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2016年高中数学 第一章 算法初步 1.1.2第2课时循环结构学案 新人教A版必修3

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第 2 课时 循环结构

1.问题导航 (1)什么是循环结构、循环体? (2)循环结构可细分为哪两类?它们有什么相同点和不同点? (3)什么情况下,可以使用循环结构? (4)循环结构与条件结构有什么关系? 2.例题导读 通过对例 6 的学习,学会当算法过程中包含重复存在的步骤时,可以用循环结构表示, 同时学会循环结构的两类表示:一类是当型循环结构,另一类是直到型循环结构; 通过对例 7 的学习,学会按照“确定循环体”“初始化变量”“设定循环控制条件”的 顺序来构造循环结构.

1.循环结构的概念及相关内容 (1)循环结构:按照一定的条件反复执行某些步骤的情况. (2)循环体:反复执行的步骤. 2.循环结构的分类及特征 名称 直到型循环 当型循环

结构

特征

先执行循环体,后判断条件,若 先判断条件,若条件满足,则执 条件不满足,就继续执行循环体, 行循环体,否则终止循环. 直到条件满足时终止循环.

1.判断下列各题.(对的打“√”,错的打“×”) (1)程序框图中的循环可以是无尽的循环;( ) (2)循环结构是在一些算法中从某处开始按照一定条件,反复执行某一处理步骤,故循环 结构中一定包含条件结构;( ) (3)循环结构中不一定包含条件结构.( ) 解析:程序框图中的循环,必须是有限循环;循环结构一定包含条件结构. 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.下面的框图是循环结构的是( )

-1-

A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析:选 C.由循环结构的特点知③④是循环结构,其中①是顺序结构,②是条件结构. 3.运行如图所示的程序框图,输出的结果为________.

解析:n=1;S=1+0=1,n=2;S=3,n=3;S=6,n=4;S=10,n=5;S=15,n= 6;S=21,n=7;S=28,n=8. 答案:28 4.举例说明循环结构适用哪些常见的计算? 解:循环结构主要用在一些有规律的重复计算中,如累加求和,累乘求积等问题.

1.算法的基本逻辑结构有三种,即顺序结构、条件结构和循环结构.其中顺序结构是最 简单的结构,也是最基本的结构,循环结构必然包含条件结构,所以这三种基本逻辑结构是 相互支撑的,它们共同构成了算法的基本结构,无论怎样复杂的逻辑结构,都可以通过这三 种结构来表达. 2.两种循环结构的相同点:从两种不同形式的循环结构可以看出,循环结构中一定包含 条件结构,用于确定何时终止执行循环体. 3.如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有相 同的规律,就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量),应用于循环结构.在循环结 构中,要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量等,特别要求条件的表述要恰 当、精确.

循环结构程序框图的设计 设计一个算法,求 1 +2 +?+99 +100 的值,并画出程序框图. (链接教材 P13 例 6) [解] 算法如下:
3 3 3 3

-2-

第一步,使 S=0. 第二步,使 I=1. 3 第三步,使 S=S+I . 第四步,使 I=I+1. 第五步,若 I≤100,则返回第三步;否则,输出 S,算法结束. 程序框图如图所示.

方法归纳 (1)如果算法问题中涉及的运算进行了多次重复的操作,且先后参与运算的数之间有相同 的变化规律,就可以利用循环结构设计算法解决. (2)本题易错点是初始值与计数变量的取值;在循环结构中,要注意根据条件设计合理的 计数变量、累加变量和累乘变量等,条件的表述一定要恰当、精确,累加变量的初始值一般 取 0,而累乘变量的初始值一般取 1.

1.(1)如图所示程序框图输出的结果是(

)

A.8 B.9 C.10 D.11 解析:选 D.当 i=11 时,不满足条件即输出. (2)设计求 1×2×3×4×?×2 015 的程序框图. 解:程序框图如图所示:

-3-

利用循环结构求满足条件的数值 1 1 1 1 求满足 1+ + + +?+ >2 的最小正整数 n,写出算法,并画出程序框图. 2 3 4 n [解] 算法如下:第一步,S=0; 第二步,i=1; 1 第三步,S=S+ ;

i

第四步,i=i+1; 第五步,若 S>2,则输出 i-1,否则返回第三步,循环结束. 程序框图如图所示:

[互动探究] 要怎样变化?

