nbhkdz.com冰点文库

2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测49 空间向量的应用]

时间:2015-04-11


课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1. (2013· 石家庄模拟)如图, 已知三棱柱 ABC ⊥底面 ABC. (1)若 M,N 分别是 AB,A1C 的中点,求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)若三棱柱 ABC A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱 BB1 与底面 ABC A1B1C1, 侧面 BCC1B1

所成的角为 60° , 问在线段 A1C1 上是否存在一点 P, 使得平面 B1CP⊥平面 ACC1A1?若存在, 求 C1P 与 PA1 的比值,若不存在,说明理由.

2.(2014· 浙江联考)如图,AB 为圆 O 的直径,点 E,F 在圆 O 上, AB∥EF, 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直.已知 AB =2,EF=1. (1)求证:平面 DAF⊥平面 CBF; (2)求直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小; (3)当 AD 的长为何值时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60° ?

3.(2014· 福州质检)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂 直,BE∥CF,BC⊥CF,AD= 3,EF=2,BE=3,CF=4. (1)求证:EF⊥平面 DCE; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 AEFC 的大小为 60° .

第Ⅱ卷:提能增分卷

1.(2013· 荆州模拟)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=3 5,AD=6,BD 是对角线,过 点 A 作 AE⊥BD,垂足为 O,交 CD 于 E,以 AE 为折痕将△ADE 向上折起,使点 D 到点 P 的位置,且 PB= 41.

(1)求证:PO⊥平面 ABCE; (2)求二面角 EAPB 的余弦值.

2.(2014· 武汉模拟)如图,在四棱锥 S ABCD 中,底面 ABCD 是直角 梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD =1.M 是棱 SB 的中点. (1)求证:AM∥平面 SCD; (2)求平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值; (3)设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与平面 SAB 所成的角为 θ,求 sin θ 的最大值.

3.(2014· 北京西城二模)如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角 形 ABE 所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC, EA⊥EB. (1)求证:AB⊥DE; (2)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; EF (3)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC∥平面 FBD?若存在,求出 ;若不存在,请说明 EA

理由.

答 案

第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.解:(1)证明:连接 AC1,BC1,则 AC1∩A1C=N,AN=NC1, 因为 AM=MB, 所以 MN∥BC1. 又 BC1?平面 BCC1B1, 所以 MN∥平面 BCC1B1. (2)作 B1O⊥BC 于 O 点,连接 AO, 因为平面 BCC1B1⊥底面 ABC, 所以 B1O⊥平面 ABC, 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0, 3, 0),B(-1,0,0),C(1,0,0), B1(0,0, 3). 由 AA1 = CC1 = BB1 ,可求出 A1(1, 3, 3),C1(2,0, 3), 设点 P(x,y,z), A1C1 =λ A1 P . 1 3 则 P? +1, 3- , 3?, λ ?λ ? 1 3 CP =? λ, 3- λ , 3?, ? ?

CB1 =(-1,0, 3).
设平面 B1CP 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),

? CP =0 ?n1· 由? , CB1 =0 ?n1· ?

