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2017届江西省师大附中、临川一中高三1月联考数学(文)试卷(带解析)

时间:2017-04-11


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2017 届江西省师大附中、临川一中高三 1 月联考数学(文) 试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题
1+

1.若复数 = 1? ,为的共轭复数,则()2017 = ( A. B. ? C. ?22017 D. 22017



2.已知全集 = ,集合 = {|2 ? ? 6 ≤ 0}, = {| +1 ≤ 0},那么集合 ∩ () = ( ) A. [?2,4) B. (?1,3]
3 2

4?

C. [?2, ?1]
1 3

D. [?1,3] ) D. < <

3.设 = log 12, = log1 3, = ( )0.3,则( A. < < B. < < C. < <

4.“微信抢红包”自 2015 年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若 所发红包的总金额为 9 元,被随机分配为 1.49 元,1.31 元,2.19 元,3.40 元,0.61 元, 共 5 份,供甲、乙等 5 人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于 4 元的概率是( ) A.
1 2

B.

2 5

C.

3 4

D.

5 6

5.以下四个命题中,正确的个数是( ) ①命题“若()是周期函数,则()是三角函数”的否命题是“若()是周期函数,则 ()不是三角函数”; ②命题“存在 ∈ , 2 ? > 0”的否定是“对于任意 ∈ , 2 ? < 0”; ③在中, “sin > sin”是“ > ”成立的充要条件; ④命题: ≠ 2或 ≠ 3,命题: + ≠ 5,则是 的必要不充分条件; A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.已知()为奇函数,函数()与()的图像关于直线 = + 1对称,若(1) = 4,则 (?3) =( ) A. 2 B. ?2 C. ?1 D. 4 7..如图,网格纸上小正方形边长为 1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体表面积为 ( )

试卷第 1 页,总 4 页

A. 10 + 5 B. 7 + 3 5 C. 8 + 5 D. 8 8.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 = 3,则输出的的值是 (



A. 6 B. 21 C. 156 D. 231 9.已知数列{}、{}满足 = log2 , ∈ +,其中{}是等差数列,且9 2009 = 4,则 1 + 2 + 3 + ? … + 2017 =( ) A. 2017 B. 4034 C. log2 2017
?

D.

2017 2

10. 在直角△ 中,∠ = 90 , = = 1,P 为 AB 边上的点 = ,若 ? ≥ ? ,则 的最大值是( ) A. 1 B.
2? 2 2

C.

2 2

D.

2

11.抛物线2 = 2 ( > 0)的焦点为,准线为 ,, 是抛物线上的两个动点,且满足

∠ = 2.设
A. 3 B.
3 2



线段的中点 在 上的投影为 ,则 C. 2
1

||

| |

的最小值是( )

D. 2
1

12.已知函数() = ( ≤ ≤ 2 ),与函数() = ()2 ,若()与()的图象上分别 存在点 , ,使得 关于直线 = 对称,则实数的取值范围是( A. [? , ]
1

) .

B. [? , 2]

2

C. (? , 2)

2

D. [? , 3]

3

试卷第 2 页,总 4 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.若函数() = |2 ? 2| ? 有两个零点,则实数的取值范围是______________.

≤ 14. 已知变量, 满足约束条件{ ≤ 2 , 则 = ? 2的取值范围是______________ . 6 ≤ +
15.已知圆: 2 + 2 + 8 + 15 = 0,若直线 = ? 2上至少存在一点,使得以该点为 圆心,1 为半径的圆与圆有公共点,则实数的取值范围为______________. 16 .已知 点为 的重心,设 的内角 ?,??,?的对边分别为 ?,??,? 且满足
2 = cos

⊥ ,若

,则实数=________

评卷人

得分 三、解答题
1

17.已知向量 = (cos, ?1), = ( 3sin, ? 2),函数() = ( + ) ? ? 2. (1)求函数()的最小正周期及单调递增区间; (2) 在△ 中, 三内角, , 的对边分别为, , , 已知函数()的图象经过点(,? ), b、 a、
2 1

c 成等差数列,且 · = 9,求 a 的值. 18 . 为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“ 奔 跑 吧 兄 弟 ”是否与性别有关,一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了50人进行问卷调 查,得到了如下的列联表: 喜欢看“奔跑吧兄弟” 女生 男生 合计 10 50 不喜欢看“奔跑吧兄弟” 5 合计

若该教师采用分层抽样的方法从50份问卷调查中继续抽查了10份进行重点分析,知道 其中喜欢看“奔跑吧兄弟”的有6人. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关?说明你的理由; (3)已知喜欢看“ 奔 跑 吧 兄 弟 ”的10位男生中, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 还喜欢看新闻, 1 , 2 , 3 还喜欢看动画片, 1 , 2 还 喜欢看韩剧,现再从喜欢看新闻、动画片和韩剧的男生中各选出1名进行其他方面的调 查,求1 和1 不全被选中的概率. 下面的临界值表供参考: P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

