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2013年深圳市高三年级第一次调研考试参考答案与评分标准(文科数学)

时间:2013-02-27


2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 B 2 D 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 C 9 A 10 D

二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分.

6] 11. 63 . 12. [2, .

13.

5 . 3

14.

4 5 . 5

15. 4 3 .

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分)

???? ???? ? 3 M ) N 1, 在平面直角坐标系 xOy 中, (sin 2 ? , 1 , ( ? 2cos2 ?) ? ? R ) 且 OM ? ON ? ? . ( , 2
(1)求点 M , N 的坐标; (2)若角 ? , ? 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合,终边分别经过点
M , N ,求 tan(? ? ? ) 的值.

3 2 3 ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? ? , 2

解:(1) ? OM ? ON ? ? , ???????.2 分

???? ???? ?

3 ? sin 2 ? ? 2(1 ? sin 2 ? ) ? ? , 2 5 1 解得 sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 6 6 1 5 所以 M ( ,1) , N (1, ? ) 6 3

???????.6 分

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(文科)试卷答案及评分标准 第 1 页,共 10 页

(2)由(1)可知 M ( ,1) , N (1, ? )

1 6

5 3

? tan ? ? 6 , tan ? ? ?
? tan(? ? ? ) ?

5 3

????????????.10 分

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ?

5 1 ? 6 ? (? ) 3 13 ? 33

?

6?

5 3

????????????.12 分

【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、 三角函数的定义、 两角和正切公式, 以及向量的有关知识.考查了运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理(

A1
89
87

A2
91
89

A3
93
89

A4
95
92

A5
97
93

y 分)

(1) 要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动, 求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率;
? (2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 y ? bx ? a .

解: (1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A ) 、 ( A4 , A2 ) 、 1

( A4 , A3 ) 、 A5 , A1 ) 、 A5 , A2 ) 、 A5 , A3 ) 、 A1, A2 ) 、 A1, A3 ) 、 A2 , A3 ) 共种情10 况.???3 ( ( ( ( ( (
分 其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有: ( A4 , A5 ) 、 ( A4 , A ) 、 ( A4 , A2 ) 、 1

( A4 , A3 ) 、 ( A5 , A1 ) 、 ( A5 , A2 ) 、 ( A5 , A3 ) 共 7 种情况,
故上述抽取的 5 人中选 2 人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 90 分的概 率P ?

7 . 10

????????????????5 分 ?????????????????6 分

(2)散点图如右所示.

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y/物理成绩

94 92 90

· · ·

·

88

·
O

89

91

93

95

97

x/数学成绩

可求得:

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , ?????????????????8 分 y= 5
5 i i

? ( x ? x)( y ? y) ? 30
i ?1

?( x ? x )
i ?1 i

5

2

= (?4) ? (?2) ? 0 ? 2 ? 4 =40,
2 2 2 2 2

b?

30 =0.75, 40
?????????????????11 分

a ? y ? bx =20.25 ,
故 y 关于 x 的线性回归方程是:

? y ? 0.75 x ? 20.25 .

?????????????????12 分

【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理 能力和应用意识. 18. (本小题满分 14 分) 如图甲, ⊙O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C、 D 在直径 AB 的两侧,使 ?CAB ?

? , 4

? .沿直径 AB 折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙) F 为 BC 的中 , 3 点, E 为 AO 的中点.根据图乙解答下列各题: ?DAB ?
(1)求三棱锥 C ? BOD 的体积;
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(2)求证: CB ? DE ; ? (3)在 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG // 平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置;若不 存在,请说明理由.

C F

·

A

·

O

B A D
·

E

O G

B

D
(第 18 题图甲)

(第 18 题图乙)

解:(1)? C 为圆周上一点,且 AB 为直径,??C ? 90?

? ?CAB ?

?
4

, ? AC ? BC ,

∵ O 为 AB 中点,? CO ? AB ,

? AB ? 2,?CO ? 1 .
∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ∴ CO ? 平面 ABD ,? CO ? 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离, 在 Rt ?ABD 中, S?BOD ?

