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2013届高三模拟试卷(01)数学(文)参考答案

时间:2013-05-14


2013 届高三模拟试卷(01) 数学(文)试卷参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 B 7 A 8 B 9 B 10 B

二、填空题 11.

13 4

12. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 13. 2

3
14. 4021. 15. ① 三、解答题 16.解: (1)由 m ? n ? 0 ,得 (sin B ? sin A)(sin B ? sin A) ? sin C (sin B ? sin C ) ? 0
2 2 2 即 sin B ? sin A ? sin B sin C ? sin C ? 0 2 2 2 由正弦定理得 b ? a ? bc ? c ? 0 2 2 2 即 b ? c ? a ? bc -------------4 分

------------2 分

,

由余弦定理得 cos A ? 又 0 ? A ? ? ,所以 A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

?

1 2

,

? . --------------6 分 3 1 ? cos B 1 ? cos B ? cos B ? sin B ? 2 ? sin B ? 3 ? (2) f ( B ) ? 2 2 ? ? 2 sin( B ? ) ? 2, -------------9 分 4

【数学(文)试卷参考答案 第 1 页(共 6 页) 】

因为 B ? C ? 所以 0 ? B ?

2? ,且 B,C 均为 ?ABC 的内角, 3
所以

2? , 3
?

?
4

? B?

?
4

?

11 ? , 12



?
4

? B?

?
4

?
2

,-----------------11 分

即0 ? B ?

?

4

时, f (B ) 为递增函数,

即 f (B ) 的递增区间为 (0, 17. 解: (1) P( x, y ) 共 9 种情形:

?
4

].

------------------12 分

(0,0),(0,1),(0, 2),(1,0),(1,1),(1, 2),(2,0),(2,1),(2, 2) -------------3 分
2 2 满足 OP ? 1 ,即 x ? y ? 1 ,共有 6 种---------------5 分

6 2 ? ----------------6 分 9 3 2 1 2 (2)设 P 到 OA 的距离为 d ,则 S ? ? 2 ? d ? ,即 d ? -----------8 分 3 2 3 2 ? P 到 OA 、 AB 、 BC 、 CO 的距离均大于 ----------------9 分 3 2 2 (2 ? 2 ? ) 3 ? 1 -------------------12 分 ? 概率为 2? 2 9
因此所求概率为 18.解: (1)证明:由等腰三角形 PBC,得 BE⊥ PC,又 DE 垂直平分 PC, ∴ PC,且 DE∩BE=E, ∴ 平面 BDE;----------------4 分 DE⊥ PC⊥ (2)由(Ⅰ )PC⊥ 平面 BDE,BD?平面 BDE,∴ BD PC⊥ 同理,∵ 底面 ABC,∴ BD,--------------6 分 PA⊥ PA⊥ 又 PA∩PC=P, ∴ 面 APC,DQ?面 APC, ∴ DQ. BD⊥ BD⊥ 所以点 Q 是线段 PA 上任一点都有 BD⊥ DQ-------------8 分 (3)∵ PA=AB=2,∴ , ∵ BC, AB⊥ ∴ △ABC= S =2 .AC=2