试卷第 3 页,总 4 页

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(参考公式:2 = (+)( +)(+)(+) , = + + + ) 19.如图, ? 1 1 1是底面边长为 2,高为 2 的正三棱柱,经过的截面与上
3

(? )2



面相交于, 设C1 P = 1 1 (0 < < 1). (1)证明:// 1 1; (2) 当 ⊥ 平面时, 在图中作出点 C 在平面内的正投影 (说明作法及理由) , 并求四棱锥表面积 20. 已知右焦点为的椭圆 : 2 +
2 2
3

= 1( > 3)与直线 =

3 7

?相交于、 两点, 且 ⊥ .

(1)求椭圆 的方程; (2)为坐标原点,,,是椭圆上不同的三点,并且为的重心,试探究的 面积是否为定值, 若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

21 . 已 知 函 数 () = + ln , 在 x=1 处 的 切 线 与 直 线 + 2 = 0 垂 直 , 函 数

() = () + 2 2 ? .
(1)求实数的值; (2)设1 , 2 (1 < 2 ) 是函数()的两个极值点,记 = 1,若 ≥ ,
3

1

2

13

① 的取值范围;②求(1 ) ? (2 ) 的最小值. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,已知曲线?:{ = 3cos (为参数) ,在以原点为极点,轴 = sin 的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 cos( + ) = ?1.
2 4 2



(1)求圆的普通方程和直线 的直角坐标方程; (2)过点 (?1,0)且与直线 平行的直线 1 交于,两点,求点 到,两点的距离之 积. 23.选修 4-5:不等式选讲 (1) 设函数() = | ? 2| + | + |, 若关于的不等式() ≥ 3在上恒成立, 求实数的 取值范围; (2)已知正数, , 满足 + 2 + 3 = 1,求 + + 的最小值.
3 2 1

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.B 【解析】 解析:因 = 1? =
1+ (1+ )2 2

= ,则 = ? ,故()2017 = (? )2017 = ? ,应选答案 B。

2.D 【解析】 解 析 : 因 = {| ? 3 < < 2}, = {| < ?1 或 ≥ 4} , 故 = {| ? 1 ≤ < 4} , 所 以 ∩ () = {| ? 1 ≤ ≤ 3},应选答案 D。 3.C 【解析】 解析: 因 < 0, < 0, > 0, 故log1 3 < log1 2 < log1 2, 即 < , 所以 < < , 应选答案 C。
2 2 3

4.B 【解析】 解析:因甲乙两人从五份红包中随机取两份的可能有2 5 = 10种,其中所抢得的金额之和大 于等于4的可能有(0.61,3.40), (1.49,3.40), (2.19,3.40), (1.49,2.19),共四种,故甲、乙二人抢到 的金额之和不低于 4 元的概率是 = 10 = 5,应选答案 B。 5.C 【解析】 解析:由否命题的构成可知原命题的条件和结论都要否定,故命题①是错误的;命题“存在 ∈ , 2 ? > 0 ” 的 否 定 是 “ 对 于 任 意 ∈ , 2 ? ≤ 0 ” , 故 命 题 ② 也 是 错 误 的 ; 因 sin > sin ? > ? > ,故命题③是正确的;因“若 = 2且 = 3,则 + = 5”是真命 题,故命题④是正确的,应选答案 C。 6.B 【解析】 解析: 由题意设(1,4)关于 = + 1的对称点/ (, ), 则{
4 2

+ 5 = + 1 + 2 = 3 ? 4 = ?( ? 1) ,解之得{ = 2,

则/ (3,2)在函数 = ()的图像上,故(3) = 2,则(?3) = ?2,应选答案 B。 7.B 【解析】 解析:由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥,其表面积

= 2 × 2 × 2 + 2 × 2 × 2 + 2 × 2 × 5 + 2 × 3 × 1 + 2 × 5 = 7 + 3 5,应选答案 B。

1

1

1

1

8.D 【解析】
答案第 1 页,总 6 页

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解析:从题设中提供的算法流程图可以看出:当 = 3时,运行结果是 = 6;当 = 6时,运 行结果是 = 21;当 = 21时,运行结果是 = 231 > 100,结束算法,应选答案 D。 9.A 【解析】 解析:由题设可得log2 9 + log2 2009 = 2,即9 + 2009 = 2,由等差数列的通项的性质可得

