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江苏省2017届高三数学一轮复习专题突破训练:数列.doc

时间:2018-04-13


江苏省 2017 年高考一轮复习专题突破训练 数列
一、填空题 1、 (2016 年江苏高考)已知{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和.若 a1+a22= - 3,S5=10,则 a9 的值是 ▲ .

2、 (2015 年江苏高考)数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? an ? n ? 1,则数列 ? 和为_________。

?1? ? 的前 10 项 ? an ?

3、 (2014 年江苏高考) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, 若 a2 ? 1,a8 ? a6 ? 2a2 , 则 a6 的值是 ▲ ▲ .

a8 4、 (南京市 2016 届高三三模) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 Sn=2an-2, 则 = a6

5、 (南通、扬州、泰州三市 2016 届高三二模)在等比数列 ?an ? 中,a2 ? 1 ,公比 q ? ?1 .若

a1 ,4a3,7 a5 成等差数列,则 a6 的值是





6、(南通市 2016 届高三一模)设等比数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,若 S2 ? 3, S4 ? 15 , 则 S6 的值为 7、 (苏锡常镇四市 2016 届高三一模)设数列{an}是首项为 l,公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S3 成等比数列,则数列{an}的公差为 。

8、 (苏锡常镇四市市 2016 届高三二模)设公差为 d ( d 为奇数,且 d ? 1 )的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm ?1 ? ?9 , Sm ? 0 ,其中 m ? 3 ,且 m ? N * ,则 an ? ▲ .

Sn n+1 a3 9、 (镇江市 2016 届高三一模) Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 = , 则 =________. S2n 4n+2 a5 10、 (常州市 2016 届高三上期末)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? a2 ?

a3 ? a4 ? a5 ? a6 =40,则

a7 ? a8 ? a9 的值为 9

4 , 9

11、 (淮安、 宿迁、 连云港、 徐州苏北四市 2016 届高三上期末) 若公比不为 1 的等比数列 {an } 满足 log2 (a1a2 ?a13 ) ? 13,等差数列 {bn } 满足 b7 ? a7 ,则 b1 ? b2 ? ? ? b13 的值为 12、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末)设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, an ? 0 ,若

S6 ? 2S3 ? 5 ,则 S9 ? S6 的最小值为



13 、 ( 无 锡 市 2016 届 高 三 上 期 末 ) 对 于 数 列 ?an ? , 定 义 数 列 ?bn ? 满 足 :

bn ? an ?1 ? an (n ? N ? ) ,且 bn ?1 ? bn ? 1(n ? N ? ), a3 ? 1, a4 ? ?1 则 a1 ?
14、 (扬州市 2016 届高三上期末)已知等比数列 ?an ? 满足 a2 ? 2a1 ? 4 , a3 ? a5 ,则该
2

数列的前 5 项的和为

▲ ,且

15 、 ( 扬 州 中 学 2016 届 高 三 3 月 质 检 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 d ? 0

a3 ? a9 ? a1 0 ? a .若 an =0 ,则 n= 8

.

二、解答题 1、 (2016 年江苏省高考)

100? .对数列 ?an ? n ? N * 和 U 的子集 T,若 T ? ? ,定义 ST ? 0 ;若 记 U ? ?1,2,…, T ? ?t1, t2 ,…,tk ? ,定义 ST ? at1 ? at2 ? …+atk .例如: T = ?1,3,66? 时, ST ? a1 ? a3 +a66 .
* 现设 ?an ? n ? N 是公比为 3 的等比数列,且当 T = ?2, 4? 时, ST =30 .

?

?

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

k? ,求证: ST ? ak ?1 ; (2)对任意正整数 k ?1 ? k ? 100? ,若 T ? ?1,2,…,
(3)设 C ? U , D ? U , SC ? SD ,求证: SC ? SC?D ? 2SD .

2、 (2014 年江苏高考)设 a1 , a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d (d ? 0) 的等差数列, (1)证明: 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列;
2 3 4 (2)是否存在 a1 , d ,使得 a1 , a2 依次构成等比数列?并说明理由; , a3 , a4 n n?k n?2k n?3k (3)是否存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列?并说 , a2 , a3 , a4
a a a a

明理由。 Sn+1 4、 (南京市 2016 届高三三模)已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn,记 bn= . n (1)若{an}是首项为 a,公差为 d 的等差数列,其中 a,d 均为正数.

a ①当 3b1,2b2,b3 成等差数列时,求 的值; d ②求证:存在唯一的正整数 n,使得 an+1≤bn<an+2. bt t+2 (2)设数列{an}是公比为 q(q>2)的等比数列,若存在 r,t(r,t∈N*,r<t)使得 = ,求 br r+2 q 的值.

