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【精品】人教版高中数学选修2-2同步章节训练题及答案全册汇编

时间:2017-08-28


人教 A 版高中数学选修 1-2 同步训练
目 1.1.1 变化率问题 同步练习 1.1.2 导数的概念 同步练习 1.1.3 导数的几何意义 同步练习 1.2.1 几个常用的函数的导数 同步练习 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 1 同步练习 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 2 同步练习 1.3.1 函数的单调性与导数 同步练习 1.3.2 函数的极值与导数 同步练习 1.3.3 函数的最值与导数 同步练习 1.4 生活中的优化问题举例 同步练习 1.5.1-2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程 同步练习 1.5.3 定积分的概念 同步练习 1.6 微积分基本定理 同步练习 1.7 定积分的简单应用 同步练习 第一章 导数及其应用 综合检测 第一章 章末综合训练 2.1.1.1 归纳推理 同步练习 2.1.1.2 类比推理 同步练习 2.1.2 演绎推理 同步练习 2.2.1 综合法与分析法 同步练习 录

2.2.2 反证法 同步练习 2.3 数学归纳法 同步练习 第二章 推理与证明综合检测 第二章 章末综合训练 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 同步练习 3.1.2 复数的几何意义 同步练习 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 同步练习 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 同步练习 第三章 数系的扩充与复数的引入 综合检测 第三章 章末综合训练 选修 2-2 综合检测

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选修 2-2
一、选择题

1.1

第 1 课时 变化率问题

1.在平均变化率的定义中,自变量 x 在 x0 处的增量 Δx( A.大于零 C.等于零 [答案] D [解析] Δx 可正,可负,但不为 0,故应选 D. B.小于零 D.不等于零

)

2.设函数 y=f(x),当自变量 x 由 x0 变化到 x0+Δx 时,函数的改变量 Δy 为( A.f(x0+Δx) C.f(x0)·Δx [答案] D [解析] 由定义,函数值的改变量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0),故应选 D. 3.已知函数 f(x)=-x2+x,则 f(x)从-1 到-0.9 的平均变化率为( A.3 C.2.09 [答案] D [解析] f(-1)=-(-1)2+(-1)=-2. f(-0.9)=-(-0.9)2+(-0.9)=-1.71. f(-0.9)-f(-1) -1.71-(-2) ∴平均变化率为 = =2.9,故应选 D. 0.1 -0.9-(-1) 4.已知函数 f(x)=x2+4 上两点 A,B,xA=1,xB=1.3,则直线 AB 的斜率为( A.2 C.2.09 [答案] B [解析] f(1)=5,f(1.3)=5.69. ∴kAB= f(1.3)-f(1) 5.69-5 = =2.3,故应选 B. 0.3 1.3-1 ) B.2.3 D.2.1 B.0.29 D.2.9 ) B.f(x0)+Δx D.f(x0+Δx)-f(x0)

)

)

5.已知函数 f(x)=-x2+2x,函数 f(x)从 2 到 2+Δx 的平均变化率为( A.2-Δx C.2+Δx [答案] B [解析] ∵f(2)=-22+2×2=0, ∴f(2+Δx)=-(2+Δx)2+2(2+Δx) B.-2-Δx D.(Δx)2-2·Δx

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=-2Δx-(Δx)2, ∴ f(2+Δx)-f(2) =-2-Δx,故应选 B. 2+Δx-2 )

Δy 6.已知函数 y=x2+1 的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 等于( Δx A.2 C.2+Δx [答案] C [解析] Δy f(1+Δx)-f(1) = Δx Δx B.2x D.2+(Δx)2

[(1+Δx)2+1]-2 = =2+Δx.故应选 C. Δx 7.质点运动规律 S(t)=t2+3,则从 3 到 3.3 内,质点运动的平均速度为( A.6.3 C.3.3 [答案] A [解析] S(3)=12,S(3.3)=13.89, S(3.3)-S(3) 1.89 ∴平均速度 v = = =6.3,故应选 A. 0.3 3.3-3 1 8.在 x=1 附近,取 Δx=0.3,在四个函数①y=x、②y=x2、③y=x3、④y= 中,平均 x 变化率最大的是( A.④ C.② [答案] B [解析] Δx=0.3 时,①y=x 在 x=1 附近的平均变化率 k1=1;②y=x2 在 x=1 附近的 平均变化率 k2=2+Δx=2.3;③y=x3 在 x=1 附近的平均变化率 k3=3+3Δx+(Δx)2=3.99; 1 1 10 ④y= 在 x=1 附近的平均变化率 k4=- =- .∴k3>k2>k1>k4,故应选 B. x 13 1+Δx 9.物体做直线运动所经过的路程 s 可以表示为时间 t 的函数 s=s(t),则物体在时间间 隔[t0,t0+Δt]内的平均速度是( A.v0 s(t0+Δt)-s(t0) C. Δt [答案] C [解析] 由平均变化率的概念知 C 正确,故应选 C. ) Δt B. s(t0+Δt)-s(t0) s(t) D. t ) B.③ D.① B.36.3 D.9.3 )

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1? 1 10.已知曲线 y= x2 和这条曲线上的一点 P? ?1,4?,Q 是曲线上点 P 附近的一点,则点 4 Q 的坐标为( ) 1 2? B.? ?Δx,4(Δx) ? 1 2? D.? ?Δx,4(1+Δx) ?

1 2? A.? ?1+Δx,4(Δx) ? 1 2? C.? ?1+Δx,4(Δx+1) ? [答案] C

1 [解析] 点 Q 的横坐标应为 1+Δx,所以其纵坐标为 f(1+Δx)= (Δx+1)2,故应选 C. 4 二、填空题 Δy 11.已知函数 y=x3-2,当 x=2 时, =________. Δx [答案] (Δx)2+6Δx+12 [解析] =
3 3 Δy (2+Δx) -2-(2 -2) = Δx Δx

(Δx)3+6(Δx)2+12Δx Δx

=(Δx)2+6Δx+12. 1 1 12.在 x=2 附近,Δx= 时,函数 y= 的平均变化率为________. 4 x 2 [答案] - 9 1 1 - 2 Δy 2+Δx 1 2 [解析] = =- =- . Δx Δx 9 4+2Δx 1 13.函数 y= x在 x=1 附近,当 Δx= 时的平均变化率为________. 2 [答案] [解析] 6-2 1+Δx- 1 Δy 1 = = = 6-2. Δx Δx 1+Δx+1

14.已知曲线 y=x2-1 上两点 A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当 Δx=1 时,割线 AB 的斜率 是________;当 Δx=0.1 时,割线 AB 的斜率是________. [答案] 5 4.1 [解析] 当 Δx=1 时,割线 AB 的斜率 k1=
2 2 2 2 Δy (2+Δx) -1-2 +1 (2+1) -2 = = =5. Δx Δx 1

当 Δx=0.1 时,割线 AB 的斜率 k2=
2 2 Δy (2+0.1) -1-2 +1 = =4.1. Δx 0.1

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三、解答题 15.已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数 f(x) 及 g(x)的平均变化率. [解析] 函数 f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 f(-1)-f(-3) [2×(-1)+1]-[2×(-3)+1] = =2. 2 -1-(-3) 函数 f(x)在[0,5]上的平均变化率为 f(5)-f(0) =2. 5-0 函数 g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为 g(-1)-g(-3) =-2. -1-(-3) 函数 g(x)在[0,5]上的平均变化率为 g(5)-g(0) =-2. 5-0 2 16.过曲线 f(x)= 2的图象上两点 A(1,2),B(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线 AB,求出当 Δx x 1 = 时割线的斜率. 4 (2+Δy)-2 Δy [解析] 割线 AB 的斜率 k= = (1+Δx)-1 Δx 2 -2 (1+Δx)2 -2(Δx+2) 72 = = =- . Δx 25 (1+Δx)2 17.求函数 y=x2 在 x=1、2、3 附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大? [解析] 在 x=2 附近的平均变化率为 k1= f(1+Δx)-f(1) (1+Δx)2-1 = =2+Δx; Δx Δx

在 x=2 附近的平均变化率为 k2= f(2+Δx)-f(2) (2+Δx)2-22 = =4+Δx; Δx Δx

在 x=3 附近的平均变化率为 k3= f(3+Δx)-f(3) (3+Δx)2-32 = =6+Δx. Δx Δx

对任意 Δx 有,k1<k2<k3, ∴在 x=3 附近的平均变化率最大. 18.(2010· 杭州高二检测)路灯距地面 8m,一个身高为 1.6m 的人以 84m/min 的速度在 地面上从路灯在地面上的射影点 C 处沿直线离开路灯.
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(1)求身影的长度 y 与人距路灯的距离 x 之间的关系式; (2)求人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率. [解析] (1)如图所示,设人从 C 点运动到 B 处的路程为 xm,AB 为身影长度,AB 的长 度为 ym,由于 CD∥BE, 则 即 AB BE = , AC CD y 1.6 1 = ,所以 y=f(x)= x. 8 4 y+x

(2)84m/min=1.4m/s,在[0,10]内自变量的增量为

x2-x1=1.4×10-1.4×0=14, 1 1 7 f(x2)-f(x1)= ×14- ×0= . 4 4 2 7 f(x2)-f(x1) 2 1 所以 = = . 14 4 x2-x1 1 即人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率为 . 4

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选修 2-2
一、选择题 1.函数在某一点的导数是(

1.1

第 2 课时 导数的概念

)

A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B.一个函数 C.一个常数,不是变数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C Δy [解析] 由定义,f′(x0)是当 Δx 无限趋近于 0 时, 无限趋近的常数,故应选 C. Δx 2.如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t0=3 时的瞬时速度为( A.6 C.54 [答案] B [解析] ∵s(t)=3t2,t0=3, ∴Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=3(3+Δt)2-3· 32 Δs =18Δt+3(Δt)2∴ =18+3Δt. Δt Δs 当 Δt→0 时, →18,故应选 B. Δt 3.y=x2 在 x=1 处的导数为( A.2x C.2+Δx [答案] B [解析] ∵f(x)=x2,x=1, ∴Δy=f(1+Δx)2-f(1)=(1+Δx)2-1=2·Δx+(Δx)2 ∴ Δy =2+Δx Δx ) B.2 D.1 B.18 D.81 )

Δy 当 Δx→0 时, →2 Δx ∴f′(1)=2,故应选 B. 4.一质点做直线运动,若它所经过的路程与时间的关系为 s(t)=4t2-3(s(t)的单位:m, t 的单位:s),则 t=5 时的瞬时速度为( A.37 C.39 B.38 D.40
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)

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[答案] D
2 2 Δs 4(5+Δt) -3-4×5 +3 [解析] ∵ = =40+4Δt, Δt Δt

∴s′(5)=li m →

Δt 0

Δs =li m (40+4Δt)=40.故应选 D. Δt Δt→0 )

5.已知函数 y=f(x),那么下列说法错误的是( A.Δy=f(x0+Δx)-f(x0)叫做函数值的增量

Δy f(x0+Δx)-f(x0) B. = 叫做函数在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率 Δx Δx C.f(x)在 x0 处的导数记为 y′ D.f(x)在 x0 处的导数记为 f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知 C 错误.故应选 C. 6.函数 f(x)在 x=x0 处的导数可表示为 y′|x=x0,即( A.f′(x0)=f(x0+Δx)-f(x0) B.f′(x0)=li m [f(x0+Δx)-f(x0)] →
Δx 0

)

f(x0+Δx)-f(x0) C.f′(x0)= Δx D.f′(x0)=li m → [答案] D [解析] 由导数的定义知 D 正确.故应选 D. 7.函数 y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c 为常数)在 x=2 时的瞬时变化率等于( A.4a C.b [答案] D
2 Δy a(2+Δx) +b(2+Δx)+c-4a-2b-c [解析] ∵ = Δx Δx Δx 0

f(x0+Δx)-f(x0) Δx

)

B.2a+b D.4a+b

=4a+b+aΔx, ∴y′|x=2=li m →
Δx 0

Δy =li m (4a+b+a·Δx)=4a+b.故应选 D. Δx Δx→0 )

8.如果一个函数的瞬时变化率处处为 0,则这个函数的图象是( A.圆 C.椭圆 [答案] D B.抛物线 D.直线

[解析] 当 f(x)=b 时,f′(x)=0,所以 f(x)的图象为一条直线,故应选 D.

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9.一物体作直线运动,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的初速度为( A.0 C.-2 [答案] B Δs 3(0+Δt)-(0+Δt) [解析] ∵ = =3-Δt, Δt Δt ∴s′(0)=li m →
Δt 0 2

)

B.3 D.3-2t

Δs =3.故应选 B. Δt )

f(x)-f(a) 1 10.设 f(x)= ,则 li m 等于( x x→a x-a 1 A.- a 1 C.- 2 a [答案] C 1 1 - x a f(x)-f(a) [解析] li m =li m x→a x→a x-a x-a =li m →
x a

2 B. a 1 D. 2 a

a-x 1 1 =-li m =- 2. a x→a ax (x-a)· xa

二、填空题 11.已知函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数为 11,则 li m →
Δx

f(x0-Δx)-f(x0) =________; Δx 0
0

lix→ mx

f(x)-f(x0) =________. 2(x0-x)

11 [答案] -11,- 2 [解析] li m → =-li m → lix→ mx
Δx 0

f(x0-Δx)-f(x0) Δx

Δx 0

f(x0-Δx)-f(x0) =-f′(x0)=-11; -Δ x

0

f(x)-f(x0) f(x0+Δx)-f(x0) 1 =- li m 2 Δx→0 Δx 2(x0-x)

1 11 =- f′(x0)=- . 2 2 1 12.函数 y=x+ 在 x=1 处的导数是________. x [答案] 0

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1 1? [解析] ∵Δy=?1+Δx+1+Δx?-? ?1+1?

?

?

1 (Δx)2 =Δx-1+ = , Δx+1 Δx+1 ∴ Δy Δx Δx = .∴y′|x=1=li m =0. Δx Δx+1 Δx→0 Δx+1

13.已知函数 f(x)=ax+4,若 f′(2)=2,则 a 等于______. [答案] 2 Δy a(2+Δx)+4-2a-4 [解析] ∵ = =a, Δx Δx ∴f′(1)=li m →
Δx 0

Δy =a.∴a=2. Δx
0

14.已知 f′(x0)=lix→ mx ________. [答案] 8 [解析] li m → =→ lim
x 3 x 3

f(x)-f(x0) 2x-3f(x) ,f(3)=2,f′(3)=-2,则 li m 的值是 x→3 x-x0 x-3

2x-3f(x) 2x-3f(x)+3f(3)-3f(3) =li m x→3 x-3 x-3

2x-3f(3) 3(f(3)-f(x)) +li m . x→3 x-3 x-3

由于 f(3)=2,上式可化为 li m →
x 3

2(x-3) f(x)-f(3) -3li m =2-3×(-2)=8. → x 3 x-3 x-3

三、解答题 15.设 f(x)=x2,求 f′(x0),f′(-1),f′(2). [解析] 由导数定义有 f′(x0) =li m → =li m →
Δx 0

f(x0+Δx)-f(x0) Δx (x0+Δx)2-x2 Δx(2x0+Δx) 0 =li m =2x0, Δx Δx Δx→0

Δx 0

16.枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动,如果它的加速度是 5.0×105m/s2,枪弹从 枪口射出时所用时间为 1.6×10 3s,求枪弹射出枪口时的瞬时速度.


1 [解析] 位移公式为 s= at2 2 1 1 1 ∵Δs= a(t0+Δt)2- at2 =at0Δt+ a(Δt)2 2 2 0 2

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Δs 1 =at0+ aΔt, Δt 2
Δt 0

∴li m →

Δs ?at0+1aΔt?=at0, =li m 2 ? Δt Δt→0 ?


已知 a=5.0×105m/s2,t0=1.6×10 3s, ∴at0=800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800m/s. Δy 17.在曲线 y=f(x)=x2+3 的图象上取一点 P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy),求(1) Δx (2)f′(1). Δy f(1+Δx)-f(1) [解析] (1) = Δx Δx = (1+Δx)2+3-12-3 =2+Δx. Δx
Δx 0

(2)f′(1)= lim →
Δx 0

f(1+Δx)-f(1) Δx

= lim (2+Δx)=2. → 18.函数 f(x)=|x|(1+x)在点 x0=0 处是否有导数?若有,求出来,若没有,说明理由. [解析]
2 ? ?x+x ? f(x)= 2 ?-x-x ?

(x≥0) (x<0)

Δy=f(0+Δx)-f(0)=f(Δx)
?Δx+(Δx)2 ? =? 2 ?-Δx-(Δx) ?

(Δx>0) (Δx<0)

∴ lim → +
x 0 Δx→0-

Δy = lim (1+Δx)=1, Δx Δx→0+

lim

Δy = lim (-1-Δx)=-1, Δx Δx→0- Δy Δy Δy ≠ lim ,∴Δx→0 时, 无极限. Δx Δx→0+ Δx Δx


∵ lim → -
Δx 0

∴函数 f(x)=|x|(1+x)在点 x0=0 处没有导数,即不可导.(x→0 表示 x 从大于 0 的一边 无限趋近于 0,即 x>0 且 x 趋近于 0)

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选修 2-2
一、选择题

1.1

第 3 课时 导数的几何意义

1.如果曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( A.f′(x0)>0 C.f′(x0)=0 [答案] B 1 1 [解析] 切线 x+2y-3=0 的斜率 k=- ,即 f′(x0)=- <0.故应选 B. 2 2 3? 1 2.曲线 y= x2-2 在点? ?1,-2?处切线的倾斜角为( 2 A.1 5 C. π 4 [答案] B 1 1 [ (x+Δx)2-2]-( x2-2) 2 2 [解析] ∵y′=li m → Δx Δx 0 1 =li m (x+ Δx)=x → 2 Δx 0 ∴切线的斜率 k=y′|x=1=1. π ∴切线的倾斜角为 ,故应选 B. 4 π 3.在曲线 y=x2 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0) 1 1? C.? ?4,16? [答案] D [解析] 1 1? ∴P? ?2,4?. 4.曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 C.y=-4x+3 [答案] B [解析] y′=3x2-6x,∴y′|x=1=-3.
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)

B.f′(x0)<0 D.f′(x0)不存在

)

π B. 4 π D.- 4

)

B.(2,4) 1 1? D.? ?2,4?

π 1 易求 y′=2x,设在点 P(x0,x2 0)处切线的倾斜角为 ,则 2x0=1,∴x0= , 4 2

)

B.y=-3x+2 D.y=4x-5

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由点斜式有 y+1=-3(x-1).即 y=-3x+2. 5.设 f(x)为可导函数,且满足lim →
x 0

f(1)-f(1-2x) =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1)) 2x

处的切线斜率为( A.2 C.1 [答案] B [解析] lim →
x 0

) B.-1 D.-2

f(1)-f(1-2x) f(1-2x)-f(1) =lim 2x x→0 -2x

=-1,即 y′|x=1=-1, 则 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-1,故选 B. 6.设 f′(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线( A.不存在 C.与 x 轴垂直 [答案] B [解析] 由导数的几何意义知 B 正确,故应选 B. 7.已知曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线方程是 y=-x+8,则 f(5)及 f′(5)分别为( A.3,3 C.-1,3 [答案] B [解析] 由题意易得:f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1,故应选 B. 8.曲线 f(x)=x3+x-2 在 P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) C.(-1,0) [答案] A [解析] ∵f(x)=x3+x-2,设 xP=x0,
2 3 ∴Δy=3x2 0·Δx+3x0·(Δx) +(Δx) +Δx,

)

B.与 x 轴平行或重合 D.与 x 轴斜交

)

B.3,-1 D.-1,-1

)

B.(0,1) D.(1,4)



Δy 2 =3x2 0+1+3x0(Δx)+(Δx) , Δx

∴f′(x0)=3x2 0+1,又 k=4,
2 ∴3x2 1, 0+1=4,x0=1.∴x0=±

故 P(1,0)或(-1,-4),故应选 A. 2 9.设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点,P 点处的切线倾斜角为 α,则 α 的取值 3 范围为( )

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π? ?2 ? A.? ?0,2?∪?3π,π? 2 ? C.? ?3π,π? [答案] A [解析] 设 P(x0,y0),

π? ?5 ? B.? ?0,2?∪?6π,π? π 5 ? D.? ?2,6π?

2 2 (x+Δx)3- 3(x+Δx)+ -x3+ 3x- 3 3 ∵f′(x)=li m Δx Δx→0 =3x2- 3,∴切线的斜率 k=3x2 0- 3,
2 ∴tanα=3x0 - 3≥- 3.

π? ?2 ? ∴α?? ?0,2?∪?3π,π?.故应选 A. 10.(2010· 福州高二期末)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切 π 线倾斜角的取值范围为[0, ],则点 P 横坐标的取值范围为( 4 1 A.[-1,- ] 2 C.[0,1] [答案] A [解析] 考查导数的几何意义. π ∵y′=2x+2,且切线倾斜角 θ?[0, ], 4 ∴切线的斜率 k 满足 0≤k≤1,即 0≤2x+2≤1, 1 ∴-1≤x≤- . 2 二、填空题 11.已知函数 f(x)=x2+3,则 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为________. [答案] 4x-y-1=0 [解析] ∵f(x)=x2+3,x0=2 ∴f(2)=7,Δy=f(2+Δx)-f(2)=4·Δx+(Δx)2 ∴ Δy Δy =4+Δx.∴li m =4.即 f′(2)=4. Δx Δx→0 Δx B.[-1,0] 1 D.[ ,1] 2 )

又切线过(2,7)点,所以 f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-7=4(x-2) 即 4x-y-1=0. 1 12.若函数 f(x)=x- ,则它与 x 轴交点处的切线的方程为________. x [答案] y=2(x-1)或 y=2(x+1)
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1 [解析] 由 f(x)=x- =0 得 x=± 1,即与 x 轴交点坐标为(1,0)或(-1,0). x 1 1 (x+Δx)- -x+ x x+Δx ∵f′(x)=li m → Δx Δx 0

?1+ 1 ?=1+ 12. =li m x(x+Δx)? x Δx→0 ?
1 ∴切线的斜率 k=1+ =2. 1 ∴切线的方程为 y=2(x-1)或 y=2(x+1). 13.曲线 C 在点 P(x0,y0)处有切线 l,则直线 l 与曲线 C 的公共点有________个. [答案] 至少一 [解析] 由切线的定义,直线 l 与曲线在 P(x0,y0)处相切,但也可能与曲线其他部分有 公共点,故虽然相切,但直线与曲线公共点至少一个. 14.曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,斜率最小的切线方程为________. [答案] 3x-y-11=0 [解析] 设切点 P(x0,y0),则过 P(x0,y0)的切线斜率为 出其最小值. 设切点为 P(x0,y0),过点 P 的切线斜率 k=
2 =3x2 0+6x0+6=3(x0+1) +3.当 x0

,它是 x0 的函数,求

=-1 时 k 有最小值 3,此时 P 的坐标为(-1,-14),其切线方程为 3x-y-11=0. 三、解答题 7 1 4,- ?处的切线方程. 15.求曲线 y= - x上一点 P? 4? ? x

[解析] ∴y′= lim →

? 1 -1?-( x+Δx- x) ?x+Δx x?
Δx

Δx 0

-Δx Δx - x(x+Δx) x+Δx+ x = lim Δx Δx→0 1 1 1 ? -1 - ? = lim =- 2- . ? ? → x ( x + Δ x ) x 2 x Δx 0 ? x+Δx+ x? 1 1 5 ∴y′|x=4=- - =- , 16 4 16 7? ∴曲线在点 P? ?4,-4?处的切线方程为: 7 5 y+ =- (x-4). 4 16 即 5x+16y+8=0.

