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《3.1.3 空间向量基本定理》教案

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《3.1.3 空间向量基本定理》教案 教学目标: ⒈了解空间向量基本定理及其推论; ⒉理解空间向量的基底? 基向量的概念 教学重点: 向量的分解(空间向量基本定理及其推论). 教学难点: 空间作图. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一? 复习引入 1.复习向量与平面平行? 共面向量的概念. 区别:(1)向量与平面平行时,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是 没有公共点的. (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量 .共面向量不一定是在同一平面内的 ,但可以平 移到同一平面内. 2.空间共面向量定理及其推论. (1)共面向量定理:如果两个向量 a? b 不共线,则向量 p 与向量 a? b 共面的充要条件是存在 实数对 x,y,使得 p= xa+yb . (2)共面向量定理的推论:空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x,y, 使得 MP ? xMA ? y MB ,或对于空间任意一定点 O,有 OP ? OM ? xMA ? yMB .② OP ? (1 ? x ? y)OM ? xOA ? yOB ③ 今天我们将对平面向量基本定理加以推广,应用上面的三个公式我们可以解决与四点共 面有关的问题,得出空间向量基本定理. 二? 新课讲授 问题 1:右图中的向量 AB ? AD ? AA' 是不共面的三个向量 ,请问向量 AC' 与它们是什 么关系?由此可以得出什么结论? AC' ? AB ? AD ? AA' . 由此可知,始点相同的三个不共面向量之和 ,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量. 问题 2:如果向量 AB ? AD ? AA' 分别和向量 a? b? c 共线,能否用 向量 a? b? c 表示向量 AC' ? AC' =xa+yb+zc 事实上,对空间任一向量 AC' ,我们都可以构造出上述平行六面 体,由此我们得到了空间向量基本定理: 如果三个向量 a? b? c 不共面,那么对于空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x? y? z,使 p=xa+yb+zc. 证明:存在性:(见课本 P31) 唯一性:设另有一组实数 x’? y’? z’,使得 p=x’a+y’b+z’c,则有 xa+yb+zc=x’a+y’b+z’c, ∴(x-x’ ) a+(y-y’ )b+( z-z’ )c=0. ∵a? b? c 不共面, ∴x-x’=y-y’=z-z’=0, 即 x=x’且 y=y’且 z=z’. 故实数 x? y? z 是唯一的. 由上述定理可知,空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成 ,我们把{a? b? c}叫 做空间的一个基底,a? b? c 都叫做基向量. 说明:①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量 .(零向量与任意非零向量共线 ,与任意两 个非零向量共面) ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向 量. 由定理的证明过程(P32 第一行)可以得到下面的推论: 设 O? A? B? C 是不共面的四个点,则对空间任一点 P,都存在一个唯一的有序实数组 x? y? z, 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 说明:若 x+y+z=1,则根据共面向量定理得:P? A? B? C 四点共面. 三? 课堂练习 四? 课时小结 ⒈空间向量基本定理也成为空间向量分解定理,它与平面向量基本定理类似,区别仅在于 基底中多了一个向量,从而

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