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高考题抽象函数十大考点

时间:2013-11-20

、利用函数性质解不等式 例 1 定 义 在 [ - 2 , 2 ] 上 是 减 函 数 , 且 f (1-m)+f(1-m2)<0,求实数 m 的取值范围 解:∵定义在[-2,2]的奇函数 f(x)是减函数 ∴f(1-m)+f(1-m 2 )<0 ? f(1-m)<-f(1-m 2 ) ? f(1-m)<f(m2-1) ? -2≦1-m≦2 -2≦m 2 -1≦2 ? -1≦m<1 1-m>m 2









f(

x )

-1 所以实数 m 的取值范围为-1≦m<1 点评:本题考查利用抽象函数奇偶性及单调性解不等式的 能力,难度不大,但学生容易忽视定义域。 二、利用条件考察抽象函数的奇偶性和单调性 例 2函 数 f(x)对 任 意 的 a, b ∈ R 都 有 f (a+b)=f(a)+f(b), 且当 x>0时,f(x)<0恒成立, (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数 (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数 解: (1)设 x 1 <x 2 ,且 x 1 ,x

2 ∈ R,则 x 2 -x 1 >0 ∴f(x 2 -x 1 )<0 x 2 =(x 2 -x 1 )+x 1 ∴f(x 2 )=f(x 2 -x 1 )+f(x1) ∴f(x 2 )-f(x 1 )=f(x 2 -x 1 )<0 ∴f(x)是 R 上的减函数。 (2)令 a=b=0,则得 f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0 令 a=x,b=-x 则f[x+(-x) ]=f(x)+f(-x) 即 f(0)=f(x)+f(-x) ∴f(x)+f(-x)=0 从而 f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数。 点 评 : 本 题 注 意 特 殊 值 的 应 用 , 对 a, b 采 用 不 同 的 赋 值 方 法。从而得出其性质,此种问题有很多不同的变式,采用类似 方 法 证 明 , 例 变 式 1对 于 任 意 实 数 x, y 函 数 y = f ( x ) ( x ≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) 求证:f(1)=f(-1)=0 求证:y=f(x)是偶函数。 变 式 2 f( x ) 的 定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ) 且 对 一 切 都 有 x >0,y>0,当x>1时, 有 f(x)>0 求 f(1)的值 判断 f(x)的单调性并证明。 三、利用条件研究函数的对称性和周期性 例 3已 知 函 数 f( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 它 的 图 像 关于直线x=1对称。 证明:f(x)是周期为4的周期函数。 证 明 : 由 函 数 f( x ) 的 图 像 关 于 直 线 x = 1 对 称 , 有 f (x+1)=f(1-x) 即有f(-x)=f(x+2) 又 函 数 f( x f( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 有 f( - ) x)=-f(x) 故 f(x+2)=-f(x) 从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 即是周期为4的周期函数。 例6(2005年广东高考题), 设函数 f(x)在(- ∞ ,,+ ∞ )上满足f(2-x)= f ( 2 + x ), f ( 7 - x ) = f ( 7 + x ), 且 在 闭 区 间 [0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 试判断y=f(x)的奇偶性 试 求 方 程 f ( x ) = 0 在 闭 区 间 [ - 20005,20005] 上 的 根的个数 解: (1)f(2-x)=f(2+x) f(x)=f(4-x) f ( 7 - x ) = f ( 7 + x ) ? f ( x ) = f ( 1 4 -

x) ∴f(4-x)=f(14-x) ∴f(x)=f(x+10) ∴y=f(x)是以10为周期的周期函数。 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7) ≠ 0,f(-3)=f(-3+ 10)=f(7) ≠ 0, 故函数y=f(x)是非奇非偶函数。 ( 2 ) f( 3) =f( 1) =0, f( 11) =f( 13) =f( - 7 ) =f (-9)=0, 故 f ( x ) = 0 在 [ 0 , 1 0 ] 和 [ - 10, 0] 上 均 有 两 个根,从而可知方程 f( x) =0在 [ 0 , 2005] 上 有 402个 根 , 在 [ - 2005, 0] 有400个根,所以方程 f(x)=0在[-20005,20005]上有802个根。 点 评 : 本 题 是 考 察 抽 象 函 数 的 周 期 性 , 在 解 决 此 类 为 题 时,要注意到周期性与对称性的关系。


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