5、(南通市 2016 届高三一模)若数列 {an } 中存在三项,按一定次序排列构成等比数列, 则称 {an } 为 “等比源数列”。 (1)已知数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 1 。 ①求数列 {an } 的通项公式; ②试判断数列 {an } 是否为“等比源数列”,并证明你的结论。 (2)已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 0, an ? Z (n ? N*) .求证: {an } 为“等比源数列” 6、 (苏锡常镇四市市 2016 届高三二模)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 3 ,且对任意 的正整数 n ,都有 Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 ,其中常数 ? ? 0 .设 bn ? (1)若 ? ? 3 ,求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 ? ? 1 且 ? ? 3 ,设 cn ? an ?

an 3n

(n ? N? ) ﹒

2 ? 3n (n ? N? ) ,证明数列 {cn } 是等比数列; ? ?3

(3)若对任意的正整数 n ,都有 bn ≤ 3 ,求实数 ? 的取值范围.

7、(镇江市 2016 届高三一模)已知数列{an)的各项都为自然数,前 n 项和为 Sn,且存在整 数 λ,使得对任意正整数 n 都有 Sn=(1+λ)an-λ 恒成立. (1) 求 λ 值,使得数列{an)为等差数列,并求数列{an)的通项公式;
j

(2) 若数列{an}为等比数列,此时存在正整数 k,当 1≤k<j 时,有 ∑ ai=2 016,求 k. =
i k

8、 (淮安、 宿迁、 连云港、 徐州苏北四市 2016 届高三上期末) 已知各项均为正数的数列 {an } 的首项 a1 ? 1, Sn 是数列 {an } 的前项和,且满足:

an Sn ?1 ? an ?1Sn ? an ? an ?1 ? ?anan ?1 (? ? 0.n ? N * ) .

(1)若 a1 , a2 , a3 成等比数列,求实数 ? 的值; (2)若 ? ?

1 ,求 Sn . 2

9、 (南京、盐城市 2016 届高三上期末)设数列 ?an ? 共有 m(m ? 3) 项,记该数列前 i 项

a1 , a2 ,?, ai 中的最大项为 Ai ,该数列后 m ? i 项 ai ?1, ai ?2 ,?, am 中的最小项为 Bi ,
ri ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,?, m ?1) .
(1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ,求数列 ?ri ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , ri ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 试构造一个数列 ?an ? , 满足 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是公差不为零的等差数列, ?cn ? 是等比数列,使得对于任意给定的正整数 m ,数列 ?ri ? 都是单调递增的,并说明 理由.

10 、 (苏州市 2016 届高三上期末)已知数列 ?an ? 满足: a1 ?
n ? N* , p, q ? R .

1 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ? nq , 2

(1)若 q ? 0 ,且数列 ?an ? 为等比数列,求 p 的值; (2)若 p ? 1 ,且 a 4 为数列 ?an ? 的最小项,求 q 的取值范围.

11、 (泰州市 2016 届高三第一次模拟) 已知数列 {an },{bn } 满足 2Sn ? (an ? 2)bn , 其中 Sn 是 数列 {an } 的前 n 项和. (1)若数列 {an } 是首项为

2 1 ,公比为 ? 的等比数列,求数列 {bn } 的通项公式; 3 3

(2)若 bn ? n , a2 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式; (3)在(2)的条件下,设 cn ? 他两项之积.

an ,求证:数列 {cn } 中的任意一项总可以表示成该数列其 bn

12、 (扬州中学 2016 届高三 3 月质检) 已知两个无穷数列 ?an ? ,?bn ? 分别满足 ?

?

a1 ? 1

? an ?1 ? an ? 2



? b1 ? ?1 ? , ? bn ?1 ? b ?2 ? n
其中 n ? N * ,设数列 ?an ? ,?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn , (1)若数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的正整数 k ( k ? 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为“ k 坠点数列” ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 Sn ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列”,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”,是否存在正整数 m ,使得

Sm?1 ? Tm ,若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由.

参考答案 一、填空题 1.【答案】 20. 【解析】由 S5 ? 10 得 a3 ? 2 ,因此 2 ? 2d ? (2 ? d)2 ? ?3 ? d ? 3, a9 ? 2 ? 3 ? 6 ? 20. 2、 an ?1 ? an ? n ? 1 ? an ?1 ? a1 ?

?i ?
i ?2

n ?1

(n ? 1)(n ? 2) ? 1 ,所以 a 2

n ?1

?

(n ? 1)(n ? 2) 2

? a n?
3、4 4、4 5、

10 n (n ? 1 ) 1 1 1 1 1 1 20 。故 ? ? 2 ? (1 ? ? ? ? ..... ? ? )? 2 2 2 3 10 11 11 i ?1 ai

1 49

6、 【答案】63. 【命题立意】本题旨在考查等比数列的基本运算,等比数列的求和,考查学生的运算能力, 难度中等.

