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高考数学(新课标)考点汇总精析:考点17 解三角形应用举例

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考点 17 解三角形应用举例
一、选择题 1.(2014·浙江高考文科·T10)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射 击训练,已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动,此人为了准确 瞄准目标点 P, 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 ? 的大小 (仰角 ? 为直线 AP 与平面 ABC 所成角) 。 若 AB ? 15m , AC ? 25m , ?BCM ? 30? 则 tan ? 的最大值(
30 A. 5 30 B. 10 4 3 C. 9



5 3 D. 9

【解析】选 D. 由勾股定理可得, BC ? 20 ,过 P 作 PP? ? BC ,交 BC 于 P? ,连结 AP? ,



tan ? ?

PP? 3 PP? ? CP? tan 30? ? x AP? ,设 CP? ? x ,则 3

在 Rt△ABC 中,AB=15m,AC=25m,所以 BC=20m
cos ?BCA ?

所以

4 4 AP? ? 625 ? x2 ? 2 ? 25x ? 5 5 ,所以

? x2 ? 40x ? 625 ,
3 3 3 x 3 3 3 ? ? 2 40 625 25 4 9 x ? 40 x ? 625 1? ? 2 ( ? )2 ? x x x 5 25

tan ? ?

所以

3 3 ?5 3 25 4 125 3 9 ? x? 4 时, tan ? 取得最大值为 5 当 x 5 ,即
2.(2014·四川高考文科·T8)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分 别为 75? , 30? ,此时气球的高是 60cm ,则河流的宽度 BC 等于( )

A. 240( 3 ?1)m

B. 180( 2 ?1)m

C. 120( 3 ?1)m

D. 30( 3 ? 1)m

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可. ACD 中, AC ? 120 m,在 ?ABC 【解析】选 C.记气球的高度为 AD ,交 CB 延长线于 D ,在 Rt ? 中,由正弦定理知, BC ?
AC 120 60 ? 2 ? sin ?BAC ? ? sin 45? ? ? sin ?ABC sin 75 sin(30? ? 45? )

? 120( 3 ?1) m.
二、填空题: 3. (2014·浙江高考理科·T17)如图,某人在垂直于水平地面 行射击训练. 已知点 到墙面的距离为 , 某目标点 沿墙面的射击线 的墙面前的点 处进 移动, 此人为了准确瞄 则

准目标点 ,需计算由点 观察点 的仰角 的大小.若 的最大值

【解析】由勾股定理可得, BC ? 20 ,过 P 作 PP? ? BC ,交 BC 于 P? ,连结 AP? ,
tan ? ? PP? 3 PP? ? CP? tan 30? ? x AP? ,设 CP? ? x ,则 3



在 Rt△ABC 中,AB=15m,AC=25m,所以 BC=20m

所以

cos ?BCA ?

4 4 AP? ? 625 ? x2 ? 2 ? 25x ? 5 5 ,所以

? x2 ? 40x ? 625 ,
3 3 3 x 3 3 3 ? ? 2 40 625 25 4 9 x ? 40 x ? 625 1? ? 2 ( ? )2 ? x x x 5 25

tan ? ?

所以

3 3 ?5 3 25 4 125 3 9 ? x? 4 时, tan ? 取得最大值为 5 当 x 5 ,即
5 3 答案: 9

4. (2014·四川高考理科·T13)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分 别为 67? ,30? ,此时气球的高度是 46m,则河流的宽度 BC 约等于 m.(用四舍五入法将

结果精确到个位.参考数据: sin 67? ? 0.92 , cos 67? ? 0.39 , sin 37? ? 0.60 , cos37? ? 0.80 ,

3 ? 1.73 )

【解题提示】先求 AC ,再由正弦定理求 BC 即可. 【解析】记气球的高度为 AD ,交 CB 延长线于 D ,在 Rt ?ACD 中, AC ? 92 m,在 ?ABC 中, AC 92 92 BC ? ? sin ?BAC ? ? sin 37? ? ? 0.60 ? 60 m. ? sin ?ABC sin 67 0.92 答案:60 三 解答题 5. (2014·湖南高考文科·T19) (本小题满分 13 分) 如图 4,在平面四边形 ABCD 中, DA ? AB , DE ? 1, EC ? 7 , EA ? 2, ?ADC ?
?BEC ?

?

2? , 3

3 (1)求 sin ?CED 的值; (2)求 BE 的长

【解题提示】利用正余弦定理,和三角变换公式求解。 【解析】如图,设 ?CED ? ? (1)在 ?CDE 中,由余弦定理,得 EC 2 ? CD 2 ? DE 2 ? 2CD ? DE ? cos?EDC 于是由题设知, 7 ? CD 2 ? 1 ? CD, 即CD 2 ? CD ? 6 ? 0 解得 CD ? 2 ( CD ? ?3 舍去) 在 ?CDE 中,由正弦定理,得
EC CD ? sin?EDC ?

