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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.2 平面向量的基本定理及向量坐标运算

时间:2015-07-31


中小学一对一课外辅导专家

§ 5.2

平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只有一 对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),
2 λa=(λx1,λy1),|a|= x1 +y2 1.

(2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. → → ②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 3.平面向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.a∥b?x1y2-x2y1=0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × → → (2)在△ABC 中,向量AB,BC的夹角为∠ABC.( × ) ) )

(3)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2,μ1=μ2.( √

(4)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表 示.( √ )

x1 y1 (5)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表示成 = .( × ) x2 y2 1 (6)已知向量 a=(1-sin θ,1),b=( ,1+sin θ),若 a∥b,则 θ 等于 45° .( × ) 2

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1.(2014· 福建)在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案 B

)

解析 由题意知,A 选项中 e1=0,C、D 选项中两向量均共线,都不符合基底条件,故选 B(事 实上,a=(3,2)=2e1+e2). π → 2.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,|OC|=2 2,且∠AOC= ,设OC 4 → → = λOA+OB(λ∈R),则 λ 的值为( 1 A.1 B. 3 答案 D 解析 过 C 作 CE⊥x 轴于点 E. π 由∠AOC= ,知|OE|=|CE|=2, 4 → → → → → 所以OC=OE+OB=λOA+OB, → → 即OE=λOA, 2 所以(-2,0)=λ(-3,0),故 λ= . 3 3.已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. 答案 1 解析 因为 a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3)与 c=(k, 3)共线,所以 3k= 3× 3,因 此 k=1. → → → 4.在?ABCD 中,AC 为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则向量BD的坐标为__________. 答案 (-3,-5) 1 2 C. D. 2 3 )

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→ → → → → → 解析 ∵AB+BC=AC,∴BC=AC-AB=(-1,-1), → → → → → ∴BD=AD-AB=BC-AB=(-3,-5).

题型一 平面向量基本定理的应用 → → 例 1 (1)在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD,BC 的中点,若AB=λAM → +μAN,则 λ+μ 等于( 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5 → 1→ → → 2→ (2)如图, 在△ABC 中, AN= NC, P 是 BN 上的一点, 若AP=mAB+ AC, 3 11 则实数 m 的值为________. 3 答案 (1)D (2) 11 → → → → → → → → → → → → 1→ → 解析 (1)因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN- AB-AM, 4 → 8→ 4 → 所以AB= AN- AM, 5 5 4 所以 λ+μ= . 5 → → (2)设BP=kBN,k∈R. → → → → → 因为AP=AB+BP=AB+kBN 1→ → → → → → → k→ =AB+k(AN-AB)=AB+k( AC-AB)=(1-k)AB+ AC, 4 4 → → 2→ 且AP=mAB+ AC, 11 k 2 所以 1-k=m, = , 4 11 8 3 解得 k= ,m= . 11 11 思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进 )

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行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示 成向量的形式,再通过向量的运算来解决. → → → → → 已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+sAC,则 r+s 的值 是( 2 A. 3 C.-3 答案 D → → → 解析 ∵DB=AB-AD, → → → → → 1→ → ∴CD=AB-DB-AC=AB- CD-AC, 2 3→ → → → 2→ 2 → ∴ CD=AB-AC,∴CD= AB- AC. 2 3 3 2 2 → → → 又CD=rAB+sAC,∴r= ,s=- , 3 3 ∴r+s=0,故选 D. 题型二 平面向量的坐标运算 → → → → → 例 2 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN= -2b, (1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; → (3)求 M、N 的坐标及向量MN的坐标. 解 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ) 4 B. 3 D.0

? ? ?-6m+n=5, ?m=-1, ∴? 解得? ?-3m+8n=-5, ?n=-1. ? ?
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→ → → (3)设 O 为坐标原点,∵CM=OM-OC=3c, → → ∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). → → → ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, → → ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), → ∴N(9,2).∴MN=(9,-18). 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点

的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 1 3 (1)已知平面向量 a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b 等于( 2 2 A.(-2,-1) C.(-1,0) B.(-2,1) D.(-1,2) )

1 → → (2)已知 A(7,1)、B(1,4),直线 y= ax 与线段 AB 交于 C,且AC=2CB,则实数 a=________. 2 答案 (1)D (2)2 1 1 1 3 3 3 解析 (1) a=( , ), b=( ,- ), 2 2 2 2 2 2 1 3 故 a- b=(-1,2). 2 2 → → (2)设 C(x,y),则AC=(x-7,y-1),CB=(1-x,4-y),

?x-7=2?1-x? ?x=3 ? ? → → ∵AC=2CB,∴? ,解得? . ? ? ?y-1=2?4-y? ?y=3
1 ∴C(3,3).又∵C 在直线 y= ax 上, 2 1 ∴3= a· 3,∴a=2. 2 题型三 向量共线的坐标表示 例 3 (1)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________. π (2)(2014· 陕西)设 0<θ< ,向量 a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若 a∥b,则 tan θ=________. 2