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16.已知函数 f(x)=x3-3x 及 y=f(x)上一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程 y=g(x). [解析] (1)y′=li m →
Δx 0

(x+Δx)3-3(x+Δx)-3x3+3x =3x2-3. Δx

则过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率 k1=f′(1)=0, ∴所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0,x3 0-3x0), 则直线 l 的斜率 k2=f′(x0)=3x2 0-3,
2 ∴直线 l 的方程为 y-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(x-x0)

又直线 l 过点 P(1,-2),
2 ∴-2-(x3 0-3x0)=(3x0-3)(1-x0), 3 ∴x0 -3x0+2=(3x2 0-3)(x0-1),

1 解得 x0=1(舍去)或 x0=- . 2 9 故所求直线斜率 k=3x2 0-3=- , 4 9 9 1 于是:y-(-2)=- (x-1),即 y=- x+ . 4 4 4 1 17.求证:函数 y=x+ 图象上的各点处的切线斜率小于 1. x [解析] y′=li m →
Δx 0

f(x+Δx)-f(x) Δx

=li m → =li m → =li m → =

?x+Δx+ 1 ?-?x+1? x+Δx? ? x ? ?
Δx x·Δx(x+Δx)-Δx (x+Δx)· x·Δx (x+Δx)x-1 (x+Δx)x

Δx 0

Δx 0

Δx 0

x2-1 1 =1- 2<1, x2 x

1 ∴y=x+ 图象上的各点处的切线斜率小于 1. x 18.已知直线 l1 为曲线 y=x2+x-2 在点(1,0)处的切线,l2 为该曲线的另一条切线,且 l1⊥l2. (1)求直线 l2 的方程; (2)求由直线 l1、l2 和 x 轴所围成的三角形的面积.
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[解析] (1)y′|x=1 =li m →
Δx 0

(1+Δx)2+(1+Δx)-2-(12+1-2) =3, Δx

所以 l1 的方程为:y=3(x-1),即 y=3x-3. 设 l2 过曲线 y=x2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), (b+Δx)2+(b+Δx)-2-(b2+b-2) y′|x=b=li m Δx Δx→0 =2b+1,所以 l2 的方程为:y-(b2+b-2)=(2b+1)· (x-b),即 y=(2b+1)x-b2-2. 2 1 22 因为 l1⊥l2,所以 3×(2b+1)=-1,所以 b=- ,所以 l2 的方程为:y=- x- . 3 3 9 y=3x-3, ? ?x=6, ? (2)由? 得? 1 22 5 y=- x- , ? 3 9 ? ?y=-2, 1 5? 即 l1 与 l2 的交点坐标为? ?6,-2?. 22 ? 又 l1,l2 与 x 轴交点坐标分别为(1,0),? ?- 3 ,0?. 5 22 1 125 - ?×?1+ ?= . 所以所求三角形面积 S= ×? 3 ? 12 2 ? 2? ? 1

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选修 2-2
一、选择题

1.2

第 1 课时 几个常用的函数的导数

1.下列结论不正确的是( A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y=5x,则 y′=5 C.若 y=x 1,则 y′=-x
- -2

)

[答案] D

2.若函数 f(x)= x,则 f′(1)等于( A.0 C.2 [答案] D [解析] f′(x)=( x)′= 1 , 2 x 1 B.- 2 1 D. 2

)

1 1 所以 f′(1)= = ,故应选 D. 2× 1 2 1 3.抛物线 y= x2 在点(2,1)处的切线方程是( 4 A.x-y-1=0 C.x-y+1=0 [答案] A 1 [解析] ∵f(x)= x2, 4 ∴f′(2)=li m →
Δx 0

)

B.x+y-3=0 D.x+y-1=0

f(2+Δx)-f(2) ?1+1Δx?=1. =li m → 4 ? Δx Δx 0 ?

∴切线方程为 y-1=x-2.即 x-y-1=0. 4.已知 f(x)=x3,则 f′(2)=( A.0 C.8 [答案] D
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) B.3x2 D.12

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[解析] f′(2)= lim → = lim →

Δx 0

(2+Δx)3-23 Δx

Δx 0

6Δx2+12Δx = lim (6Δx+12)=12,故选 D. Δx Δx→0 )

5.已知 f(x)=xα,若 f′(-1)=-2,则 α 的值等于( A.2 C.3 [答案] A [解析] 若 α=2,则 f(x)=x2, B.-2 D.-3

∴f′(x)=2x,∴f′(-1)=2×(-1)=-2 适合条件.故应选 A. 6.函数 y=(x+1)2(x-1)在 x=1 处的导数等于( A.1 C.3 [答案] D [解析] ∵y=x3+x2-x-1 ∴
3 2 Δy (1+Δx) +(1+Δx) -(1+Δx)-1 = Δx Δx

)

B.2 D.4

=4+4Δx+(Δx)2, ∴y′|x=1=li m → 故应选 D. 7.曲线 y=x2 在点 P 处切线斜率为 k,当 k=2 时的 P 点坐标为( A.(-2,-8) C.(1,1) [答案] C [解析] 设点 P 的坐标为(x0,y0), ∵y=x2,∴y′=2x.∴k= =2x0=2, B.(-1,-1) 1 1? D.? ?-2,-8? )
Δx 0

Δy =li m [4+4·Δx+(Δx)2]=4. Δx Δx→0

∴x0=1,∴y0=x2 0=1,即 P(1,1),故应选 C. 8.已知 f(x)=f′(1)x2,则 f′(0)等于( A.0 C.2 [答案] A [解析] ∵f(x)=f′(1)x2,∴f′(x)=2f′(1)x,∴f′(0)=2f′(1)×0=0.故应选 A. 3 9.曲线 y= x上的点 P(0,0)的切线方程为( ) B.1 D.3 )

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A.y=-x C.y=0 [答案] B 3 [解析] ∵y= x 3 3 ∴Δy= x+Δx- x = x+Δx-x

B.x=0 D.不存在

3 3 3 ( x+Δx)2+ x(x+Δx)+( x)2 Δx 3 3 3 ( x+Δx)2+ x(x+Δx)+( x)2 Δy 1 = Δx 3 3 3 ( x+Δx)2+ x(x+Δx)+( x)2





∴曲线在 P(0,0)处切线的斜率不存在, ∴切线方程为 x=0. 4 10.质点作直线运动的方程是 s= t,则质点在 t=3 时的速度是( A. 1 4 4 33 1 B. 1 3 4 34 1 4 3 43 )

C.

3 2 34

D.

[答案] A t+Δt- t 4 4 [解析] Δs= t+Δt- t= 4 4 t+Δt+ t = t+Δt-t 4 4 ( t+Δt+ t)( t+Δt+ t) Δt 4 4 ( t+Δt+ t)( t+Δt+ t)
Δt 0



∴li m →

Δs 1 1 = = , Δt 4 4 3 2 t· 2 t 4 t 1 4 3 4
3

∴s′(3)=

.故应选 A.

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二、填空题 11.若 y=x 表示路程关于时间的函数,则 y′=1 可以解释为________. [答案] 某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动 [解析] 由导数的物理意义可知:y′=1 可以表示某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动. 12.若曲线 y=x2 的某一切线与直线 y=4x+6 平行,则切点坐标是________. [答案] (2,4) [解析] 设切点坐标为(x0,x2 0), 因为 y′=2x,所以切线的斜率 k=2x0,又切线与 y=4x+6 平行,所以 2x0=4,解得 x0=2,故切点为(2,4). 4? 1 13.过抛物线 y= x2 上点 A? ?2,5?的切线的斜率为______________. 5 [答案] 4 5

1 2 [解析] ∵y= x2,∴y′= x 5 5 2 4 ∴k= ×2= . 5 5 14.(2010· 江苏,8)函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横坐标 为 ak+1,其中 k?N*,若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. [答案] 21
2 [解析] ∵y′=2x,∴过点(ak,a2 k )的切线方程为 y-ak =2ak(x-ak),又该切线与 x 轴的

1 1 交点为(ak+1,0),所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列,首项 a1=16,其公比 q= ,∴a3 2 2 =4,a5=1,∴a1+a3+a5=21. 三、解答题 15.过点 P(-2,0)作曲线 y= x的切线,求切线方程. [解析] 因为点 P 不在曲线 y= x上, 1 故设切点为 Q(x0, x0),∵y′= , 2 x 1 x0 ∴过点 Q 的切线斜率为: = ,∴x0=2, 2 x0 x0+2 1 ∴切线方程为:y- 2= (x-2), 2 2 即:x-2 2y+2=0. 1 2 16.质点的运动方程为 s= 2,求质点在第几秒的速度为- . t 64 1 [解析] ∵s= 2, t
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1 1 ∴Δs= -2 (t+Δt)2 t = t2-(t+Δt)2 -2tΔt-(Δt)2 = 2 t2(t+Δt)2 t (t+Δt)2
Δt 0

∴li m →

Δs -2t 2 2 2 = 2 =- 3.∴- 3=- ,∴t=4. Δt t2· t t t 64 2 . 64

即质点在第 4 秒的速度为- 1 17.已知曲线 y= . x

(1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)求曲线过点 Q(1,0)处的切线方程; 1 (3)求满足斜率为- 的曲线的切线方程. 3 1 1 [解析] ∵y= ,∴y′=- 2. x x 1 (1)显然 P(1,1)是曲线上的点. 所以 P 为切点, 所求切线斜率为函数 y= 在 P(1,1)点导数. x 即 k=f′(1)=-1. 所以曲线在 P(1,1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即为 y=-x+2. 1 (2)显然 Q(1,0)不在曲线 y= 上. x 1? 则可设过该点的切线的切点为 A? ?a,a?, -1 那么该切线斜率为 k=f′(a)= 2 . a 1 1 则切线方程为 y- =- 2(x-a).① a a 1 -1 将 Q(1,0)坐标代入方程:0- = 2 (1-a). a a 1 解得 a= ,代回方程①整理可得: 2 切线方程为 y=-4x+4. 1? 1 1 3 (3)设切点坐标为 A? 则切线斜率为 k=- 2=- , 解得 a=± 3, 那么 A? 3, ?, ?a,a?, a 3 3? ? 3? 3 1 3 1 ? A′?- 3, ?.代入点斜式方程得 y- =- (x- 3)或 y+ =- (x+ 3). 整理得切线 3 3 3 3 -3? ? 1 2 3 1 2 3 方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 3 3 3 3

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1 18.求曲线 y= 与 y=x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积. x 1 ? ? ?y=x, ?x=1 [解析] 两曲线方程联立得? 解得? . ?y=1 ? ? ?y=x2,

1 ∴y′=- 2,∴k1=-1,k2=2x|x=1=2, x ∴两切线方程为 x+y-2=0,2x-y-1=0,所围成的图形如上图所示. 1? 3 1 ∴S= ×1×? ?2-2?=4. 2

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选修 2-2 1.2.2

第 1 课时 基本初等函数的导数公式及导数运 算法则

一、选择题 7 1 -1,- ?处切线的倾斜角为( 1.曲线 y= x3-2 在点? 3? ? 3 A.30° C.135° [答案] B [解析] y′|x=-1=1,∴倾斜角为 45° . 2.设 f(x)= 1 A.- 6 7 C.- 6 [答案] B 1 3 x
2

)

B.45° D.60°



1 ,则 f′(1)等于( x x 5 B. 6 7 D. 6

)

3.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A.4x-y-3=0 C.4x-y+3=0 [答案] A B.x+4y-5=0 D.x+4y+3=0

)

[解析] ∵直线 l 的斜率为 4,而 y′=4x3,由 y′=4 得 x=1 而 x=1 时,y=x4=1, 故直线 l 的方程为:y-1=4(x-1)即 4x-y-3=0. 4.已知 f(x)=ax3+9x2+6x-7,若 f′(-1)=4,则 a 的值等于( 19 A. 3 10 C. 3 [答案] B [解析] ∵f′(x)=3ax2+18x+6,
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)

16 B. 3 13 D. 3

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16 ∴由 f′(-1)=4 得,3a-18+6=4,即 a= . 3 ∴选 B. 1 5.已知物体的运动方程是 s= t4-4t3+16t2(t 表示时间,s 表示位移),则瞬时速度为 0 4 的时刻是( ) B.0 秒、2 秒或 16 秒 D.0 秒、4 秒或 8 秒

A.0 秒、2 秒或 4 秒 C.2 秒、8 秒或 16 秒 [答案] D

[解析] 显然瞬时速度 v=s′=t3-12t2+32t=t(t2-12t+32),令 v=0 可得 t=0,4,8.故 选 D. 6.(2010· 新课标全国卷文,4)曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为( A.y=x-1 C.y=2x-2 [答案] A [解析] 本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在 曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题. 由题可知,点(1,0)在曲线 y=x3-2x+1 上,求导可得 y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的 切线的斜率 k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线 y=x3-2x+1 的 切线方程为 y=x-1,故选 A. 7.若函数 f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( π A. 2 C.钝角 [答案] C [解析] 角,选 C. π π? 8.曲线 y=xsinx 在点? ?-2,2?处的切线与 x 轴、直线 x=π 所围成的三角形的面积为 ( π A. 2
2

)

B.y=-x-1 D.y=-2x-2

)

B.0 D.锐角

π y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)= 2e4sin(4+ )<0,故倾斜角为钝 4

)

B.π2 1 D. (2+π)2 2

C.2π2 [答案] A

π π? [解析] 曲线 y=xsinx 在点? ?-2,2?处的切线方程为 y=-x,所围成的三角形的面积为
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π2 . 2 9.设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),?,fn+1(x)=fn′(x),n?N,则 f2011(x) 等于( ) B.-sinx D.-cosx

A.sinx C.cosx [答案] D [解析] f0(x)=sinx, f1(x)=f0′(x)=(sinx)′=cosx,

f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx, f3(x)=f2′(x)=(-sinx)′=-cosx, f4(x)=f3′(x)=(-cosx)′=sinx, ∴4 为最小正周期,∴f2011(x)=f3(x)=-cosx.故选 D. 10.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x)、g(x)满足 f′(x)=g′(x),则 f(x) 与 g(x)满足( ) B.f(x)-g(x)为常数 D.f(x)+g(x)为常数

A.f(x)=g(x) C.f(x)=g(x)=0 [答案] B

[解析] 令 F(x)=f(x)-g(x),则 F′(x)=f′(x)-g′(x)=0,∴F(x)为常数. 二、填空题 π? 1 11.设 f(x)=ax2-bsinx,且 f′(0)=1,f′? ?3?=2,则 a=________,b=________. [答案] 0 -1 [解析] f′(x)=2ax-bcosx,由条件知 -bcos0=1 ? ? ? ?b=-1 ?2π . π 1 ,∴? ?a=0 ? ? 3 a-bcos3=2 ? 12.设 f(x)=x3-3x2-9x+1,则不等式 f′(x)<0 的解集为________. [答案] (-1,3) [解析] f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)<0 得 3x2-6x-9<0,∴x2-2x-3<0,∴-1 <x<3. π 1? 13.曲线 y=cosx 在点 P? ?3,2?处的切线的斜率为______. [答案] - 3 2

[解析] ∵y′=(cosx)′=-sinx,
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π 3 ∴切线斜率 k=y′|x=π=-sin =- . 3 2 3 14.已知函数 f(x)=ax+bex 图象上在点 P(-1,2)处的切线与直线 y=-3x 平行,则函数 f(x)的解析式是____________. 5 1 + [答案] f(x)=- x- ex 1 2 2 [解析] 由题意可知,f′(x)|x=-1=-3, ∴a+be 1=-3,又 f(-1)=2,


5 1 - ∴-a+be 1=2,解之得 a=- ,b=- e, 2 2 5 1 + 故 f(x)=- x- ex 1. 2 2 三、解答题 15.求下列函数的导数: 1 1 1 (1)y=x(x2+ + 3);(2)y=( x+1)( -1); x x x 1+ x 1- x x x (3)y=sin4 +cos4 ;(4)y= + . 4 4 1- x 1+ x 1 1? 3 1 2 [解析] (1)∵y=x? ?x +x+x3?=x +1+x2, 2 ∴y′=3x2- 3; x

x x (3)∵y=sin4 +cos4 4 4
2x 2 x ?2 2x 2x =? ?sin 4+cos 4? -2sin 4cos 4

1 x 1 1-cosx 3 1 =1- sin2 =1- · = + cosx, 2 2 2 2 4 4 1 ∴y′=- sinx; 4 1+ x 1- x (1+ x)2 (1- x)2 (4)∵y= + = + 1-x 1-x 1- x 1+ x = 2+2x 4 = -2, 1-x 1-x

4 -4(1-x)′ 4 ∴y′=?1-x-2?′= = . ? ? (1-x)2 (1-x)2
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16.已知两条曲线 y=sinx、y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点 处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由. [解析] 由于 y=sinx、y=cosx,设两条曲线的一个公共点为 P(x0,y0), ∴两条曲线在 P(x0,y0)处的斜率分别为

若使两条切线互相垂直,必须 cosx0· (-sinx0)=-1, 即 sinx0· cosx0=1,也就是 sin2x0=2,这是不可能的, ∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直. 17.已知曲线 C1:y=x2 与 C2:y=-(x-2)2.直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程.
2 [解析] 设 l 与 C1 相切于点 P(x1,x2 1),与 C2 相切于点 Q(x2,-(x2-2) ).

对于 C1:y′=2x,则与 C1 相切于点 P 的切线方程为 y-x2 1=2x1(x-x1),即 y=2x1x- x2 1.① 对于 C2:y′=-2(x-2),与 C2 相切于点 Q 的切线方程为 y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x- x2), 即 y=-2(x2-2)x+x2 2-4.
2 ∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x2 1=x2-4,



解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0. ∴直线 l 的方程为 y=0 或 y=4x-4. 18.求满足下列条件的函数 f(x): (1)f(x)是三次函数,且 f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0; (2)f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1. [解析] (1)设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 则 f′(x)=3ax2+2bx+c 由 f(0)=3,可知 d=3,由 f′(0)=0 可知 c=0, 由 f′(1)=-3,f′(2)=0
?f′(1)=3a+2b=-3 ? 可建立方程组? , ? ?f′(2)=12a+4b=0 ? ?a=1 解得? , ?b=-3 ?

所以 f(x)=x3-3x2+3. (2)由 f′(x)是一次函数可知 f(x)是二次函数, 则可设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) f′(x)=2ax+b,

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把 f(x)和 f′(x)代入方程,得 x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1 整理得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1 若想对任意 x 方程都成立,则需 a-b=0 ? ? ?b-2c=0 ? ?c=1 a=2 ? ? 解得?b=2 ? ?c=1



所以 f(x)=2x2+2x+1.

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选修 2-2

1.2.2

第 2 课时 基本初等函数的导数公式及导数 运算法则

一、选择题 1.函数 y=(x+1)2(x-1)在 x=1 处的导数等于( A.1 C.3 [答案] D [解析] y′=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′ =2(x+1)· (x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1, ∴y′|x=1=4. 2.若对任意 x?R,f′(x)=4x3,f(1)=-1,则 f(x)=( A.x
4 3

)

B.2 D.4

)

B.x -2 D.x4+2

4

C.4x -5 [答案] B

[解析] ∵f′(x)=4x3.∴f(x)=x4+c,又 f(1)=-1 ∴1+c=-1,∴c=-2,∴f(x)=x4-2. 3. 设函数 f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1, 则数列{ n A. n+1 n C. n-1 [答案] A [解析] ∵f(x)=xm+ax 的导数为 f′(x)=2x+1, ∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x, 即 f(n)=n2+n=n(n+1), 1 ∴数列{ }(n?N*)的前 n 项和为: f(n) 1 1 1 1 Sn= + + +?+ 1×2 2×3 3×4 n(n+1) 1 1 ? 1 1 1 1- ?+? - ?+?+?n- =? 2 2 3 n+1 ? ? ? ? n+2 B. n+1 n+1 D. n 1 }(n?N*)的前 n 项和是( f(n) )

?

?

1 n =1- = , n+1 n+1 故选 A.
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4.二次函数 y=f(x)的图象过原点,且它的导函数 y=f′(x)的图象是过第一、二、三象 限的一条直线,则函数 y=f(x)的图象的顶点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] 由题意可设 f(x)=ax2+bx,f′(x)=2ax+b,由于 f′(x)的图象是过第一、二、 b b2 x+ ?2- , 三象限的一条直线,故 2a>0,b>0,则 f(x)=a? ? 2a? 4a b b2 - ,- ?在第三象限,故选 C. 顶点? 4a? ? 2a 5.函数 y=(2+x3)2 的导数为( A.6x5+12x2 C.2(2+x3)2 [答案] A [解析] ∵y=(2+x3)2=4+4x3+x6, ∴y′=6x5+12x2. 6.(2010· 江西文,4)若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=( A.-1 C.2 [答案] B [解析] 本题考查函数知识,求导运算及整体代换的思想,f′(x)=4ax3+2bx,f′(-1) =-4a-2b=-(4a+2b),f′(1)=4a+2b,∴f′(-1)=-f′(1)=-2 要善于观察,故选 B. 7.设函数 f(x)=(1-2x3)10,则 f′(1)=( A.0 C.-60 [答案] D [解析] ∵f′(x)=10(1-2x3)9(1-2x3)′=10(1-2x3)9· (-6x2)=-60x2(1-2x3)9, ∴f′(1) =60. 8.函数 y=sin2x-cos2x 的导数是( π? A.2 2cos? ?2x-4? C.sin2x+cos2x [答案] A [解析] y′=(sin2x-cos2x)′=(sin2x)′-(cos2x)′
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)

B.第二象限 D.第四象限

) B.4+2x3 D.2(2+x3)· 3x

)

B.-2 D.0

)

B.-1 D.60

)

B.cos2x-sin2x π? D.2 2cos? ?2x+4?

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π? =2cos2x+2sin2x=2 2cos? ?2x-4?. x2 1 9.(2010· 高二潍坊检测)已知曲线 y= -3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标 4 2 为( ) A.3 C.1 [答案] A x 3 1 [解析] 由 f′(x)= - = 得 x=3. 2 x 2 10.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜 率为( ) B.0 D.5 B.2 1 D. 2

1 A.- 5 1 C. 5 [答案] B

[解析] 由题设可知 f(x+5)=f(x) ∴f′(x+5)=f′(x),∴f′(5)=f′(0) 又 f(-x)=f(x),∴f′(-x)(-1)=f′(x) 即 f′(-x)=-f′(x),∴f′(0)=0 故 f′(5)=f′(0)=0.故应选 B. 二、填空题 11.若 f(x)= x,φ(x)=1+sin2x,则 f[φ(x)]=_______,φ[f(x)]=________. [答案]

?x+π??,1+sin2 x 2? sin ? ? 4??