1 1 1 3 , S?ABD ? ? ?1? 3 ? 2 2 2 4

1 1 3 3 . ???????????????4 分 ?VC ? BOD ? S?BOD ? CO ? ? ?1 ? 3 3 4 12
(2)在 ?AOD 中,? ?OAD ? 60?, OA ? OD,

? ?AOD 为正三角形, 又? E 为 OA 的中点,? DE ? AO , ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , ? DE ? 平面 ABC . ∴ CB ? DE . ???????????????9 分

? (3)存在, G 为 BD 的中点.证明如下:
连接 OG, OF , FG ,
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∴ OG ? BD , ∵ AB 为⊙ O 的直径, ∴ AD ? BD ∴ OG // AD , ? OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD , ∴ OG // 平面 ACD . 在 ?ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点,

? OF // AC , OF ? 平面 ACD ,? OF // 平面 ACD ,

? OG ? OF ? O,
∴平面 OFG // 平面 ACD , 又 FG ? 平面 OFG ,? FG // 平面 ACD .???????????????14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻 辑推理能力. 19. (本题满分 14 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 3a2 是
a1 ? 3 和 a3 ? 4 的等差中项.

(1)求数列 {an } 的通项公式; an 1 (2)设 bn ? ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . (an ? 1)(an ?1 ? 1) 2

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知,得 ? (a ? 3) ? ( a ? 4) ???????????????3 分 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
解得 a2 ? 2 . 设数列 {an } 的公比为 q ,则

a1q ? 2 ,
∴ a1 ?

2 ,a3 ? a1q 2 ? 2q . q 2 ? 2 ? 2q ? 7 , q

由 S3 ? 7 ,可知

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∴ 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 , 解得 q1 ? 2,q2 ?

1 . 2
???????????????????5 分

由题意,得 q ? 1 ? q ? 2 . , ∴ a1 ? 1 . 故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 . (2)∵ bn ?

???????????????????7 分

1 1 an 2n?1 ? n ?1 ? n , ????11 分 ? n?1 n (an ? 1)(an ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

∴ Sn ? ?

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ??? 1 ? 2 ??? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? ? 1?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ? ? 2 ?1 2 ?1 ?
1 1 1 1 1 ? n ? ? n ? .?????????????????14 分 1?1 2 ?1 2 2 ?1 2

?

【说明】考查了等差数列、 等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法” ; 考查了学生的运算能力和思维能力. 20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,椭圆 C 的长轴为 AB ,设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点, PH ? x 轴, H ???? ???? 为垂足,点 Q 满足 PQ ? HP ,直线 AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M , ???? ? ???? BM ? 4BN .求证: ?OQN 为锐角. y
Q
3 ( ,且点 1, 2 3 ) 在该椭圆 2

M
N

P A
O

H

B

x

(第 20 题图)

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x2 y 2 c 3 20.解: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,由题意可得 e ? ? a b a 2
又 a ? b ? c ,∴ 4b ? a .
2 2 2
2 2

,

????????????????2 分

∵椭圆 C 经过 (1, 解得 b ? 1 .
2

3 ) ,代入椭圆方程有 2

3 1 ? 4 ? 1, 2 4b b 2
????????????????5 分

∴a ? 4,
2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????????????6 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? (?2 ? x0 ? 2) , ∵ A ? ?2,0? , ∵ PQ ? HP , ∴ Q ? x0 , 2 y0 ? , ∴直线 AQ 的方程为 y ?
2 y0 ? x ? 2? . x0 ? 2

????????????????7 分

????????????????9 分

? 8 y0 ? 令 x ? 2 ,得 M ? 2, ?. ? x0 ? 2 ?

∵ B ? 2,0 ? , BM ? 4BN , ∴ N ? 2,

???? ?

??? ?

? ?

y0 ? ?. x0 ? 2 ?

???? ? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) ? ∴ QO ? ? ? x0 , ?2 y0 ? , QN ? ? 2 ? x0 , ?. x0 ? 2 ? ?

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???? ???? ?2 y0 (1 ? x0 ) 4 y 2 (1 ? x0 ) ∴ QO ? QN ? ? x0 ? 2 ? x0 ? ? (?2 y0 ) ? ? x0 ? x0 ? 2 ? ? 0 x0 ? 2 x0 ? 2



x0 2 ? y0 2 ? 1 , 4

2 ∴ 4 y02 ? 4 ? x0

∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ∵ ?2 ? x0 ? 2 , ∴ QO ? QN ? 2 ? x0 ? 0 . 又 O 、 Q 、 N 不在同一条直线, ∴ ?OQN 为锐角.