9 + 2009 = 1 + 2017 = 2, 所以1 + 2 + 3 +· · ·+2017 =
10.A 【解析】

2017(1 +2017 ) 2

= 2017, 应选答案 B。

解 析 : 因 = ? = ? , = ? = ? , 故 由 ? ≥ ? 可 得 2 ? 1 ≥ ?2(1 ? ), 即2 ? 1 ≥ ?2 + 22, 也即2 ? 2 ≤ ? , 解之得1 ?
2 1 2 2

≤ ≤ 1 +

2 2



由于点 ∈ ,所以1 ? 11.C 【解析】 解析:因|| = ||2 + ||2 ≤ 12.B 【解析】

2 2

≤ ≤ 1,应选答案 A。

||2 + ||2 , | | = [|| + ||],故
2 2 2

1

|| | |

=

2 ||2 +||2 ||+||

,由基本不等式可得

[|| + ||]即

|| | |

=

2 ||2 +||2 ||+||

≤ 2,应选答案 C。

解析:由题设问题可化为函数 = ()的反函数 = log 1 的图像与() = 在区间[ , 2 ]上


1



有解的问题。 即方程 = log 1 在区间[ , 2 ]上有解, 由此可得?4 ≤ ≤ 2, 即? ≤ ≤ ,


1

4

2

所以? ≤ ≤ 2,应填答案[? , 2]。


2

2

13.(0,??2) 【解析】 解析:由题设可知方程 = |2 ? 2|有两个实数根,结合图形可知当0 < < 2时,两函数图 像有两个交点,应填答案(0,2)。 14. 【解析】 解析: 画出不等式组表示的区域, 结合图形可知当动直线 = 2 ? 2 经过定点(0,0), (2,4)时, 动直线 = 2 ? 2 在轴上的截距? 2 分别取最小值和最大值,取最大值0和最小值?6,则
1 1 1 1 1

= ? 2的取值范围是[?6,0],应填答案[?6,0]。
15.[? 3 , 0] 【解析】 解 析 : 因 圆 : ( + 4)2 + 2 = 1 的 圆 心 坐 标 为 (?4,0) , 由 题 设 可 知 圆 心 (?4,0) 到 直 线
答案第 2 页,总 6 页
4

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= ? 2的距离 =
应填答案[? , 0]。
3 4

|?4?2|

+1

2

≤ 1 + 1, 解之得? ≤ ≤ 0, 则实数 的取值范围是? ≤ ≤ 0,
3 3

4

4

16.2 【解析】 解析:由题设可得2 + 2 = 52 ,代入余弦定理可得cos = 又2 = cos,则 = 2,应填答案2。 17. (1)[ ? , + ]( ∈ )(2) = 3 2
3 6 1 1

1

2 + 2 ?2 2

=

22



,则 cos = 22 ,





【解析】 试题解析:() = ( + ) ? ? 2 = ||2 + ? ? 2 = 2 cos2 + ( 1 )最小正周期: =

6 2 2 1 3 2

sin2 = sin(2 + 6)

3



= 由 2 ? ≤ 2 + ≤ 2 + ( ∈ ) 得: ? ≤ ≤ +
2 6 2







( ∈ )


所以()的单调递增区间为:[ ? 3 , + 6]( ∈ ); (2)由() = sin(2 + 6) = 2可得:2 + 6 = 6 + 2或 又因为, , 成等差数列,所以2 = + , 而 ? = cos = = 9, ∴ = 18
2 1



1





5 6

+ 2( ∈ )所以 = 3,



∴ cos = 2 =

1

(+ )2 ?2 2

?1=

42 ?2 36

? 1 = 12 ? 1, ∴ = 3 2.
5

2

18. (1)详见解析, (2)有99.5%的把握, (3)6. 【解析】 (1)由分层抽样知识知,喜欢看“奔跑吧兄弟”的同学有 50 × 吧兄弟”的同学有50 ? 30=20人,于是可将列联表补充如下: 喜欢看“快乐大本营” 女生 男生 合计 20 10 30 不喜欢看“快乐大本营” 5 15 20 合计 25 25 50
6 10

=30人,故不喜欢看“奔跑

答案第 3 页,总 6 页

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(2)∵ 2 =

50(20× 15?10× 5)2 30× 20× 25× 25

≈ 8.333 > 7.879

∴有99.5%的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关. 从喜欢看“奔跑吧兄弟”的10位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各 1 名 , 其 一 切 可 能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 共 有 = 5 × 3 × 2 = 30 个 , 用 表示“1 , 1 不全被选中”这一事件,则其对立事件 表示“1 , 1 全被选中”这一事件, 由于 由 (1 , 1 , 1 ), (2 , 1 , 1 ), (3 , 1 , 1 ), (4 , 1 , 1 ), (5 , 1 , 1 ) 5 个 基 本 事 件 组 成 , 所 以