[解析] f[φ(x)]= 1+sin2x= (sinx+cosx)2

? π?? =|sinx+cosx|= 2? ?sin?x+4??.
φ[f(x)]=1+sin2 x. 12.设函数 f(x)=cos( 3x+φ)(0<φ<π),若 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ=________. [答案] π 6

[解析] f′(x)=- 3sin( 3x+φ), f(x)+f′(x)=cos( 3x+φ)- 3sin( 3x+φ) 5π? =2sin? ? 3x+φ+ 6 ?.
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若 f(x)+f′(x)为奇函数,则 f(0)+f′(0)=0, 5π? 5π 即 0=2sin? ?φ+ 6 ?,∴φ+ 6 =kπ(k?Z). π 又∵φ?(0,π),∴φ= . 6 13.函数 y=(1+2x2)8 的导数为________. [答案] 32x(1+2x2)7 [解析] 令 u=1+2x2,则 y=u8, ∴y′x=y′u· u′x=8u7· 4x=8(1+2x2)7· 4x =32x(1+2x2)7. 14.函数 y=x 1+x2的导数为________. [答案] [解析] (1+2x2) 1+x2 . 1+x2 三、解答题 15.求下列函数的导数: (1)y=xsin2x; ex+1 (3)y= x ; e -1 (2)y=ln(x+ 1+x2); x+cosx (4)y= . x+sinx (1+2x2) 1+x2 1+x2 y′ = (x 1+x2 )′ = x′ 1+x2 + x( 1+x2 )′ = 1+x2 + x2 = 1+x2

[解析] (1)y′=(x)′sin2x+x(sin2x)′ =sin2x+x· 2sinx· (sinx)′=sin2x+xsin2x. 1 (2)y′= · (x+ 1+x2)′ x+ 1+x2 = 1 x 1 . 2(1+ 2)= x+ 1+x 1+x 1+x2

(ex+1)′(ex-1)-(ex+1)(ex-1)′ -2ex (3)y′= = x . (ex-1)2 (e -1)2 (x+cosx)′(x+sinx)-(x+cosx)(x+sinx)′ (4)y′= (x+sinx)2 = = (1-sinx)(x+sinx)-(x+cosx)(1+cosx) (x+sinx)2 -xcosx-xsinx+sinx-cosx-1 . (x+sinx)2

16.求下列函数的导数:

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(1)y=cos2(x2-x);

(2)y=cosx· sin3x;

x-1 (3)y=xloga(x2+x-1); (4)y=log2 . x+1 [解析] (1)y′=[cos2(x2-x)]′ =2cos(x2-x)[cos(x2-x)]′ =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](x2-x)′ =2cos(x2-x)[-sin(x2-x)](2x-1) =(1-2x)sin2(x2-x). (2)y′=(cosx· sin3x)′=(cosx)′sin3x+cosx(sin3x)′ =-sinxsin3x+3cosxcos3x=3cosxcos3x-sinxsin3x. 2x2+x 1 (3)y′=loga(x2+x-1)+x·2 logae(x2+x-1)′=loga(x2+x-1)+ 2 log e. x +x-1 x +x-1 a x+1?x-1? x+1 x+1-x+1 (4)y′= ? ?′log2e=x-1log2e (x+1)2 x-1?x+1? = 2log2e . x2-1

2sinx 2 17.设 f(x)= ,如果 f′(x)= · g(x),求 g(x). 1+x2 (1+x2)2 2cosx(1+x2)-2sinx· 2x [解析] ∵f′(x)= 2 2 (1+x ) = 2 [(1+x2)cosx-2x· sinx], (1+x2)2

2 又 f′(x)= · g(x). (1+x2)2 ∴g(x)=(1+x2)cosx-2xsinx. 18.求下列函数的导数:(其中 f(x)是可导函数) 1? 2 (1)y=f? ? x?;(2)y=f( x +1). 1 ?- 12?=- 12f′?1?. [解析] (1)解法 1:设 y=f(u),u= ,则 y′x=y′u· u′x=f′(u)· ? x? ? x? x x

?1?? ?1? ?1?′=- 12f′?1?. 解法 2:y′=? ?f?x??′=f′?x?· ? x? ? x? x
(2)解法 1:设 y=f(u),u= v,v=x2+1,

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选修 2-2
一、选择题

1.3.1 函数的单调性与导数

1.设 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 [答案] D [解析] ∵a>0,f(x)为增函数, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0 恒成立, ∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0,∴b2-3ac<0. 2.(2009· 广东文,8)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,2) C.(1,4) [答案] D [解析] 考查导数的简单应用. f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. B.(0,3) D.(2,+∞) ) B.b>0,c>0 D.b2-3ac<0

)

3.已知函数 y=f(x)(x?R)上任一点(x0,f(x0))处的切线斜率 k=(x0-2)(x0+1)2,则该函 数的单调递减区间为( A.[-1,+∞) C.(-∞,-1)和(1,2) [答案] B [解析] 令 k≤0 得 x0≤2,由导数的几何意义可知,函数的单调减区间为(-∞,2]. 4.已知函数 y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数),下面四个 图象中,y=f(x)的图象大致是( ) ) B.(-∞,2] D.[2,+∞)

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[答案] C [解析] 当 0<x<1 时 xf′(x)<0 ∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数 当 x>1 时 xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,因此否定 A、B、 D 故选 C. 5.函数 y=xsinx+cosx,x?(-π,π)的单调增区间是( π? ? π? A.? ?-π,-2?和?0,2? π ? ? π? B.? ?-2,0?和?0,2? π? ?π ? C.? ?-π,-2?和?2,π? π ? ?π ? D.? ?-2,0?和?2,π? [答案] A π [解析] y′=xcosx,当-π<x<- 时, 2 cosx<0,∴y′=xcosx>0, π 当 0<x< 时,cosx>0,∴y′=xcosx>0. 2 6.下列命题成立的是( ) )

A.若 f(x)在(a,b)内是增函数,则对任何 x?(a,b),都有 f′(x)>0 B.若在(a,b)内对任何 x 都有 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上是增函数 C.若 f(x)在(a,b)内是单调函数,则 f′(x)必存在 D.若 f′(x)在(a,b)上都存在,则 f(x)必为单调函数 [答案] B
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[解析] 若 f(x)在(a,b)内是增函数,则 f′(x)≥0,故 A 错;f(x)在(a,b)内是单调函数 与 f′(x)是否存在无必然联系,故 C 错;f(x)=2 在(a,b)上的导数为 f′(x)=0 存在,但 f(x) 无单调性,故 D 错. 7.(2007· 福建理,11)已知对任意实数 x,有 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且 x>0 时, f′(x)>0,g′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0,g′(x)>0 C.f′(x)<0,g′(x)>0 [答案] B [解析] f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性 ) B.f′(x)>0,g′(x)<0 D.f′(x)<0,g′(x)<0

相同(反),∴x<0 时,f′(x)>0,g′(x)<0. 8.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0,对任意正数 a、 b,若 a<b,则必有( A.af(a)≤f(b) C.af(b)≤bf(a) [答案] C [解析] ∵xf′(x)+f(x)≤0,且 x>0,f(x)≥0, f(x) ∴f′(x)≤- ,即 f(x)在(0,+∞)上是减函数, x 又 0<a<b,∴af(b)≤bf(a). 9.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) [答案] C [解析] 由(x-1)f′(x)≥0 得 f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或 f(x) 恒为常数, 故 f(0)+f(2)≥2f(1).故应选 C. 10. (2010· 江西理, 12)如图, 一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面, 记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 S(t)(S(0)=0),则导函数 y=S′(t)的图像大致为 ( ) B.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) ) ) B.bf(b)≤f(a) D.bf(a)≤af(b)

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[答案] A [解析] 由图象知,五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减,其中恰露出一 个角时变化不连续,故选 A. 二、填空题 1 11.已知 y= x3+bx2+(b+2)x+3 在 R 上不是单调增函数,则 b 的范围为________. 3 [答案] b<-1 或 b>2 [解析] 若 y′=x2+2bx+b+2≥0 恒成立,则 Δ=4b2-4(b+2)≤0,∴-1≤b≤2, 由题意 b<-1 或 b>2. 12.已知函数 f(x)=ax-lnx,若 f(x)>1 在区间(1,+∞)内恒成立,实数 a 的取值范围 为________. [答案] a≥1 1+lnx [解析] 由已知 a> 在区间(1,+∞)内恒成立. x 1+lnx lnx 设 g(x)= ,则 g′(x)=- 2 <0 x x (x>1),

1+lnx ∴g(x)= 在区间(1,+∞)内单调递减, x ∴g(x)<g(1), ∵g(1)=1, ∴ 1+lnx <1 在区间(1,+∞)内恒成立, x

∴a≥1. 13.函数 y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________. [答案] (-∞,-1) [解析] 函数 y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1), 1 令 f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得 x< , 2 ∴函数 y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1). 14.若函数 y=x3-ax2+4 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围是____________. [答案] [3,+∞) [解析] y′=3x2-2ax,由题意知 3x2-2ax<0 在区间(0,2)内恒成立, 3 即 a> x 在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3. 2
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三、解答题 15.设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11). (1)求 a、b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性. [解析] (1)求导得 f′(x)=3x2-6ax+3b. 由于 f(x)的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1,-11),所以 f(1)=-11,f′(1)=- 12,
? ?1-3a+3b=-11 即? , ?3-6a+3b=-12 ?

解得 a=1,b=-3. (2)由 a=1,b=-3 得 f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3) =3(x+1)(x-3). 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>3;又令 f′(x)<0,解得-1<x<3. 所以当 x?(-∞,-1)时,f(x)是增函数; 当 x?(3,+∞)时,f(x)也是增函数; 当 x?(-1,3)时,f(x)是减函数. 1 16.求证:方程 x- sinx=0 只有一个根 x=0. 2 1 [证明] 设 f(x)=x- sinx,x?(-∞,+∞), 2 1 则 f′(x)=1- cosx>0, 2 ∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数. 而当 x=0 时,f(x)=0, 1 ∴方程 x- sinx=0 有唯一的根 x=0. 2 b 17.已知函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数 y=ax3+bx2+5 x 的单调区间. b [分析] 可先由函数 y=ax 与 y=- 的单调性确定 a、b 的取值范围,再根据 a、b 的取 x 值范围去确定 y=ax3+bx2+5 的单调区间. b [解析] ∵函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,∴a<0,b<0. x 由 y=ax3+bx2+5 得 y′=3ax2+2bx.

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2b 令 y′>0,得 3ax2+2bx>0,∴- <x<0. 3a 2b ? ∴当 x?? ?-3a,0?时,函数为增函数. 令 y′<0,即 3ax2+2bx<0, 2b ∴x<- ,或 x>0. 3a 2b? ∴在? ?-∞,-3a?,(0,+∞)上时,函数为减函数. 18.(2010· 新课标全国文,21)设函数 f(x)=x(ex-1)-ax2. 1 (1)若 a= ,求 f(x)的单调区间; 2 (2)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. 1 1 [解析] (1)a= 时,f(x)=x(ex-1)- x2, 2 2 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 当 x?(-∞,-1)时,f′(x)>0;当 x?(-1,0)时,f′(x)<0;当 x?(0,+∞)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,-1],[0,+∞)上单调递增,在[-1,0]上单调递减. (2)f(x)=x(ex-1-ax). 令 g(x)=ex-1-ax,则 g′(x)=ex-a. 若 a≤1,则当 x?(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,从而当 x≥0 时 g(x)≥0,即 f(x)≥0. 当 a>1,则当 x?(0,lna)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,而 g(0)=0,从而当 x?(0,lna) 时 g(x)<0,即 f(x)<0. 综合得 a 的取值范围为(-∞,1].

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选修 2-2
一、选择题

1.3.2 函数的极值与导数
)

1.已知函数 f(x)在点 x0 处连续,下列命题中,正确的是( A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 C.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 D.如果在点 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 [答案] C [解析] 导数为 0 的点不一定是极值点,例如 f(x)=x3,f′(x)=3x2,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)的极值点,故 A 错;由极值的定义可知 C 正确,故应选 C. 2.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-2,极大值 2 B.极小值-2,极大值 3 C.极小值-1,极大值 1 D.极小值-1,极大值 3 [答案] D [解析] y′=3-3x2=3(1-x)(1+x) 令 y′=0,解得 x1=-1,x2=1 当 x<-1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, 当-1<x<1 时,y′>0,函数 y=1+3x-x3 是增函数, 当 x>1 时,y′<0,函数 y=1+3x-x3 是减函数, ∴当 x=-1 时,函数有极小值,y 极小=-1. 当 x=1 时,函数有极大值,y 极大=3. 3.设 x0 为 f(x)的极值点,则下列说法正确的是( A.必有 f′(x0)=0 B.f′(x0)不存在 C.f′(x0)=0 或 f′(x0)不存在 D.f′(x0)存在但可能不为 0 [答案] C [解析] 如:y=|x|,在 x=0 时取得极小值,但 f′(0)不存在. 4.对于可导函数,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) ) )

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C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 只有这一点导数值为 0,且两侧导数值异号才是充要条件. 5.对于函数 f(x)=x3-3x2,给出命题: ①f(x)是增函数,无极值; ②f(x)是减函数,无极值; ③f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞),递减区间为(0,2); ④f(0)=0 是极大值,f(2)=-4 是极小值. 其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] f′(x)=3x2-6x=3x(x-2), 令 f′(x)>0, 得 x>2 或 x<0, 令 f′(x)<0,得 0<x<2, ∴①②错误. 1 6.函数 f(x)=x+ 的极值情况是( x ) ) B.2 个 D.4 个

A.当 x=1 时,极小值为 2,但无极大值 B.当 x=-1 时,极大值为-2,但无极小值 C.当 x=-1 时,极小值为-2;当 x=1 时,极大值为 2 D.当 x=-1 时,极大值为-2;当 x=1 时,极小值为 2 [答案] D 1 [解析] f′(x)=1- 2,令 f′(x)=0,得 x=± 1, x 函数 f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减, ∴当 x=-1 时,取极大值-2,当 x=1 时,取极小值 2. 7.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函 数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

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[答案] A [解析] 由 f′(x)的图象可知,函数 f(x)在区间(a,b)内,先增,再减,再增,最后再减, 故函数 f(x)在区间(a,b)内只有一个极小值点. 8.已知函数 y=x-ln(1+x2),则函数 y 的极值情况是( A.有极小值 B.有极大值 C.既有极大值又有极小值 D.无极值 [答案] D 1 [解析] ∵y′=1- (x2+1)′ 1+x2 =1- (x-1)2 2x = x2+1 x2+1 )

令 y′=0 得 x=1,当 x>1 时,y′>0, 当 x<1 时,y′>0, ∴函数无极值,故应选 D. 9.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则函数 f(x)的极值是( 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 B.极大值为 0,极小值为 27 C.极大值为 0,极小值为- 4 27 )

4 D.极大值为- ,极小值为 0 27 [答案] A [解析] 由题意得,f(1)=0,∴p+q=1① f′(1)=0,∴2p+q=3② 由①②得 p=2,q=-1. ∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1 =(3x-1)(x-1), 1? 4 1 令 f′(x)=0,得 x= 或 x=1,极大值 f? ?3?=27,极小值 f(1)=0. 3 10.下列函数中,x=0 是极值点的是( A.y=-x3 C.y=tanx-x )

B.y=cos2x 1 D.y= x

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[答案] B 1+cos2x [解析] y=cos2x= ,y′=-sin2x, 2 x=0 是 y′=0 的根且在 x=0 附近,y′左正右负, ∴x=0 是函数的极大值点. 二、填空题 2x 11.函数 y= 2 的极大值为______,极小值为______. x +1 [答案] 1 -1 2(1+x)(1-x) [解析] y′= , (x2+1)2 令 y′>0 得-1<x<1,令 y′<0 得 x>1 或 x<-1, ∴当 x=-1 时,取极小值-1,当 x=1 时,取极大值 1. 12.函数 y=x3-6x+a 的极大值为____________,极小值为____________. [答案] a+4 2 a-4 2

[解析] y′=3x2-6=3(x+ 2)(x- 2), 令 y′>0,得 x> 2或 x<- 2, 令 y′<0,得- 2<x< 2, ∴当 x=- 2时取极大值 a+4 2, 当 x= 2时取极小值 a-4 2. 13.已知函数 y=x3+ax2+bx+27 在 x=-1 处有极大值,在 x=3 处有极小值,则 a= ______,b=________. [答案] -3 -9 [解析] y′=3x2+2ax+b,方程 y′=0 有根-1 及 3,由韦达定理应有

14.已知函数 f(x)=x3-3x 的图象与直线 y=a 有相异三个公共点,则 a 的取值范围是 ________. [答案] (-2,2) [解析] 令 f′(x)=3x2-3=0 得 x=± 1, 可得极大值为 f(-1)=2,极小值为 f(1)=-2, y=f(x)的大致图象如图 观察图象得-2<a<2 时恰有三个不同的公共点.
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三、解答题 15.已知函数 f(x)=x3-3x2-9x+11. (1)写出函数 f(x)的递减区间; (2)讨论函数 f(x)的极大值或极小值,如有试写出极值. [解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=3. x 变化时,f′(x)的符号变化情况及 f(x)的增减性如下表所示: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + 增 -1 0 极大值 f(-1) (-1,3) - 减 3 0 极小值 f(3) (3,+∞) + 增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3); (2)由表可得,当 x=-1 时,函数有极大值为 f(-1)=16;当 x=3 时,函数有极小值为 f(3)=-16. 16.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx,在 x=1 和 x=-1 处有极值,且 f(1)=-1,求 a、b、c 的值,并求出相应的极值. [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 1 是函数的极值点,∴-1、1 是方程 f′(x)=0 的根,即有

又 f(1)=-1,则有 a+b+c=-1,

1 3 此时函数的表达式为 f(x)= x3- x. 2 2 3 3 ∴f′(x)= x2- . 2 2 令 f′(x)=0,得 x=± 1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:

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x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?

-1 0 极大 值1

(-1,1) - ?

1 0 极小 值-1

(1,+∞) + ?

由上表可以看出,当 x=-1 时,函数有极大值 1;当 x=1 时,函数有极小值-1. 17.已知函数 f(x)=ax3+bx2-3x 在 x=± 1 处取得极值. (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. [解析] (1)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,

f′(1)=f′(-1)=0,即 解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x, f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 令 f′(x)=0,得 x1=-1,x2=1. 若 x?(-∞,-1)∪(1,+∞),则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上是增函数. 若 x?(-1,1),则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数. ∴f(-1)=2 是极大值;f(1)=-2 是极小值. (2)曲线方程为 y=x3-3x.点 A(0,16)不在曲线上.
3 设切点为 M(x0,y0),则点 M 的坐标满足 y0=x0 -3x0.

∵f′(x0)=3(x2 0-1),故切线的方程为 y-y0=3(x2 0-1)(x-x0). 注意到点 A(0,16)在切线上,有
2 16-(x3 0-3x0)=3(x0-1)(0-x0).

化简得 x3 0=-8,解得 x0=-2. ∴切点为 M(-2,-2), 切线方程为 9x-y+16=0. a 18.(2010· 北京文,18)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两 3 个根分别为 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式;
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(2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. [解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.

(1)当 a=3 时,由(*)式得 解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x.



a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f ′(x) 3 =ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立” 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

解 即 a 的取值范围[1,9].

得 a?[1,9],

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选修 2-2
一、选择题

1.3.3

函数的最值与导数

1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 C.小于 0 [答案] A [解析] ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ∴f′(x)=0,故应选 A. 1 1 1 2.设 f(x)= x4+ x3+ x2 在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 A.0 C.-1 [答案] A [解析] y′=x3+x2+x=x(x2+x+1) 令 y′=0,解得 x=0. 5 13 ∴f(-1)= ,f(0)=0,f(1)= 12 12 ∴f(x)在[-1,1]上最小值为 0.故应选 A. 3.函数 y=x3+x2-x+1 在区间[-2,1]上的最小值为( 22 A. 27 C.-1 [答案] C [解析] y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1) 1 令 y′=0 解得 x= 或 x=-1 3 当 x=-2 时,y=-1;当 x=-1 时,y=2; 1 22 当 x= 时,y= ;当 x=1 时,y=2. 3 27 所以函数的最小值为-1,故应选 C. 4.函数 f(x)=x2-x+1 在区间[-3,0]上的最值为( A.最大值为 13,最小值为 3 4 ) B.2 D.-4 ) B.-2 13 D. 12 ) B.大于 0 D.以上都有可能

)

B.最大值为 1,最小值为 4 C.最大值为 13,最小值为 1
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D.最大值为-1,最小值为-7 [答案] A [解析] ∵y=x2-x+1,∴y′=2x-1, 1? 3 1 令 y′=0,∴x= ,f(-3)=13,f? ?2?=4,f(0)=1. 2 5.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( A. 2 C.0 [答案] A [解析] y′= 1 1 1-x- x - = · 2 x 2 1-x 2 x· 1-x 1 B.1 D.不存在 )

1? 1 ?1 ? 由 y′=0 得 x= ,在? ?0,2?上 y′>0,在?2,1?上 2 1 y′<0.∴x= 时 y 极大= 2, 2 又 x?(0,1),∴ymax= 2. 6.函数 f(x)=x4-4x (|x|<1)( A.有最大值,无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,有最小值 D.既无最大值,也无最小值 [答案] D [解析] f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1). 令 f′(x)=0,得 x=1.又 x?(-1,1) ∴该方程无解, 故函数 f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选 D. 7.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A [解析] y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令 y′=0,得 x=2 或 x=-1(舍). ∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4, ∴ymax=5,ymin=-15,故选 A. 15 8.已知函数 y=-x2-2x+3 在[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( 4
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)

)

B.5,4 D.5,-16

)

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3 A.- 2 1 C.- 2 [答案] C

1 B. 2 1 3 D. 或- 2 2

[解析] y′=-2x-2,令 y′=0 得 x=-1. 当 a≤-1 时,最大值为 f(-1)=4,不合题意. 当-1<a<2 时,f(x)在[a,2]上单调递减, 15 最大值为 f(a)=-a2-2a+3= , 4 1 3 解得 a=- 或 a=- (舍去). 2 2 9.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由 y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以有 k-1< -2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 10.函数 f(x)=x3+ax-2 在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.[3,+∞) C.(-3,+∞) [答案] B [解析] 上恒成立 即 a≥-3x2 在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x2)max=-3 ∴a≥-3,故应选 B. 二、填空题 3 3 11.函数 y=x +(1-x) ,0≤x≤1 的最小值为______. 2 2 [答案] 2 2 ∵f(x)=x3+ax-2 在[1,+∞)上是增函数,∴f′(x)=3x2+a≥0 在[1,+∞) B.[-3,+∞) D.(-∞,-3) ) )

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1 1 由 y′>0 得 x> ,由 y′<0 得 x< . 2 2 1? 1 2 ?1 ? 此函数在? ?0,2?上为减函数,在?2,1?上为增函数,∴最小值在 x=2时取得,ymin= 2 . 12.函数 f(x)=5-36x+3x2+4x3 在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为 ________. 3 [答案] 不存在;-28 4 [解析] f′(x)=-36+6x+12x2, 3 3 3 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2= ;当 x> 时,函数为增函数,当-2≤x≤ 时,函数为减 2 2 2 3? 3 3 函数,所以无最大值,又因为 f(-2)=57,f? ?2?=-284,所以最小值为-284. x 3 13.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为________. 3 x +a [答案] 3-1

x2+a-2x2 a-x2 [解析] f′(x)= 2 = 2 (x +a)2 (x +a)2 令 f′(x)=0,解得 x= a或 x=- a(舍去) 当 x> a时,f′(x)<0;当 0<x< a时,f′(x)>0; 当 x= a时,f(x)= ∴f(x)max=f(1)= a 3 3 = , a= <1,不合题意. 2a 3 2

1 3 = ,解得 a= 3-1. 1 +a 3

14.f(x)=x3-12x+8 在[-3,3]上的最大值为 M,最小值为 m,则 M-m=________. [答案] 32 [解析] f′(x)=3x2-12 由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<-2, 由 f′(x)<0 得-2<x<2. ∴f(x)在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. 又 f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8, f(3)=-1, ∴最大值 M=24,最小值 m=-8, ∴M-m=32. 三、解答题

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15.求下列函数的最值: π π? (1)f(x)=sin2x-x? ?-2≤x≤2?; (2)f(x)=x+ 1-x2. [解析] (1)f′(x)=2cos2x-1. 1 令 f′(x)=0,得 cos2x= . 2 π π? 又 x?? ?-2,2?,∴2x?[-π,π], π π ∴2x=± ,∴x=± . 3 6 π π? ∴函数 f(x)在? ?-2,2?上的两个极值分别为 π? 3 π ? π? 3 π f? ?6?= 2 -6,f?-6?=- 2 +6. 又 f(x)在区间端点的取值为 π? π ? π? π f? ?2?=-2,f?-2?=2. π π 比较以上函数值可得 f(x)max= ,f(x)min=- . 2 2 (2)∵函数 f(x)有意义, ∴必须满足 1-x2≥0,即-1≤x≤1, ∴函数 f(x)的定义域为[-1,1].
1 1 x - f′(x)=1+ (1-x2) 2· (1-x2)′=1- . 2 1-x2

令 f′(x)=0,得 x=

2 . 2

∴f(x)在[-1,1]上的极值为 f? 2 2? = + ?2? 2 1-? 2?2 = 2. ?2?

