角形

6.已知等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则S8 等于

()

A.18

B.36

C.54

D.72

7.同时具有下列性质:“①对任意 x ? R, f (x ? ? ) ? f (x) 恒成立;②图像关于直线 x ? ? 对 3

称;③函数在

????

? 6

,

? 3

? ??

上是增函数的函数可以是

()
A. f (x) ? sin( x ? ? ) 26

B. f (x) ? sin(2x ? ? ) 6

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C. f (x) ? cos(2x ? ? ) 3

D. f (x) ? cos(2x ? ? ) 3

8.如右图所示,三角形 ABC 中, AC ? BC ? 0 , AC ? AB ? 3, AB ? 2 BC

C

AB ? 2AD ,则 AB ? CD ?

A.1

B. -1

()

A

D

B

C.2

D. -2

9.已知关于 x 的函数 f (x) ? m x ? 1,(其中 m >1),设 a > b > c >1,则 f (a) , f (b) , f (c) 的 abc
大小关系是

()

A. f (a) > f (b) > f (c) abc

C. f (c) > f (b) > f (a)

cb

a

B. f (b) > f (a) > f (c) bac
D. f (c) > f (a) > f (b) cab

10.以下有关平面向量的结论:① a ? b ? a ? c ? b ? c ;② (a ? b)(a ? b) ? 0 ? a ? b ;

③ (a ?b) ? c ? a ? (b? c) ;④ a ?b ? a ?b ? a ? b ,其中正确的结论有

A.1 个

() B.2 个

C.3 个

D.4 个

第 II 卷

本卷包括填空题和解答题两部分,共 100 分. 二、填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

? ? 11.数列

an

中, a1 ? 2,

an

? 1? 1 (n = 2, 3, 4, an?1

) ,则 a4 =

12 关于 x 的方程 x2 ? 2x ? a ? 0 有一个正根与一个负根的充要条件是

13.等差数列{an}中, a1 ? a2 ? ? a9 ? 81且 a2 ? a3 ? ? a10 ? 171,则公差 d =

14.如图所示, OC ? 2OP , AB ? 2AC , OM ? mOB , ON ? nOA ,若 m ? 3 ,那么 n ? 8
15.在三角形 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,
若三角形 ABC 的面积 S ? 3 (a 2 ? b2 ? c 2 ) ,则 C= 4

B

M P
O

C NA



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三、解答题.( 本大题共 6 小题,共 75 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? 2tx ?1, x ??2,5? 是单调函数,且函数 f ? x? 的
最大值为 8 ,求实数 t 的值.

17.(本题满分 12 分)已知等差数列?an ?, a3 ? 5 , a2 ? a7 ? 16

(1)求数列?an ?的通项公式

(2)设 bn

?

2 an an?1

,求数列?bn ?的前 n 项和

18.(本题满分 12 分)已知:a ? (

3

sin

x,

cos

x),

b

?

(cos

x,

cos

x)



f

(

x)

?

? 2a

?

? b

?

2m

?

1

( x, m ? R ).

(Ⅰ) 求 f (x) 关于 x 的表达式,并求 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 若 x ?[0, ? ] 时, f (x) 的最小值为 5,求 m 的值.
2

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19.(本题满分 12 分)四边形 ABCD, AB ? (6,1) , BC ? (x, y) , CD ? (?2,?3) , (1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式 (2)在满足(1)的同时,若 AC ? BD ,求 x 与 y 的值以及四边形 ABCD 的面积
20.(本题满分 13 分))某企业去年的纯利润为 500 万元,因设备老化等原因,企业的生产能 力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元, 今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情
况下,第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1+ 1 )万元(n 为正整数). 2n
(Ⅰ)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元,进行技 术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(须扣除技术改造资金),求 An 、 Bn 的表达式;
(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超 过不进行技术改造的累计纯利润?
21.(本题满分 14 分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ? ,点 an?1, Sn ?
在直线 2x ? y ? 2 ? 0 上.
(Ⅰ) 求数列?an ?的通项公式;
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(Ⅱ)是否存在实数 ?

,使得数列

??S ?

n

?

?

?

n

?

? 2n

? ? ?

为等差数列?若存在,求出

?

的值;

若不存在,则说明理由.

参考答案

一、选择题:

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A 卷答案 C

D

A

C

B

D

B

B

A

A

B 卷答案 C

B

D

A

B

A

D

B

B

D

二、填空题.本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.

11. 2

12. a<0

13.10

14.

3 4

15.? 3

三、解答题. 16.解:因为函数是单调函数,所以在定义域内是一一对应的
函数 f ? x? ? x2 ? 2tx ?1的对称轴为 x ? t ,所以 t ? 2 或 t ? 5
若 t ? 2 ,在区间?2,5? 上函数是单调递增的,所以 f ? x? ? f ?5? ? 25?10t ?1? 8 , max
解得 t ? 9 ,符合 5
若 t ? 5 ,在区间?2,5? 上函数是单调递减的,所以 f ? x? ? f ?2? ? 4 ? 4t ?1 ? 8 ,解 max
得 t ? ? 3 ,与 t ? 5 矛盾,舍去 4
综上所述,满足题意的实数 t 的值为 9 5
17.解:(1)由已知 a2 ? a7 ? 16 可得 a4 ? a5 ? 16
又因为 a3 ? 5 ,所以 a3 ? a4 ? a5 ? 21
所以 a4 ? 7

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? d ? a4 ? a3 ? 2

? an ? 2n ?1

(2)由(1)可知 bn

?