??? ???? ?

????????????????12 分

??? ???? ?

???????????????????14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推 理论证以及分析问题、解决问题的能力. 21. (本小题满分 14 分)

f ? ) 已知函数 (x) a x ? x2 ? x ln a ? b?(a, b ? R, a ? 1 , e 是自然对数的底数.
( f (1)试判断函数 (x) 在区间 0, ? ?) 上的单调性; ( f (2)当 a ? e , b ? 4 时,求整数 k 的值,使得函数 (x) 在区间 k , k ? 1) 上存在零点;

f ?f |? (3)若存在 x1 , x2 ?[?1, 1],使得 | (x1) (x2) e ? 1 ,试求 a 的取值范围.
解: (1) f ?( x) ? a ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a ?1)ln a
x x x

…………………………1 分

由于 a ? 1 ,故当 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0, a ?1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 ,…………2 分 故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 . …………………………………………3 分 (2) f ( x) ? e ? x ? x ? 4 ,? f ( x) ? e ? 2x ?1 ,
x 2 ' x

? f ?(0) ? 0 ,
x

……………………………………4 分

当 x ? 0 时, e ? 1 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 是 (0, ??) 上的增函数; 同理, f ( x) 是 ( ??, 0) 上的减函数. …………………………………5 分

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f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? e ? 4 ? 0, f (2) ? e2 ? 2 ? 0 ,当 x ? 2 , f ( x) ? 0 ,
故当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 的零点在 (1, 2) 内,? k ? 1 满足条件;

1 1 f (0) ? ?3 ? 0, f (?1) ? ? 2 ? 0, f (?2) ? 2 ? 2 ? 0 ,当 x ? ?2 , f ( x) ? 0 , e e
故当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 的零点在 (?2, ?1) 内,? k ? ?2 满足条件. 综上所述

k ? 1 或 ?2 .
x 2

………………………………………7 分

(3) f ( x) ? a ? x ? x ln a ? b , 因 为 存 在 x1 , x2 ?[?1,1] , 使 得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ?1 , 所 以 当 x ?[?1,1] 时 ,

| f ( x m a x? f ( x )m i n | f (x )m ?x f (x )m i n ? ) ? ? e a f ?( x) ? a x ln a ? 2x ? ln a ? 2x ? (a x ?1)ln a ,

…………………………8 分 1

①当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ;
x x ②当 x ? 0 时,由 a ? 1 ,可知 a ? 1 ? 0 , ln a ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ;

③当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 [?1,0] 上递减,在 [0,1] 上递增,…………………………………11 分 ∴当 x ?[?1,1] 时, f ( x)min ? f (0) ? 1 ? b, f ( x)max ? max ? f (?1), f (1)? , 而 f (1) ? f (?1) ? (a ? 1 ? ln a ? b) ? ( ? 1 ? ln a ? b) ? a ? 设 g (t ) ? t ? ? 2 ln t (t ? 0) ,因为 g ?(t ) ? 1 ? 号) , ∴ g (t ) ? t ? ? 2 ln t 在 t ? (0, ??) 上单调递增,而 g (1) ? 0 , ∴当 t ? 1 时, g (t ) ? 0 , ∴当 a ? 1 时, a ? ∴ f (1) ? f (?1) ,
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1 a

1 ? 2 ln a , a

1 t

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (当 t ? 1 时取等 2 t t t

1 t

1 ? 2 ln a ? 0 , a

∴ f (1) ? f (0) ? e ? 1 , ∴ a ? ln a ? e ? 1 ,即 a ? ln a ? e ? ln e , 设 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) ,则

h?( a ) ? 1 ?

1 a ?1 ? ? 0. a a

∴函数 h(a) ? a ? ln a(a ? 1) 在 (1, ??) 上为增函数, ∴a ? e. 即 a 的取值范围是 ? e, ?? ? ……………………………………14 分 【说明】 本小题主要考查函数、 导数、 不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、 不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化 归与转化思想.

命题: 李志敏、程武军、许世清

审题:魏显峰

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