又 f(x)在区间端点的函数值为 f(1)=1,f(-1)=-1,比较以上函数值可得 f(x)max= 2, f(x)min=-1. 3 1 - , ?上的最大值和最小值. 16.设函数 f(x)=ln(2x+3)+x2.求 f(x)在区间? ? 4 4? 3 - ,+∞?. [解析] f(x)的定义域为? ? 2 ? 4x2+6x+2 2 f′(x)=2x+ = 2x+3 2x+3 = 2(2x+1)(x+1) . 2x+3
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3 当- <x<-1 时,f′(x)>0; 2 1 当-1<x<- 时,f′(x)<0; 2 1 当 x>- 时,f′(x)>0, 2 3 1? 所以 f(x)在? ?-4,4?上的最小值为 1? 1 f? ?-2?=ln2+4. 3? ?1? 49? 3 9 7 1 3 1 1? 又 f? ?-4?-f?4?=ln2+16-ln2-16=ln7+2=2?1-ln 9 ?<0, 3 1? 7 1 ?1? 所以 f(x)在区间? ?-4,4?上的最大值为 f?4?=ln2+16. 17.(2010· 安徽理,17)设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x?R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1. [分析] 本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函 数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 解题思路是:(1)利用导数的符号判定函数的单调性,进而求出函数的极值.(2)将不等 式转化构造函数,再利用函数的单调性证明. [解析] (1)解:由 f(x)=ex-2x+2a,x?R 知 f′(x)=ex-2,x?R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) ? (-∞,ln2) - 单调递减 2(1-ln2+a) ? ln2 0 (ln2,+∞) + 单调递增

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x?R,于是 g′(x)=ex-2x+2a,x?R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x?R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x?(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x?(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1. 4x2-7 18.已知函数 f(x)= ,x?[0,1]. 2-x
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(1)求 f(x)的单调区间和值域; (2)设 a≥1, 函数 g(x)=x3-3a2x-2a, x?[0,1]. 若对于任意 x1?[0,1], 总存在 x0?[0,1], 使得 g(x0)=f(x1)成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)对函数 f(x)求导,得 -4x2+16x-7 (2x-1)(2x-7) f′(x)= =- (2-x)2 (2-x)2 1 7 令 f′(x)=0 解得 x= 或 x= . 2 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) - 7 2 0 1 (0, ) 2 - ? 1 2 0 -4 1 ( ,1) 2 + ? -3 1

1 所以,当 x?(0, )时,f(x)是减函数; 2 1 ? 当 x?? ?2,1?时,f(x)是增函数. 当 x?[0,1]时,f(x)的值域为[-4,-3]. (2)g′(x)=3(x2-a2). 因为 a≥1,当 x?(0,1)时,g′(x)<0. 因此当 x?(0,1)时,g(x)为减函数,从而当 x?[0,1]时有 g(x)?[g(1),g(0)]. 又 g(1)=1-2a-3a2,g(0)=-2a,即 x?[0,1]时有 g(x)?[1-2a-3a2,-2a]. 任给 x1?[0,1],f(x1)?[-4,-3],存在 x0?[0,1]使得 g(x0)=f(x1)成立, 则[1-2a-3a2,-2a]?[-4,-3].
?1-2a-3a2≤-4,① ? 即? ? ?-2a≥-3.②

5 3 解①式得 a≥1 或 a≤- ;解②式得 a≤ . 3 2 3 又 a≥1,故 a 的取值范围为 1≤a≤ . 2

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选修 2-2
一、选择题

1.4

生活中的优化问题举例

1.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆锥的高为( A.R 4 C. R 3 [答案] C B.2R 3 D. R 4

)

[解析] 设圆锥高为 h,底面半径为 r,则 R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2 1 π 2 π ∴V= πr2h= h(2Rh-h2)= πRh2- h3 3 3 3 3 4 4 V′= πRh-πh2.令 V′=0 得 h= R. 3 3 4 4R 当 0<h< R 时,V′>0;当 <h<2R 时,V′<0. 3 3 4 因此当 h= R 时,圆锥体积最大.故应选 C. 3 2.若底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V,则其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 C. 4V [答案] C [解析] 设底面边长为 x,则 V= ∴S 表=2× 3 2 4V x h,∴h= . 4 3x2 3 B. 2V 3 D.2 V )

3 2 4V 3 4 3V x +3x· 2= x2+ , 4 2 x 3x

4 3V 3 ∴S′表= 3x- 2 ,令 S′表=0 得 x= 4V. x 3 3 当 0<x< 4V时,S′<0;x> 4V时,S′>0. 3 因此当底边长为 4V时,其表面积最小. 3.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 已知总收益 R 与产量 x 的关系式 R(x)=? 则总利润最大时,每年 ? ?80000,x>400. 生产的产品是( A.100 ) B.150
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C.200 [答案] D

D.300

[解析] 由题意,总成本为 C=20000+100x. 所以总利润为 P=R-C x ? ?300x- 2 -20000,0≤x≤400, =? ? ?60000-100x,x>400,
? ?300-x,0≤x≤400, ∴P′=? ?-100,x>400, ?
2

令 P′=0,得 x=300, 当 0<x<300 时,P′>0,当 300<x<400 时,P′<0,分析可知当 x=300 时,取得最大值, 故应选 D. 4.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2?1, 则该长方体的最大体积为( A.2m3 C.4m3 [答案] B [解析] 设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m),高为 h= 故长方体的体积为 3 0<x< ? V(x)=2x2(4.5-3x)=9x2-6x3? 2? ? 从而 V′(x)=18x-18x2=18x(1-x) 令 V′(x)=0,解得 x=1 或 x=0(舍去) 3 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x< 时,V′(x)<0 2 故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极值就是 V(x)的最大值 从而最大体积 V=V(1)=9×12-6×13=3(m2). 5.若球的半径为 R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为( A.2πR2 C.4πR2 [答案] A [解析] 设内接圆柱的高为 h,底面半径为 x, 则 x= h2 R- 4
2

) B.3m3 D.5m3

18-12x 3 0<x< ? =4.5-3x(m)? 2? ? 4

)

B.πR2 1 D. πR2 2

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∴S 侧=2πxh=2πh

h2 R2- =2π 4

h4 R2h2- 4

h4 令 t=R2h2- ,则 t′=2R2h-h3 4 令 t′=0,则 h= 2R 当 0<h< 2R 时,t′>0,当 2R<h<2R 时,t′<0, 所以当 h= 2R 时,圆柱侧面积最大. ∴侧面积最大值为 2π 2R4-R4=2πR2,故应选 A. 6.(2010· 山东文,8)已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的 1 函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算. ∵x>0,y′=-x2+81=(9-x)(9+x), 令 y′=0,解得 x=9,所以 x?(0,9)时,y′>0, x?(9,+∞)时,y′<0,y 先增后减. ∴x=9 时函数取最大值,选 C,属导数法求最值问题. 7.内接于半径为 R 的半圆的矩形中,周长最大的矩形的边长为( R 3 A. 和 R 2 2 4 7 C. R 和 R 5 5 [答案] B [解析] 设矩形一边的长为 x, 则另一边长为 2 R2-x2, 则 l=2x+4 R2-x2(0<x<R), l′=2- 4x , R2-x2 5 5 R,x2=- R(舍去). 5 5 B. 5 4 5 R和 R 5 5 ) B.11 万件 D.7 万件 )

D.以上都不对

令 l′=0,解得 x1= 当 0<x<

5 5 R 时,l′>0;当 R<x<R 时,l′<0. 5 5 5 5 4 5 R 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为 R, R. 5 5 5 )

所以当 x=

8.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则高为(
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A.

3 cm 3

10 3 B. cm 3 20 3 D. cm 3

16 3 C. cm 3 [答案] D

[解析] 设圆锥的高为 x,则底面半径为 202-x2, 1 其体积为 V= πx(202-x2)(0<x<20), 3 1 V′= π(400-3x2), 3 20 20 令 V′=0,解得 x1= 3,x2=- 3舍去. 3 3 20 20 20 当 0<x< 3时,V′>0;当 3<x<20 时,V′<0.所以当 x= 3时,V 取得最大值. 3 3 3 9.在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面 积最大时,其梯形的上底为( r A. 2 C. 3 r 3 ) B. 3 r 2

D.r

[答案] D [解析] 如下图所示,为圆及其内接梯形,设∠COB=θ,则 CD=2rcosθ,h=rsinθ,

2r(1+cosθ) ∴S= · rsinθ=r2sinθ(1+cosθ) 2 ∴S′=r2[cosθ(1+cosθ)-sin2θ] =r2(2cos2θ+cosθ-1) 1 令 S′=0 得 cosθ=-1(舍去)或 cosθ= . 2 1 即当 cosθ= 时,梯形面积最大,此时上底 CD=2rcosθ=r.故应选 D. 2 2 10.某厂生产某种产品 x 件的总成本:C(x)=1200+ x3,又产品单价的平方与产品件 75 数 x 成反比,生产 100 件这样的产品的单价为 50 元,总利润最大时,产量应定为( A.25 件 C.15 件 B.20 件 D.30 件
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)

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[答案] A [解析] 设产品单价为 a 元,又产品单价的平方与产品件数 x 成反比,即 a2x=k,由题 500 知 k=250000,则 a2x=250000,所以 a= . x 总利润 y=500 x- 250 2 y′= - x2, x 25 由 y′=0,得 x=25,当 x?(0,25)时,y′>0, x?(25,+∞)时,y′<0,所以 x=25 时,y 取最大值. 二、填空题 11.某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁, 其他三边需要砌新的墙壁,当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________. [答案] 32m,16m 512 512 [解析] 设长, 宽分别为 a, b, 则 ab=512, 且 l=a+2b, ∴l=2b+ , ∴l′=2- 2 , b b 令 l′=0 得 b2=256,∴b=16,a=32. 即当长、宽分别为 32m、16m 时最省材料. 12.容积为 256L 的方底无盖水箱,它的高为________时最省材料. [答案] 4 256 [解析] 设水箱高为 h,底面边长为 a,则 a2h=256,其面积为 S=a2+4ah=a2+4a· 2 a 210 =a2+ . a 210 令 S′=2a- 2 =0,得 a=8. a 28 当 0<a<8 时,S′<0;当 a>8 时,S′>0;当 a=8 时,S 最小,此时 h= 6=4. 2 13.内接于半径为 R 的球,且体积最大的圆柱的高为____________. [答案] 2 3R 3 2 3 x -1200(x>0), 75

[解析] 如图,ABCD 为球面内接圆柱的轴截面,BD=2R,设圆柱的高为 x,则圆柱底 1 面半径为 r= 4R2-x2, 2

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π 圆柱体积 V=πr2x= (4R2-x2)x(0<x<2R) 4 π 2 令 V′= (4R2-3x2)=0 得 x= 3R. 4 3 2 因为 V(x)只有一个极值,所以当圆柱的高为 3R 时,球内接圆柱体积最大. 3 14.如图(1),将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚 线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2)).当这个正六棱柱容器的底面边长为________ 时,其容积最大.

[答案]

2 3

[解析] 设四边形较短边为 x,则较长边为 3x,正六棱柱底面边长为 1-2x,高为 3x, 1 9 ∴V=6× ×sin60° ×(1-2x)2× 3x= x(1-2x)2. 2 2 9 V′= (1-2x)(1-6x), 2 1 1 令 V′=0,得 x= 或 x= (舍去). 6 2 1 1 1 当 0<x< 时,V′>0;当 <x< 时,V′<0. 6 6 2 1 1 2 因此当 x= 时,V 有最大值,此时底面边长为 1-2× = . 6 6 3 三、解答题 15. 一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比. 已知速度为每小时 10 千米时, 燃料费是每小时 6 元,而其它与速度无关的费用是每小时 96 元,问轮船的速度是多少时, 航行 1 千米所需的费用总和为最小? [解析] 设速度为每小时 v 千米的燃料费是每小时 p 元,那么由题设的比例关系得 p= 6 k· v3,其中 k 为比例常数,它可以由 v=10,p=6 求得,即 k= 3=0.006.于是有 p=0.006v3. 10 又设当船的速度为每小时 v 千米时, 行 1 千米所需的总费用为 q 元, 那么每小时所需的 1 总费用是 0.006v3+96(元),而行 1 千米所需用时间为v小时,所以行 1 千米的总费用为 1 96 q=v(0.006v3+96)=0.006v2+ v .

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96 0.012 q′=0.012v- 2 = 2 (v3-8000), v v 令 q′=0,解得 v=20. 因当 v<20 时,q′<0;当 v>20 时,q′>0,所以当 v=20 时取得最小值. 即当速度为 20 千米/小时时,航行 1 千米所需费用总和最小. 16.(2009· 湖南理,19)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工 程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元. 假设桥墩等距离分布, 所有桥墩都视为 点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? [分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应

用问题的能力. [解析] (1)设需新建 n 个桥墩,则(n+1)x=m, m 即 n= -1, x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x = 256m +m x+2m-256. x

256m 1 -1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx 2= 2(x2-512). x 2 2x
3

令 f′(x)=0,得 x2=512,所以 x=64. 当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数, 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. m 640 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值,此时 n= -1= -1=9, x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 17.(2010· 湖北理,17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ,房屋的屋顶和外 墙需要建造隔热层,某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本 为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关 k 系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层 3x+5 建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式.
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(2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. [解析] (1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= 40 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= , 3x+5 而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× 800 +6x= +6x(0≤x≤10). 3x+5 2400 (2)f ′(x)=6- , (3x+5)2 2400 令 f ′(x)=0,即 =6, (3x+5)2 25 解得 x=5,x=- (舍去). 3 当 0<x<5 时,f ′(x)<0,当 5<x<10 时,f ′(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的 800 最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 18.(2009· 山东理,21)两县城 A 和 B 相距 20km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半 圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 40 3x+5 k , 3x+5

对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与对城 B 的影响度之和.记 C 点到城 A 的距离为 xkm,建 在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影 响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比, 比例系数为 4; 对城 B 的影响度与所选地点到 城 B 的距离的平方成反比,比例系数为 k,当垃圾处理厂建在弧 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; (2)讨论(1)中函数的单调性, 并判断弧 上是否存在一点, 使建在此处的垃圾处理厂对 的中点时,对城 A 和城

城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点对城 A 的距离;若不存在,说明理由. [解析] (1)根据题意∠ACB=90° ,AC=xkm,BC= 400-x2km, 4 k 且建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 的影响度为 2,对城 B 的影响度为 , x 400-x2 4 k 因此,总影响度 y 为 y= 2+ (0<x<20). x 400-x2

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又因为垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065, 4 k 所以 + =0.065, ( 102+102)2 400-( 102+102)2 4 9 解得 k=9,所以 y= 2+ (0<x<20). x 400-x2 8 18x (2)因为 y′=- 3+ x (400-x2)2 = 18x4-8×(400-x2)2 (x2+800)(10x2-1600) = . x3(400-x2)2 x3(400-x2)2

由 y′=0 解得 x=4 10或 x=-4 10(舍去). 易知 4 10?(0,20). y,y′随 x 的变化情况如下表: x y′ y (0,4 10) - ? 4 10 0 极小值 (4 10,20) + ?

由表可知,函数在(0,4 10)内单调递减,在(4 10,20)内单调递增. y 最小值=y|x=4
10=

1 ,此时 x=4 10, 16

故在

上存在 C 点, 使得建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响最小, 该点与

城 A 的距离 x=4 10km.

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选修 2-2
一、选择题
5

1.5.1 曲边梯形的面积、1.5.2 汽车行驶的路程
)

1.和式 ? (yi+1)可表示为(
i=1

A.(y1+1)+(y5+1) B.y1+y2+y3+y4+y5+1 C.y1+y2+y3+y4+y5+5 D.(y1+1)(y2+1)?(y5+1) [答案] C [解析] 5,故选 C. 2.在求由 x=a,x=b(a<b),y=f(x)(f(x)≥0)及 y=0 围成的曲边梯形的面积 S 时,在区 间[a,b]上等间隔地插入 n-1 个分点,分别过这些分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形,下列说法中正确的个数是( ①n 个小曲边梯形的面积和等于 S; ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S; ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S; ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定 A.1 个 C.3 个 [答案] A [解析] n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的,因此其面积和为 S.∴①正 确,②③④错误,故应选 A. 3.在“近似代替”中,函数 f(x)在区间[xi,xi+1]上的近似值等于( A.只能是左端点的函数值 f(xi) B.只能是右端点的函数值 f(xi+1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f(ξi)(ξi?[xi,xi+1]) D.以上答案均不正确 [答案] C [解析] 由求曲边梯形面积的“近似代替”知,C 正确,故应选 C. 4.(2010· 惠州高二检测)求由抛物线 y=2x2 与直线 x=0,x=t(t>0),y=0 所围成的曲边 梯形的面积时,将区间[0,t]等分成 n 个小区间,则第 i-1 个区间为(
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i=1

? (yi+1)=(y1+1)+(y2+1)+(y3+1)+(y4+1)+(y5+1)=y1+y2+y3+y4+y5+

5

)

B.2 个 D.4 个

)

)

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A.? C.?

i-1 i ? ? n ,n?

i i+1? B.? , ?n n ? D.? t(i-2) t(i-1)? ? n , n ?

t(i-1) ti? ? n ,n ?

[答案] D [解析] 在[0,t]上等间隔插入(n-1)个分点,把区间[0,t]等分成 n 个小区间,每个小 t(i-2) t(i-1)? t 区间的长度均为 ,故第 i-1 个区间为? n ? n , n ?,故选 D. 5.由直线 x=1,y=0,x=0 和曲线 y=x3 所围成的曲边梯形,将区间 4 等分,则曲边 梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( 1 A. 19 110 C. 270 [答案] D 111 B. 256 25 D. 64 )

?1?3 ?2?3 ?3?3 3? 1 [解析] s=? ??4? +?4? +?4? +1 ?×4
= 13+23+33+43 25 = . 44 64 1 (x?[0,2])及 x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极 1+x2

6.在等分区间的情况下,f(x)= 限形式正确的是( )

n 1 2 A.lim [ ·] ? i n→∞i=1 ?2 n 1+? n ? ? n 1 2 B.lim [ ·] ? 2 i n→∞i=1 ?2 n 1+? ?n? n 1? ? 1 2· C.lim ? →∞ 1+i n? n i=1 ?

n 1 D.lim [ · n] ? i ?2 n→∞i=1 1+? ?n?

[答案] B 2 [解析] 将区间[0,2]进行 n 等分每个区间长度为 ,故应选 B. n 二、填空题 7.直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2+1 围成的曲边梯形,将区间[0,2]5 等分,按照 区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.
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[答案] 3.92 5.52 8.已知某物体运动的速度为 v=t,t?[0,10],若把区间 10 等分,取每个小区间右端点 处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为________. [答案] 55 三、解答题 9.求直线 x=0,x=2,y=0 与曲线 y=x2 所围成曲边梯形的面积. [分析] 按分割,近似代替,求和,取极限四个步骤进行. [解析] 将区间[0,2]分成 n 个小区间,则第 i 个小区间为?

?

2(i-1) 2i? , . n n?

第 i 个小区间的面积 ΔSi=f? ∴Sn= ?f?
n i=1 ?

2(t-1)? 2 , n ? n ?·

2(i-1)? 2 · n ?n

2 2 n 4(i-1) 8 n = ? = 3 ? (i-1)2 2 ni=1 n n i=1

8 = 3[02+12+22+?+(n-1)2] n 8 (n-1)n(2n-1) = 3· n 6 = 8(n-1)(2n-1) . 6n2
n n

S=lim Sn=lim →∞ →∞

8(n-1)(2n-1) 8 = , 6n2 3

8 ∴所求曲边梯形面积为 . 3 n(n+1)(2n+1) [点评] 注意求平方和时, 用到数列中的一个求和公式.12+22+?+n2= . 6 不要忘记对 Sn 求极限. 10.汽车以速度 v 做匀速直线运动时,经过时间 t 所行驶的路程 s=vt.如果汽车做变速 直线运动,在时刻 t 的速度为 v(t)=t2+2(单位:km/h),那么它在 1≤t≤2(单位:h)这段时间 行驶的路程是多少? [分析] 汽车行驶路程类似曲边梯形面积, 根据曲边梯形面积思想, 求和后再求极限值. i-1 i [解析] 将区间[1,2]等分成 n 个小区间,第 i 个小区间为?1+ ,1+ ?. n n? ? i-1? 1 ∴Δsi=f?1+ ·. n ?n ?

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n i-1? 1 sn= ?f?1+ · n ?n ? i=1

i-1?2 ? 1n = ? ??1+ +2 ni=1 ?? n ? ?
2 1 n (i-1) 2(i-1) ? = ? ? 2 + +3 ni=1 ? n n ?

1 1 1 = 3n+ 2[02+12+22+?+(n-1)2]+ [0+2+4+6+?+2(n-1)] n n n (n-1)(2n-1) n-1 =3+ + . 6n2 n n-1) n-1? 13 ?3+(n-1)(2 s=lim sn=lim = . + n→∞ n→∞ ? 6n2 n ? 3 13 ∴这段时间行驶的路程为 km. 3 11.求物体自由落体的下落距离:已知自由落体的运动速度 v=gt,求在时间区间[0, t]内物体下落的距离. [分析] 选定区间 → 分割 → 近似代替 → 求和 → 取极限

[解析] (1)分割:将时间区间[0,t]分成 n 等份. 把时间[0,t]分成 n 个小区间?