【 解 析 】 由 等 比 数 列 前 n 项 和 的 性 质 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 成 等 比 数 列 , 则

S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等比数列, ?15 ? 3? ? 3 ? ? S6 ? 15 ? ,解得 S6 ? 63 .
2

法一:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.显然 q≠1,由题意得 -q ) =3 ?a (1 1-q ?a =1, 1 -q 解之得:? 所以,S = =63. ?a (1-q ) q = ± 2 . 1-q ? =15. ? 1-q
1 1 4 1 6 6 2

法二:由等比数列的性质得

S4-S2 q2= =4,(下同一) S2

法三:由 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列 所以 (S4-S2)2=S2(S6-S4),得 S6=63. 7、2 8、 3n ? 12 3 9、 【答案】 . 5 【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前 n 项和,考查学生的运算能力,难度中 等.

n ? a1 ? an ? a ?a n ?1 2a1 2 Sn n+1 2 ? 1 n ? 【解析】由 = 可得, ,当 n ? 1 时, ? , S2n 4n+2 2n ? a1 ? a2 n ? a1 ? a2 n 2n ? 1 a1 ? a2 3 2

a2 ? 2a1 , d ? a2 ? a1 ? a1 ,
10、117 11、26

a3 a1 ? 2d 3a1 3 ? ? ? . a5 a1 ? 4d 5a1 5
13、8 14、31 15、5

12、20

二、解答题 1、 (1)由已知得 an ? a1 ? 3n ?1 , n ? N * . 于是当 T ? {2, 4} 时, S r ? a2 ? a4 ? 3a1 ? 27a1 ? 30a1 . 又 S r ? 30 ,故 30a1 ? 30 ,即 a1 ? 1 . 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n ?1 , n ? N * . (2)因为 T ? {1, 2, ? , k} , an ? 3n ?1 ? 0, n ? N * ,

所以 S r ? a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1 ? 3 ? ? ? 3k ?1 ? 因此, S r ? ak ?1 . (3)下面分三种情况证明.

1 k (3 ? 1) ? 3k . 2

①若 D 是 C 的子集,则 SC ? SC ? D ? SC ? S D ? S D ? S D ? 2S D . ②若 C 是 D 的子集,则 SC ? SC ? D ? SC ? SC ? 2 SC ? 2S D . ③若 D 不是 C 的子集,且 C 不是 D 的子集. 令 E ? C ? CU D , F ? D ? CU C 则 E ? ? , F ? ? , E ? F ? ? . 于是 SC ? S E ? SC ? D , S D ? S F ? SC ? D ,进而由 SC ? S D ,得 S E ? S F . 设 k 是 E 中的最大数, l 为 F 中的最大数,则 k ? 1, l ? 1, k ? l . 由(2)知, S E ? ak ?1 ,于是 3l ?1 ? al ? S F ? S E ? ak ?1 ? 3k ,所以 l ? 1 ? k ,即 l ? k . 又 k ? l ,故 l ? k ? 1 , 从而 S F ? a1 ? a2 ? ? ? al ? 1 ? 3 ? ? ? 3
l ?1

?

3l ? 1 3k ?1 ? 1 ak ? 1 S E ? 1 , ? ? ? 2 2 2 2

故 S E ? 2 S F ? 1 ,所以 SC ? SC ? D ? 2( S D ? SC ? D ) ? 1 , 即 SC ? SC ? D ? 2 S D ? 1 . 综合①②③得, SC ? SC ? D ? 2 S D . 2、 (1)证明:设 a1 ? x ? 3d , a2 ? x ? d , a3 ? x ? d , a4 ? x ? 3d ,因为: 因为 (2 2 ) ? 2
a 2 2 x ?2 d

, 2 1 g2

a

a3

? 2( x ?3d ? x ? d ) ? 2(2 x ?2 d ) ,所以

2a1 , 2a2 , 2a3 依次构成等比数列。
因为 (2 3 ) ? 2
a 2 (2 x ? 2 d )

, 2 2 g2

a

a4

? 2( x ?d ? x ?3d ) ? 2(2 x ? 2 d ) ,所以

2a2 , 2a3 , 2a4 依次构成等比数列。
所以 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 依次构成等比数列。
2 3 4 (2)假设 a1 , a2 依次构成等比数列,那么应该有: , a3 , a4
a a a a

2 2 3 3 (a2 ) ? a1 ? a3 ? (a2 ? d )(a2 ? d )3 ? d (2a2 ? 2a2d 2 ? d 3 ) ? 0 ,因为

d ? 0, 所以 d 3 ? 2a2 d 2 ? 2a23 ? 0 ………(a), 考察(a)的解, f '(d ) ? d (3d ? 4a2)
故d ? ?

4a2 4a 22 3 a2 ? 0 ,所以符合(a)的解 为 f ( d ) 的极大值,而 f (? 2 ) ? ? 3 3 27

d ? 0。
3 2 2 4 3 2 又 (a3 , (因为数列各项为正数) 。所以 ) ? a2 ? a4 ? a3 ? a2 ? a4

3 2 2 ,解得 d? (a2 ? d ) ?a a d ? 22 a ? 0 2 (a 2 ? 2 d) ? d ? 2

1? 5 a2 , (d ? 0) 。 2

所以 d ?

1? 5 1? 5 (a1 ? d ) ? d ? a1 ? 0 ,这与(a)矛盾。所以不存在这样的 2 1? 5

2 3 4 依次构成等比数列。 a1 , d ,使得 a1 , a2 , a3 , a4 n n?k n?2k n?3k (3)假设存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列,那么: , a2 , a3 , a4
n?2k n?k n ?3k a3 a2 a4 ,而 ? ? n?k n?2k a1n a2 a3

q?

