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2017-2018学年高中数学必修5教师用书:第2章 2-3-3 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和 含解析 精品

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第 2 课时 数列求和 1.掌握一些数列常见的求和方法,如倒序相加法、错位相减法、裂项相消 法、分组求和法、奇偶分析法等.(重点、难点) 2.在求和过程中,体会转化与化归思想的应用. 3.错位相减时的项数计算.(易错点) [基础· 初探] 教材整理 数列求和的方法 阅读教材 P55~P57,P62 第 12 题,第 13 题,P70 第 13 题,完成下列问题. 1.分组求和法 若 cn=an+bn,{an},{bn},{cn}前 n 项和分别为 An,Bn,Cn,则 Cn=An+ Bn,以此可以对数列{an}分组求和. 2.错位相减法求和 设数列{an}为等比数列且公比 q≠1,则 Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. 两式相减,(1-q)Sn=a1(1-qn), a1?1-qn? ∴Sn= (q≠1). 1-q 这种求和的方法叫错位相减法. 3.裂项相消法求和 将某些特殊数列的每一项拆成两项的差, 并使它们求和的过程中出现相同的 项, 且这些相同的项能够相互抵消,从而达到将求 n 个数的和的问题转化为求少 数的几项的和的目的.这种求和的方法叫裂项相消法. 4.数列{an}的 an 与 Sn 的关系:数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+ ?S1,n=1, an,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. 1 1.若 an= ,则数列{an}的前 10 项和 S10= n?n+1? 【解析】 1 1 1 ∵an= =n- , n?n+1? n+1 . 1? ?1 1? ? ? 1 1 ? 10 ∴S10=?1-2?+?2-3?+…+?10-11?=11 . ? ? ? ? ? ? 【答案】 10 11 . 1 1 1 1 2.数列 12,24,38,416,…的前 n 项和是 【解析】 【答案】 1 ? n?n+1? 1 ?1 1 1 Sn=(1+2+3+…+n)+?2+4+8+…+2n?= 2 +1-2n. ? ? n?n+1? 1 + 1 - 2 2n [小组合作型] 分组求和 2 2 2 ? 1? ? 2 1 ? ? n 1? 求和:Sn=?x+x? +?x +x2? +…+?x +xn? . ? ? ? ? ? ? 2 1 ? n 1? 【精彩点拨】 先分析通项 an=?x +xn? =x2n+x2n+2,再分组求和,注意 ? ? x 的取值范围. 【自主解答】 当 x≠± 1 时, 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? Sn=?x+ x? +?x2+x2? +…+?xn+xn? ? ? ? ? ? ? 1? ? 1? 1? ? ? =?x2+2+x2?+?x4+2+x4?+…+?x2n+2+x2n? ? ? ? ? ? ? 1? ?1 1 =(x2+x4+…+x2n)+2n+?x2+x4+…+x2n? ? ? x2?x2n-1? x-2?1-x-2n? = 2 + +2n x -1 1-x-2 ?x2n-1??x2n+2+1? = +2n; x2n?x2-1? 当 x=± 1 时,Sn=4n. x=± 1, ?4n2, 综上知,Sn=??x n-1??x2n 2+1? ? x2n?x2-1? +2n,x≠±1. + 分组求和法的求和策略 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将其每一项拆开,可分 为几个等差、等比或常数列,然后分别求和,再将其合并即可.像这种数列求和 方法称为分组求和法,运用这种方法的关键是将通项变形. [再练一题] 1 1 1 1.已知数列 1+1,a+4,a2+7,…, n-1+3n-2,…,求其前 n 项的和. a 【解】 ? 1 ? ?1 ? ? 1 ? 设 Sn=(1+1)+?a+4?+?a2+7?+…+?an-1+3n-2?将其每一项拆 ? ? ? ? ? ? 开再重新组合得, 1 1 1 ? ? Sn=?1+a+a2+…+an-1?+(1+4+7+…+3n-2), ? ? ?3n-1?n ?3n+1?n 当 a=1 时,Sn=n+ = ; 2 2 当 a≠1 时, 1 1-an ?3n-1?n a-a1-n ?3n-1?n Sn= = + . 1+ 2 2 a-1 1-a 错位相减法求和 已知数列{an},a1=1,an=2· 3n-2(n≥2),求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【精彩点拨】 【自主解答】 利用错位相减法求 Tn,但本题需注意 n 的范围. Tn=a1+2a2+3a3+…+nan. 当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4· 30+6· 31+…+2n· 3n-2, 3Tn=3+4· 31+6· 32+…+2n· 3n-1, ①-②得: -2Tn=1+(4-3)+2(31+32+…+3n-2)-2n· 3n-1 3?1-3n 2? =2+2· -2n· 3n-1 1-3 - ① ② =-1+(1-2n)· 3n-1, 1?3 1 ? ∴Tn=2+?n-2? ? ? n-1 (n≥2). 又∵T1=a1=1 也满足上式, 1?3 1 ? ∴Tn=2+?n-2? ? ? n-1 (n∈N*). 1.若 cn=an· bn,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则{cn}的前 n 项和 可用错位相减法求得. 2.用错位相减法求和时应注意:①两式相减后除首、末项外的中间的项转 化为一个等比数列求和.②注意两式相减后所得式子第一项后是加号,最后一项 前面是减号. [再练一题] ?n? 2.求数列?2n?的前 n 项和 Sn. ? ? 【解】 Sn=a1+a2+a3+…+an, ① ② 1 1 1 1 Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n, 1 1 1 1 1 S n=1× 2+2× 3+…+(n-1)× n+n× n+1, 2 2 2 2 2 1 1 1

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