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2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案

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2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... , 则 a2011 ? .

答案:8041. 由题意, a2 ? a1 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 ,且 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 (n ? 4). ∴ a2n ? a2n?1 ? 3, a2n?1 ? a2n ? 5 n ? N * . ∴ a2n?1 ? a2n?1 ? 8 , ∴ a2011 ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?1 ) ? a1 ? 1005 ? 8 ? 1 ? 8041 .
k ?1 1005

?

?

2. 不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值 范围为 . 答案: a ? 1 或 a ? ?2 . 由题意, a cos x ? a2 ? cos2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a?cos x ? a 2 ? 0 对 ?x ? R 成立. 令 f ?t ? ? t 2 ? ?1? a ? t ? a2 (?1 ? t ? cos x ? 1).
2 ? ? ? f ?1? ? 0, ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0, ?? ∴? 2 ? ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0. ? f ? ?1? ? 0. ? 解得 a ? ?2或a ? 1 .

3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数; (2) f (3) ? 6 . 则 f (2011) ? 答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ?m ? 1? ? f ?m? ? f ?1? ? m .
第 1 页 共 6 页

.



令 m ? n ? 1得, f ?2? ? 2 f ?1? ? 1 .

② ③

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ?3? ? f ? 2? ? f ?1? ? 2 . 由③②得, f ?1? ? 1, f ? 2? ? 3 . 代入①得, f ? m ?1? ? f ? m? ? m ?1. ∴ f (2011) ? ? [ f (k ? 1) ? f (k )] ? f (1) ? ? (k ? 1) ? 1
k ?1 k ?1 2010 2010

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011 2011 ? 2012 ? ? 2023066 . 2

4. 方程
? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011

一共有 答案:4.

个解.

方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ; 方程 方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ? 14 ;

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n( n ? 2) 的所有解为
x?? n(n ? 1) n(n ? 3) 或? . 2 2

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方 体的棱长最大等于 答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, .

第 2 页 共 6 页

所以, 3a ? 20(a ? N * ) ,即 a ? ∴ a ? 11 ,即 amax ? 11 .

20 3(a ? N * ) , 3

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请
2

问能接触到杯底的球的半径最大是 答案:

.

1 2

.

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,
2 ? ? x2 ? ? y ? r ? ? r 2 ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 由? 2 y?x ? ?

由题意,方程 x 2 ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解.
1 ∴ x 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ? . 2
1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 1 答案: . sin1? 1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ?

7. 计算:

? ?

1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? 1 ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? ?. sin1? ?

原式 ?
?

k ? 45

? sin1? ? cot k ? ? cot(k ? 1)??

89

1

1 ? cot 45? ? cot 90? ? sin1? 1 ? . sin1?

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子, 要求每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的 发帽子的方法共有 种. 答案:1530.
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推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an , 则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6?? 2n?3 ? 6 . ∴ a10 ? 12? 27 ? 6 ? 1530.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 1 1 1 ? ? ... ? n ?1 n ? 2 2n 的最小值. 1 1 1 37 解:当 n ? 3 时, ? ? ? . 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ?k ? 3? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 则当 n ? k ? 1 时, 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 37 ? . 60 37 因此,所求最小值为 . 60 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把 线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开 始时的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ? ? ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? ? ? ? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x ? ?
第 4 页 共 6 页

?y?

1 2

, 1 2 ,

?y?x? ?x ? 1 2 .

如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y ?

1 2

,y?x?

1 2

和 x?

1 2

围成的

1 1 三角形,面积为 ,而整个区域的面积为 (因为 y>x). 2 8

1? ? ? ? 1 2? 2 2? ∴ P(成功) ? ? . 1 2

1?1

?1 ? 1?

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是

1 . 4

3. (本小题满分 20 分)数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0 ,当 n ? 3 时 有 an ?
2 n (a0 ? a1 ? ... ? an ? 2 ) . 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10 证法 1:

证明:由已知得 (n ? 1)an ? 2(a0 ? a1 ? ...? an? 2 ) ,在上式中以 n ? 1 代替 n 得到

nan?1 ? 2(a0 ? a1 ? ...? an?1 ),
两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立. 设 bn ?
an ,则 n?2

n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn?1.
n ? 1 )n(? 由 于 n( n? 3 )? ( 2 ?) n 2? (,故 1 ) bn ?1 应 在 bn 与 bn ?1 之 间 . 由 于

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a3 ? 1, a4 ?

2 1 1 1 1 , 故 b3 ? , b4 ? . 因 此 当 n ? 3 时 , 均 有 bn ? [ , ] , 故 3 5 9 9 5 n?2 n an ? (n ? 2b) ? ,证毕. n ? 9 10
证法 2: 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ 5 2 6 ,a = ≥ . 10 4 3 10 n+2 ?n ≥ 3?. 10

结论成立. 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, an + 1 = = > = = > 2 ?a + a1 + ? + an-1? n 0 2 ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? n 2 5 6 n+1 ?1 + + + ? + ? n 10 10 10 ?n + 6??n-3? 2 ?1 + ? n 20 2 n 2 + 3n + 2 n 20 n+3 . 10 n+2 ?n ≥ 3? 成立. 10

所以结论对 n + 1 时亦成立. 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ 因此 an ≥

n+2 n > ?n ≥ 3? 成立. 10 10

从而本题得证.

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