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2011年圆锥曲线方程知识点总结

时间:2010-12-22


2011 年圆锥曲线方程知识点总结
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2a ,且 此常数 2a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线 中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ,且此常数 2a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值” 与 2a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹不 存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 (1) 已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) , 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A.PF 1 + PF 2 = 4 B. PF 1 + PF 2 = 6 C. PF1 + PF 2 = 10 D. PF 1
2

+ PF 2

2

= 12

(2)方程 ( x ? 6)2 + y 2 ? ( x + 6)2 + y 2 = 8 表示的曲线是_____ (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离 心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用 第二定义对它们进行相互转化。如 (08 宣武一模) 已知 P 为抛物线 y =

1 2 17 x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是 (6, ) ,则 2 2

PA + PM 的最小值是 _____
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

x2 y2 x = a cos ? (参数方程,其中 ? 为参数),焦 (1)椭圆:焦点在 x 轴上时 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) ? y = b sin ? a b
点在 y 轴上时

{

y2 x2 + 2 =1( a > b > 0 )。方程 Ax 2 + By 2 = 1 表示椭圆的充要条件是什么?(A,B,同正,A 2 a b
x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为_____________;(2)若 x, y ∈ R , 3+k 2?k

≠B)。如(1)已知方程

且 3x 2 + 2 y 2 = 6 ,则 x + y 的最大值是________, x 2 + y 2 的最小值是_________.

(2) 双曲线: 焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ? 2 =1, 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1 a > 0, b > 0 ) 方程 Ax 2 + By 2 = 1 ( 。 a2 b a b
x2 y 2 5 ,且与椭圆 + = 1有公共焦 9 4 2

表示双曲线的充要条件是________________。如(1)双曲线的离心率等于 点,则该双曲线的方程_________________; (2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e = 的方程为_____________________.

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C

-1-

(3) 抛物线: 开口向右时 y = 2 px( p > 0) , 开口向左时 y = ?2 px( p > 0) , 开口向上时 x = 2 py ( p > 0) ,
2 2 2 2 开口向下时 x = ?2 py ( p > 0) 。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断)如: y = 2 x 焦点为___________。
2

(1)椭圆:由 x , y

2

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

x2 y2 + = 1 表示焦 m ?1 2 ? m

点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是_____________________。 (2)双曲线:由 x , y
2 2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位置,是椭圆、双曲 线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a, b ,确定椭圆、双曲线的形状和大 小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a = b + c ,在双曲线中, c 最大, c = a + b 。
2 2 2 2 2 2

(3)不要思维定势认为圆锥曲线方程都是标准方程 4.圆锥曲线的几何性质: (1) (以 椭圆

x2 y2 + =1 a > b > 0) ( 为例) ①范围:? a ≤ x ≤ a, ?b ≤ y ≤ b ; : ②焦点: 两个焦点 ( ±c, 0) ; a2 b2

③对称性:两条对称轴 x = 0, y = 0 ,一个对称中心(0,0),四个顶点 ( ± a, 0), (0, ±b) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x = ±

a2 c ; ⑤离心率: e = ,椭圆 ? 0 < e < 1 , e 越小,椭圆越圆; c a

e 越大,椭圆越扁。如(1)若椭圆

x2 y2 10 ,则 m 的值是________________; + = 1 的离心率 e = 5 m 5

(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为____________; (2)双曲线(以

x2 y2 ? = 1 ( a > 0, b > 0 )为例):①范围: x ≤ ? a 或 x ≥ a, y ∈ R ; a2 b2

②焦点: 两个焦点 ( ±c, 0) ; ③对称性: 两条对称轴 x = 0, y = 0 , 一个对称中心 (0,0) 两个顶点 ( ± a, 0) , , 其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为

x2 ? y 2 = k , k ≠ 0 ; ④准线: 两条准线 x = ±

a2 c ; ⑤离心率:e = , 双曲线 ? e > 1 , 等轴双曲线 ? e = 2 , c a b x 。⑤双曲线焦点到渐近线的距离是 b ,垂足恰 a

e 越小,开口越小, e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y = ±
好在准线上

如(1)双曲线的渐近线方程是 3x ± 2y = 0,则该双曲线的离心率等于____________;

-2-

(2)双曲线 ax ? by = 1 的离心率为 5 ,则 a : b =
2 2

_;

(3)设双曲线 是________;

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围 a 2 b2

2 (3)抛物线(以 y = 2 px ( p > 0) 为例):①范围: x ≥ 0, y ∈ R ;②焦点:一个焦点 (

p , 0) ,其中 p 的几 2

何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y = 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线: 一条准线 x = ? __________; 5、点 P ( x0 , y0 ) 和椭圆

p c 2 ;⑤离心率: e = ,抛物线 ? e = 1 。如设 a ≠ 0, a ∈ R ,则抛物线 y = 4ax 的焦点坐标为 2 a x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 )的关系: a2 b2

2 2 2 2 x0 y 0 x0 y0 (1)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 2 + 2 > 1 ;(2)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆上 ? 2 + 2 =1; a b a b
2 2 x0 y0 + 2 <1 a2 b

(3)点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆内 ?