(

a a a2 n k a k ) a2 ? ( 3 )n ?k a3 ? ( 2 )n ? ( 3 )n ? 2k …………(a) a1 a2 a1 a2 a3 n? k k a a a k ) a3 ? ( 4 )n? 2k a4 ? ( 3 )n? k ? ( 4 )n ?3k …….(b) a2 a3 a2 a3
2 n?2 k 2

(

由于 a

?a a
2k

n n?2k 1 3

(a1 ? a3 ) 2 , ( an ? 0 且各项不等) ? (a a )a ,而 a1a3 ? 4
n n 1 3 2k 3

a1 ? a3 2 n 2 k 2n 2k 2k 2k ) a3 ? a2 ga3 ,所以 a2 ? a3 ? a2 ? a3 ? d ? 0 。 2 a a d d 1 1 2x ?1 令 2 ? 1? 则 3 ? 1? , 同理, ? 1 ? x ,( x ? 0) , ? 1? ? 1? ? a1 1 a1 a1 a2 a2 x ? 1 1? 1? x d a4 d 1 1 3x ? 1 。代入(a),(b)得: ? 1? ? 1? ? 1? ? a1 1 2x ? 1 a3 a3 2? 2? x d
所以 a2 ga2 ? (
2n

2 x ? 1 n?2k ? (1 ? x) n ? ( ) ...........(c) ? ? x ?1 ,等式两边取对数变形得: ? ?( 2 x ? 1) n ? k ? ( 3x ? 1) n ?3k ...........(d ) ? 2x ?1 ? x ?1

2x ?1 ? n ln( x ? 1) ? (n ? 2k ) ln( )...........(e) ? ? x ?1 ? ?(n ? k) ln( 2 x ? 1) ? ( n ? 3k ) ln( 3 x ? 1)...........(f) ? x ?1 2x ?1 ?
由(e) (f)得到新函数:

f ( x) ? 3ln( x ? 1) ln(2 x ? 1) ? ln(2 x ? 1) ln(3x ? 1) ? 4ln( x ? 1) ln(3x ? 1) ,求导得到:

f ' (x ) ?

2[ ? 3x (? 2 1) l x? n ( ? 1) x ?3 ( 2 2 1? x ) l? n(2? x 12 ) ( x ? 1 ) (x2 ? 1x )? ( 3 1)

(3 ?x 1 ) l n ( 3 ,令 g ( x)

1) ]

? ? 3 (x ? 12) l n x (? 1 ? ) x 3 (? 22
g ' ' (x ? ) 6[ 4 l n x? ( 2 ? 1 ) x ?l n (? ? 1) x l? n ( ? 1)

2 ,求二阶导数得: 1 )x l n ? ( 2? x 1 )? (3 x 1 ) ? l n ( 3 1)

1) x ? 3 ,令 ln(3
,则 3 xl ?n ( 3 h '( x 1))?

1) ]

h( x)? 4 l n (x2 ?

?2 ?0, ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)

而 g ''(0) ? g '(0) ? g (0) ? 0 ,故 f ( x) 单调递减,又 f (0) ? 0 ,所以 f ( x) 除了 x ? 0 外无零点,而这与题目条件不符。
n n?k n?2k n?3k 所以:不存在 a1 , d 及正整数 n, k ,使得 a1 依次构成等比数列。 , a2 , a3 , a4

3、 (1)证明:∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) ,又错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。=2=错误!未找到引用源。 ,∴错误!未找到引用源。 (n 错误!未找到引用源。 ) 。∴存在 m=n+1 使得错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。=1+(n-1)d ,若{错误!未找到引用源。}是“H 数列” 则对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得错误!未找到引用源。 。错误!未找到 引用源。=1+(m-1)d 成立。化简得 m=错误!未找到引用源。 +1+错误!未找到 引用源。 ,且 d 错误!未找到引用源。0 又 m 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 d 错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。为整数。 (3)证明:假设成立且设错误!未找到引用源。都为等差数列,则 n 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+(错误! 未找到引用源。-1)错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。+错误!未找到引用源。+1,

∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )同理 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ) 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=k 由题错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+(错 误!未找到引用源。-1)错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+(错误! 未找到引用源。-1)错误!未找到引用源。 =(错误!未找到引用源。 )+(n-1) (错误!未找到引用源。 )=(n+k-1)错误!未 找到引用源。 ) 可得{错误!未找到引用源。}为等差数列。即可构造出两个等差数列{错误!未找到 引用源。} 和{错误!未找到引用源。}同时也是“H 数列”满足条件。 4、解: (1)①因为 3b1,2b2,b3 成等差数列, 3a+3d 4a+6d 所以 4b2=3b1+b3,即 4× =3(2a+d)+ , 2 3 a 3 解得, = . d 4 ② 由 an+1≤bn<an+2, (n+1)nd (n+1)a+ 2 得 a+nd≤ <a+(n+1)d, n 整 理 得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 取错

?n -n- d ≤0, ? 2a ? n +n- d >0,
2 2

2a

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

-1+ 解得 1+ 由于

2

8a 1+ 1+ d <n≤ 8a -1+ d -

1+ 2

8a d



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 8a 1+ d >0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10