2 an an?1

,设数列 ?bn ?的前 n 项和为 S n

Sn

?

2 a1a2

?

2 a2 a3

?

2 a3a4

???

2 an an?1



Sn

?

1 3

?

1 5

?

1 5

?

1 7

?

1 7

?

1?? 9

1? 2n ?1

1 2n ? 3



? 1 ? 1 = 2n 3 2n ? 3 3(2n ? 3)

18.解 (Ⅰ) f (x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos2 x ? 2m ?1

? 3 sin 2x ? cos 2x ? 2m

? 2sin(2x ? ? ) ? 2m . 6
? f (x) 的最小正周期是? .

(Ⅱ) ∵ x ?[0, ? ] ,∴ 2x ? ? ?[? , 7? ] .

2

6 66

∴当 2x ? ? ? 7? 即 x ? ? 时,函数 f (x) 取得最小值是 2m ?1.

66

2

∵ 2m ?1 ? 5,

∴m ? 3.

19..解析:(1)由已知可得, BC ? (x, y) , AD ? (4 ? x,?2 ? y)

若 BC // DA ,可知 (4 ? x) y ? x(?2 ? y)

即 x ? 2y ? 0 (x ? y ? 0)

(2)由已知可得 AC ? (6 ? x,1? y) , BD ? (?2 ? x,?3 ? y)

由 AC ? BD 可得 ?x ? 2?2 ? ?y ?1?2 ? 20

(3)由(1)(2)可得

x ? 2y ? 0



?x ? 2?2 ? ?y ?1?2 ? 20



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由①②联立可得 y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 易求得 ? ? 16 >0 所以两条曲线相交。
另解: ?x ? 2?2 ? ?y ?1?2 ? 20 的圆心(-2,1)到直线 x ? 2 y ? 0 的距离
0 d ? ? 0 ,所以两条曲线相交
5
原编题
(2)在满足(1)的同时,若 AC ? BD ,求 x 与 y 的值以及四边形 ABCD 的面积

由(1)可知 x ? 2 y ? 0 (x ? y ? 0)

所以

???xy

? ?

2 ?1



???xy

? ?

?6 3



???xy

? ?

2 ?1



AC

?

(8,0)



BD

?

(0,?4) ,由

AC

?

BD

可得 S四边形ABCD

?

1 2

AC

BD

=16



???xy

? ?

?6 3



AC

?

(0,4)



BD

?

(?8,0)

,由

AC

?

BD

可得 S四边形ABCD

?

1 2

AC

BD

=16

综上可知 S四边形ABCD

?

1 2

AC

BD

=16

20.解解: (Ⅰ)依题意知,数列 An 是一个以 500 为首项,-20 为公差的等差数列,所以

An

?

480n

?

n(n ?1) 2

? (?20)

?

490n

?10n2



Bn

?

500(1?

1) 2

?

500(1?

1 22

)

?

?

500(1

?

1 2n

)

?

600

=

500n

?

500(1 2

?

1 22

?

?

1 2n

)

?

600

1 [1? (1)n ]

= 500n ? 500? 2

2 1? 1

? 600

2

=

500n

?

500 2n

?

100

(Ⅱ)依题意得,

Bn

?

An

,即

500n

?

500 2n

?100

?

490n

?10n2



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可化简得

50 2n

?

n2

?

n

?10



?可设 f (n) ? 50 , g(n) ? n2 ? n ?10 2n

又? n ? N? ,?可设 f (n) 是减函数, g(n) 是增函数,

又 f (3) ? 50 ? g(3) ? 2, f (4) ? 50 ? g(4) ? 8

8

16

则 n ? 4 时不等式成立,即 4 年

21.解:(Ⅰ)由题意可得:

2an?1 ? Sn ? 2 ? 0.



n ? 2时, 2an ? Sn?1 ? 2 ? 0.



①─②得 2an?1

? 2an

?

an

?

0?

an?1 an

?

1 ?n
2

?

2?,

? a1

? 1,

2a2

?

a1

?

2

?

a2

?

1 2

? ?an ?是首项为1,公比为

1 2

的等比数列,? an

?

?? ?

1 2

n?1
?? . ?

1? 1

(Ⅱ)解法一:? Sn ?

2n 1

1?

?2? 1 . 2 n ?1

2



??S ?

n

?

? 2n

? ? ?

为等差数列,



S1

?

?

?

? 2

,

S2

?

2?

?

? 22

,

S3

?

3?

?

? 23

成等差数列,

2

?? ?

S

2

?

9? 4

?? ?

?

S1

?

3? 2

?

S3

?

25? 8

?

2?? ?

3 2

?

9? 4

?? ?

?1?

3? 2

?

7 4

?

25? 8

,

得 ? ? 2.

又 ? ? 2 时, Sn

? 2n ? 2 2n

? 2n ? 2 ,显然?2n ? 2?成等差数列,

故存在实数

?

?

2 ,使得数列

??S ?

n

?

?n

?

? 2n

? ? ?

成等差数列.

解法二:

? Sn

1? 1 ? 2n
1 1?

?2? 1 . 2 n ?1

2

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?Sn

? ?n ?

? 2n

?2? 1 2 n ?1

? ?n ?

? 2n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2? 1
2n

.

欲使

??S ?

n

?

?

?n

?

? 2n

? ?

成等差数列,只须

?

?

?

2

?

0即?

?

2 便可.

故存在实数

?

?

2 ,使得数列

??S ?

n

?

?n

?

? 2n

? ? ?

成等差数列.

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