6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1) 相交:? > 0 ? 直线与椭圆相交; ? > 0 ? 直线与双曲线相交, 但直线与双曲线相交不一定有 ? > 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交且只有一个交点, ? > 0 是直线与双曲线相交的充分条件, 故 但不是必要条件; ? > 0 ? 直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? > 0 ,当直线与抛物线的对称轴 平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 ? > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。 如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是___________; (2)直线 y―kx―1=0 与椭圆

x2 y 2 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是______________; 5 m

(3)过双曲线

x2 y2 ? = 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有___条。 1 2

(2)相切: ? = 0 ? 直线与椭圆相切; ? = 0 ? 直线与双曲线相切; ? = 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? < 0 ? 直线与椭圆相离; ? < 0 ? 直线与双曲线相离; ? < 0 ? 直线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的 渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一 个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P ( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2

①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相 切的两条切线,共四条; ②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切 的两条切线,共四条; ③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;
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④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如(1)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 = 8x 只有一个公共点,这样的直线有____________; (2)过点(0,2)与双曲线

x2 y 2 ? = 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_________; 9 16

(3)过双曲线 x 2 ?

y2 = 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB = 4,则满足条件的直线 l 有____条; 2
2

(4)对于抛物线 C: y 2 = 4 x ,我们称满足 y 0 < 4x 0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线 的内部,则直线 l : y 0 y = 2( x + x 0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______; (5)过抛物线 y 2 = 4x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q ,则

1 1 + = _______; p q
(6)设双曲线

x2 y2 ? = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 P, Q, R , 16 9

则 ∠PFR 和 ∠QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) ; (7)求椭圆 7 x 2 + 4 y 2 = 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 = 0 的最短距离________________; (8)直线 y = ax + 1 与双曲线 3x2 ? y 2 = 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上? ②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:①____________;②____________); 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距 离,即焦半径 r = ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆

x2 y2 + = 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为_____________; 25 16

(2)已知抛物线方程为 y2 = 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物线的焦点的距离等于____; (3)若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4,则点 M 的坐标为______________; (4) P 在椭圆 点

x2 y2 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍, 则点 P 的横坐标为__________; + = 1 上, 25 9

(5)抛物线 y 2 = 2x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为___________; (6)椭圆

x2 y2 + = 1 内有一点 P (1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP + 2 MF 之值最小,则点 4 3

M 的坐标为_______________; 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求 解。设椭圆或双曲线上的一点 P ( x0 , y0 ) 到两焦点 F1 , F2 的距离分别为 r1 , r2 ,焦点 ?F1 PF2 的面积为 S ,则在椭圆
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x2 y2 + = 1 中, a2 b2
① θ = arccos( ② S = b tan
2

2b 2 ? 1) ,且当 r1 = r2 即 P 为短轴端点时, θ 最大为 θ r1 r2

max = arccos

b2 ? c2 ; a2

θ
2

= c | y0 | ,当 | y0 |= b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;

对于双曲线

x2 y2 ? = 1 的焦点三角形有: a2 b2

? 2b 2 ① θ = arccos?1 ? ? r1 r2 ?

? 1 θ ? ;② S = r1 r2 sin θ = b 2 cot 。 ? 2 2 ?
2 的椭圆的两焦点为 F1 、F2 , F1 作直线交椭圆于 A、 两点, ?ABF2 过 B 则 3

如 (1) 短轴长为 5 , 离心率 e = 的周长为___________;

F F 若 |PF (2) P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 = a 2 (a > 0) 右支上一点, 1、 2 是左右焦点, PF2 ? F1 F2 = 0 , 1|=6, 设 则该双曲线的方程为 (3)椭圆 的取值范围是 ___;

x2 y 2 → → + = 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2 ·PF1 <0 时,点 P 的横坐标 9 4
_______;

(4)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e=

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线与双曲线的左支 2

交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________; (5)已知双曲线的离心率为 2,F1 、F2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ∠F1 PF2 = 60 ,