1 1 若将本例中的 改为 2,其他条件与结论都不变,那么,算法与程序框图需

n

n

1 1 解:算法与程序框图中,都将“S=S+ ”改为“S=S+ 2” .

i

i

方法归纳 求满足条件的最值问题的实质及注意事项: (1)实质:利用计算机的快速运算功能,对所有满足条件的变量逐一测试,直到产生第一 个(不)满足条件的值时结束循环. (2)注意事项:

-4-

①要明确数字的结构特征,决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数. ②要注意要统计的数出现的次数与循环次数的区别. ③要特别注意判断框中循环变量的取值限制,是“>”“<”还是“≥”“≤”,它们的 意义是不同的.

2.(1)某程序框图如图所示,则该程序的算法功能是________.

解析:由程序框图可知,输出的 i 是满足 1×3×5×7×?×n>50 000 的最小正整数 n. 答案:求满足 1×3×5×7×?×n>50 000 的最小正整数 n (2)已知 1+2+3+4+?+i≤200,画出求 i 的最大值的程序框图. 解:程序框图如图所示.

循环结构的实际应用 某工厂 2014 年生产小轿车 200 万辆,技术革新后预计每年的生产能力比上一年增 加 5%,问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过 300 万辆?写出解决该问题的一个算法,并 画出相应的程序框图. [解] 算法如下: 第一步,令 n=0,a=200,r=0.05; 第二步,T=ar(计算年增量);

-5-

第三步,a=a+T(计算年产量); 第四步,如果 a≤300,那么 n=n+1,返回第二步;否则执行第五步; 第五步,N=2014+n; 第六步,输出 N. 程序框图如图所示:

方法归纳 (1)在解决实际问题时,关键是读懂题目,建立合适的模型,找到问题的计算公式.例如 n 本题中 T=200(1+5%) .然后再去设计算法,画出程序框图. (2)设计一个程序框图算法的一般步骤: ①用自然语言表述算法步骤; ②确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框图表示,得到表示该步骤 的程序框图; ③将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序 框图.

3.(1)小红今年 12 岁,她父亲比她大 25 岁,设计程序框图,计算出几年后她父亲比她 的年龄大一倍,那时他们两人的年龄各是多少? 解:程序框图如图所示.

-6-

(2)某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下列问题: ①写出该城市人口数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; ②用流程图表示如下算法:计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人. x 解:①y=100(1+1.2%) ; ②程序框图如图:

易错警示
4 4 4

忽视初始值以及循环终止条件致误
4

画出求 S=1 +2 +3 +?+10 的程序框图. [解] 程序框图如图所示:

-7-

[错因与防范] (1)本题易出现累加和 S 的初始值为 1,循环终止条件为 i<10 的错误. (2)循环结构中对循环次数的控制非常关键,它直接影响着运算的结果. (3)控制循环次数要引入循环变量,其取值如何限制,要弄清两个问题:一是需要运算的 次数;二是循环结构的形式,是“当型”还是“直到型” .

4.(1)(2014·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为(

)

A.10 B.17 C.19 D.36 解析:选 C.开始 s=0,k=2; 第一次循环 s=2,k=3; 第二次循环 s=5,k=5; 第三次循环 s=10,k=9; 第四次循环 s=19,k=17, 不满足条件,退出循环,输出 s=19.故选 C. (2)给出 30 个数:1,2,4,7,?,其规律是:第 1 个数是 1,第 2 个数比第 1 个数大 1, 第 3 个数比第 2 个数大 2,第 4 个数比第 3 个数大 3,以此类推,要计算这 30 个数的和,现 已给出了该问题算法的程序框图(如图所示),请在图中判断框①处和执行框②处填上合适的 语句,使之能完成该题算法功能.

解:该算法使用了当型循环结构.因为是求 30 个数的和,故循环体应执行 30 次,其中 i 是计数变量.因此判断框内的条件应该用来限制计数变量 i,故应填写 i≤30?.算法中的变 量 p 表示参与求和的各个数,由于它也是变化的,且满足第 i 个数比其前一个数大 i-1,第 i+1 个数比其前一个数大 i,故应有 p=p+i. 即:①处应填 i≤30?;②处应填 p=p+i.