于是, sin? ?

CD ?

2? 3 2? 3 ? 2 ? 21 , 即sin?CED ? 21 EC 7 7 7

(2)由题设知, 0 ? ? ?

?
3

,于是由(1)知,

cos? ? 1 ? sin2 ? ? 1 ?
2? ? ? ,所以 3

21 2 7 ? 49 7

而 ?AEB ?

cos?AEB ? cos(

2? 2? 2? ? ? ) ? cos cos? ? sin sin ? 3 3 3 1 3 1 2 7 3 21 7 ? ? cos? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 7 2 7 14
EA 2 EA 2 ? ? ?4 7. ,所以 cos ?AEB ? BE BE BE 7 14

在 Rt ?EAB 中, cos ?AEB ?

6. (2014·上海高考理科·T21)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌

CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的
仰角分别为 ?和? . (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01

米)? (2)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米)?

【解题指南】
(1)在Rt ?ADC, Rt ?BDC中,根据边角关系可得 tan ? , tan ? , 根据? ? 2?,可得 tan ? ? tan 2? , 解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.

【解析】

(1)设CD的长为x米,则 tan ? ? ?

x x , tan ? ? 35 80 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? ? ? 2? ? 0,? tan ? ? tan 2? ,? tan ? ? 2

x x 80 ? 160 x , 解得: ? ? 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 x2 35 6400 ? x 2 1? 6400 ? CD的长至多为28.28米. (2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=1800 ? ? ? ? ? 123.430 则 a AB 115sin 38.120 ? , 解得a ? ? 85.06 sin ? sin ?ADB sin123.430 ? m ? 802 ? a 2 ? 160a cos18.450 ? 26.93 答:CD的长为26.93米.
7. (2014·上海高考文科·T21)如图,某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广 告牌 CD ,其中 D 为顶端, AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看

D 的仰角分别为 ?和? .
(3)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? (4)施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长 (结果精确到 0.01 米)?

【解题指南】

(1)在Rt ?ADC, Rt ?BDC中,根据边角关系可得 tan ? , tan ? , 根据? ? 2?,可得 tan ? ? tan 2? , 解此三角形不等式可得结论.(2).在?ADB中,根据正弦定理可把DB的 长度求出,在?BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.
【解析】

(1)设CD的长为x米,则 tan ? ? ?

x x , tan ? ? 35 80 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? ? ? 2? ? 0,? tan ? ? tan 2? ,? tan ? ? 2

x 80 ? 160 x , 解得: 0 ? x ? 20 2 ? 28.28 x2 6400 ? x 2 1? 6400 ? CD的长至多为28.28米. x ? ? 35 (2)设DB=a,DA=b,DC=m,?ADB=1800 ? ? ? ? ? 123.430 则 a AB 115sin 38.120 ? , 解得a ? ? 85.06 sin ? sin ?ADB sin123.430 ? m ? 802 ? a 2 ? 160a cos18.450 ? 26.93 答:CD的长为26.93米.
8. ( 2014 ·重庆高考文科·T 18 )在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且
a?b?c ?8 .

5 (1)若 a ? 2, b ? , 求 cos C 的值; 2 9 B A (2)若 sin A cos 2 ? sin B cos 2 ? 2sin C , 且 ?ABC 的面积 S ? sin C , 求 a 和 b 的值. 2 2 2 【解题提示】 (1)直接根据余弦定理即可求出 cos C 的值.(2)根据题设条件可以得到关于 a 和 b 的关系式进而求出 a 和 b 的值. 7 【解析】(1)由题意可知: c ? 8 ? (a ? b) ? , 2

?5? ?7? 2 ?? ? ?? ? 2 2 2 a ?b ?c ? 2 ? ? 2 ? ? ? 1. ? 由余弦定理得: cos C ? 5 2ab 5 2?2? 2
2

2

2

(2)由 sin A cos 2

B A ? sin B cos 2 ? 2sin C 可得: 2 2

1 ? cos B 1 ? cos A ? sin B ? ? 2sin C , 2 2 化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B cos A ? 4sin C. sin A ?

因为 sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C, 所以 sin A ? sin B ? 3sin C. 由正弦定理可知: a ? b ? 3c. 又因为 a ? b ? c ? 8 ,故 a ? b ? 6. 1 9 由 S ? ab sin C ? sin C , 所以 ab ? 9, 从而 a 2 ? 6a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 3, b ? 3. 2 2 关闭 Word 文档返回原板块


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