S ?PF1F2 = 12 3 .求该双曲线的标准方程____________________;
9、圆锥曲线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;椭圆以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相离,双曲线 以过焦点的弦为直径的圆和相应准线相交 (2)设 AB 为焦点弦, M 为与相应准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)抛物线设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)抛物线(椭圆,双曲线)设 AB 为焦点弦若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若 过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB =

1 + k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则 AB = 1 +

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 k2

x = ky + b ,则 AB = 1 + k 2 y1 ? y2 。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦
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长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB| 等于_______; (2)过抛物线 y = 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则ΔABC 重
2

心的横坐标为_______;

x2 y2 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 2 + 2 = 1 中, a b
以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=-

b 2 x0 x2 y2 ;在双曲线 2 ? 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直 a b a 2 y0

b 2 x0 p 2 线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 a y0
x2 y2 如(1)如果椭圆 + = 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9
(2)已知直线 y=-x+1 与椭圆 ;

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L:x a2 b2

-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______; (3) 试确定 m 的取值范围(_________), 使得椭圆

x2 y2 + = 1 上有不同的两点关于直线 y = 4 x + m 对称,; 4 3

特别提醒:因为 ? > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别 忘了检验 ? > 0 ! 12.你了解下列结论吗?
2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y = 1 的渐近线方程为 x ? y = 0 ; a2 b2 a2 b2 2 2 2 2 b (2)以 y = ± x 为渐近线(即与双曲线 x ? y = 1 共渐近线)的双曲线方程为 x ? y = λ (λ 为参数,λ ≠ a a2 b2 a2 b2

0)。如与双曲线

x2 y2 ? = 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为________________ ; 9 16

2 2 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx + ny = 1 ;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

2b 2 b2 ,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 , a c

抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

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(6)若抛物线 y = 2 px( p > 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则① | AB |= x1 + x2 + p ;
2

② x1 x2 =

p2 , y1 y2 = ? p 2 4
2

(7) OA、 是过抛物线 y = 2 px( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦, 若 OB 则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) 13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y ) = 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x = 3 的距离之和 等于 4,求 P 的轨迹方程____________________________________________; ②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其

待定系数。如抛物线顶点在原点,坐标轴为对称轴,过 (1, 4 ) 点,抛物线方程为______________________;
③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
2 2 如(1)由动点 P 向圆 x + y = 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600,则动点 P 的轨迹方程为

; (2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l: +5=0的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______________; x (3) 一动圆与两圆⊙M: x 2 + y 2 = 1 和⊙N: x 2 + y 2 ? 8 x + 12 = 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为 ___;

(4) (08 东城一模) 已知定圆 A : ( x + 1) 2 + y 2 = 16 ,圆心为 A ,动圆 M 过点 B (1,0) 且和圆 A 相切,动圆的圆 心 M 的轨迹记为 C .求曲线 C 的方程_____________________________; ④代入转移法:动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q ( x0 , y0 ) 的变化而变化,并且 Q ( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可 先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求的轨迹方程。 如 ?ABC 周长 16, A ( ? 3, 0) , B (3, 0) 动点 P 是其重心,当 C 运动时,则 P 的轨迹方程为__________; ⑤参数法:当动点 P ( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x, y 均用一中间 变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程,引入 n 个参量 需要 n+ 1 个等式 ,等式由几何条件坐标 化得来 注意参量得范围, 。 如 (1) 是圆 O 的直径, AB 且|AB|=2a, 为圆上一动点, MN⊥AB, M 作 垂足为 N, OM 上取点 P , | OP |=| MN | , 在 使 求点 P 的轨迹_________________________; (2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 + y 2 = 1 上运动,则点 Q ( x1 y1 , x1 + y1 ) 的轨迹方程是_____________________; (3) 过抛物线 x 2 = 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 两点, B 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是____________; (4) (08 海淀一模)已知点 A, B 分别是射线 l1 : y = x ( x ≥ 0 ) , l2 : y = ? x ( x ≥ 0 ) 上的动点, O 为坐标原点,且 ?OAB 的面积为定值 2.求线段 AB 中点 M 的轨
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迹 C 的方程________________________________; 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行转 化,还是选择向量的代数形式进行转化。

x2 y2 如已知椭圆 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0)、F2(c,0),Q 是椭圆外的动点, a b
满足 | F1Q |= 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足 PT ? TF2 = 0, | TF2 |≠ 0.(1) 设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |= a +

c x ;(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上, a
2

是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1) 略;(2) x 2 + y 2 = a 2 ;(3)当

b2 b2 > a 时不存在;当 ≤ a 时存在,此时∠F1MF2=2) c c

②曲线与曲线方程、 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念, 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹 的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”坐标化(三点共线转化为斜率相等)、化解析几 何问题为代数问题(方程与函数)、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不 等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u = (1, k ) 或 u = (m, n ) ; (2)给出 OA + OB 与 AB 相交,等于已知 OA + OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP + AQ = λ BP + BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 λ , 使AB = λ AC ;③若存在实数