-8-

1.如图所示的程序框图中,语句“S=S×n”将被执行的次数是(

)

A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选 B.由程序框图知: S=1×2×3×?×n. 又 1×2×3×4×5=120<200, 1×2×3×4×5×6=720>200. 故语句“S=S×n”被执行了 5 次. 2.如图所示的程序框图表示的算法功能是(

)

A.计算小于 100 的奇数的连乘积 B.计算从 1 开始的连续奇数的连乘积 C.从 1 开始的连续奇数的连乘积,当乘积大于或等于 100 时,计算奇数的个数 D.计算 1×3×5×?×n≥100 时的最小的 n 值 解析:选 D.这是一个直到型循环结构,S=1×3×5×?,判断条件是 S≥100?,输出的 是 i,所以表示的是 S=1×3×5×?×n≥100 时的最小的 n 值,故选 D. 3.如图所示的程序框图的输出结果为-18,那么在判断框中①表示的条件应该是( )

-9-

A.i≥9? B.i≥8? C.i≥7? D.i≥6? 解析:选 A.当 S=6,i=1 时,m=-2×1+6=4,S=6+4=10; 当 i=2 时,m=-2×2+6=2,S=10+2=12; 当 i=3 时,m=-2×3+6=0,S=0+12=12; 当 i=4 时,m=-2×4+6=-2,S=-2+12=10; 当 i=5 时,m=-2×5+6=-4,S=-4+10=6; 当 i=6 时,m=-2×6+6=-6,S=-6+6=0; 当 i=7 时,m=-2×7+6=-8,S=-8+0=-8; 当 i=8 时,m=-2×8+6=-10,S=-10-8=-18. 故判断条件为:i≥9?,故选 A. 4.(2014·高考江苏卷)如图是一个算法流程图,则输出的 n 的值是________.

解析:由算法流程图可知: n 第一次循环:n=1,2 =2<20,不满足要求,进入下一次循环; n 第二次循环:n=2,2 =4<20,不满足要求,进入下一次循环; n 第三次循环:n=3,2 =8<20,不满足要求,进入下一次循环; n 第四次循环:n=4,2 =16<20,不满足要求,进入下一次循环; n 第五次循环:n=5,2 =32>20,满足要求,输出 n=5. 答案:5

1.一个完整的程序框图至少包含( A.起止框和输入、输出框

[A.基础达标] )

- 10 -

B.起止框和处理框 C.起止框和判断框 D.起止框、处理框和输入、输出框 解析:选 A.一个完整的程序框图至少包括起止框和输入、输出框,故 选 A. 2.(2015·安徽巢湖检测)如图所示是一个循环结构的算法,下列说法 不正确的是( ) A.①是循环变量初始化,循环就要开始 B.②为循环体 C.③是判断是否继续循环的终止条件 D.①可以省略不写 解析:选 D.①为循环变量初始化,必须先赋值才能有效控制循环,不 可省略.故选 D. 3.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选 C.框图执行如下:k=0,S=1;S=1,k=1;S=2,k=2;S=8,k=3.所以输 出 S 的值为 8. 4.(2014·高考安徽卷)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.34 B.55 C.78 D.89 解析:选 B.当输入 x=1,y=1,执行 z=x+y 及 z≤50,x=y,y=z 后, x,y,z 的值依次对应如下: x=1,y=1,z=2; x=1,y=2,z=3;

- 11 -

x=2,y=3,z=5; x=3,y=5,z=8; x=5,y=8,z=13; x=8,y=13,z=21; x=13,y=21,z=34; x=21,y=34,z=55.
由于 55≤50 不成立,故输出 55.故选 B. 5.执行如图所示的程序框图,若 m=5,则输出的结果为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析:选 B.由程序框图可知,k=0,P=1. 0 第一次循环:因为 k=0<5,所以 P=1×3 =1,k=0+1=1. 1 第二次循环:因为 k=1<5,所以 P=1×3 =3,k=1+1=2. 2 3 第三次循环:因为 k=2<5,所以 P=3×3 =3 ,k=2+1=3. 3 3 6 第四次循环:因为 k=3<5,所以 P=3 ×3 =3 ,k=3+1=4. 6 4 10 第五次循环:因为 k=4<5,所以 P=3 ×3 =3 ,k=4+1=5. 10 此时满足判断框内的条件,输出结果为 z=log9 3 =5.故选 B.