? ? n t,n?(i=1,2,?,n),
i-1 it

it i-1 t 每个小区间所表示的时间段 Δt= - t= ,在各小区间物体下落的距离记作 Δsi(i= n n n 1,2,?,n). (2)近似代替:在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程. 在? (i-1) i-1 it? ? n t,n?上任取一时刻 ξi(i=1,2,?,n),可取 ξi 使 v(ξi)=g n t 近似代替第 i 个

t 小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体 Δt = 内所经过的距离可近似表示为 n Δsi≈g? i-1 ? t (i=1,2,?,n). n ? n t?·
n

(3)求和:sn= ?Δsi
i=1

= ?g?
n i=1

i-1 ? t t · ? n · ?n



gt2 [0+1+2+?+(n-1)] n2

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1 1 1- ?. = gt2? n? 2 ? 1 2? 1? 1 2 (4)取极限:s=lim gt ?1-n?= gt . 2 n→∞ 2 1 12.求由直线 x=1、x=2、y=0 及曲线 y= 2围成的图形的面积 S. x [解析] (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n-1 个点,将它等分成 n 个小区间: n+i-1 n+i? ?1,n+1?, ?n+1,n+2?, ?n+n-1,2?, ?, 记第 i 个区间为? ?, n ? ? n n ? ? ? n ? ? n , n ?(i=1,2, n),其长度为 n+i n+i-1 1 Δx= - = . n n n 分别过上述 n-1 个分点作 x 轴的垂线,把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如下图),它 们的面积记作:ΔS1,ΔS2,?,ΔSn,则小区边梯形面积的和为 S= ?ΔSi.
i=1 n

(2)近似代替 n+i-1 n+i? 1 1 记 f(x)= 2.当 n 很大,即 Δx 很小时,在区间? x ? n , n ?上,可以认为 f(x)=x2的值 变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它等于 f( n+i-1 n+i · ).从图形上看,就是 n n n+i-1 n+i? ? n , n ?上,用

用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间?

小矩形面积 ΔSi′近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内 “以直代曲”,则有 ΔSi≈ΔSi′= f?

? ?

n2 1 n n+i-1 n+i? = (i=1,2,?,n). · ?Δx=(n+i-1)(n+i)· n (n+i-1)(n+i) n n ? (3)求和 小曲边梯形的面积和 Sn= ?ΔSi≈ ?ΔSi′
i=1 i=1 n n

=?

n

i=1

n n n n = + +?+ (n+i-1)(n+i) n(n+1) (n+1)(n+2) (n+n-1)(n+n)

1 1 1 1 1 1 =n - + - +?+ - n n+1 n+1 n+2 n+n-1 n+n
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1 1? 1 1 =n? ?n-2n?=2.从而得到 S 的近似值 S≈Sn=2. (4)取极限 1 分别将区间[1,2]等分成 8,16,20,?等份时,Sn 越来越趋向于 S,从而有 S=lim Sn= . 2 n→∞ 1 1 ∴由直线 x=1,x=2,y=0 及曲线 y= 2围成的图形的面积 S 为 . x 2

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选修 2-2
一、选择题 1.定积分?3(-3)dx 等于(

1.5.3 定积分的概念

?1

) B.6 D.3

A.-6 C.-3 [答案] A

[解析] 由积分的几何意义可知?3(-3)dx 表示由 x=1,x=3,y=0 及 y=-3 所围成的

?1

矩形面积的相反数,故?3(-3)dx=-6.

?1

2.定积分?bf(x)dx 的大小(

?a

)

A.与 f(x)和积分区间[a,b]有关,与 ξi 的取法无关 B.与 f(x)有关,与区间[a,b]以及 ξi 的取法无关 C.与 f(x)以及 ξi 的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与 f(x)、区间[a,b]和 ξi 的取法都有关 [答案] A [解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知 A 正确. 3.下列说法成立的个数是(
n b-a ①?bf(x)dx= ?f(ξi) n ? i=1 a

)

b-a ②?bf(x)dx 等于当 n 趋近于+∞时,f(ξi)· 无限趋近的值 n ?
a n b-a ③?bf(x)dx 等于当 n 无限趋近于+∞时, ?f(ξi) 无限趋近的常数 n ? i=1 a

④?bf(x)dx 可以是一个函数式子

?a

A.1 C.3 [答案] A

B.2 D.4

[解析] 由?bf(x)dx 的定义及求法知仅③正确,其余不正确.故应选 A.

?a

4.已知?3f(x)dx=56,则(

?1

)

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A.?2f(x)dx=28

?1

B.?3f(x)dx=28

?2

C.?22f(x)dx=56

?1

D.?2f(x)dx+?3f(x)dx=56

?1

?2

[答案] D [解析] 由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),x =1,x=2 及 y=0 围成的曲边梯形知由 y=f(x),x=2,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形. ∴?3f(x)dx=?2f(x)dx+?3f(x)dx

?1 ?1

?1 ?2

?2

即?2f(x)dx+?3f(x)dx=56. 故应选 D. 5.已知?bf(x)dx=6,则?b6f(x)dx 等于(

?a

?a

)

A.6 C.36 [答案] C [解析] ∵?bf(x)dx=6,

B.6(b-a) D.不确定

?a

∴在?b6f(x)dx 中曲边梯形上、下底长变为原来的 6 倍,由梯形面积公式,知?b6f(x)dx

?a

?a

=6?bf(x)dx=36.故应选 C.

?a

?x2 ? 6.设 f(x)=? x ?2 ?

(x≥0), (x<0),

则?1-1f(x)dx 的值是(

?

)

[答案] D [解析] 由定积分性质(3)求 f(x)在区间[-1,1]上的定积分, 可以通过求 f(x)在区间[-1,0] 与[0,1]上的定积分来实现,显然 D 正确,故应选 D. 7.下列命题不正确的是( )

A.若 f(x)是连续的奇函数,则 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0

?a

D.若 f(x)在[a,b)上连续且?bf(x)dx>0,则 f(x)在[a,b)上恒正

?a

[答案] D
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[解析] 本题考查定积分的几何意义,对 A:因为 f(x)是奇函数,所以图象关于原点对 称,所以 x 轴上方的面积和 x 轴下方的面积相等,故积分是 0,所以 A 正确.对 B:因为 f(x) 是偶函数,所以图象关于 y 轴对称,故图象都在 x 轴下方或上方且面积相等,故 B 正确.C 显然正确.D 选项中 f(x)也可以小于 0,但必须有大于 0 的部分,且 f(x)>0 的曲线围成的面 积比 f(x)<0 的曲线围成的面积大.

[答案] B

9.利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分?1-1[(tanx)11+(cosx)21]dx=

?

( A.2?1[(tanx)11+(cosx)21]dx

)

?0

B.0 C.2?1(cosx)21dx

?0

D.2 [答案] C [解析] ∵y=tanx 为[-1,1]上的奇函数, ∴y=(tanx)11 仍为奇函数,而 y=(cosx)21 是偶函数, ∴原式=?1-1(cosx)21dx=2?1(cosx)21dx.故应选 C.

?

?0

10.设 f(x)是[a,b]上的连续函数,则?bf(x)dx-?bf(t)dt 的值(

?a

?a

)

A.小于零 C.大于零 [答案] B

B.等于零 D.不能确定

[解析] ?bf(x)dx 和?bf(t)dt 都表示曲线 y=f(x)与 x=a,x=b 及 y=0 围成的曲边梯形面 ? ?
a a

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积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位臵.所以其值为 0. 二、填空题 π 11.由 y=sinx,x=0,x= ,y=0 所围成的图形的面积可以写成________. 2 [答案] [解析] 由定积分的几何意义可得. 12.?6(2x-4)dx=________.

?0

[答案] 12 [解析] 如图 A(0,-4),B(6,8) 1 S△AOM= ×2×4=4 2 1 S△MBC= ×4×8=16 2 ∴?6(2x-4)dx=16-4=12.

?0

13.(2010· 新课标全国理,13)设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x)≤1, 可以用随机模拟方法近似计算积分?1f(x)dx.先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数

?0

x1,x2,?,xN 和 y1,y2,?,yN,由此得到 N 个点(xi,yi)(i=1,2,?,N).再数出其中满 足 yi≤f(xi)(i=1,2,?,N)的点数 N1,那么由随机模拟方法可得积分?1f(x)dx 的近似值为

?0

________. [答案] N1 N

[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识,难度不大,但综合性较强,很好的 考查了学生对积分等知识的理解和应用,题目比较新颖. [解析] 因为 0≤f(x)≤1 且由积分的定义知:?1f(x)dx 是由直线 x=0,x=1 及曲线

?0

y=f(x)与 x 轴所围成的面积,又产生的随机数对在如图所示的正方形内,正方形面积为 1,且满足 yi≤f(xi)的有 N1 个点,即在函数 f(x)的图象上及图象下方有 N1 个点,所以用 N1 N1 几何概型的概率公式得: f(x)在 x=0 到 x=1 上与 x 轴围成的面积为 ×1= , 即?1f(x)dx N N ?
0

N1 = . N

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三、解答题 15.利用定积分的几何意义,说明下列等式.

[解析] (1)?12xdx 表示由直线 y=2x,直线 x=0,x=1,y=0 所围成的图形的面积,

?0

1 如图所示,阴影部分为直角三角形,所以 S△= ×1×2=1,故?12xdx=1. 2 ?
0

(2)?1-1 1-x2dx 表示由曲线 y= 1-x2,直线 x=-1,x=1,y=0 所围成的图形面

?

π 积(而 y= 1-x2表示圆 x2+y2=1 在 x 轴上面的半圆),如图所示阴影部分,所以 S 半圆= , 2

16.利用定积分的性质求

? 2x +sin3x+x2-e -1?dx. ?x4+1 ? ex+1? ?

x

ex-1 2x [解析] y= 4 ,y=sin3x 均为[-1,1]上的奇函数,而对于 f(x)= x , x +1 e +1 e x-1 1-ex ∵f(-x)= -x = =-f(x), e +1 1+ex


此函数为奇函数.

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n 1 i n ? ?2= 13 ? ∵S= ? · (i)2 n ?n? n i=1 i=1

1 1 = 3· n(n+1)(2n+1) n 6 3 1 1 2+ + 2? = ? n n? 6? 1? 3 1 ? 1 2+ + 2 = ∴S=li m →∞ 6? n n ? 3 n 1 2 即 2?1x2dx=2× = 3 3 ?
0

17.已知函数 f(x)= [解析] 由定积分的几何意义知

),求 f(x)在区间[-2,2π]上的积分.

=π2-4. 18.利用定积分的定义计算?bxdx.

?a

b-a [解析] (1)分割:将区间[a,b]n 等分,则每一个小区间长为 Δxi= (i=1,2,?,n). n i(b-a) (2)近似代替:在小区间[xi-1,xi]上取点:ξi=a+ (i=1,2,?,n). n i(b-a)? b-a Ii=f(ξi)·Δxi=?a+ · . n ? n ? (3)求和:In= ?f(ξi)·Δxi
i=1 n i(b-a)? b-a = ? ?a+ · n ? n i=1 ? n

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b-a n ? i(b-a)? a+ n i? n ? =1 ?
n n ? b-a? ? ?a+ ? i(b-a)? n ? n ?i=1 i=1



?

?



n ? b-a? ?na+b-a ?i? n i=1 ? n ?

?

?

b-a n(n+1)? =(b-a)?a+ 2 · n 2 ? ? (4)求极限:?bxdx=li m In →∞

?a

n

b-a? 1?? 1+ =li m (b-a)?a+ →∞ n 2 ? n?? ? b a? 1 2 2 =(b-a)? ?a+2-2?=2(b -a ).

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选修 2-2
一、选择题 1.下列积分正确的是( )

1.6 微积分基本定理

[答案] A

21 A. 4 33 C. 8 [答案] A

5 B. 4 21 D. 8

1 1 x2+ 4?dx=?2-2x2dx+?2-2 4dx [解析] ?2-2? x ? ? x ? ? ? 1 - 2 1 2 - x 3?|-2 = x3|-2 +? ? 3 ? 3 1 2 - = (x3-x 3)|-2 3 1 1 1 21 1 8- ?- ?-8+ ?= . = ? 8? 3? 8? 4 3? 故应选 A. 3.?1-1|x|dx 等于(

?

) B.?1-1dx

A.?1-1xdx

?

?

C.?0-1(-x)dx+?1xdx

?

?0

D.?0-1xdx+?1(-x)dx

?

?0

[答案] C
?x (x≥0) ? [解析] ∵|x|=? ? ?-x (x<0)

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∴?1-1|x|dx=?0-1|x|dx+?1|x|dx

? ?

?

?0

=?0-1(-x)dx+?1xdx,故应选 C.

?0

?x2 ? 4.设 f(x)=? ? ?2-x

(0≤x<1) (1≤x≤2)

,则?2f(x)dx 等于(

?0

)

3 A. 4 5 C. 6 [答案] C

4 B. 5 D.不存在

[解析] ?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx ? ? ?
0 0 1

1 1 取 F1(x)= x3,F2(x)=2x- x2, 3 2 则 F′1(x)=x2,F′2(x)=2-x ∴?2f(x)dx=F1(1)-F1(0)+F2(2)-F2(1)

?0

1 1 1 2? 5 = -0+2×2- ×22-? ?2×1-2×1 ?=6.故应选 C. 3 2 5.?bf′(3x)dx=(

?a

) B.f(3b)-f(3a) D.3[f(3b)-f(3a)]

A.f(b)-f(a) 1 C. [f(3b)-f(3a)] 3 [答案] C 1 ? [解析] ∵? ?3f(3x)?′=f′(3x) 1 ∴取 F(x)= f(3x),则 3

f′(3x)dx=F(b)-F(a)= [f(3b)-f(3a)].故应选 C. ? 3 ?a 6.?3|x2-4|dx=(

b

1

?0

) 22 B. 3 25 D. 3

21 A. 3 23 C. 3 [答案] C

[解析] ?3|x2-4|dx=?2(4-x2)dx+?3(x2-4)dx ? ? ?
0 0 2

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1 3? 2 ?1 3 ? 3 23 =? ?4x-3x ?|0 +?3x -4x?|2 = 3 .

A.- 1 C. 2

3 2

1 B.- 2 D. 3 2

[答案] D θ [解析] ∵1-2sin2 =cosθ 2

8.函数 F(x)=?x costdt 的导数是(

?0

)

A.cosx C.-cosx [答案] A

B.sinx D.-sinx

[解析] F(x)=?x costdt=sint|0 =sinx-sin0=sinx.

x

?0

所以 F′(x)=cosx,故应选 A. 9.若?k (2x-3x2)dx=0,则 k=(

?0

) B.1 D.以上都不对

A.0 C.0 或 1 [答案] C

[解析] ?k (2x-3x2)dx=(x2-x3)|0 =k2-k3=0, ?
0

k

∴k=0 或 1. 10.函数 F(x)=?x t(t-4)dt 在[-1,5]上(

?0

)

A.有最大值 0,无最小值 32 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 3 D.既无最大值也无最小值 [答案] B
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13 1 x t -2t2?|0 = x3-2x2(-1≤x≤5). [解析] F(x)=?x (t2-4t)dt=? 3 ? ? 3 ?
0

F′(x)=x -4x,由 F′(x)=0 得 x=0 或 x=4,列表如下: x F′(x) F(x) (-1,0) + ? 0 0 极大值 (0,4) - 4 0 极小值 (4,5) + ?

2

32 可见极大值 F(0)=0,极小值 F(4)=- . 3 7 25 又 F(-1)=- ,F(5)=- 3 3 ∴最大值为 0,最小值为- 二、填空题 11.计算定积分: ①?1-1x2dx=________ 32 . 3

?

2? ②?3? ?3x-x2?dx=________

?2 ?0 ?

③?2|x2-1|dx=________ ④?0-π|sinx|dx=________
2

[答案]

2 43 ; ;2;1 3 6

1 1 2 [解析] ①?1-1x2dx= x3|-1 = . 3 3 ? 2 3 2 3 43 3x- 2?dx=? x2+ ?|2 = . ②?3? x 2 x? ? ? ? 6 ?
2

③?2|x2-1|dx=?1(1-x2)dx+?2(x2-1)dx

?0

?0

?1

1 3? 1 ?1 3 ? 2 =? ?x-3x ?|0 +?3x -x?|1 =2.

π [答案] 1+ 2

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13.(2010· 陕西理,13)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为________. [答案] 1 3

S1 1 1 [解析] 长方形的面积为 S1=3,S 阴=?13x2dx=x3|0 =1,则 P= = . 3 S 阴 ?
0

14.已知 f(x)=3x +2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a)成立,则 a=________.

2

?

1 [答案] -1 或 3 [解析] 由已知 F(x)=x3+x2+x,F(1)=3,F(-1)=-1, ∴?1-1f(x)dx=F(1)-F(-1)=4,

?

∴2f(a)=4,∴f(a)=2. 1 即 3a2+2a+1=2.解得 a=-1 或 . 3 三、解答题 15.计算下列定积分: (1)?52xdx;(2)?1(x2-2x)dx;

?0 ?0

?0

(3)?2(4-2x)(4-x2)dx;(4)?2
5

x2+2x-3 dx. x ?1

[解析] (1)?52xdx=x2|0 =25-0=25.

?0

(2)?1(x2-2x)dx=?1x2dx-?12xdx

?0

?0

?0

1 1 1 2 1 = x3|0 -x2|0 = -1=- . 3 3 3 (3)?2(4-2x)(4-x2)dx=?2(16-8x-4x2+2x3)dx

?0

?0

4 3 1 4? 2 2 =? ?16x-4x -3x +2x ?|0 32 40 =32-16- +8= . 3 3 (4)?2 x2+2x-3 3 x+2- ?dx dx=?2? x? x ?1 ? 1?

1 2 ?2 7 =? ?2x +2x-3lnx?|1 =2-3ln2.
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16.计算下列定积分:

1 [解析] (1)取 F(x)= sin2x,则 F′(x)=cos2x 2

1 3 1 = ?1- ?= (2- 3). 2? 2? 4 x2 (2)取 F(x)= +lnx+2x,则 2 1 F′(x)=x+ +2. x ∴?3? x+

?2?

1 ?2 1 x+ +2?dx dx=?3? x ? ? x? ?
2

=F(3)-F(2) 9 ? ?1 ? =? ?2+ln3+6?-?2×4+ln2+4? 9 3 = +ln . 2 2 3 (3)取 F(x)= x2-cosx,则 F′(x)=3x+sinx 2

17.计算下列定积分: (1)?0-4|x+2|dx;

?

(2)已知 f(x)=

,求?3-1f(x)dx 的值.

?

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[解析] (1)∵f(x)=|x+2|= ∴?0-4|x+2|dx=-?-2(x+2)dx+?0-2(x+2)dx

?

?-4

?

1 2 ? -2 ?1 2 ?0 =-? ?2x +2x?|-4 +?2x +2x?|-2 =2+2=4.

(2)∵f(x)= ∴?3-1f(x)dx=?0-1f(x)dx+?1f(x)dx+?2f(x)dx+?3f(x)dx=?1(1-x)dx+?2(x-1)dx

?

?

?0

?1

?2

?0

?1

x2 1 x2 2 x- ?|0 +? -x?|1 =? ? 2? ?2 ? 1 1 = + =1. 2 2 18.(1)已知 f(a)=?1(2ax2-a2x)dx,求 f(a)的最大值;

?0

(2)已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,?1f(x)dx=-2,求 a,b,c

?0

的值. 2 1 [解析] (1)取 F(x)= ax3- a2x2 3 2 则 F′(x)=2ax2-a2x ∴f(a)=?1(2ax2-a2x)dx

?0

2 1 =F(1)-F(0)= a- a2 3 2 2 1 2 a- ?2+ =- ? 2? 3? 9 2 2 ∴当 a= 时,f(a)有最大值 . 3 9 (2)∵f(-1)=2,∴a-b+c=2① 又∵f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0② 而?1f(x)dx=?1(ax2+bx+c)dx

?0

?0

1 1 取 F(x)= ax3+ bx2+cx 3 2 则 F′(x)=ax2+bx+c
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1 1 ∴?1f(x)dx=F(1)-F(0)= a+ b+c=-2③ 3 2 ?
0

解①②③得 a=6,b=0,c=-4.

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选修 2-2
一、选择题

1.7 定积分的简单应用

1.如图所示,阴影部分的面积为(

)

A.?bf(x)dx

?a

B.?bg(x)dx

?a

C.?b[f(x)-g(x)]dx

?a

D.?b[g(x)-f(x)]dx

?a

[答案] C [解析] 由题图易知, 当 x?[a, b]时, f(x)>g(x), 所以阴影部分的面积为?b[f(x)-g(x)]dx.

?a

2.如图所示,阴影部分的面积是(

)

A.2 3 32 C. 3 [答案] C [解析] S=?1-3(3-x2-2x)dx ? 1 即 F(x)=3x- x3-x2, 3 1 5 则 F(1)=3-1- = , 3 3 F(-3)=-9-9+9=-9.

B.2- 3 35 D. 3

5 32 ∴S=F(1)-F(-3)= +9= .故应选 C. 3 3 3.由曲线 y=x2-1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( A.?2(x -1)dx )

?0

2

B.|?2(x2-1)dx|

?0

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C.?2|x2-1|dx

?0

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx

?0

?1

[答案] C [解析] y=|x2-1|将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方,其定积分为正,故应选 C. 4.设 f(x)在[a,b]上连续,则曲线 f(x)与直线 x=a,x=b,y=0 围成图形的面积为( A.?bf(x)dx )

?a

B.|?bf(x)dx|

?a

C.?b|f(x)|dx

?a

D.以上都不对

[答案] C [解析] 当 f(x)在[a,b]上满足 f(x)<0 时,?bf(x)dx<0,排除 A;当阴影有在 x 轴上方也

?a

有在 x 轴下方时,?bf(x)dx 是两面积之差,排除 B;无论什么情况 C 对,故应选 C.

?a

16 5.曲线 y=1- x2 与 x 轴所围图形的面积是( 81 A.4 C.2 [答案] B 9 9 - ,0?,? ,0? [解析] 曲线与 x 轴的交点为? ? 4 ? ?4 ? B.3 5 D. 2

)

故应选 B. 6.一物体以速度 v=(3t2+2t)m/s 做直线运动,则它在 t =0s 到 t=3s 时间段内的位移是 ( A.31m C.38m [答案] B [解析] S=?3(3t2+2t)dt=(t3+t2)|0 =33+32=36(m),故应选 B. ?
0 3

)

B.36m D.40m

7.(2010· 山东理,7)由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 B. 4
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)

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1 C. 3 [答案] A [解析]

7 D. 12

2 ? ?y=x 由? 3 得交点为(0,0),(1,1). ?y=x ?