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1 答案 (1)(-4,-8) (2) 2 解析 (1)由 a=(1,2), b=(-2,m),且 a∥b, 得 1×m=2×(-2)即 m=-4. 从而 b=(-2,-4), 那么 2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). (2)因为 a∥b,所以 sin 2θ=cos2θ,2sin θcos θ=cos2θ. π 1 因为 0<θ< ,所以 cos θ>0,得 2sin θ=cos θ,tan θ= . 2 2 思维升华 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式:①若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;②若 a∥b(b≠0),则 a=λb. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非 零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. (1)已知梯形 ABCD, 其中 AB∥CD, 且 DC=2AB, 三个顶点 A(1,2), B(2,1), C(4,2), 则点 D 的坐标为________. (2)△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a), 且 p∥q,则角 C=________. 答案 (1)(2,4) (2)60° → → 解析 (1)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,∴DC=2AB. 设点 D 的坐标为(x,y), → 则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), → AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),

?4-x=2, ?x=2, ? ? ∴? 解得? 故点 D 的坐标为(2,4). ? ? ?2-y=-2, ?y=4,
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(2)因为 p∥q, 则(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 所以 a2+b2-c2=ab, a2+b2-c2 1 所以 = , 2ab 2 结合余弦定理知, 1 cos C= ,又 0° <C<180° , 2 所以 C=60° .

忽视平面向量基本定理的条件致误 → → → → → 典例:(12 分)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设 t∈R,如果 3a=c,2b=d,e =t(a+b),那么 t 为何值时,C,D,E 三点在一条直线上? 易错分析 本题利用向量共线的充要条件列出等式后,易忽视平面向量基本定理的使用条件, 出现漏解,漏掉了当 a,b 共线时,t 可为任意实数这个解. 规范解答 → 解 由题设,知CD=d-c=2b-3a, → CE=e-c=(t-3)a+tb.[3 分] → → C,D,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=-3ka +2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.[5 分] ①若 a,b 共线,则 t 可为任意实数;

? ?t-3+3k=0, 6 ②若 a,b 不共线,则有? 解之得 t= .[10 分] 5 ?2k-t=0, ?
综上,可知 a,b 共线时,t 可为任意实数;

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6 a,b 不共线时,t= .[12 分] 5 温馨提醒 平面向量基本定理是平面向量知识体系的基石,在解题中有至关重要的作用,在

使用时一定要注意两个基向量不共线这一条件.

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方法与技巧 1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解. 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键. 2.平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0,则 a∥b 的充要条件是 a=λb,这与 x1y2-x2y1=0 在 本质上是没有差异的,只是形式上不同. (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线,先求由三点组成的任两个向量,然后再按两向量共线进行判定. 失误与防范 1.要区分点的坐标和向量的坐标,向量坐标中包含向量大小和方向两种信息;两个向量共线 有方向相同、相反两种情况. x1 y1 2.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等 x2 y2 于 0,所以应表示为 x1y2-x2y1=0. 3.使用平面向量基本定理时一定要注意两个基向量不共线.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.(2013· 辽宁)已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量 A B 同方向的单位向量为( 3 4? A.? ?5,-5? 4 3? B.? ?5,-5?



)

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3 4? C.? ?-5,5? 答案 A 解析 A B =O B -O A =(4,-1)-(1,3)=(3,-4), ∴与 A B 同方向的单位向量为 4 3? D.? ?-5,5?









3 4 ,- ?. =? 5? → ?5 |A B | AB



→ → → → 2.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5), → 则BC等于( A.(-2,7) C.(2,-7) 答案 B → → → → 解析 BC=3PC=3(2PQ-PA) → → =6PQ-3PA=(6,30)-(12,9) =(-6,21). 3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ 等于( 1 1 A. B. C.1 D.2 4 2 答案 B 解析 ∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4), 1+λ 2 1 且(a+λb)∥c,∴ = ,∴λ= ,故选 B. 3 4 2 → → → → → → 4.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m,使得AB+AC=mAM成立,则 m 等于( ) ) ) B.(-6,21) D.(6,-21)

A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B → → → 解析 ∵MA+MB+MC=0, ∴M 为△ABC 的重心. 连接 AM 并延长交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点.
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→ 2→ ∴AM= AD. 3 → 1 → → 又AD= (AB+AC), 2 → 1 → → ∴AM= (AB+AC), 3 → → → 即AB+AC=3AM,∴m=3,故选 B. → → → → 5.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,OP=xOA+yOB,且BP= → 2PA,则( ) 1 2 B.x= ,y= 3 3 3 1 D.x= ,y= 4 4

2 1 A.x= ,y= 3 3 1 3 C.x= ,y= 4 4 答案 A

→ → → → → → → 2→ → 2 → → 2 → 1 解析 由题意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以OP=OB+ BA=OB+ (OA-OB)= OA+ 3 3 3 3 2 1 → OB,所以 x= ,y= . 3 3 1 1 6.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab≠0)共线,则 + 的值为________. a b 答案 1 2

→ → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2), 依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 → → → 7.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若 A,B,C 三点能构成三角 形,则实数 k 应满足的条件是________. 答案 k≠1 解析 若点 A,B,C 能构成三角形, → → 则向量AB,AC不共线. → → → ∵AB=OB-OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
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→ → → AC=OC-OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. → → → 8.已知 A(-3,0),B(0, 3),O 为坐标原点,C 在第二象限,且∠AOC=30° ,OC=λOA+OB, 则实数 λ 的值为________. 答案 1 → → 解析 由题意知OA=(-3,0),OB=(0, 3), → 则OC=(-3λ, 3), 由∠AOC=30° 知,以 x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为 150° , 3 3 3 ∴tan 150° = ,即- =- ,∴λ=1. 3 3 λ -3λ 9.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; → → (2)若AC=2AB,求点 C 的坐标. → → 解 (1)由已知得AB=(2,-2),AC=(a-1,b-1). → → ∵A、B、C 三点共线,∴AB∥AC, ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. → → (2)∵AC=2AB,∴(a-1,b-1)=2(2,-2),

? ? ?a-1=4 ?a=5 ∴? ,解得? , b - 1 =- 4 b =- 3 ? ? ? ?
∴点 C 的坐标为(5,-3). → → → 10.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,试问: (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?在 y 轴上?在第三象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形,若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → 解 (1)∵OA=(1,2),AB=(3,3), → → → ∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).
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2 若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- ; 3 1 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- ; 3

?1+3t<0, ? 2 若点 P 在第三象限,则? 解得 t<- . 3 ? ?2+3t<0.
→ → (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则OP=AB,

? ?1+3t=3, ∴? ?2+3t=3. ?
∵该方程组无解, ∴四边形 OABP 不能成为平行四边形. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) → → 11.已知 a,b 是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb,λ,μ∈R,那么 A、B、C 三点共线 的充要条件为( A.λ+μ=2 C.λμ=-1 答案 D 解析 ∵A、B、C 三点共线, → → ∴存在实数 t,满足AB=tAC, 即 λa+b=ta+μtb,又 a,b 是不共线的向量, ) B.λ-μ=1 D.λμ=1

? ?λ=t ∴? ,∴λμ=1. 1 = μt ? ?
→ → → → → 12. 在△ABC 中, AB=c, AC=b, 若点 D 满足BD=2DC, 若将 b 与 c 作为基底, 则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 2 1 C. b- c 3 3 3 2 B. c- b 5 3 1 2 D. b+ c 3 3
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)

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答案 A → → → → → → 解析 ∵BD=2DC,∴AD-AB=2(AC-AD), → → → 1 2 ∴AD-c=2(b-AD),∴AD= c+ b. 3 3 1 2 → → → 13.设 D,E 分别是△ABC 的边 AB,BC 上的点,AD= AB,BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1, 2 3 λ2 为实数),则 λ1+λ2 的值为________. 答案 1 2

→ → → 解析 利用平面向量的加、 减法的运算法则将DE用AB, AC表示出来, 对照已知条件, 求出 λ1, λ2 的值即可. → → → 2 → 1→ 由题意得DE=BE-BD= BC- BA 3 2 2 → → 1→ 1→ 2→ = (AC-AB)+ AB=- AB+ AC, 3 2 6 3 1 2 1 于是 λ1=- ,λ2= ,故 λ1+λ2= . 6 3 2 → → → 14.设OA=(-2,4),OB=(-a,2),OC=(b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A,B,C 三点 1 1 共线,则 + 的最小值为________. a b 答案 3+2 2 2

→ → 解析 由已知得AB=(-a+2,-2),AC=(b+2,-4), → → 又AB∥AC,所以(-a+2,-2)=λ(b+2,-4),

?-a+2=λ?b+2?, ? 即? 整理得 2a+b=2, ?-2=-4λ, ?
1 1 1 1 1 1 2a b 1 所以 + = (2a+b)( + )= (3+ + )≥ (3+2 a b 2 a b 2 b a 2 号成立) 2π → → 15.给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角为 .如图所示, 3 2a b 3+ 2 2 · )= .(当且仅当 b= 2a 时, 等 b a 2

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→ → → 点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动.若OC=xOA+yOB,其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值. → 解 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,则 A(1,0),

1 3 B(- , ), 2 2 2π 设∠AOC=α(α∈[0, ]),则 C(cos α,sin α), 3 → → → 由OC=xOA+yOB,

?cos α=x-2y 得? 3 ?sin α= 2 y
所以 x=cos α+

1



3 2 3 sin α,y= sin α, 3 3

π 所以 x+y=cos α+ 3sin α=2sin(α+ ), 6 2π 又 α∈[0, ], 3 π 所以当 α= 时,x+y 取得最大值 2. 3

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