6.(2014·高考天津卷)阅读如图所示的框图,运行相应的程序,输出 S 的值为________. 3 解析:S=0,n=3,S=0+(-2) =-8, n=3-1=2≤1 不成立; 2 故 S=-8+(-2) =-4, n=2-1=1≤1 成立. 故输出 S 的值为-4. 答案:-4 7 .(2015·临沂调研 ) 如果执行如图所示的程序框图,输入 x = 4.5 ,则输出的数 i = ________.

- 12 -

解析:第一次执行循环体时,i=1,x=3.5; 第二次执行循环体时,i=2,x=2.5; 第三次执行循环体时,i=3,x=1.5; 第四次执行循环体时,i=4,x=0.5<1. 输出 i=4,结束. 答案:4 8 .执行如图所示的程序框图,若输出的 a 值大于 2 015 ,那么判断框内的条件应为 ________.

解析:第一次循环:k=1,a=1,满足条件,所以 a=4×1+3=7,k=1+1=2. SGKS87 第二次循环:a=7<2 015,故继续循环,所以 a=4×7+3=31,k=2+1=3. 第三次循环:a=31<2 015,故继续循环,所以 a=4×31+3=127,k=3+1=4. 第四次循环:a=127<2 015,故继续循环,所以 a=4×127+3=511,k=4+1=5. 第五次循环:k=511<2 015,故继续循环,所以 a=4×511+3=2 047,k=5+1=6. 由于 a=2 047>2 015,故不符合条件,输出 a 值.所以判断框内的条件是“k≤5?”. 答案:k≤5? 2 2 2 2 9.设计一个算法,求表达式 1 +2 +3 +?+10 的值,并画出程序框图. 解:算法如下: 第一步,令 S=0,i=1. 第二步,判断 i 是否小于或等于 10,若是,则执行第三步;若否,则输出 S. 2 第三步,令 S=S+i ,并令 i=i+1,然后返回第二步. 程序框图如图:

- 13 -

10.有一列数 1,1,2,3,5,8,?,其规律是从第 3 个数开始,后一个数等于前两个 数的和,画出计算这列数前 20 个数的和的程序框图. 解:程序框图如图所示:

[B.能力提升] 1.(2014·高考北京卷)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

)

A.1 B.3 C.7 D.15 0 1 2 解析:选 C.S=2 +2 +2 =7. 2.(2014·高考福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应 程序,输出的 n 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4



- 14 -

解析:选 B.当 n=1 时,2 >1 满足条件,继续循环得 n=2,2 >2 不成立,不满足条件, 所以输出 n=2. 3.(2014·高考湖北卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 9, 则输出 S 的值为________.

1

2

2

2

解析:由题意,程序运行如下: k=1<9,S=21+1=3,k=2<9;S=3+22+2=9,k=3<9; S=9+23+3=20,k=4<9;S=20+24+4=40,k=5<9; S=40+25+5=77,k=6<9;S=77+26+6=147,k=7<9; S=147+27+7=282,k=8<9;S=282+28+8=546,k=9≤9; S=546+29+9=1 067,k=10>9,输出 S=1 067,程序结束. 答案:1 067 4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的 结果为________. 解析:i=1,S=0. 1 第一次循环:S=0+lg =-lg 3>-1,继续循环,i=3; 3 3 第二次循环:S=-lg 3+lg =-lg 5>-1,继续循环,i=5; 5 5 第三次循环:S=-lg 5+lg =-lg 7>-1,继续循环,i=7; 7 7 第四次循环:S=-lg 7+lg =-lg 9>-1,继续循环,i=9; 9 第五次循环:S=-lg 9+lg 答案:9 1 1 1 1 5.画出计算 1+ + + +?+ 的值的一个程序框图. 3 5 7 2 015 解:相加各数的分子都是 1,而分母是有规律递增的,每次增加 2,引入变量 S 表示和, 1 计数变量 i,i 的值每次增加 2,则每次循环都有 S=S+ ,i=i+2,这样反复进行. 9 =-lg 11<-1,结束循环,输出 i=9. 11

i

- 15 -

程序框图如图所示:

6.(选做题)设计一个求满足 10<x <1 000 的所有正整数 x 的值的程序框图. 2 解:可以从最小的正整数 1 开始进行判断,判断是否满足 10<x <1 000.若满足,则输出 x 2 的值;若不满足,则对 1 进行累加后再进行判断,依次下去,直到 x ≥1 000 为止,结束程序. 程序框图如图所示:

2

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