1 3 1 4??1 1 ∴S=?1(x2-x3)dx= ? ?3x -4x ??0=12. ?
0

8.一物体在力 F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=1 运动 到 x=3 处(单位:m),则力 F(x)所做的功为( A.8J C.12J [答案] D [解析] 由变力做功公式有:W=?3(4x-1)dx=(2x2-x)|1 =14(J),故应选 D.
3

)

B.10J D.14J

?1

9. 若某产品一天内的产量(单位: 百件)是时间 t 的函数, 若已知产量的变化率为 a= 那么从 3 小时到 6 小时期间内的产量为( 1 A. 2 C.6+3 2 [答案] D 3 6 6 [解析] ?6 dt= t|3 =6-3 2,故应选 D. 6 ?3 6t )

3 , 6t

3 B.3- 2 2 D.6-3 2

9 10. 过原点的直线 l 与抛物线 y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为 a3, 则直线 l 的方程 2 为( ) A.y=± ax C.y=-ax [答案] B [解析] 设直线 l 的方程为 y=kx,
? ?y=kx 由? 得交点坐标为(0,0),(2a+k,2ak+k2) 2 ?y=x -2ax ?
a k 图形面积 S=∫2 [kx-(x2-2ax)]dx 0


B.y=ax D.y=-5ax

=? =

k+2a 2 x3? 2a+k | ? 2 x -3? 0 (k+2a)3 (2a+k)3 (2a+k)3 9 3 - = = a 2 3 6 2
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∴k=a,∴l 的方程为 y=ax,故应选 B. 二、填空题 11.由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________. [答案] 18 [ 解析 ] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组

?y2=2x ? ? 得交点坐标为(2,-2),(8,4). ? ?y=x-4

y2 因此所求图形的面积 S=?4-2(y+4- )dy 2 ?

1 y3 y2 取 F(y)= y2+4y- ,则 F′(y)=y+4- ,从而 S=F(4)-F(-2)=18. 2 6 2 12.一物体沿直线以 v= 1+tm/s 的速度运动,该物体运动开始后 10s 内所经过的路程 是________.

1 13.由两条曲线 y=x2,y= x2 与直线 y=1 围成平面区域的面积是________. 4 [答案] 4 3

x2 [解析] 如图,y=1 与 y=x2 交点 A(1,1),y=1 与 y= 交点 B(2,1),由对称性可知面积 4 1 4 S=2(?1x2dx+?2dx-?2 x2dx)= . 3 ? ? ?4
0 1 0

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2t ? ?a 14.一变速运动物体的运动速度 v(t)=? ?b ? t
t

(0≤t≤1) (1≤t≤2) (2≤t≤e)

则 该 物 体 在 0≤t≤e 时 间 段 内 运 动 的 路 程 为 ( 速 度 单 位 : m/s , 时 间 单 位 : s)______________________. 2 [答案] 9-8ln2+ ln2 [解析] ∵0≤t≤1 时,v(t)=2t,∴v(1)=2; 又 1≤t≤2 时,v(t)=at, ∴v(1)=a=2,v(2)=a2=22=4; b 又 2≤t≤e 时,v(t)= , t b ∴v(2)= =4,∴b=8. 2 8 2 ∴路程为 S=?12tdt+?22tdt+?e dt=9-8ln2+ . t ln2 ? ? ?
0 1 2

三、解答题 15.计算曲线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3 所围图形的面积.
?y=x+3 ? [解析] 由? 解得 x=0 及 x=3. 2 ? ?y=x -2x+3

从而所求图形的面积 S=?3(x+3)dx-?3(x2-2x+3)dx

?0

?0

=?3[(x+3)-(x2-2x+3)]dx

?0 ?0

=?3(-x2+3x)dx 1 3 3 2? 3 9 =? ?-3x +2x ?|0 =2. 16.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式;

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(2)若直线 x=-t(0<t<1)把 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求 t 的值. [解析] (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b, 又已知 f′(x)=2x+2,∴a=1,b=2, ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根. ∴判别式 Δ=4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意有?-t (x2+2x+1)dx=?0-t(x2+2x+1)dx,

?-1

?

1 3 2 ? -t ?1 3 2 ? 0 ∴? ?3x +x +x?|-1 =?3x +x +x?|-t 1 1 1 即- t3+t2-t+ = t3-t2+t. 3 3 3 ∴2t3-6t2+6t-1=0, ∴2(t-1)3=-1,∴t=1- 1 3 2 .

17.A、B 两站相距 7.2km,一辆电车从 A 站开往 B 站,电车开出 ts 后到达途中 C 点, 这一段速度为 1.2t(m/s),到 C 点的速度达 24m/s,从 C 点到 B 站前的 D 点以等速行驶,从 D 点开始刹车,经 ts 后,速度为(24-1.2t)m/s,在 B 点恰好停车,试求: (1)A、C 间的距离; (2)B、D 间的距离; (3)电车从 A 站到 B 站所需的时间. [解析] (1)设 A 到 C 经过 t1s, 由 1.2t=24 得 t1=20(s),
2 所以 AC=∫20 0 1.2tdt=0.6t |0 =240(m). 20

(2)设从 D→B 经过 t2s, 由 24-1.2t2=0 得 t2=20(s), 所以 DB=∫20 0 (24-1.2t)dt=240(m). (3)CD=7200-2×240=6720(m). 6720 从 C 到 D 的时间为 t3= =280(s). 24 于是所求时间为 20+280+20=320(s). 1 18.在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 , 12 试求:
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(1)切点 A 的坐标; (2)过切点 A 的切线方程. [解析] 如图所示,设切点 A(x0,y0),由 y′=2x,过 A 点的切线方程为 y-y0=2x0(x -x0), 即 y=2x0x-x2 0. x0 ? x0 令 y=0 得 x= ,即 C? ? 2 ,0?. 2 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形的面积为 S, S=S 曲边△AOB-S△ABC. 1 3 S 曲边△AOB=∫x00x2dx= x0 , 3 1 S△ABC= |BC|· |AB| 2 x0 2 1 3 1 x - ?· = ? x= x, 2? 0 2 ? 0 4 0 1 1 1 1 即 S= x3 - x3= x3= . 3 0 4 0 12 0 12 所以 x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1.

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选修 2-2
一、选择题

第 1 章章末综合训练

1.已知 f(x)=x3 的切线的斜率等于 1,则其切线方程有( A.1 个 B.2 个 C.多于两个 D.不能确定 [答案] B [解析] ∵f(x)=x3,∴f′(x)=3x2, 3 令 3x2=1,得 x=± , 3 即切点坐标为? 3 3? ? 3 3 或 - ,- ?. , 3 9 3 9 ? ? ? ?

)

由点斜式可得切线方程为 y- 故应选 B. 2.y=sin2x+cos2x 的导数是( A.2cos2x+2sin2x B.2cos2x-2sin2x C.2cos2x+sin2x D.2sin2x-2cos2x [答案] B

3 3 3 3 2 3 2 3 =x- 或 y+ =x+ , 即 y=x- 或 y=x+ . 9 3 9 3 9 9

)

[解析] y′=(sin2x+cos2x)′=(sin2x)′+(cos2x)′ =cos2x· (2x)′-sin2x· (2x)′ =2cos2x-2sin2x,故应选 B. 3.y=x+sinx 在(0,π)上是( A.单调递减函数 B.单调递增函数 π? ?π ? C.? ?0,2?上是增函数,?2,π?上是减函数 π? ?π ? D.? ?0,2?上是减函数,?2,π?上是增函数 [答案] B [解析] ∵y′=1+cosx,又 x?(0,π) ∴y′>0,∴函数为增函数,故应选 B.
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)

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4.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 [答案] C [解析] f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令 f′(x)=0,得 x1=-1 或 x2=1, f(-3)=-17,f(0)=1,f(-1)=3,f(1)=-1, ∴f(x)在区间[-3,0]上的最大值为 3,最小值为-17. 5.电灯 A 可在点 A 与桌面的垂直线上移动(如图),在桌面上另一点 B 离 垂足 O 的距离为 a,为使点 B 处有最大的照度(照度 I 与 sin∠OBA 成正比,与 r2 成反比,且比例系数均为正的常数),则电灯 A 与点 O 的距离为( 3 2 A. a 2 B. 2 a 2 )

)

C. 2a D. 2 a 3

[答案] B ksin∠ABO [解析] 根据题意得 I= , r2 x 而 sin∠OBA= ,r= a2+x2(OA=x) r

a2 2 令 I′=0 得 a2-2x2=0,∴x2= .∴x= a. 2 2 当 0<x< 2 2 a 时,I′>0;x> a 时,I′<0. 2 2

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因此当电灯 A 与点 O 的距离为 二、填空题

2 a,点 B 处有最大的照度.故应选 B. 2

6.如果 10N 的力能使弹簧压缩 1cm,那么把弹簧压缩 10cm 要做的功为________. [答案] 5J [解析] F=k·Δx,∴10=k×0.01, ∴k=1000N/m, 1 2 0.1 1 2 ∴W=∫0.1 0 kxdx= kx |0 = ×1000×0.1 =5(J). 2 2 7.当函数 y=x· 2x 取得最小值时,x=________. 1 [答案] log2 e [解析] y′=2x+x· 2xln2. 1 令 y′=0 得 1+xln2=0,∴x=log2 . e 1? 当 x?? ?0,log2e?时 y′<0, 1 ? x?? ?log2e,+∞?时 y′>0. 1 1 ∴当 x=log2 时,函数取最小值,此时 x=log2 . e e 8.定积分?bcdx(c 为常数)的几何意义是________.

?a

[答案] 表示由直线 x=a,x=b,y=c,y=0(a<b)所围成的矩形的面积. [解析] 由定积分的定义可得. 三、解答题 9.设抛物线 C1:y=x2-2x+2 与抛物线 C2:y=-x2+ax+b 在它们的一个交点处的切 线互相垂直. (1)求 a、b 的关系; (2)若 a>0,b>0,求 ab 的最大值. [解析] (1)设两条抛物线的交点为 A(x0,y0).
2 由题意得 x2 0-2x0+2=-x0+ax0+b

整理得 2x2 0-(2+a)x0-b+2=0① 由导数可得抛物线 C1、C2 在点 A 处的切线的斜率为 k1=2x0-2,k2=-2x0+a,且 k1· k2 =-1. 即(2x0-2)(-2x0+a)=-1② 5 由①②消去 x0 得 a+b= . 2
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5 5 (2)由 a= -b>0 知 0<b< . 2 2 5 ? 2 5 令 y=ab,则 y=ab=? ?2-b?b=-b +2b, 5 y′=-2b+ =0. 2 5 ∴b= . 4 5? ?5 5? 当 b?? ?0,4?时,y′>0.b??4,2?时,y′<0. 5?2 5 5 25 5 ∴当 b= 时,(ab)max=-? ?4? +2×4=16. 4 5 25 即当 a=b= 时,ab 取得最大值 . 4 16 10.(2010· 全国Ⅱ文,21)已知函数 f(x)=x3-3ax2+3x+1. (1)设 a=2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x)=3[(x-2+ 3)(x-2- 3)] 当 x?(-∞,2- 3)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)单调递增; 当 x?(2- 3,2+ 3)时,f′(x)<0,f(x)在(2- 3,2+ 3)单调递减; 当 x?(2+ 3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞)单调递增. 综上,f(x)的单调递增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3,+∞), f(x)的单调递减区间是(2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3[(x-a)2+1-a2] 当 1-a2≥0 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故 f(x)无极值点. 当 1-a2<0 时,f′(x)=0 有两个根. x1=a- a2-1,x2=a+ a2-1 由题意知,2<a- a2-1<3① 或 2<a+ a2-1<3② 5 5? 由①②解之得 a?? ?4,3?,

?5 5? 综上,a 的取值范围为? , ?. ?4 3?

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第一章 导数及其应用综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2010· 全国Ⅱ文,7)若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 [答案] A [解析] y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1, 将(0,b)代入切线方程得 b=1. 2.一物体的运动方程为 s=2tsint+t,则它的速度方程为( A.v=2sint+2tcost+1 B.v=2sint+2tcost C.v=2sint D.v=2sint+2cost+1 [答案] A [解析] 因为变速运动在 t0 的瞬时速度就是路程函数 y=s(t)在 t0 的导数,S′=2sint+ 2tcost+1,故选 A. 3.曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率是( A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] D [解析] 由导数的几何意义知,曲线 y=x2+3x 在点 A(2,10)处的切线的斜率就是函数 y =x2+3x 在 x=2 时的导数,y′|x=2=7,故选 D. 4.函数 y=x|x(x-3)|+1( ) ) )

A.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=1

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B.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1 C.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(0)=f(3)=1 D.极大值为 f(2)=5,极小值为 f(3)=1,f(-1)=-3 [答案] B [解析] y=x|x(x-3)|+1
?x3-3x2+1 (x<0或x>3) ? =? 3 2 ? ?-x +3x +1 (0≤x≤3)
2 ? ?3x -6x (x<0或x>3) ? ∴y′= 2 ?-3x +6x (0≤x≤3) ?

x 变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x) ? (-∞,0) + 0 0 无极值 ? (0,2) + 2 0 极大值 5 ? (2,3) - 3 0 极小值 1 ? (3,+∞) +

∴f(x)极大=f(2)=5,f(x)极小=f(3)=1 故应选 B. 5. (2009· 安徽理, 9)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, 则曲线 y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程是( A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3 [答案] A [解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式. ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴f(2-x)=2f(x)-x2-4x+4, ∴f(x)=x2,∴f′(x)=2x, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2,切线方程为 y-1=2(x-1),∴y=2x- 1. 6.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5 ) )

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[答案] D [解析] f′(x)=3x2+2ax+3, ∵f(x)在 x=-3 时取得极值, ∴x=-3 是方程 3x2+2ax+3=0 的根, ∴a=5,故选 D. 7. 设 f(x), g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数. 当 x<0 时, f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) [答案] D [解析] 令 F(x)=f(x)· g(x),易知 F(x)为奇函数,又当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0, 即 F′(x)>0,知 F(x)在(-∞,0)内单调递增,又 F(x)为奇函数,所以 F(x)在(0,+∞)内也 单调递增,且由奇函数知 f(0)=0,∴F(0)=0. 又由 g(-3)=0,知 g(3)=0 ∴F(-3)=0,进而 F(3)=0 于是 F(x)=f(x)g(x)的大致图象如图所示 )

∴F(x)=f(x)· g(x)<0 的解集为(-∞,-3)∪(0,3),故应选 D. 8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号 是( )

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A.①② B.③④ C.①③ D.①④ [答案] B [解析] ③不正确;导函数过原点,但三次函数在 x=0 不存在极值;④不正确;三次 函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选 B. 1 9.(2010· 湖南理,5)?4 dx 等于( ?x
2

)

A.-2ln2 B.2ln2 C.-ln2 D.ln2 [答案] D 1 [解析] 因为(lnx)′= , x 1 所以 ?4 dx=lnx|4 2=ln4-ln2=ln2. ?x
2

1 10.已知三次函数 f(x)= x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2 在 x?(-∞,+∞)是增 3 函数,则 m 的取值范围是( A.m<2 或 m>4 B.-4<m<-2 )

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C.2<m<4 D.以上皆不正确 [答案] D [解析] f′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7, 由题意得 x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0 恒成立,∴Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7) =64m2-32m+4-60m2+8m+28 =4(m2-6m+8)≤0, ∴2≤m≤4,故选 D. 11.已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在区间[-1,2]上是减函数,那么 b+c( 15 A.有最大值 2 15 B.有最大值- 2 15 C.有最小值 2 15 D.有最小值- 2 [答案] B [解析] 由题意 f′(x)=3x2+2bx+c 在[-1,2]上,f′(x)≤0 恒成立.
?f′(-1)≤0 ? 所以? ?f′(2)≤0 ? ?2b-c-3≥0 ? 即? ? ?4b+c+12≤0

)

令 b+c=z,b=-c+z,如图 3? 过 A? ?-6,-2?得 z 最大, 3 15 最大值为 b+c=-6- =- .故应选 B. 2 2 12.设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则 当 a<x<b 时有( )

A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C f(x) [解析] 令 F(x)= g(x)
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f′(x)g(x)-f(x)g′(x) 则 F′(x)= <0 g2(x) f(x)、g(x)是定义域为 R 恒大于零的实数 ∴F(x)在 R 上为递减函数, f(x) f(b) 当 x?(a,b)时, > g(x) g(b) ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将正确答案填在题中横线上) 13.?-1 [答案] dx =________. (11 + 5x)3 ?-2 7 72 1 , 10(5x+11)2

[解析] 取 F(x)=-

1 从而 F′(x)= (11+5x)3 则?-1 dx 3=F(-1)-F(-2) ?-2(11+5x)

1 1 1 1 7 =- + = - = . 10×62 10×12 10 360 72 ax2-1 14.若函数 f(x)= 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________. x [答案] a≥0 1? 1 [解析] f′(x)=? ?ax-x?′=a+x2, 1 由题意得,a+ 2≥0,对 x?(0,+∞)恒成立, x 1 ∴a≥- 2,x?(0,+∞)恒成立,∴a≥0. x 15.(2009· 陕西理,16)设曲线 y=xn 1(n?N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标


为 xn,令 an=lgxn,则 a1+a2+?+a99 的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质. k=y′|x=1=n+1, ∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1), n n 令 y=0,x= ,∴an=lg , n+1 n+1 1 2 99 ∴原式=lg +lg +?+lg 2 3 100
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1 2 99 1 =lg × ×?× =lg =-2. 2 3 100 100 1 2 16. 如图阴影部分是由曲线 y= , y =x 与直线 x=2, y=0 围成, 则其面积为________. x

[答案]

2 +ln2 3
2

y =x, ? ? [解析] 由? 1 ,得交点 A(1,1) y= ? ? x x=2 ? ? 1 2, ?. 由? 1 得交点 B? 2? ? ?y=x ? 1 故所求面积 S=?1 xdx+?2 dx ? ?x
0 1

2 31 2 2 = x |0 +lnx|1 = +ln2. 3 2 3 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2010· 江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上 的最大值为 ,求 a 的值. 2 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2), 1 1 f ′(x)= - +a, x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f ′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为 x(2-x) ( 2,2); 2-2x (2)当 x?(0,1]时,f ′(x)= +a>0, x(2-x)
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1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2 18.(本题满分 12 分)求曲线 y=2x-x2,y=2x2-4x 所围成图形的面积. [解析]
2 ? ?y=2x-x , 由? 得 x1=0,x2=2. 2 ?y=2x -4x ?

由图可知,所求图形的面积为 S=?2(2x-x2)dx+|?2(2x2-4x)dx|=?2(2x-x2)dx-?2(2x2

?0

?0

?0

?0

-4x)dx.
2 1 3? 2 因为? ?x -3x ?′=2x-x ,

?2x3-2x2?′=2x2-4x, ?3 ?
1 ?2x3-2x2?? x2- x3?? 所以 S=? - =4. ? 3 ? ? ?0 ? 3 ?? ?0 19.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. [分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想. [解析] (1)f′(x)=3x2-3a. 因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
? ? ?f′(2)=0, ?3(4-a)=0, 所以? 即? ?f(2)=8. ? ? ?8-6a+b=8.
2 2

解得 a=4,b=24. (2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数 f(x)没有极值点. 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 x=± a. 当 x?(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x?(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x?( a,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 此时 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点.

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1 20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= x2+lnx. 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 (2)求证:当 x>1 时, x2+lnx< x3. 2 3 [解析] (1)依题意知函数的定义域为{x|x>0}, 1 ∵f′(x)=x+ ,故 f′(x)>0, x ∴f(x)的单调增区间为(0,+∞). 2 1 (2)设 g(x)= x3- x2-lnx, 3 2 1 ∴g′(x)=2x2-x- , x (x-1)(2x2+x+1) ∵当 x>1 时,g′(x)= >0, x ∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, 1 ∴g(x)>g(1)= >0, 6 1 2 ∴当 x>1 时, x2+lnx< x3. 2 3 9 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)=x3- x2+6x-a. 2 (1)对于任意实数 x, f′(x)≥m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. [分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题. [解析] (1)f′(x)=3x2-9x+6=3(x-1)(x-2). 因为 x?(-∞,+∞).f′(x)≥m,即 3x2-9x+(6-m)≥0 恒成立. 3 3 所以 Δ=81-12(6-m)≤0,得 m≤- ,即 m 的最大值为- . 4 4 (2)因为当 x<1 时,f′(x)>0;当 1<x<2 时,f′(x)<0;当 x>2 时 f′(x)>0. 5 所以当 x=1 时,f(x)取极大值 f(1)= -a, 2 当 x=2 时,f(x)取极小值 f(2)=2-a. 5 故当 f(2)>0 或 f(1)<0 时,方程 f(x)=0 仅有一个实根,解得 a<2 或 a> . 2 22.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+1(a?R). 2 2 0, ?上递增,在区间? ,+∞?上递减,求 a 的值; (1)若函数 y=f(x)在区间? 3 ? ? ?3 ? (2)当 x?[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ,若给定常数

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3 ? a?? ?2,+∞?,求 θ 的取值范围; (3)在(1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m?R)的图 象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点.若存在,请求出实数 m 的值;若不存在,试说明理 由. 2? [解析] (1)依题意 f′? ?3?=0, 2?2 2 由 f′(x)=-3x2+2ax,得-3? =0,即 a=1. ?3? +2a· 3 a a2 x- ?2+ . (2)当 x?[0,1]时,tanθ=f′(x)=-3x2+2ax=-3? ? 3? 3 3 a 1 ,+∞?,得 ?? ,+∞?. 由 a?? 2 ? ? ? 3 ?2 3 a 1 ? a2 ,1 ,即 a?? ,3?时,f′(x)max= , ①当 ?? ?2 ? 3 ?2 ? 3 f(x)min=f′(0)=0. a2 此时 0≤tanθ≤ . 3 a ②当 ?(1,+∞),即 a?(3,+∞)时,f′(x)max=f′(1)=2a-3,f′(x)min=f′(0)=0, 3 此时,0≤tanθ≤2a-3. a2? 3 ? 又∵θ?[0,π),∴当 <a≤3 时,θ??0,arctan 3 ?, 2 当 a>3 时,θ?[0,arctan(2a-3)]. (3)函数 y=f(x)与 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m?R)的图象恰有 3 个交点,等价于方程 -x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1 恰有 3 个不等实根, ∴x4-4x3+(1-m)x2=0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根), 方程 x2-4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
? ?Δ=16-4(1-m)>0 ? ?1-m≠0 ?

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个交点.