(

)

α , β , 且α + β = 1, 使OC = α OA + β OB ,等于已知 A, B, C 三点共线.
(6) 给出 OP =

OA + λ OB ,等于已知 P 是 AB 的定比分点, λ 为定比,即 AP = λ PB 1+ λ

(7) 给出 MA ? MB = 0 ,等于已知 MA ⊥ MB ,即 ∠AMB 是直角,给出 MA ? MB = m < 0 ,等于已知 ∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知 ∠AMB 是锐角,

? ? ? MA MB ? (8)给出 λ ? + ? = MP ,等于已知 MP 是 ∠AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?
(9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB + AD ) ? ( AB ? AD ) = 0 ,等于已知 ABCD 是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB + AD |=| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是矩形;
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(11)在 ?ABC 中,给出 OA = OB = OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,三角 形的外心是三角形三边垂直平分线的交点); (12) 在 ?ABC 中,给出 OA + OB + OC = 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角形的重心是三角形三 条中线的交点); (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的垂心(三角形的垂心是 三角形三条高的交点); (14)在 ?ABC 中,给出 OP = OA + λ (

2

2

2

AB AC + ) (λ ∈ R + ) 等于已知 AP 通过 ?ABC 的内心; | AB | | AC |

(15)在 ?ABC 中,给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心(三角形内切圆的圆心, 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点); (16) 在 ?ABC 中,给出 AD =

1 AB + AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

(

)

15.圆锥曲线最值,定值,定点问题 基本方法:拿到表达式或和问题等价的代数形式 (西城)已知定点 C ( ?1,) 及椭圆 x 2 + 3 y 2 = 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. 0 (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. (海淀文科)已知椭圆的中心是坐标原点 O ,它的短轴长为 2 ,右焦点为 F ,右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,

FE = OF ,过点 F 的直线与椭圆相交于 A, B 两点, 点 C 和点 D 在 l 上,且 AD // BC // x 轴.
(I) 求椭圆的方程及离心率;

1 | AD | 时,求直线 AB 的方程; 3 (III)求证:直线 AC 经过线段 EF 的中点.
(II)当 | BC |= 16.解析几何中求变量的范围问题: 基本方法:一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题.或转化为解不等式 例(08 海淀一模)直线 l 过抛物线 y 2 = x 的焦点 F,交抛物线于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜 角θ …

π
4

, 则|FA|的取值范围是(



(A) [ ,

1 3 ) 4 2

(B) ( ,

1 3 2 + ] 4 4 2

(C) ( ,

1 3 ] 4 2

(D) ( ,1 +

1 4

2 ] 2

例已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

6 ,两条准线间的距离为 6. 椭圆 W 的左焦点为 F , 3

过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、B ,点 A 关于 x 轴的对称 点为 C .(Ⅰ)求椭圆 W 的方程;(Ⅱ)求证: CF = λ FB ( λ ∈ R );(Ⅲ)求 ?MBC 面积 S 的最大值.

-9-

例.椭圆方程为 x +
2

y2 1 =1 是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分。 9 2

若存在,求 l 的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。 例.已知椭圆 x + y 2 = 1 的左焦点为 F,O 为坐标原点.(I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; y
2
2

(II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.
l F A B

G

O

x

例、给定抛物线 C : y 2 = 4 x ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,记 O 为坐标原点. (1)求 OA ? OB 的值; (2)设 AF = λ FB, 当三角形OAB的面积S ∈ [ 2,5 ] 时,求 λ 的取值范围. 17.结合定义解题 (西城)已知两点 A(1, , B (b, ,若抛物线 y 2 = 4 x 上存在点 C 使 ?ABC 为等边三角形,则 b = _________ 0) 0)

(东城)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若在双曲线的右支上存在一点 P ,使 a2 b2
.

得 PF1 = 3 PF2 ,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 (宣武) 已知 P 为抛物线 y = 最小值是 A 8 B

1 2 17 x 上的动点, P 在 x 轴上的射影为 M, A 的坐标是 (6, ) , PA + PM 的 点 点 则 2 2
( ) C 10 D

19 2

21 2

(朝阳)已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,抛物线 C2 的顶点在原点,它的准 a 2 b2

线与双曲线 C1 的左准线重合,若双曲线 C1 与抛物线 C2 的交点 P 满足 PF2 ⊥ F1 F2 ,则双曲线 C1 的离心率为

A. 2

B. 3

C.

2 3 3

D. 2 2

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