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北京市顺义区2016届高三数学上学期期末统一测试试题 文

时间:2016-03-12


顺义区 2016 届高三期末统一测试 数 学 试 卷 (文科)

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 0} ,那么 A ? B ? (A) {x | ?1 ? x ? ? } (C) {x | x ? ? } ( )

1 2

(B) {x | x ? 0} (D) {x | ?

1 2

1 ? x ? 0} 2
( )
x

2.下列函数中为奇函数的是 (A) y ? x ? sin x (B) y ? x ? cos x (C) y ? ln | x |

(D) y ? 2 ? 1

3.某学校共有师生 4000 人.现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 200 的样本, 调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为 190 人,那么该校的教师人 数为 ( )

(A) 100 人

(B) 150 人

(C) 200 人

(D) 250 人

?x ? y ? 0 ? 4.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? ?2 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?
(A) 1 (B)





3 2

(C) 2

(D) 3

5.已知某三棱锥的三视图尺寸(单位 cm )如图, 则这个三棱锥的体积是 ( (A) cm3 )

8 3

( B)

4 3 cm 3 1 3

(C)

2 3 cm 3

(D) cm3

1

6.对于非零向量 a, b , “ 2a ? 3 b0 ? ”是“ a ∥ b ”成立的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

? ?

?

?

?

?

?





(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

7.如下程序框图中,当 n ? N * (n ? 1) 时,函数 f n ( x) 表示函数 f n ?1 ( x) 的导函数, 即 f n ( x) ? f 'n?1 ( x) .若输入函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x 则输出的函数 f n ( x) 为 (A) 2 sin( x ? (C) 2 sin( x ? ( )

?
4

)

(B) ? 2 sin( x ?

?
4

)

?
4

)

(D) ? 2 sin( x ?

?
4

)

a c x 8.设函数 f ( x) ?| 2 ? 1|, c ? b ? a ,且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则 2 ? 2 与 2 的大小关系是


a c (A) 2 ? 2 ? 2 a c (B) 2 ? 2 ? 2 a c (C) 2 ? 2 ? 2


a c (D) 2 ? 2 ? 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若 (1 ? i) ? i ? ?1 ? xi
?2 1

( x ?R) 则 x ? ___________.

10. 3 , 2 3 , log 1 3 三个数中最大的数是 _________.
2

11.已知函数 f ( x) ? ?

x?0 ?2 x, ,则 f (2) ? f (?2) ? ____________ . x?0 ? f ( x ? 1),
1 ,那么 AC ? _________ . 3

12.在 ? ABC 中,若 BC ? 6, AB ? 4, cos B ?

x2 y 2 13.过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点垂直于 x 轴的弦长为 a . a b
则双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ___________. a 2 b2

14.某辆汽车购买时的费用是 10 万元,每年使用的保险费、高速公路费、汽油费等约为 2 万元,
2

年维修保养费用第一年 0.1 万元,以后逐年递增 0.2 万元.设这辆汽车使用 n(n ? N * ) 年的年平均 费用为 f ( n) . (年平均费用=

买车费用+每年用车产生的费用 ) 则 f (n) 与 n 的函数关系式 使用年数

f (n) ? ______________; 这辆汽车报废的最佳年限约为 ___________ 年.
三、解答题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2

x 3 1 ? sin x ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [? 16.(本小题满分 13 分)

? 5?

, ] 上的最大值和最小值. 6 6

* 已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 3an ? 2 (n ? N )

(Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式 a n 与前 n 项和 S n . 17.(本小题满分 13 分) 某中学一名高三数学教师,对其所教的文科班 50 名同学的一次数学成绩进行了统计,全年级 文科数学平均分是 100 分,这个班数学成绩的频率分布直方图如下: (总分 150 分) (Ⅰ)试估算这个班的数学平均分是否超过年级 文科数学平均分? (Ⅱ)从这个班中任取 1 人,其数学成绩达到 或超过年级文科平均分的概率是多少?

3

18.(本小题满分 13 分) 如图 PA ? 平面 ABCD , ABCD 是矩形, PA ? AB ? 1, AD ? 2 , 点 F 是 PB 的中点,点 E 是 BC 边上的任意一点. (Ⅰ)求三棱锥 E— PAD 的体积; (Ⅱ)当 E 是 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系, 并说明理由; (Ⅲ)证明: AF ? PE . 19.(本小题满分 14 分 ) 已知椭圆 E :

x2 y2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点 A(0, 3) ,离心率 e ? . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 相切于点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 求证:以 PQ 为直径的圆过定点 N (1, 0) . 20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx . (Ⅰ)若 m ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [1, e ] 上的最大值; (Ⅲ)若 f ( x) ? m ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的值.

顺义区 2016 届高三期末统一测试 (文科) 参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A ; 2. B ; 3. C; 4. C ; 5. B; 2016.1

6. A;

7. C ;

8. D.

4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.

,10.

, 1 1.

, 12.

, 13.

, 14.

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)由已知

【2 分】

【4 分】

【6 分 】

(Ⅱ)





【9 分】



,即

时,

【11 分】



, 即

时,

【13 分】

16.(本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)由 数列

得 是首项为 3 公比为 3 的等比数列. 【6 分】

【4 分】

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

【9 分】

【13 分】

17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由频率分布表知这个班的数学平均分至少是

5

, 这个班的数学平均分超过年级平均分. (Ⅱ)此班在 【 6 分】 分数段的共有 人

所求概率 18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 平面 ,底面

【13 分】

是矩形,

【4 分】 (Ⅱ)当 ∥ 为 , . , 底面 平面 平面 又 , 平面 , , 平面 , 【13 分】 , 是 的中点, ,又 【11 分】 的中点时, 平面 是 的中点, 平面 【8 分】

∥平面 (Ⅲ)

19.(本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ)由(Ⅰ)由已知



【2 分】

解得



所求椭圆方程为

【4 分】
6

(Ⅱ) 曲线 可得

消去

得 ,

与直线 只有一个公共点, (*) 故







.

【8 分】

又由







【10 分】

, 以 为直径的圆过定点 【14 分】

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) 时

切线方程为:

,即

【4 分】

(Ⅱ) 当 时, 在 在 上单调递增,故 恒成立, 在 上单调递增, 【6 分】
7



时,令



,在



,在







递增,在



递减.

①若

,即

时,

②若

,即

时,

③若

,即

时,

综上:当

时,

当 当 (Ⅲ)由 设

时, 时, 得 ,要 在 上恒成立,只需 【9 分】



时,在 时

上,

, ,不可能

在 ;

递增;



时, 令





上,





递增;



上,





递减;

【12 分】
8

只需 令 , ( *)

, , 由(*)和(**)知 而 在(0,1 上递减,在 ,

在(0,1)递减,在 在

递增;

上成立.(**) ,即

上递增, 【14 分】

9


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