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选修 2-2
一、选择题

2.1.1 第 1 课时 归纳推理

1.关于归纳推理,下列说法正确的是( A.归纳推理是一般到一般的推理 B.归纳推理是一般到个别的推理 C.归纳推理的结论一定是正确的 D.归纳推理的结论是或然性的 [答案] D

)

[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选 D. 2.下列推理是归纳推理的是( )

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得 P 的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 πr2,猜出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=πab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B [解析] 由归纳推理的定义知 B 是归纳推理,故应选 B. 3.数列{an}:2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28 B.32 C.33 D.27 [答案] B [解析] 因为 5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3,猜测 x-20=3×4,47-x =3×5,推知 x=32.故应选 B. 4.在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,则猜想 an 是( 1 - A.2n 2- 2 B.2n
-2 -

)

)

C.2n 1+1 D.2n 1-4


[答案] B [解析] ∵a1=0=21-2, ∴a2=2a1+2=2=22-2,
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a3=2a2+2=4+2=6=23-2, a4=2a3+2=12+2=14=24-2, ?? 猜想 an=2n-2. 故应选 B. 5.某人为了观看 2012 年奥运会,从 2005 年起,每年 5 月 10 日到银行存入 a 元定期储 蓄,若年利率为 p 且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到 2012 年 将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 a C. [(1+p)7-(1+p)] p a D. [(1+p)8-(1+p)] p [答案] D [解析] 到 2006 年 5 月 10 日存款及利息为 a(1+p). 到 2007 年 5 月 10 日存款及利息为 a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)] 到 2008 年 5 月 10 日存款及利息为 a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p) =a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)] ?? 所以到 2012 年 5 月 10 日存款及利息为 a[(1+p)7+(1+p)6+?+(1+p)] (1+p)[1-(1+p)7] =a 1-(1+p) a = [(1+p)8-(1+p)]. p 故应选 D. 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2,a3,a4,猜想 an 等于( ) )

2 A. (n+1)2 2 B. n(n+1) 2 C. n 2 -1
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2 D. 2n-1 [答案] B [解析] 因为 Sn=n2an,a1=1, 1 2 所以 S2=4a2=a1+a2?a2= = , 3 3×2 a1+a2 1 2 S3=9a3=a1+a2+a3?a3= = = , 8 6 4×3 S4=16a4=a1+a2+a3+a4 a1+a2+a3 1 2 ?a4= = = . 15 10 5×4 2 所以猜想 an= ,故应选 B. n(n+1) 7.n 个连续自然数按规律排列下表:

根据规律,从 2010 到 2012 箭头的方向依次为( A.↓→ B.→↑ C.↑→ D.→↓ [答案] C

)

[解析] 观察特例的规律知:位臵相同的数字都是以 4 为公差的等差数列,由 234 可知 从 2010 到 2012 为↑→,故应选 C. 8.(2010· 山东文,10)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) [答案] D [解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求导后都变成 了奇函数, ∴g(-x)=-g(x),选 D,体现了对学生观察能力,概括归纳推理的能力的考查. 9.根据给出的数塔猜测 123456×9+7 等于( ) )

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1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 ? A.1111110 B.1111111 C.1111112 D.1111113 [答案] B [解析] 根据规律应为 7 个 1,故应选 B. 10.把 1、3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以 排成一个正三角形(如下图),

试求第七个三角形数是( A.27 B.28 C.29 D.30 [答案] B

)

n(n+1) [解析] 观察归纳可知第 n 个三角形数共有点数:1+2+3+4+?+n= 个,∴ 2 7×(7+1) 第七个三角形数为 =28. 2 二、填空题 11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中,第 n 个图形由 n 个正方形组成:

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通过观察可以发现:第 4 个图形中,火柴杆有________根;第 n 个图形中,火柴杆有 ________根. [答案] 13,3n+1 [解析] 第一个图形有 4 根,第 2 个图形有 7 根,第 3 个图形有 10 根,第 4 个图形有 13 根??猜想第 n 个图形有 3n+1 根. 12. 从 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52 中, 可得一般规律是__________________. [答案] n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 [解析] 第 1 式有 1 个数,第 2 式有 3 个数相加,第 3 式有 5 个数相加,故猜想第 n 个 式子有 2n-1 个数相加,且第 n 个式子的第一个加数为 n,每数增加 1,共有 2n-1 个数相 加,故第 n 个式子为: n+(n+1)+(n+2)+?+{n+[(2n-1)-1]} =(2n-1)2, 即 n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 13.观察下图中各正方形图案,每条边上有 n(n≥2)个圆圈,每个图案中圆圈的总数是 S,按此规律推出 S 与 n 的关系式为________.

[答案] S=4(n-1)(n≥2) [解析] 每条边上有 2 个圆圈时共有 S=4 个;每条边上有 3 个圆圈时,共有 S=8 个; 每条边上有 4 个圆圈时,共有 S=12 个.可见每条边上增加一个点,则 S 增加 4,∴S 与 n 的关系为 S=4(n-1)(n≥2). 14.(2009· 浙江理,15)观察下列等式:
1 5 C5 +C5 =23-2, 1 5 9 C9 +C9 +C9 =27+23, 1 9 13 11 5 C13 +C5 13+C13+C13=2 -2 , 1 9 13 17 15 7 C17 +C5 17+C17+C17+C17=2 +2 ,

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?? 由以上等式推测到一个一般的结论:
1 5 9 4n 1 对于 n?N*,C4 n+1+C4n+1+C4n+1+?+C4n+1=__________________.


[答案] 24n 1+(-1)n22n


-1

[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力 等式右端第一项指数 3,7,11,15 , ? 构成的数列通项公式为 an = 4n - 1 ,第二项指数 1,3,5,7,?的通项公式 bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,∴右端=24n 1+(-1)n22n
- -1

. 三、解答题 1 1 1 9 15.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立, A B C π 1 1 1 1 16 在四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成立, A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立,猜想在 n 边形 A1A2?An 中, A B C D E 3π

有怎样的不等式成立? 9 16 25 n2 [解析] 根据已知特殊的数值: 、 、 , ?, 总结归纳出一般性的规律: (n≥3). π 2π 3π (n-2)π 1 1 1 n2 ∴在 n 边形 A1A2?An 中: + +?+ ≥ (n≥3). A1 A2 An (n-2)π 16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多少 条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.

平面区域 (1) (2) (3) (4)

顶点数

边数

区域数

(1)观察上表,推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系? (2)现已知某个平面图有 999 个顶点,且围成了 999 个区域,试根据以上关系确定这个 平面图有多少条边? [解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表: 平面区域 (1) 顶点数 3 边数 3 区域数 2 关系 3+2-3=2

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(2) (3) (4) 结论 推广

8 6 10 V 999

12 9 15 E E

6 5 7 F 999

8+6-12=2 6+5-9=2 10+7-15=2 V+F-E=2 E=999+999-2 =1996

其顶点数 V,边数 E,平面区域数 F 满足关系式 V+F-E=2. 故可猜想此平面图可能有 1996 条边. 1 17.在一容器内装有浓度为 r%的溶液 a 升,注入浓度为 p%的溶液 a 升,搅匀后再倒 4 1 出溶液 a 升,这叫一次操作,设第 n 次操作后容器内溶液的浓度为 bn(每次注入的溶液浓度 4 都是 p%),计算 b1、b2、b3,并归纳出 bn 的计算公式. r a p a· + · 100 4 100 1 ?4 1 ? [解析] b1= = ?5r+5p?, a 100 a+ 4 a p ab1+ · 4 100 1 ??4?2 1 4 r+ p+ 2p?. b2= = 5 5 ? a 100??5? a+ 4 a p a· b2+ · 4 100 b3= a a+ 4 = 4 42 ? 1 ??4?3 1 r + p + 2p+ 3P , 5 5 5 ? 100??5?


4n 1 ? 1 4?n 1 4 ∴归纳得 bn= ?? r + p + p + ? + P . 100??5? 5 52 5n ? 18.设 f(n)=n2+n+41,n?N+,计算 f(1),f(2),f(3),?,f(10)的值,同时作出归纳 推理,并用 n=40 验证猜想是否正确. [解析] f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151. 由于 43、47、53、61、71、83、97、113、131、151 都为质数. 即:当 n 取任何非负整数时 f(n)=n2+n+41 的值为质数. 但是当 n=40 时,f(40)=402+40+41=1681 为合数.
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所以,上面由归纳推理得到的猜想不正确.

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选修 2-2
一、选择题 1.下列说法正确的是( )

2.1.1 第 2 课时 类比推理

A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论无法判定正误 [答案] B [解析] 由合情推理得出的结论不一定正确,A 不正确;B 正确;合情推理的结论本身 就是一个猜想,C 不正确;合情推理结论可以通过证明来判定正误,D 也不正确,故应选 B. 2.下面几种推理是合情推理的是( ①由圆的性质类比出球的有关性质 ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180° ,归纳出所有三角形的内 角和都是 180° ③教室内有一把椅子坏了,则该教室内的所有椅子都坏了 ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得出凸多 边形的内角和是(n-2)· 180° A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ [答案] C [解析] ①是类比推理;②④都是归纳推理,都是合情推理. 1 3.三角形的面积为 S= (a+b+c)· r,a、b、c 为三角形的边长,r 为三角形内切圆的半 2 径,利用类比推理,可以得到四面体的体积为( 1 A.V= abc 3 1 B.V= Sh 3 1 C.V= (S1+S2+S3+S4)r,(S1、S2、S3、S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内 3 切球的半径) ) )

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1 D.V= (ab+bc+ac)h(h 为四面体的高) 3 [答案] C [解析] 边长对应表面积,内切圆半径应对应内切球半径.故应选 C. 4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列 哪些性质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等 ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.① B.①② C.①②③ D.③ [答案] C [解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比,正四面体的相邻两面成的二面角 (或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比,故①②③都对. 5.类比三角形中的性质: (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边的一半 (3)三内角平分线交于一点 可得四面体的对应性质: (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 1 (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的 4 (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点 其中类比推理方法正确的有( A.(1) B.(1)(2) C.(1)(2)(3) D.都不对 [答案] C [解析] 以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推 理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确. 6.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”;
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)

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②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“(m· n)t=m(n· t)”类比得到“(a· b)· c=a· (b· c)”; ④“t≠0,mt=xt?m=x”类比得到“p≠0,a· p=x· p?a=x”; ⑤“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”; ac a a· c a ⑥“ = ”类比得到“ = ”. bc b b· c b 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析] 由向量的有关运算法则知①②正确,③④⑤⑥都不正确,故应选 B. → 7.(2010· 浙江温州)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB 5-1 → ⊥AB时,其离心率为 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭 2 圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率 e 等于( A. B. 5+1 2 5-1 2 ) )

C. 5-1 D. 5+1 [答案] A x2 y2 [解析] 如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 则 F(-c,0),B(0,b),A(a,0) → → ∴FB=(c,b),AB=(-a,b) → → → → 又∵FB⊥AB,∴FB· AB=b2-ac=0 ∴c2-a2-ac=0 ∴e2-e-1=0 1+ 5 1- 5 ∴e= 或 e= (舍去), 2 2 故应选 A. 8.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲,在平行四边形 ABD 中,
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2 有 AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙中所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1 + 2 2 BD2 1+CA1+DB1等于(

)

2 A.2(AB2+AD2+AA1 )

B.3(AB2+AD2+AA2 1) C.4(AB2+AD2+AA2 1) D.4(AB2+AD2) [答案] C
2 2 2 [解析] AC2 1+BD1+CA1+DB1 2 2 2 =(AC1 +CA2 1)+(BD1+DB1) 2 2 2 =2(AA2 1+AC )+2(BB1+BD ) 2 2 =4AA2 1+2(AC +BD ) 2 2 =4AA2 1+4AB +4AD ,故应选 C.

9.下列说法正确的是(

)

A.类比推理一定是从一般到一般的推理 B.类比推理一定是从个别到个别的推理 C.类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理 D.类比推理是从个别到一般的推理 [答案] C [解析] 由类比推理的定义可知:类比推理是从个别到个别或一般到一般的推理,故应 选 C. 10.下面类比推理中恰当的是( )

A.若“a· 3=b· 3,则 a=b”类比推出“若 a· 0=b· 0,则 a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“(a· b)c=ac· bc” a+b a b C.“(a+b)c=ac+bc”类比推出“ = + (c≠0)” c c c D.“(ab)n=anbn”类比推出“(a+b)n=an+bn” [答案] C [解析] 结合实数的运算知 C 是正确的. 二、填空题 1 11.设 f(x)= x ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得 f(-5)+ 2+ 2
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f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值为________. [答案] 3 2 [解析] 本题是“方法类比”.因等比数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加,亦即 首尾相加,那么经类比不难想到 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)=[f(-5)+f(6)]+ [f(-4)+f(5)]+?+[f(0)+f(1)],

而当 x1+x2=1 时,有 f(x1)+f(x2)=



1 2 2 = ,故所求答案为 6× =3 2. 2 2 2

1 12.(2010· 广州高二检测)若数列{an}是等差数列,对于 bn= (a1+a2+?+an),则数列 n {bn}也是等差数列.类比上述性质,若数列{cn}是各项都为正数的等比数列,对于 dn>0,则 dn=________时,数列{dn}也是等比数列. [答案] n c1· c2· ?· cn

13.在以原点为圆心,半径为 r 的圆上有一点 P(x0,y0),则过此点的圆的切线方程为 x2 y2 x0x+y0y=r2,而在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中,当离心率 e 趋近于 0 时,短半轴 b 就趋近于长 a b 半轴 a,此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式,在椭圆中,S 椭=________.类比过圆上 x2 y2 一点 P(x0,y0)的圆的切线方程,则过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P(x1,y1)的椭圆的切线方 a b 程为________.
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x1 y1 [答案] π·a· b; 2· x+ 2· y=1 a b [解析] 当椭圆的离心率 e 趋近于 0 时, 椭圆趋近于圆, 此时 a, b 都趋近于圆的半径 r, 故由圆的面积 S=πr2=π·r· r,猜想椭圆面积 S 椭=π·a· b,其严格证明可用定积分处理.而由 x0 y0 切线方程 x0· x+y0· y=r2 变形得 2 · x+ 2 · y=1,则过椭圆上一点 P(x1,y1)的椭圆的切线方程为 r r x1 y1 · x+ 2· y=1,其严格证明可用导数求切线处理. a2 b 14.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19, n?N*)成立,类比上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式__________ 成立. [答案] b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N*) [解析] 解法 1:从分析所提供的性质入手:由 a10=0,可得 ak+a20-k=0,因而当 n<19 -n 时,有 a1+a2+?+a19-n=a1+a2+?+an+an+1+an+2+?+a19-n, 而 an+1+an+2+?+a19-n= 时的情形. 由此可知:等差数列{an}之所以有等式成立的性质,关键在于在等差数列中有性质:an
+1

(19-2n)(an+1+a19-n) =0,∴等式成立.同理可得 n>19-n 2

+a19-n=2a10=0,类似地,在等比数列{bn}中,也有性质:bn+1· b17-n=b2 9=1,因而得到

答案:b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N*). 解法 2:因为在等差数列中有“和”的性质 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19, n?N*)成立,故在等比数列{bn}中,由 b9=1,可知应有“积”的性质 b1b2?bn=b1b2?b17-
n(n<17,n?N *

)成立. (1)

证明如下:当 n<8 时,等式(1)为 b1b2?bn=b1b2?bnbn+1?b17-n 即:bn+1· bn+2?b17-n=1.(2) ∵b9=1,∴bk+1· b17-k=b2 9=1.
17 ∴bn+1bn+2?b17-n=b9
-2n

=1.

∴(2)式成立,即(1)式成立; 当 n=8 时,(1)式即:b9=1 显然成立; 当 8<n<17 时,(1)式即: b1b2?b17-n· b18-n· ?bn=b1b2?b17-n 即:b18-n· b19-n?bn=1(3) ∵b9=1,∴b18-k· bk=b2 9=1
n ∴b18-nb19-n· ?· bn=b2 9
-17

=1

∴(3)式成立,即(1)式成立. 综上可知,当等比数列{bn}满足 b9=1 时,有:
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b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n?N*)成立. 三、解答题 15.已知:等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,有如下的性质: (1)an=am+(n-m)· d. (2)若 m+n=p+q,其中,m、n、p、q?N*,则 am+an=ap+aq. (3)若 m+n=2p,m,n,p?N*,则 am+an=2ap. (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等差数列. 类比上述性质,在等比数列{bn}中, 写出相类似的性质. [解析] 等比数列{bn}中,公比 q,前 n 项和 Sn. (1)通项 an=am· qn
-m

.

(2)若 m+n=p+q,其中 m,n,p,q?N*, 则 am· an=ap· aq. (3)若 m+n=2p,其中,m,n,p?N*,则 a2 an. p=am· (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成等比数列. 16.先解答(1),再根据结构类比解答(2). (1)已知 a,b 为实数,且|a|<1,|b|<1,求证:ab+1>a+b. (2)已知 a,b,c 均为实数,且|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2>a+b+c. [解析] (1)ab+1-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. (2)∵|a|<1,|b|<1,|c|<1,据(1)得(ab)· c+1>ab+c, ∴abc+2=[(ab)· c+1]+1>(ab+c)+1=(ab+1)+c>a+b+c. 你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗? [点评] (1)与(2)的条件与结论有着相同的结构,通过分析(1)的推证过程及结论的构成

进行类比推广得出:(ab)· c+1>ab+c 是关键. 用归纳推理可推出更一般的结论:ai 为实数,|ai|<1,i=1、2、?、n,则有:a1a2?an +(n-1)>a1+a2+?+an. 17.点 P? 2 2 2 2? 在圆 C:x2+y2=1 上,经过点 P 的圆的切线方程为 x+ y=1, 2 2 ?2,2?

1 1? 又点 Q(2,1)在圆 C 外部,容易证明直线 2x+y=1 与圆相交,点 R? ?2,2?在圆 C 的内部.直 1 1 线 x+ y=1 与圆相离.类比上述结论,你能给出关于一点 P(a,b)与圆 x2+y2=r2 的位置关 2 2 系与相应直线与圆的位置关系的结论吗? [解析] 点 P(a,b)在⊙C:x2+y2=r2 上时,直线 ax+by=r2 与⊙C 相切;点 P 在⊙C 内时,直线 ax+by=r2 与⊙C 相离;点 P 在⊙C 外部时,直线 ax+by=r2 与⊙C 相交.容易

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证明此结论是正确的. 18.我们知道: 12= 1,

22=(1+1)2=12+2×1+1, 32=(2+1)2=22+2×2+1, 42=(3+1)2=32+2×3+1, ?? n2=(n-1)2+2(n-1)+1, 左右两边分别相加,得 n2=2×[1+2+3+?+(n-1)]+n n(n+1) ∴1+2+3+?+n= . 2 类比上述推理方法写出求 12+22+32+?+n2 的表达式的过程. [解析] 我们记 S1(n)=1+2+3+?+n, S2(n)=12+22+32+?+n2,?Sk(n)=1k+2k+3k+?+nk (k?N*). 已知 13= 1,

23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1, 33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1, 43=(3+1)3=33+3×32+3×3+1, ?? n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1. 将左右两边分别相加,得 S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n. n3+3n2+2n-3S1(n) 2n3+3n2+n 由此知 S2(n)= = 3 6 =

n(n+1)(2n+1)
6

.

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选修 2-2
一、选择题

2.1.2 演绎推理

1.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等”,补充以上推理的大前 提是( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B [解析] 由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边 形.故应选 B. 2.“①一个错误的推理或者前提不成立,或者推理形式不正确,②这个错误的推理不 是前提不成立,③所以这个错误的推理是推理形式不正确.”上述三段论是( A.大前提错 B.小前提错 C.结论错 D.正确的 [答案] D [解析] 前提正确,推理形式及结论都正确.故应选 D. 3. 《论语· 学路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐 不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手 足.”上述推理用的是( A.类比推理 B.归纳推理 C.演绎推理 D.一次三段论 [答案] C [解析] 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三 段论,属演绎推理形式. 1 4.“因对数函数 y=logax(x>0)是增函数(大前提),而 y=log x 是对数函数(小前提),所 3 1 以 y=log x 是增函数(结论)”.上面推理的错误是( 3 A.大前提错导致结论错 ) ) )

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B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 [答案] A [解析] 对数函数 y=logax 不是增函数,只有当 a>1 时,才是增函数,所以大前提是错 误的. 5. 推理: “①矩形是平行四边形, ②三角形不是平行四边形, ③所以三角形不是矩形” 中的小前提是( A.① B.② C.③ D.①② [答案] B [解析] 由①②③的关系知,小前提应为“三角形不是平行四边形”.故应选 B. 6.三段论:“①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港 的,③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是( A.① B.② C.①② D.③ [答案] B [解析] 易知应为②.故应选 B. 7.“10 是 5 的倍数,15 是 5 的倍数,所以 15 是 10 的倍数”上述推理( A.大前提错 B.小前提错 C.推论过程错 D.正确 [答案] C [解析] 大小前提正确,结论错误,那么推论过程错.故应选 C. 8.凡自然数是整数,4 是自然数,所以 4 是整数,以上三段论推理( A.正确 B.推理形式正确 C.两个自然数概念不一致 D.两个整数概念不一致
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)

)

)

)

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[答案] A [解析] 三段论的推理是正确的.故应选 A. 9.在三段论中,M,P,S 的包含关系可表示为( )

[答案] A [解析] 如果概念 P 包含了概念 M,则 P 必包含了 M 中的任一概念 S,这时三者的包

含可表示为



如果概念 P 排斥了概念 M ,则必排斥 M 中的任一概念 S ,这时三者的关系应为

.故应选 A. 10.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是 假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但大前提使用错误 D.使用了“三段论”,但小前提使用错误 [答案] D [解析] 应用了“三段论”推理,小前提与大前提不对应,小前提使用错误导致结论错 误. 二、填空题 11.求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是 a有意义时,a≥0,小 前提是 log2x-2有意义,结论是________. [答案] log2x-2≥0 [解析] 由三段论方法知应为 log2x-2≥0. 12.以下推理过程省略的大前提为:________.
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)

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∵a2+b2≥2ab, ∴2(a2+b2)≥a2+b2+2ab. [答案] 若 a≥b,则 a+c≥b+c [解析] 由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了 a2+b2,故大前提为:若 a≥b,则 a+c≥b+c. 1 13.(2010· 重庆理,15)已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y?R), 4 则 f(2010)=________. [答案] 1 2

[解析] 令 y=1 得 4f(x)· f(1)=f(x+1)+f(x-1) 即 f(x)=f(x+1)+f(x-1) ① 令 x 取 x+1 则 f(x+1)=f(x+2)+f(x) ② 由①②得 f(x)=f(x+2)+f(x)+f(x-1), 即 f(x-1)=-f(x+2) ∴f(x)=-f(x+3),∴f(x+3)=-f(x+6) ∴f(x)=f(x+6) 即 f(x)周期为 6, ∴f(2010)=f(6×335+0)=f(0) 对 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),令 x=1,y=0,得 4f(1)f(0)=2f(1), 1 1 ∴f(0)= 即 f(2010)= . 2 2 14.四棱锥 P-ABCD 中,O 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满足条件________时,VP
-AOB

恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可). [答案] 四边形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等 1 [解析] 设 h 为 P 到面 ABCD 的距离,VP-AOB= S△AOB· h, 3

1 又 S△AOB= |AB|d(d 为 O 到直线 AB 的距离). 2 因为 h、|AB|均为定值,所以 VP-AOB 恒为定值时,只有 d 也为定值,这是一个开放型问

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题,答案为四边形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等. 三、解答题 15.用三段论形式证明:在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,则∠B=∠C. [证明] 如下图延长 AB,DC 交于点 M.