1+ 2

2

8a 1+ -1+ d =1 且

2

因此存在唯一的正整数 n, 使得 an+1≤bn<an+2. 分

a1(1-qt 1) + + t(1-q) t+2 qt 1-1 qr 1-1 bt (2)因为 = = ,所以 = . br a1(1-qr+1) r+2 t(t+2) r(r+2) r(1-q)


qn 1-1 设 f(n)= ,n≥2,n∈N*. n(n+2)


qn 2-1 qn 1-1 qn 1[(q-1)n2+2(q-2)n-3]+2n+3 则 f(n+1)-f(n)= - = , (n+1)(n+3) n(n+2) n(n+1)(n+2)(n+3)
+ + +

因为 q>2,n≥2,所以(q-1)n2+2(q-2)n-3>n2-3≥1>0, 所以 f(n+1)-f(n)>0,即 f(n+1)>f(n),即 f(n)单调递增.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 所以当 r≥2 时,t>r≥2, qt 1-1 qr 1-1 qt 1-1 qr 1-1 则 f(t)>f(r),即 > ,这与 = 互相矛盾. t(t+2) r(r+2) t(t+2) r(r+2)
+ + + +

qt 1-1 q2-1 所以 r=1,即 = . 3 t(t+2)


· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14

分 q4-1 q2-1 q2+1 q2-1 qt 1-1 q2-1 若 t≥3,则 f(t)≥f(3)= = · > ,即 > , 15 3 5 3 3 t(t+2)




qt 1-1 q2-1 = 相矛盾. 3 t(t+2)


q3-1 q2-1 于是 t=2,所以 = ,即 3q2-5q-5=0. 8 3 5+ 85 . 6

又 q>2,所以 q= 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16

5、 【答案】 (1)① an ? 2n?1 ? 1 ;②略; (2)略. 【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不 等式的求解等基本性质.考查学生创新意识.难度较大. 【解析】 (1)①由an+1=2an-1,得an+1-1=2(an-1),且a1-1=1, 所以数列{an-1}是首项为1,公比为2的等比数 列.……………………………………2分 所以an-1=2n-1. 所以,数列{an}的通项公式为a n= 2n-1+1.………………………………………………4分

②数列{an}不是“等比源数列” .用反证法证明如下: 假设数列{an}是“等比源数列” ,则存在三项am,an,ak (m<n<k)按一定次序排 列构成等比数列. 因为an=2n-1+1,所以am<an< ak. ……………………………………………………7分 所以an2=am· ak,得 (2n-1+1)2=(2m-1+1)(2k-1+1),即22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1. 又m<n<k,m,n,k∈N*, 所以2n-m-1≥1,n-m+1≥1,k-1≥1,k-m≥1. 所以22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m为偶数,与22n-m-1+2n-m+1-2k-1-2k-m=1矛盾. 所以,数列{an}中不存在任何三项,按一定次序排列构成等比数列. 综上可得,数列{an}不是“等比源数 列” . …………………………………………10分 (2)不妨设等差数列{an}的公差d≥0. 当d=0时,等差数列{an}为非零常数数列,数列{an}为“等比源数列” . 当d>0时,因为an∈Z,则d≥1,且d∈Z,所以数列{an}中必有一项am>0. 为了使得{an}为“等比源数列” , 只需要{an}中存在第n项,第k项(m<n<k),使得an2=amak成立, 即[am+(n-m)d]2=am[am+(k-m)d],即(n-m)[2am+(n-m)d]=am(k-m)成 立.…13分 当n=am+m,k=2am+amd+m时,上式成立.所以{an}中存在am,an,ak成等比数 列. 所以,数列{an}为“等比源数 列” .……………………………………………………16分 6、解:∵ Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 , n ? N? , ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? ? Sn-1 ? 3n , 从而 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ≥ 2 , n ? N? ﹒ 又在 Sn ?1 ? ? Sn ? 3n ?1 中,令 n ? 1 ,可得 a2 ? ? a1 ? 2 ? 31 ,满足上式, 所以 an?1 ? ? an ? 2 ? 3n , n ? N? ﹒ ????2 分

(1)当 ? ? 3 时, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n , n ? N? , 从而

an?1 an 2 2 ? n ? ,即 bn?1 ? bn ? , n ?1 3 3 3 3 2 的等差数列, 3
????4 分

又 b1 ? 1 ,所以数列 {bn } 是首项为 1,公差为 所以 bn ?

2n ? 1 . 3

(2)当 ? ? 0 且 ? ? 3 且 ? ? 1 时,

cn ? an ?

2

? ?3

? 3n ? ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ?

2

? ?3

? 3n
????7 分

? ? an?1 ?
又 c1 ? 3 ?