【数学(文)试卷参考答案 第 2 页(共 6 页) 】

∴ CD=

=

,-----------------9 分

即 S△DCB= S△ABC,又 E 是 PC 的中点 ∴ B﹣CED= S△ABC?PA= V .----------------12 分

19.解: (1)记 bn=f(n) ,由 f(x+1)=f(x)+2 有 bn+1﹣bn=2 对任意 n∈N*都成立, 又 b1=f(1)=λ,所以数列 bn 为首项为 λ 公差为 2 的等差数列,----------2 分 故 bn=2n+λ﹣2,即 f(n)=2n+λ﹣2.-------------------4 分 (2)由题设 λ=3 ﹣ ﹣ 若 n 为偶数,则 an=2n 1;若 n 为奇数且 n≥3,则 an=f(an﹣1)=2an﹣1+λ﹣2=2?2n 2+λ﹣ ﹣ ﹣ 2=2n 1+λ﹣2=2n 1+1 又 a1=λ﹣2=1, 即 ------------------------------6 分 a1+a2+a3++a2n=(a1+a3++a2n﹣1)+(a2+a4++a2n)=(20+22++22n 2+n﹣1)+(21+23++22n 1) ﹣ =(1+21+22++22n 1)+n﹣1=22n+n﹣2. ------------------8 分 ﹣ (3)当 n 为奇数且 n≥3 时,an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=2n[2n+1+λ﹣2﹣(2n 1+λ﹣ ﹣ 2)]=3?22n 1>0;------------------10 分 ﹣ ﹣ 当 n 为偶数时,an+1an+2﹣anan+1=an+1(an+2﹣an)=(2n+λ﹣2) n+1﹣2n 1)]=3?2n 1(2n+λ (2 ﹣2) ,因为 anan+1<an+1an+2,所以 2n+λ﹣2>0, ∵ 为偶数,∴ n n≥2, n ∵ +λ﹣2 单增∴ 2 4+λ﹣2>0,即 λ>﹣2 故 取 范 为 ﹣ +∞) ----------------12 分 λ的 值 围 ( 2, . 20.解: (1)明:设 ? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? a?1 ? 1 ? ? a ln x ? a?1 ? 1 ?, ?x ? 0? ? ? ? ?
? x? ? x?
﹣ ﹣

则 ? ??x ? ? a ? a2 ? 0 ,则 x ? 1 ,即 ? ?x ? 在 x ? 1 处取到最小值, x x 则 ? ?x ? ? ? ?1? ? 0 ,即原结论成立. -----------------------4 分
ln x ? x ?1 x (2):由 f ?x ? ? x 得 a ln x ? 1 ? x 即 a ? ,另 g ? x ? ? x ? 1 , ? x ? 1? , g ?? x ? ? 2 ln x ln x ?ln x ? x ?1

【数学(文)试卷参考答案 第 3 页(共 6 页) 】

另 h? x ? ? ln x ?

x ?1 1 1 , h?? x ? ? ? 2 ? 0 则 h?x ? 单调递增,所以 h?x? ? h?1? ? 0 x x x

因为 h?x ? ? 0 ,所以 g ??x ? ? 0 ,即 g ?x ? 单调递增,则 g ?x ? 的最大值为 g ?e? ? e ? 1 所以 a 的取值范围为 ?e ? 1,??? . -------------------8 分 (3):由第一问得知 ln x ? 1 ?

1 1 则 ln n ? 1 ? ----------------------10 分 x n

1 ?ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln?n ? 1?? ? n 2 ? ln 2 ? ln 3 ? ? ? ln n ? 1 ? n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? n 2 3 n ?1
? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 2n ? 2? ? ??? ? ? 2n ? 2? ? ??? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2? 3 n ? n ?1 ? ?2 2 2 3 ?1? 2

则 f ?2? ? f ?3? ? ? ? f ?n ? 1? ?

? 2 n ? 1 ? n ? 1 --------------------------------13 分
21. (1)知椭圆右焦点 F(1,0) c=1, ,∴ 抛物线 的焦点坐标 ,∴ ∴2=3 b

?

?

∴2=b2+c2=4∴ a 椭圆 C 的方程 ----------------4 分

(2)知 m≠0,且 l 与 y 轴交于 设直线 l 交椭圆于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 由



-----------------5 分 ∴=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0 △ ∴ -----------------6 分 又由 【数学(文)试卷参考答案 第 4 页(共 6 页) 】



同理 --------------------7 分 ∴





所以,当 m 变化时,λ1+λ2 的值为定值

;-----------------9 分

(3) :由(2)A(x1,y1) ,B(x2,y2) D(4,y1) ,∴ ,E(4,y2) 方法 1)∵ -----------------10 分 当 时,

=

= ----------------------12 分 ∴ 点 同理可证,点 在直线 lAE 上,-------------------13 分 也在直线 lBD 上;

∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当

------------------14 分

【数学(文)试卷参考答案 第 5 页(共 6 页) 】

方法 2)∵ -------------------10 分

-------------------11 分

= -------------------12 分 ∴EN=kAN∴ k A、N、E 三点共线, 同理可得 B、N、D 也三点共线;---------------------13 分 ∴ m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 当 .-------------14 分

【数学(文)试卷参考答案 第 6 页(共 6 页) 】


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