1+λ ? ? ,1 . 令 z1=1,解得 n1=? 3, 1-λ ? ? ? 同理可求出平面 ACC1A1 的法向量 n2=( 3,1,-1). 1+λ 由平面 B1CP⊥平面 ACC1A1,得 n1· n2=0,即 3+ -1=0,解得 λ=3,所以 A1C1 1-λ =3A1P,从而 C1P∶PA1=2. 2.解:(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF, CB⊥AB,平面 ABCD∩平面 ABEF=AB, ∴CB⊥平面 ABEF, ∵AF?平面 ABEF,∴AF⊥CB, 又 AB 为圆 O 的直径, ∴AF⊥BF,又 BF∩CB=B, ∴AF⊥平面 CBF. ∵AF?平面 ADF,∴平面 DAF⊥平面 CBF. (2)由(1)知 AF⊥平面 CBF, ∴FB 为 AB 在平面 CBF 内的射影, 因此,∠ABF 为直线 AB 与平面 CBF 所成的角. ∵AB∥EF,∴四边形 ABEF 为等腰梯形, 过点 F 作 FH⊥AB,交 AB 于 H. AB-EF 1 已知 AB=2,EF=1,则 AH= = . 2 2 在 Rt△AFB 中,根据射影定理得 AF2=AH· AB,∴AF=1, AF 1 sin∠ABF= = ,∴∠ABF=30° . AB 2 ∴直线 AB 与平面 CBF 所成角的大小为 30° . (3)设 EF 中点为 G,以 O 为坐标原点, OA , OG , AD 方向分别 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图).设 AD=t(t>0), 则点 D 的坐标为 (1,0 , t) , C( - 1,0 , t) ,又 A(1,0,0) , B( - 1,0,0) , 1 3 F? , ,0?, ?2 2 ? 1 3 ∴ CD =(2,0,0), FD =? ,- ,t?, 2 ?2 ?

FD =0. CD =0,n1· 设平面 DCF 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1·
2x=0 ? ? 即?x ,令 z= 3, 3 - y+tz=0 ? ?2 2

解得 x=0,y=2t,∴n1=(0,2t, 3). 1 3 由(1)可知 AF⊥平面 CFB,取平面 CBF 的一个法向量为 n2= AF =?- , ,0?, ? 2 2 ? 依题意,n1 与 n2 的夹角为 60° . n1· n2 ∴cos 60° = , |n1|· |n2| 1 3t 6 即 = ,解得 t= . 2 2 4 4t +3· 1 因此,当 AD 的长为 6 时,平面 DFC 与平面 FCB 所成的锐二面角的大小为 60° . 4

3.解:(1)证明:在△BCE 中,BC⊥BE, BC=AD= 3,BE=3,∴EC=2 3, 在△FCE 中,CF2=EF2+CE2,∴EF⊥CE. 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB, ∴DC⊥EF, 又 DC 与 EC 相交于 C,∴EF⊥平面 DCE. (2)如图, 以点 C 为坐标原点,以 CB, CF 和 CD 分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C xyz. 设 AB=a(a>0),则 C(0,0,0),A( 3,0,a),B( 3,0,0),E( 3, 3,0), F(0,4,0), 从而 EF =(- 3,1,0), AE =(0,3,-a). 设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z), 由 EF · n=0, AE · n=0,

?- 3x+y=0, 得? 取 x=1, ?3y-az=0,
3 3 3 3? 则 y= 3,z= ,即 n=?1, 3, . a a ? ? 不妨设平面 EFCB 的法向量为 BA =(0,0,a), 由条件得 |cos〈n, BA 〉|=? 9 所以当 AB= 时, 2 二面角 A-EF-C 的大小为 60° .

? n· BA ? 3 3 1 9 = ,解得 a= . ?= 2 2 2 4a +27 ?|n|| BA |?

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)证明:由已知得 AB=3 5,AD=6, ∴BD=9. DO AD 在矩形 ABCD 中,∵AE⊥BD,∴Rt△AOD∽Rt△BAD,∴ = ,∴DO=4,∴BO AD BD =5. 在△POB 中,PB= 41,PO=4,BO=5, ∴PO2+BO2=PB2, ∴PO⊥OB.又 PO⊥AE,AE∩OB=O, ∴PO⊥平面 ABCE. (2)∵BO=5, ∴AO= AB2-OB2=2 5. 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 P(0,0,4), A(2 5,0,0), B(0,5,0).

PA =(2 5,0,-4), PB =(0,5,-4),
设 n1=(x,y,z)为平面 APB 的法向量. 则?