2 2 ? 3n?1 (? ? 3 ? 3) ? ? (an?1 ? ? 3n?1 ) ? ? ? cn?1 , ? ?3 ? ?3 6 3(? ? 1) ? ?0, ? ?3 ? ?3

所以 {cn } 是首项为 分

3(? ? 1) 3(? ? 1) n?1 ,公比为 ? 的等比数列, cn ? ? ? ﹒???? 8 ? ?3 ? ?3 3(? ? 1) n?1 ?? . ? ?3

(3)在(2)中,若 ? ? 1 ,则 cn ? 0 也适合,所以当 ? ? 3 时, cn ?
?(2n ? 1) ? 3n ?1 , ? 从而由(1)和(2)可知 an ? ? 3(? ? 1) n ?1 2 ?? ? ? 3n , ? ? ?3 ? ? ?3

? ? 3, ? ? 3.
????9

分 当 ? ? 3 时, bn ? 分 当 ? ? 3 时, bn ? 若 ? ? 3 时, 分 若 0 ? ? ? 1 时, 所以只须 b1 ? 分 若 ? ? 1 时, bn ? 1 ,满足条件.故 ? ? 1 符合条件; 分 ????13

2n ? 1 ,显然不满足条件,故 ? ? 3 . 3

????10

? ? 1 ? n?1 2 . ?( ) ? ? ?3 3 ? ?3

? ?1 ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? , bn ? [1, ??) ,不符合,舍去. ????11 ? ?3 ? ?1 2 ?0,? ? 0 , bn ? bn ?1 , n ? N? ,且 bn ? 0 . ? ?3 ? ?3
????12

a1 ? 1≤ 3 即可,显然成立.故 0 ? ? ? 1 符合条件; 3

若 1 ? ? ? 3 时,

? ?1 2 ?0,? ? 0 ,从而 bn ? bn ?1 , n ? N? , ? ?3 ? ?3
2 2 ) , 要使 bn ≤ 3 成立,只须 ? ≤ 3 即可. ? ?3 ? ?3
????15

因为 b1 ? 1 ? 0 .故 bn ?[1, ?

7 于是 1 ? ? ≤ . 3


7 综上所述,所求实数 ? 的范围是 (0 , ] . 3
分 7、 【答案】 (1)λ=0 时, an=0.; (2)6.

????16

【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质、通项、求和、简单递推;考查考查 分析探究能力,难度较大. 【解析】 (1) (法一):因为 Sn=(1+λ)an-λ, ① 所以 Sn+1=(1+λ)an+1-λ, ② ②-①得:λan+1=(1+λ)an, ③(2 分)

当 λ=0 时,an=0,数列{an}是等差数列.(4 分) 1 当 λ≠0 时,a1=(1+λ)a1-λ,a1=1,且 an+1-an= an, λ ④

1 要使数列{an}是等差数列,则④式右边 an 为常数,即 an+1=an 为常数, λ ④式左边 an+1-an=0,an=0,又因为 a1=1,矛盾!(6 分) 综上可得:λ=0 时,数列{an}为等差数列,且 an=0.(7 分) (法二):若数列{an}是等差数列,必有 2a2=a1+a3, 当 λ=0 时,a1=a2=a3=0,满足 2a2=a1+a3,(1 分) 此时 Sn=an,从而 Sn+1=an+1,(3 分) 故 an=0,(4 分) 1 2 1 1+ ? ,(5 分) 当 λ≠0 时,a1=1,a2=1+ ,a3=? ? λ? λ 1 1 2 1+ ?=1+?1+ ? ,该方程无解,(6 分) 由 2a2=a1+a3,得 2? ? λ? ? λ? 综上可得:λ=0 时,数列{an}为等差数列,其中 an=0.(7 分) (2) 当(1)可得:当 λ=0 时,不是等比数列,(8 分) 当 λ=-1 时,由①得 Sn=1,则 a1=S1=1, an=Sn-Sn-1=0(n≥2),不是等比数列.(9 分)

an+1 1 1 当 λ≠0,且 λ≠-1 时,得 =1+ ,{an}为公比是 q=1+ 等比数列,(10 分) an λ λ 1 又对任意 n,an∈N,则 q=1+ ∈N, λ 故仅有 λ=1,q=2 时,满足题意,又由(1)得 a1=1,故 an=2n 1.(11 分)


j

因为 ∑ ai= =
i k


2k 1(2j k 1-1) =2 016, 2-1
- - + -k+1

所以 2k 1(2j

-1)=2 016=25× 3 2× 7,(13 分) -1 为大于 1 的奇数,2k 1=25,k=6,(15 分)
- -

j-k+1≥2,2j


-k+1

则 2j 5-1=32× 7,2j 5=64,j=11,故仅存在 k=6 时,j=11, ∑ ai=2 016.(16 分) =
i k

j

8、 (1)令 n ? 1 ,得 a2 ?

2 . 1+ ?
2? + 4 .???? 2 ? + ? 1?? 2? + 1?

令 n ? 2 ,得 a2 S3 ? a3 S2 + a2 ? a3 ? ? a2 a3,所以 a3 ? 分

2? + 4 ? 2 ? 2 由 a2 ,因为 ? ? 0 ,所以 ? ? 1 .………4 分 ? a1a3 ,得 ? ? ? ? 1 + ? ? ? ? + 1?? 2? + 1?
(2)当 ? ? 所以

2

1 1 时, an Sn?1 ? an?1Sn + an ? an?1 ? an an?1 , 2 2

Sn ?1 Sn S + 1 Sn + 1 1 1 1 1 ? + ? ? ,即 n ?1 ? ? ,?????????6 分 an ?1 an ?1 an ?1 an 2 an ?1 an 2

? S + 1? 1 所以数列 ? n ? 是以 2 为首项,公差为 的等差数列, a 2 ? n ?
所以

Sn + 1 1 ? 2 + ? n ? 1? ? , ……………………………………………………8 分 an 2

?n 3? 即 Sn + 1 ? ? + ? an ,① ? 2 2? ?n 3? 当 n ≥ 2 时, Sn ?1 + 1 ? ? + ? an ?1 ,② ? 2 2?

n+3 n+2 an ? an?1 ,?????????????????10 分 2 2 a a 即 ? n + 1? an ? ? n + 2? an?1 ,所以 n ? n?1 ? n ≥ 2? , ?????????12 分 n + 2 n +1
① ? ②得, an ?