( )= = 30 6
由对立事件的概率公式得( ) = 1 ? ( ) = 6. 19. (1)详见解析, (2)2 3 + 6 【解析】 ( I )∵平面 // 平面 1 1 1 ,平面 ∩ 平面 = ,平面 ∩ 平面 1 1 1 = , ∴ //, ,又∵ //1 1 , ∴ //1 1. (Ⅱ)点是中点,理由如下: 当 = 时,, 分别是1 1 , 1 1的中点,连接和, 因为 ? 1 1 1
2 1 5

5

1

是正三棱柱,所以 = , ∴ ⊥ , 取中点 ,连接, , = 3在等腰梯形中, = 连接中, =
6 2 2 2 ∴ 2 + = ∴ ⊥ , 6 2



∵ ∩ = , ∴ ⊥平面 ABF,即 ⊥ 平面, 所以点是在平面内的正投影。

= + + + + = 2 3 + 6
20. (1) 【解析】 (1)设( , 0),( , 7)?,则(? , 7) , ∴
2 2
3 3

(2)

9 2

+ = 1?,即 2 = 2 ,①
7 7
3 7

3

4

∵ ⊥ ,∴

?
4

·?

3 7

? ? 9

= ?1,即 2 ? 2 = ? ,②
7

9

∴由①②得 2 ? 7 2 = ? 7, 又2 ? 2 = 3,∴ 2 = 4, ∴椭圆 的方程为 4 +
2 2
3

= 1.

(2)设直线方程为: = + ?,
2 1 + 2 = 3+42 2 由{ 4 + 3 = 1 得(3 + 42 )2 + 8 + 4 ? 12 = 0,∴ { 6 ? 1 + 2 = 3+42 = + ? 2
?8

答案第 4 页,总 6 页

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? ∵ 为重心,∴ = ?( + )? = (3+42 , 3+42 ), ∵ 点在椭圆上,故有
2 可得4 = 42 + 3, (
8 2 ) 3+42

8

?6

4

+ ??

(

?6 2 ) 3+42

3

= 1?,

而|| =

1 + 2 (3+42 )2 ? 4( 3+42 )2 =
|3 | 1+2

?8

2 4 ?12

4 1+2 3+42

2 122 + 9 ? 3 ?,

点到直线的距离 = ∴ = || · =
2 1 6| | 3+42

(是原点到距离的 3 倍得到) ,
6| |
2 4

2 122 + 9 ? 3 =

2 2 12 ? 3 = , 2 9 2

9

当直线斜率不存在时,|| = 3, = 3?, = , ∴ 的面积为定值2. 21. (1)1(2) ? 2ln3
9 40 9

【解析】 试题解析:′ () = 1 + = 2 ? = 1. (2)由() = () + 2 ? ? ′ () =
2 ′ 2 1

2 ?(?1)+1

() = 0, ? ( ? 1) + 1 = 0 ? 1 + 2 = ? 1, 1 2 = 1
(1 +2 )2

1 2

= ( ? 1)2 ≥

100 9

?

1 2

+2+

2 1



100 9 1

由1 < 2 得0 < = 1 < 1 ,解上面不等式得0 < ≤ 9
2



( ) = ln ? 2 ( ? ) ? ′ ( ) = ?

1

1

( ?1)2



<0 1 9 40 ? 2ln3 9

( )min = ( ) =
22. (1) ? + 2 = 0(2)1 【解析】

(Ⅰ)曲线化为普通方程为: + 2 = 1,由 cos( + ) = ?1,得cos ? sin = ?2,所
3 2 4

2

2



以直线 的直角坐标方程为 ? + 2 = 0. (2)直线 1 的参数方程为{

= ?1 + =
2 2

2 2

,

.

( 为参数) ,代入 3 + 2 = 1化简得:

2

2 2 ? 2 ? 2 = 0,得 1 2 = ?1,∴| | ? | | = | 1 2 | = 1. 23. (1) ≤ ?5 或 ≥ 1(2)16 + 8 3 【解析】 (1) () = | ? 2| + | + | ≥ | ? 2 ? ? | = | + 2| ∵原命题等价于()min ≥ 3,| + 2| ≥ 3,∴ ≤ ?5 或 ≥ 1. (2)由于, , > 0,所以 + + = ( + 2 + 3)( + + )

3 2 1 3 2 1

答案第 5 页,总 6 页

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≥ ( 当且仅当 3 =


3



+ 2

2



+ 3

1 2 ) = ( 3 + 2 + 3)2 = 16 + 8 3





2
2

=

3
1

,即: : = 3: 3: 1时,等号成立.





∴ + + 的最小值为16 + 8 3.

3

2

1

答案第 6 页,总 6 页


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