?n1· PA =0,

?2 5x-4z=0, 即? ?5y-4z=0. PB =0, ?n1·

取 x=2 5得 n1=(2 5,4,5), 又 n2=(0,1,0)为平面 AEP 的一个法向量, ∴cos〈n1,n2〉= n1· n2 4 4 61 4 61 = = ,故二面角 EAPB 的余弦值为 . |n1|· |n2| 61 61 61×1

2.解:(1)证明:以点 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1). 则 AM =(0,1,1), SD =(1,0,-2), CD =(-1,-2,0). 设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z), 则?

? SD · n=0,

? ?x-2z=0, 即? ?-x-2y=0. ? n=0, ? CD ·

令 z=1,则 x=2,y=-1, 于是 n=(2,-1,1). ∵ AM · n=0,∴ AM ⊥n.又 AM?平面 SCD,

∴AM∥平面 SCD. (2)易知平面 SAB 的一个法向量为 n1=(1,0,0). 设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为 φ, 则|cos φ|= = n1· n |n1|· |n|

?1,0,0?· ?2,-1,1? 2 6 6 = = ,即 cos φ= . 3 1· 6 1· 6 3 6 . 3

∴平面 SCD 与平面 SAB 所成二面角的余弦值为 (3)设 N(x,2x-2,0)(x∈[1,2]), 则 MN =(x,2x-3,-1). 又平面 SAB 的一个法向量为 n1=(1,0,0), ∴sin θ=? = = ?1,0,0?? ??x,2x-3,-1?· ? 2 2 1 ? ? x +?2x-3? +?-1?2·

x 5x -12x+10
2

1 1 1 5-12·+10·2 x x 1 12 1 10 -12 +5 x x 1 . 1 32 7 10 - + x 5 5





1 3 5 35 当 = ,即 x= 时,(sin θ)max= . x 5 3 7 3.解:(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 EO,DO. 因为 EB=EA,所以 EO⊥AB. 因为四边形 ABCD 为直角梯形. AB=2CD=2BC,AB⊥BC, 所以四边形 OBCD 为正方形,所以 AB⊥OD. 因为 EO∩DO=0. 所以 AB⊥平面 EOD,所以 AB⊥ED. (2)因为平面 ABE⊥平面 ABCD,且 EO⊥AB, 所以 EO⊥平面 ABCD,所以 EO⊥OD. 由 OB,OD,OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O- xyz.

因为三角形 EAB 为等腰直角三角形, 所以 OA=OB=OD=OE,设 OB=1, 所以 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),E(0,0,1).所以 EC =(1,1,-1), 平面 ABE 的一个法向量为 OD =(0,1,0). 设直线 EC 与平面 ABE 所成的角为 θ, | EC · OD | 3 所以 sin θ=|cos〈 EC , OD 〉|= = ,即直线 EC 与平面 ABE 所成角的 | EC || OD | 3 正弦值为 3 . 3

EF 1 (3)存在点 F,且 = 时,有 EC∥平面 FBD.证明如下: EA 3 1 1? 1 由 EF = EA =? ?-3,0,-3?, 3 1 2? 2? ?4 F? ?-3,0,3?,所以 FB =?3,0,-3?, BD =(-1,1,0). 设平面 FBD 的法向量为 v=(a,b,c), -a+b=0, ? ? v· BD =0, ? 则有? 所以?4 2 FB =0, ? ? v· ?3a-3c=0, 取 a=1,得 v=(1,1,2). 因为 EC · v=(1,1,-1)· (1,1,2)=0, 且 EC?平面 FBD,所以 EC∥平面 FBD, EF 1 即点 F 满足 = 时,有 EC∥平面 FBD. EA 3


2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测49 空间....doc

2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测49 空间向量的应用] - 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1...

2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:49 空....doc

2015届高考数学(理)一轮复习达标课时跟踪检测:49 空间角的求法含答案 - 课时跟踪检测(四十九) 空间角的求法 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷...