1 1 ? a ? 所以 ? n ? 是首项为 是常数列,所以 an ? ? n + 2 ? . ……………………14 分 3 3 ?n + 2?
n 2 ? 5n ?n 3? 代入①得 Sn ? ? + ? an ? 1 ? . 6 ?2 2?
9、解: (1)因为 an ? 2n 单调递增,所以 Ai ? 2i , Bi ? 2i ?1 , 所以 ri ? 2i ? 2i ?1 ? ?2i , 1 ? i ? m ? 1 . ……………4 分 ……………………16 分

(2)根据题意可知, ai ? Ai , Bi ? ai ?1 ,因为 ri ? Ai ? Bi ? ?2 ? 0 ,所以 Ai ? Bi 可 得 ai ? Ai ? Bi? a 3, m? , ,1所 以 {an } 单 调 递 ?1 i 即 ai ? ai ?1 , 又 因 为 i ? 1 , 2 , ? 增, ……7 分

则 Ai ? ai , Bi ? ai ?1 ,所以 ri ? ai ? ai ?1 ? ?2 ,即 ai ?1 ? ai ? 2 , 1 ? i ? m ? 1 , 所以 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ,1 ? i ? m ? 1 . ………10 分 (3)构造 an ? n ? ( ) ,其中 bn ? n , cn ? ?( ) .
n n

1 2

1 2

………12 分

下证数列 ?an ? 满足题意. 证明:因为 an ? n ? ( ) ,所以数列 ?an ? 单调递增,
n

1 2

所以 Ai ? ai ? i ? ( ) , Bi ? ai ?1 ? i ? 1 ? ( )
i

1 2

1 2

i ?1



……………14 分

所以 ri ? ai ? ai ?1 ? ?1 ? ( ) 因为 ri ?1 ? ri ? [?1 ? ( )

1 2

i ?1

,1 ? i ? m ? 1 ,

1 2

i?2

1 1 ] ? [?1 ? ( )i ?1 ] ? ( )i ? 2 ? 0 , 2 2
…………16

所以数列 ?ri ? 单调递增,满足题意. 分 10、解: (1) q ? 0 , an?1 ? an ? p ? 3n?1 ,∴ a2 ? a1 ? p ?
?1 由数列 ?an ? 为等比数列,得 ? ? ?2
2

1 1 ? p , a3 ? a2 ? 3 p ? ? 4 p , 2 2

1?1 ? ? p ? ? ? ? 4 p ? ,解得 p ? 0 或 p ? 1 . ??????3 2 2 ? ? ?



当 p ? 0 时, an?1 ? an ,∴ an ? 分 当 p ? 1 时, an?1 ? an ? 3n?1 , ∴

1 符合题意; 2

?????????4

an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? =
∴ 6分
a n ?1 ? 3 符合题意. an

1 1 1 ? 3n?1 1 n?1 ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? ? ?3 , 2 2 1? 3 2
?????????

(2)法一:若 p ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ? nq , ∴ an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ? ? ? ? an ? an?1 ? = 分

1 1 n?1 ? ?1 ? 3 ? ? ? 3n?2 ? ? ? 3 ? n ? n ? 1? q ? ?1 ? 2 ? ? ? ? n ? 1?? ?q = ? ? . ??????8 2 2?

1 n?1 1 ∵数列 ?an ? 的最小项为 a 4 , ∴对 ?n ? N* , 有 ? 3 ? n ? n ? 1? q ? ? ≥ a4 ? 2 ? 27 ? 12q ? 恒成 2?
立, 即 3n?1 ? 27 ≥ n2 ? n ? 12 q 对 ?n ? N* 恒成立. 分 当 n ? 1 时,有 ?26 ≥ ?12q ,∴ q ≥

?

?

?????????10

13 ; 6 12 ; 5

当 n ? 2 时,有 ?24 ≥ ?10q ,∴ q ≥

当 n ? 3 时,有 ?18 ≥ ?6q ,∴ q ≥ 3 ; 当 n ? 4 时,有 0 ≥ 0 ,∴ q ? R ; 分 当 n ≥ 5 时, n2 ? n ? 12 ? 0 ,所以有 q ≤ 令 cn ? ?????????12

3n?1 ? 27 恒成立, n2 ? n ? 12

2 ? n 2 ? 2n ? 12 ? 3n ?1 ? 54n 3n?1 ? 27 c ? c ? ? 0, ,则 n ≥ 5, n ? N * ? ? n ?1 n n2 ? n ? 12 ? n2 ? 16 ?? n2 ? 9 ?