①平行线分线段成比例大前提 ②△AMD 中 AD∥BC 小前提 ③ MB MC = 结论 BA CD

①等量代换大前提 ②AB=CD 小前提 ③MB=MC 结论 在三角形中等边对等角大前提 MB=MC 小前提 ∠1=∠MBC=∠MCB=∠2 结论 等量代换大前提 ∠B=π-∠1 ∠C=π-∠2 小前提 ∠B=∠C 结论 16.用三段论形式证明:f(x)=x3+x(x?R)为奇函数. [证明] 若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数 大前提 ∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=-f(x)小前提 ∴f(x)=x3+x 是奇函数结论 17.用三段论写出求解下题的主要解答过程. 若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),求实数 a 的值. [解析] 推理的第一个关键环节: 大前提:如果不等式 f(x)<0 的解集为(m,n),且 f(m)、f(n)有意义,则 m、n 是方程 f(x) =0 的实数根, 小前提:不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),且 x=-1 与 x=2 都使表达式|ax+2|-6 有意义, 结论:-1 和 2 是方程|ax+2|-6=0 的根.
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∴|-a+2|-6=0 与|2a+2|-6=0 同时成立. 推理的第二个关键环节: 大前提:如果|x|=a,a>0,那么 x=± a, 小前提:|-a+2|=6 且|2a+2|=6, 结论:-a+2=± 6 且 2a+2=± 6. 以下可得出结论 a=-4. 18.设 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. [解析] (1)F?l?|FA|=|FB|?A、B 两点到抛物线的准线的距离相等. ∵抛物线的准线是 x 轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意,y1,y2 不同时为 0. ∴上述条件等价于
2 y1=y2?x2 1=x2?(x1+x2)(x1-x2)=0.

∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0,即当且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的焦点 F. (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b,依题意得 l 的方程为 y=2x+b;过点 A、B 的直线方程为 y 1 1 1 =- x+m,所以 x1,x2 满足方程 2x2+ x-m=0,得 x1+x2=- . 2 2 4 1 1 A、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式 Δ= +8m>0,即 m>- .设 AB 4 32 的中点 N 的坐标为(x0,y0),则 1 1 x0= (x1+x2)=- , 2 8 1 1 y0=- x0+m= +m. 2 16 1 1 由 N?l,得 +m=- +b,于是 16 4 5 5 1 9 b= +m> - = . 16 16 32 32 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围是?

? 9 ,+∞?. ? ?32 ?

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选修 2-2
一、选择题

2.2

第 1 课时 综合法与分析法

1 1.证明命题“f(x)=ex+ x在(0,+∞)上是增函数”,一个同学给出的证法如下: e 1 1 ∵f(x)=ex+ x,∴f′(x)=ex- x. e e 1 ∵x>0,∴ex>1,0< x<1 e 1 ∴ex- x>0,即 f′(x)>0, e ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,他使用的证明方法是( A.综合法 C.反证法 [答案] A [解析] 该证明方法符合综合法的定义,应为综合法.故应选 A. 2. 分析法又叫执果索因法, 若使用分析法证明: 设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证: b2-ac < 3a 索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 [答案] C [解析] 要证 b2-ac< 3a 只需证 b2-ac<3a2 只需证 b2-a(-b-a)<3a2 只需证 2a2-ab-b2>0. 只需证(2a+b)(a-b)>0, 只需证(a-c)(a-b)>0. 故索的因应为 C. 3.p= ab+ cd,q= ma+nc· 小为( ) B.p≤q D.不确定 b d + (m、n、a、b、c、d 均为正数),则 p、q 的大 m n ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0 B.分析法 D.以上都不是 )

A.p≥q C.p>q [答案] B [解析] q=

mad nbc ab+ + +cd n m
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≥ ab+2 abcd+cd= ab+ cd=p. 1?x + ?a+b? ? 2ab ? 4.已知函数 f(x)=? ?2? ,a、b?R ,A=f? 2 ?,B=f( ab),C=f?a+b?,则 A、B、 C 的大小关系为( A.A≤B≤C C.B≤C≤A [答案] A [解析] ∴f? a+b 1?x 2ab ≥ ab≥ ,又函数 f(x)=? ?2? 在(-∞,+∞)上是单调减函数, 2 a+b ) B.A≤C≤B D.C≤B≤A

2ab a+b? ≤f( ab)≤f?a+b?. ? 2 ? ? ? )

5.对任意的锐角 α、β,下列不等式关系中正确的是( A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.sin(α+β)>cosα+cosβ C.cos(α+β)>sinα+sinβ D.cos(α+β)<cosα+cosβ [答案] D [解析] ∵α、β 为锐角,∴0<α<α+β<π, ∴cosα>cos(α+β) 又 cosβ>0,∴cosα+cosβ>cos(α+β).

6.设 a、b、c?R ,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P、 Q、R 同时大于零”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 首先若 P、Q、R 同时大于零,则必有 PQR>0 成立. 其次,若 PQR>0,且 P、Q、R 不都大于 0,则必有两个为负,不妨设 P<0,Q<0,即 a +b-c<0,b+c-a<0, ∴b<0 与 b?R 矛盾,故 P、Q、R 都大于 0. 7.已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( x+y A.x< <y<2xy 2 x+y C.x< <2xy<y 2 )




)

x+y B.2xy<x< <y 2 x+y D.x<2xy< <y 2
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[答案] D x+y 1 x+y 3 1 3 [解析] ∵y>x>0, 且 x+y=1, ∴设 y= , x= , 则 = , 2xy= .所以有 x<2xy< 4 4 2 2 8 2 <y,故排除 A、B、C. 8.下面的四个不等式: 1 ①a2+b2+c2≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤ ; 4 b a ③ + ≥2;④(a2+b2)· (c2+d2)≥(ac+bd)2. a b 其中恒成立的有( A.1 个 C.3 个 [答案] C 1 [解析] ∵(a2+b2+c2)-(ab+bc+ac)= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0 2 1?2 1 1 a(1-a)- =-a2+a- =-? ?a-2? ≤0, 4 4 (a2+b2)· (c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2.∴应选 C. 9.若 x,y?R+,且 x+ y≤a x+y恒成立,则 a 的最小值是( A.2 2 C.2 [答案] B [解析] 原不等式可化为 a≥ x+ y x+y = ( x+ y)2 x+y = 2 xy 1+ x+y 2 xy 1+ 的最大值即可. x+y B. 2 D.1 ) ) B.2 个 D.4 个

要使不等式恒成立,只需 a 不小于 ∵

2 xy 1+ ≤ 2,当 x=y 时取等号,∴a≥ 2, x+y

∴a 的最小值为 2.故应选 B. ax-a x 10.类比“两角和与差的正余弦公式”的形式,对于给定的两个函数,S(x)= , 2


ax+a x C(x)= ,其中 a>0,且 a≠1,下面正确的运算公式是( 2


)

①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);
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③C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y); ④C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y). A.①③ C.①④ [答案] D ax-a x ax+a x [解析] ∵S(x)= ,C(x)= , 2 2
- -

B.②④ D.①②③④

ax y-a ∴S(x+y)= 2


-x-y



S(x)C(y)+C(x)S(y) = = = ax-a x ay+a y ax+a x ay-a · + · 2 2 2 2
- - - -y

ax y+ax y-ay x-a
+ - -

-x-y

+ax y-a 4
+ -x-y

-x-y

+ay x-a


-x-y

2(ax y-a 4


-x-y

) ax y-a = 2


.

∴S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y) 同理:S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y) C(x+y)=C(x)C(y)-S(x)S(y) C(x-y)=C(x)C(y)+S(x)S(y).应选 D. 二、填空题 11.如果 a a+b b>a b+b a,则实数 a、b 应满足的条件是________. [答案] a≥0,b≥0 且 a≠b [解析] ∵a a+b b>a b+b a ?( a- b)2( a+ b)>0?a≥0,b≥0 且 a≠b. 1 12.设 a>0,b>0,则下面两式的大小关系为 lg(1+ ab)________ [lg(1+a)+lg(1+b)]. 2 [答案] ≤ [解析] ∵(1+ ab)2-(1+a)(1+b) =1+2 ab+ab-1-a-b-ab =2 ab-(a+b)=-( a- b)2≤0 ∴(1+ ab)2≤(1+a)(1+b), 1 ∴lg(1+ ab)≤ [lg(1+a)+lg(1+b)]. 2 1 3 13 .如果不等式 |x - a|<1 成立的充分非必要条件是 <x< ,则实数 a 的取值范围是 2 2 ________.
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[答案]

1 3 ≤a≤ 2 2

[解析] |x-a|<1?a-1<x<a+1 1 3? 由题意知? ?2,2??(a-1,a+1)则有 1 3 (且等号不同时成立)解得 ≤a≤ . 2 2 14.给出下列不等式: b2 ①a>b>0,且 a2+ =1,则 ab>a2b2; 4 a2+b2 ②a,b?R,且 ab<0,则 ≤-2; ab a+m a ③a>b>0,m>0,则 > ; b+m b 4? ④? ?x+x?≥4(x≠0). 其中正确不等式的序号为________. [答案] ①②④ b [解析] ①a>b>0,∴a≠ 2 b2 ∴a2+ =1>2 4 b2 a2· =ab 4

?a-1≤2 ? 3 ?a+1≥2

1



∴1-ab>0,∴ab-a2b2=ab(1-ab)>0,∴ab>a2b2 正确. ② a2+b2 (a+b)2 +2= ab ab

a2+b2 ∵ab<0,(a+b)2≥0,∴ ≤-2,②正确; ab ③ a+m a (b-a)m - = b+m b b(b+m)

∵a>b>0,m>0, (b-a)m ∴b(b+m)>0,b-a<0,∴ <0, b(b+m) ∴ a+m a < ,③不正确. b+m b

4? 4 ④? ?x+x?=|x|+|x|≥4,④正确. 三、解答题 15.设 a>0,b>0,a+b=1.
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1 1 1 求证:(1) + + ≥8; a b ab 1?2 ? 1?2 25 (2)? ?a+a? +?b+b? ≥ 2 . [证明] (1)∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 ∴1=a+b≥2 ab, ab≤ ,∴ ≥4. 2 ab 1 1? 1 1 1 1 ∴ + + =(a+b)? ?a+b?+ab a b ab ≥2 ab· 2 (2)∵ a+b ≤ 2 1 1 1 1 +4=8,∴ + + ≥8. ab a b ab a2+b2 a2+b2 ?a+b?2 ,则 ≥ 2 2 ? 2 ?

?a+1+b+1?2 1?2 ? 1?2 ? b? ∴?a+a? +?b+b? ≥2? a ? 2 ?


?1+1+1?2 ?1+2 ? a b? ?
2 ≥ 2

1 ?2 ab?



25 . 2

1 1 25 a+ ?2+?b+ ?2≥ . ∴? ? a? ? b? 2 (a-b)2 a+b (a-b)2 16.已知 a>b>0,求证 < - ab< . 8a 2 8b (a-b)2 a+b (a-b)2 [证明] 欲证 < - ab< 成立. 8a 2 8b (a-b)2 (a-b)2 只需证 <a+b-2 ab< 4a 4b ?? ?

?a-b?2<( a- b)2<?a-b?2 ? ?2 b? ?2 a? ? ?
a-b a-b a+ b a+ b < a- b< ? <1< 2 a 2 b 2 a 2 b b a b a b a <2<1+ ? <1< ? <1< . a b a b a b

?1+

b a ∵a>b>0,∴ <1< 成立. a b (a-b)2 a+b (a-b)2 从而,有 < - ab< . 8a 2 8b 17.已知 a、b、c 表示△ABC 的三边长,m>0, 求证: a b c + > . a+m b+m c+m

a b c [证明] 要证明 + > a+m b+m c+m
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a b c 只需证明 + - >0 即可 a+m b+m c+m ∴ = a b c + - a+m b+m c+m a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m) (a+m)(b+m)(c+m)

∵a>0,b>0,c>0,m>0 ∴(a+m)(b+m)(c+m)>0 ∵a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am2+abc+abm +bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2 =2abm+abc+(a+b-c)m2 ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边 ∴a+b-c>0,∴(a+b-c)m2>0 ∴2abm+abc+(a+b-c)m2>0 ∴ a b c + > . a+m b+m c+m

a+b b+c c+a 18.若 a,b,c 为不全相等的正数,求证:lg +lg +lg >lga+lgb+lgc. 2 2 2 [ 证 明 ] lg? 要 证 lg a+b b+c c+a + lg + lg >lga + lgb + lgc , 只 需 证 2 2 2

a+b b+c c+a? b· c), ? 2 · 2 · 2 ?>lg(a· a+b b+c c+a 即证 · · >abc. 2 2 2 因为 a,b,c 为不全相等的正数, a+b b+c c+a 所以 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0, 2 2 2 且上述三式中等号不能同时成立. a+b b+c c+a 所以 · · >abc 成立, 2 2 2 所以 lg

a+b
2

+lg

b+c
2

+lg

c+a
2

>lga+lgb+lgc 成立.

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选修 2-2
一、选择题

2.2.2 反证法

1.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 [答案] C

)

[解析] 在逻辑中“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个”, 所以“至多有两个解” 的否定为“至少有三个解”,故应选 C. 2.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c 都是偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数 [答案] B [解析] a,b,c 三个数的奇、偶性有以下几种情况:①全是奇数;②有两个奇数,一 个偶数;③有一个奇数,两个偶数;④三个偶数.因为要否定②,所以假设应为“全是奇数 或至少有两个偶数”.故应选 B. 3 .用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60° ”时,反设正确的是 ( ) A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60° [答案] B [解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于 60° ”.故应选 B. 4.用反证法证明命题:“若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根,那么 a,b,c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a、b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假设 a,b,c 至多有两个偶数
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)

)

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[答案] B [解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”,也就是说本题应假设为 a,b,c 都 不是偶数. 5.命题“△ABC 中,若∠A>∠B,则 a>b”的结论的否定应该是( A.a<b B.a≤b C.a=b D.a≥b [答案] B [解析] “a>b”的否定应为“a=b 或 a<b”,即 a≤b.故应选 B. 6.已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b 的位置关系为( A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 [答案] C [解析] 假设 c∥b,而由 c∥a,可得 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c 与 b 不可能是平 行直线.故应选 C. 1 1 1 7.设 a,b,c?(-∞,0),则三数 a+ ,c+ ,b+ 中( b a c A.都不大于-2 B.都不小于-2 C.至少有一个不大于-2 D.至少有一个不小于-2 [答案] C 1? ? 1? ? 1? [解析] ? ?a+b?+?c+a?+?b+c? 1? ? 1? ? 1? =? ?a+a?+?b+b?+?c+c? ∵a,b,c?(-∞,0), 1 ?-1??≤-2 ∴a+ =-? - a + ? ? a?? a 1 ?-1??≤-2 b+ =-? - b + ? ? b?? b 1 ? 1?? c+ =-? ?-c+?-c??≤-2 c ) ) )

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1? ? 1? ? 1? ∴? ?a+b?+?c+a?+?b+c?≤-6 1 1 1 ∴三数 a+ 、c+ 、b+ 中至少有一个不大于-2,故应选 C. b a c 8.若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 [答案] B [解析] 对于 A,若存在直线 n,使 n∥l 且 n∥m 则有 l∥m,与 l、m 异面矛盾;对于 C,过点 P 与 l、m 都相交的直线不一定 存在,反例如图(l∥α);对于 D,过点 P 与 l、m 都异面的直线不唯一. 9.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四 位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁 说:“是乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 [答案] C [解析] 因为只有一人获奖,所以丙、丁只有一个说对了,同时甲、乙中只有一人说对 了,假设乙说的对,这样丙就错了,丁就对了,也就是甲也对了,与甲错矛盾,所以乙说错 了,从而知甲、丙对,所以丙为获奖歌手.故应选 C. 10.已知 x1>0,x1≠1 且 xn+1=
2 xn(xn +3) (n=1,2?),试证“数列{xn}或者对任意正整数 2 3xn+1

)

)

n 都满足 xn<xn+1,或者对任意正整数 n 都满足 xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时,应 为( ) A.对任意的正整数 n,都有 xn=xn+1 B.存在正整数 n,使 xn=xn+1 C.存在正整数 n,使 xn≥xn+1 且 xn≤xn-1 D.存在正整数 n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 [答案] D [解析] 命题的结论是“对任意正整数 n,数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反 设是“存在正整数 n,使数列既不是递增数列,也不是递减数列”.故应选 D.
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二、填空题 11.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是 ________. [答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形 [解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”. 12.用反证法证明命题“a,b?N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”,那么反设的内容是________________. [答案] a,b 都不能被 5 整除 [解析] “至少有一个”的否定是“都不能”. 13. 用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90° +90° +∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾,则∠A= ∠B=90° 不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90° . 正确顺序的序号排列为____________. [答案] ③①② [解析] 由反证法证明的步骤知,先反证即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定 结论即②,即顺序应为③①②. 14.用反证法证明质数有无限多个的过程如下: 假设______________.设全体质数为 p1、p2、?、pn,令 p=p1p2?pn+1. 显然, p 不含因数 p1、 p2、 ?、 pn.故 p 要么是质数, 要么含有______________的质因数. 这 表明,除质数 p1、p2、?、pn 之外,还有质数,因此原假设不成立.于是,质数有无限多个. [答案] 质数只有有限多个 除 p1、p2、?、pn 之外 [解析] 由反证法的步骤可得. 三、解答题 15.已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0. 求证:a>0,b>0,c>0. [证明] 用反证法: 假设 a,b,c 不都是正数,由 abc>0 可知,这三个数中必有两个为负数,一个为正数, 不妨设 a<0,b<0,c>0,则由 a+b+c>0, 可得 c>-(a+b), 又 a+b<0,∴c(a+b)<-(a+b)(a+b) ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab 即 ab+bc+ca<-a2-ab-b2
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∵a2>0,ab>0,b2>0,∴-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,即 ab+bc+ca<0, 这与已知 ab+bc+ca>0 矛盾,所以假设不成立. 因此 a>0,b>0,c>0 成立. 1 16.已知 a,b,c?(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 [证明] 证法 1:假设(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 都大于 .∵a、b、c 都是小于 1 的正数, 4 (1-a)+b ∴1-a、1-b、1-c 都是正数. ≥ (1-a)b> 2 (1-b)+c 1 (1-c)+a 1 同理 > , > . 2 2 2 2 三式相加,得 (1-a)+b (1-b)+c (1-c)+a 3 + + > , 2 2 2 2 3 3 即 > ,矛盾. 2 2 1 所以(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a 不能都大于 . 4 1 1 1 1 证法 2:假设三个式子同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> ,三式相乘得 4 4 4 4 1?3 (1-a)b(1-b)c(1-c)a>? ?4? ① 因为 0<a<1,所以 0<a(1-a)≤? 1 1 = , 4 2

?

1-a+a?2 1 = . 2 ? 4

1 1 同理,0<b(1-b)≤ ,0<c(1-c)≤ . 4 4 1?3 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤? ?4? .② 因为①与②矛盾,所以假设不成立,故原命题成立. 17.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b?R. (1)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. [解析] (1)证明:∵a+b≥0,∴a≥-b. 由已知 f(x)的单调性得 f(a)≥f(-b). 又 a+b≥0?b≥-a?f(b)≥f(-a). 两式相加即得:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)逆命题: f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?a+b≥0. 下面用反证法证之.
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假设 a+b<0,那么: a+b<0?a<-b?f(a)<f(-b) a+b<0?b<-a?f(b)<f(-a) ?f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知矛盾,故只有 a+b≥0.逆命题得证. 1 2?n-1 18.(2010· 湖北理,20 改编)已知数列{bn}的通项公式为 bn= ? .求证:数列{bn}中 4?3? 的任意三项不可能成等差数列. [解析] 假设数列{bn}存在三项 br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn} 1 2 是首项为 ,公比为 的等比数列,于是有 bt>bs>br,则只可能有 2bs=br+bt 成立. 4 3 1 2?s-1 1?2?r-1 1?2?t-1 ∴2· ? = ?3? + ?3? . 4?3? 4 4 两边同乘 3t 121 r,化简得 3t r+2t r=2· 2s r3t s,
- - - - - -

由于 r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

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选修 2-2
一、选择题

2. 3 数学归纳法

1 1 1 1. 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n?N*, n>1)时, 第一步应验证不等式( 2 3 2 -1 1 A.1+ <2 2 1 1 B.1+ + <2 2 3 1 1 C.1+ + <3 2 3 1 1 1 D.1+ + + <3 2 3 4 [答案] B [解析] ∵n?N*,n>1,∴n 取第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 选 B. 2.用数学归纳法证明 1+a+a +?+a 左边所得的项为( A.1 B.1+a+a2 C.1+a D.1+a+a2+a3 [答案] B [解析] 因为当 n=1 时,an 1=a2,所以此时式子左边=1+a+a2.故应选 B.


)

1 1 = ,故 22-1 3

2

n+1

1-an 2 = (n?N*,a≠1),在验证 n=1 时, 1-a


)

1 1 1 3.设 f(n)= + +?+ (n?N*),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2n n+1 n+2 1 1 A. B. 2n+1 2n+2 1 1 1 1 C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 [答案] D [解析] f(n+1)-f(n) 1 1 1 1 1 =?(n+1)+1+(n+1)+2+?+2n+2n+1+2(n+1)?

)

?

?

1 1 1 1 1 1 -?n+1+n+2+?+2n?= ? ? 2n+1+2(n+1)-n+1

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1 1 - . 2n+1 2n+2

4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(k?N*)时,该命题成立,那么可推得 n=k+1 时 该命题也成立.现在已知当 n=5 时,该命题不成立,那么可推得( A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确,则逆否命题正确.故应选 C. 5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在第二步的证 明时,正确的证法是( ) )

A.假设 n=k(k?N*),证明 n=k+1 时命题也成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 时命题也成立 C.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 时命题也成立 D.假设 n=2k+1(k?N),证明 n=k+1 时命题也成立 [答案] C [解析] ∵n 为正奇数,当 n=k 时,k 下面第一个正奇数应为 k+2,而非 k+1.故应选 C. 6.凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 [答案] C [解析] 增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成了对角线, 故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选 C. 7.用数学归纳法证明“对一切 n?N*,都有 2n>n2-2”这一命题,证明过程中应验证 ( ) A.n=1 时命题成立 B.n=1,n=2 时命题成立 C.n=3 时命题成立 D.n=1,n=2,n=3 时命题成立 [答案] D [解析] 假设 n=k 时不等式成立,即 2k>k2-2,
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)

新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习

当 n=k+1 时 2k 1=2· 2k>2(k2-2)


由 2(k2-2)≥(k-1)2-4?k2-2k-3≥0 ?(k+1)(k-3)≥0?k≥3,因此需要验证 n=1,2,3 时命题成立.故应选 D. 8.已知 f(n)=(2n+7)· 3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n?N*,都能使 m 整除 f(n), 则最大的 m 的值为( A.30 B.26 C.36 D.6 [答案] C [解析] 因为 f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36,所以 f(1),f(2),f(3)能 被 36 整除,推测最大的 m 值为 36. 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an =( ) 2 A. (n+1)2 2 B. n(n+1) 2 C. n 2 -1 2 D. 2n-1 [答案] B [解析] 由 Sn=n2an 知 Sn+1=(n+1)2an+1 ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=(n+1)2an+1-n2an n ∴an+1= a n+2 n (n≥2). )

a1 1 当 n=2 时,S2=4a2,又 S2=a1+a2,∴a2= = 3 3 2 1 3 1 a3= a2= ,a4= a3= . 4 6 5 10 1 1 1 由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= 3 6 10 2 猜想 an= ,故选 B. n(n+1) 10.对于不等式 n2+n≤n+1(n?N+),某学生的证明过程如下:

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新课标人教 A 高中数学选修 2-2 同步练习

(1)当 n=1 时, 12+1≤1+1,不等式成立. (2)假设 n=k(k?N+)时, 不等式成立, 即 k2+k<k+1, 则 n=k+1 时, (k+1)2+(k+1) = k2+3k+2< (k2+3k+2)+(k+2)= (k+2)2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,上述证法( A.过程全都正确 B.n=

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