...第一轮复习达标课时跟踪检测:50 空间向量的应用含答....doc

2015届高考数学(理)一轮复习达标课时跟踪检测:50 空间向量的应用含答案 - 课时跟踪检测(五十) 空间向量的应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷...

2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测49 空间....doc

2015届高三数学(理)湘教版一轮复习课时跟踪检测49 空间向量的应用] - 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1...

2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:48 空....doc

2015届高考数学(理)一轮复习达标课时跟踪检测:48 空间向量及其运算和空间位置关系含答案 - 课时跟踪检测(四十八) 空间向量及其运算和空间位置关系 第Ⅰ组:全员...

2016届高考数学大一轮复习空间向量的应用课时跟踪检测(....doc

2016高考数学大一轮复习空间向量的应用课时跟踪检测(四十九)理(含解析) - 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分 A、B 卷,共 2 页) A 卷:夯基保分...

届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(四十九)空间向量的....doc

高考数学一轮总复习课时跟踪检测(四十九)空间向量的应用理新人教版【含答案】 - 课时跟踪检测(四十九) 一保高考,全练题型做到高考达标 空间向量的应用 1....

高三数学(理)湘教版一轮复习配套课件第7章 第7节 第2课....ppt

高三数学(理)湘教版一轮复习配套课件第7章 第7节 第2课时 空间向量的应用 - 第七节 立体几何中的空间向量方法 第二课时 空间向量的应用 探索存在性问题在...

考数学大一轮复习空间向量的应用课时跟踪检测(四十九)....doc

数学大一轮复习空间向量的应用课时跟踪检测(四十九)理(含解析) - 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分 A、B 卷,共 2 页) A 卷:夯基保分 1. (...

【志鸿优化】2015届高三数学(理)一轮课时作业:8.7 空间....doc

【志鸿优化】2015届高三数学(理)一轮课时作业:8.7 空间向量的应用]_高中教育_教育专区。【志鸿优化】2015届高三数学(理)一轮课时作业:8.7 空间向量的应用] ...

2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测四十四 空间向量....doc

2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测四十四 空间向量的运算及应用重点高中 含解析 精品 - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (二)重点高中适用作业 ...

2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测四十四 空间向量....doc

2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测四十四 空间向量的运算及应用普通高中 含解析 精品_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (...

届高考数学一轮复习课时跟踪检测四十四空间向量的运算....doc

高考数学一轮复习课时跟踪检测四十四空间向量的运算及应用理重点高中(含答案) - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (二)重点高中适用作业 A 级...

届高考数学一轮复习课时跟踪检测四十四空间向量的运算....doc

高考数学一轮复习课时跟踪检测四十四空间向量的运算及应用理普通高中(含答案) - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (一)普通高中适用作业 A 级...

19届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量的....doc

19高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量的运算及应用理(普通高中) - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (一)普通高中适用作业 A 级...

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量....doc

2019高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量的运算及应用理(普通高中) - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (一)普通高中适用作业 A 级...

2019届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量....doc

2019高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十四)空间向量的运算及应用理(重点高中) - 课时跟踪检测(四十四) 空间向量的运算及应用 (二)重点高中适用作业 A 级...

8-6空间向量的应用(一轮复习)_图文.ppt

8-6空间向量的应用(一轮复习) - 名师伴你行 高考一轮总复习 数学(理) 基础分层导学 题型重点研讨 必考部分 真题演练集训 课时跟踪检 ...

...高考数学大一轮复习 空间向量的应用课时跟踪检测(四....doc

【三维设计】(新课标)2016高考数学大一轮复习 空间向量的应用课时跟踪检测(四十九)理(含解析)_数学_高中教育_教育专区。课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用...

...高考数学大一轮复习 空间向量的应用课时跟踪检测(四....doc

三维设计(新课标)2016高考数学大一轮复习 空间向量的应用课时跟踪检测(四十九)理(含解析) - 课时跟踪检测(四十九) 空间向量的应用 (分 A、B 卷,共 2 页...