即数列 ?cn ? 为递增数列,∴ q ≤ c5 ? 分

27 . 4

?????????15

综上所述, 3 ≤ q ≤ 分

27 . 4

?????????16

法二:因为 p ? 1 , an?1 ? an ? 3n?1 ? nq ,

?a4 ? a3 ≤0, ?9 ? 3q ≤0, 又 a4 为数列 ?an ? 的最小项,所以 ? 即? ?a5 ? a4 ≥ 0, ?27 ? 4q ≥ 0,
所以 3 ≤q ≤

27 . 4

??????????????????????8 分

此时 a2 ? a1 ? 1 ? q ? 0 , a3 ? a2 ? 3 ? 2q ? 0 , 所以 a1 ? a2 ? a3 ≥ a4 . 分 当 n ≥ 4 时,令 bn ? an ?1 ? an , bn?1 ? bn ? 2 ? 3n?1 ? q ≥ 2 ? 34?1 ? 所以 bn?1 ? bn ,所以 0 ≤b4 ? b5 ? b6 ? ? , 即 a4 ≤a5 ? a6 ? a7 ? ? . 分 ??????????????????????14 ?????????????????????? 10

27 ? 0, 4

27 时, a4 为数列 ?an ? 的最小项, 4 27 即所求 q 的取值范围为 [3, ] . ??????????????????????16 4
综上所述,当 3 ≤q ≤ 分 11、解: (1)因为 an ?

2 1 n ?1 1 (? ) ? ?2(? ) n , 3 3 3
…………2 分

2 1 [(1 ? (? )n ] 3 ? 1 [(1 ? (? 1 ) n ] , Sn ? 3 1 2 3 1 ? (? ) 3 1 1 ? (? ) n 2Sn 1 3 所以 bn ? ? ? . an ? 2 ?2(? 1 ) n ? 2 2 3

…………4 分

(2)若 bn ? n ,则 2Sn ? nan ? 2n ,∴ 2Sn?1 ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 两式相减得 2an?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? 2 ,即 nan ? (n ? 1)an?1 ? 2 , 当 n ? 2 时, (n ? 1)an?1 ? (n ? 2)an ? 2 ,

两式相减得 (n ?1)an?1 ? (n ?1)an?1 ? 2(n ?1)an ,即 an?1 ? an?1 ? 2an , 又由 2S1 ? a1 ? 2 , 2S2 ? 2a2 ? 4 得 a1 ? 2 , a2 ? 3 , 所以数列 {an } 是首项为 2 ,公差为 3 ? 2 ? 1 的等差数列, 故数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 1 . (3)由(2)得 cn ? …………10 分

…………8 分

n ?1 , n

对于给定的 n ? N * ,若存在 k , t ? n, k , t ? N * ,使得 cn ? ck ? ct ,

n ?1 k ?1 t ?1 ? ? , n k t 1 1 1 1 1 1 1 n(k ? 1) 即 1 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ,即 ? ? ? ,则 t ? , n k t n k t kt k ?n 取 k ? n ? 1 ,则 t ? n(n ? 2) ,
只需

…………12 分

n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n?2 ∴对数列 {cn } 中的任意一项 cn ? ,都存在 cn ?1 ? 和 cn2 ? 2 n ? 使得 n n ?1 n 2 ? 2n

cn ? cn?1 ? cn2 ?2n .

…………16 分

12.(1)数列 ?an ? ,?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1, bn?2 ? 2bn?1, n ? N ? , ∴ an ? 2n ? 1 , ……………………………………………………………………… …2 分

? ?1, n ? 1 bn ? ? n ?1 ; ………………………………………………………………… ?2 , n ? 2
……4 分 ( 2 )①∵数列 ?an ? 满足:存在唯一的正整数 k =5 ,使得 ak ? ak ?1 ,且

an?1 ? an ? 2 ,
∴数列 ?an ? 必为 1,3,5, 7,5, 7,9,11, ??? ,即前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列, 从第 5 项开始为首项 5,公差为 2 的等差数列,……………………………………5 分
2 ? ?n , n ? 4 故 Sn ? ? 2 ; ………………………………………………………7 ? ?n ? 4n ? 15, n ? 5


2 2 ② ∵ bn | bn |? 2n?1 ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn ,?

而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1 ,且 Tm 为奇数,而 ?an ? 中各 项均为奇数,∴ m 必为偶数.…………………………………………9 分

Sm?1 ? 1 ? 3 ????? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)2
i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m ? 3
2 当 m ? 6 时, 2m ? 3 ? (m ? 1) ,故不存在

m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立
ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? ?3 ? 0 显然不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立
1 m ?3 ? ?2m? 2 ? 2m?1 ? 2m?1 ? 3 iii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 2 ? ??? ? +2

?

? ?

?

当 2m?1 ? 3 ? (m ? 1)2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立 所以 m ? 6 当 m ? 6 时 , q ? 6 , 构 造 : ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为

?1, 2, 4,8, ?16,32, ???
此时 p ? 3 , q ? 5 , 所以 m 的最大值为 6 .………………………………16 分


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