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单调性拓展应用——构造函数法证明

时间:2012-09-21


阜阳市红旗中学

一、构造一次函数
例1 . 已知 a , b , c ∈ ( - 1 ,1 ), 求证 : abc + 2 > a + b + c

例 2. 已知 x , y , z ∈ ( 0 ,1 ), 求证 : x ( 1 - y ) + y ( 1 - z ) + z ( 1 - x ) < 1

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二、构造二次函数
例 3. 已知 a , b , c ∈ R , A + B + C = ? 求证 :a
2

+ b

2

+ c

2

≥2 ab cos C + 2 bc cos A + 2 ac cos B

例 4. 已知 a , b , c ∈ R , a > 0 , a - b + c < 0 求证 :b
2

- 4 ac > 0

思考 : 已知 P 为 ? ABC 内一点 ,B C

= a , CA = b , AB = c , 点 P 到 d 1 ,d 2 ,d 3 .
2

? ABC 三边 BC ,C , 和 AB 的距离分别为
求证 :N = a d1 + b d2 + c d3 ≥ (a + b + c ) 2 S ? ABC

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例 5. 已知 p =

sin x - 2 cos x - 2

, 求证 :

1 3

(4-

7 ) ≤p ≤ ( 4 + 3

1

7 )

三、构造分式函数
例6. 已知 a , b , m ∈ R , 并且 a < b , 求证 :
+

a+m b+m

>

a b

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三、构造指数函数
例 7. 已知 a , b , c 为三角形的三边 求证 :n 为大于 2的正整数时

, 且a ,a
n

2

+b +b

2

= c < c

2

n

n

四、构造对数函数
例 8 .设 m > n > e , 求证 : ln m m < ln n n

例 9 .证明 : log

1999

1998 >

1997 1998

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五、构造三角函数
例 10 .在锐角三角形 ABC 中 , 求证 : sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C 例 11 .在 ? ABC 中 , 求证 : sin A + sin B + sin C ≤ 3 2 3

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六、构造复合函数
例 12 . x > 0时 , 证明不等式 当 x 1 2 x
2



< ln( 1 + x ) < x

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证明 : ? S ? ABC =
∴ N = a

ad 1 + bd 2 + cd 2
+ b d2 + c d3 )?(

3

>0
(a + b + c ) 2 S ? ABC
2

≥ a d1

可化为 :

d1
2

( ad

1

+ bd

+ cd

3

+

b d2

+

c d3

) ≥( a + b + c )

2

故可令 : f ( x ) = ( ad 1 + bd
2

+ cd

3

)t + ( a + b + c )t + (

2

a d1
a d1

+

b d2
b d2

+

c d3
c d3

)

而 f ( x ) = ( ad

1

+ bd

2

+ cd

3

)t

2

+ ( a + b + c )t + (

+

+

)

= ( ad 1 t +

a d1

) + ( bd 2 t +

2

b d2

) + ( cd
a d1 b d2

2

3

+
c

c d3

)

2

≥0

∴?

= [ 2 ( a + b + c )] - 4 ( ad 1 + bd 2 + cd 3 ) ? (

2

+

+

d3

) ≤0


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