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江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座4——立体几何二轮复习建议

时间:2019-05-29

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立体几何二轮复习建议

《课程标准》中的“立体几何初步”主要是培养和发展学生的空间想象能力与几何直观

能力,《考试说明》也明确指出要“重视数学基本能力和综合能力的考查”,“数学基本能力

主要包括空间想象,抽象概括,推理论证,计算求解,数据处理这几方面的能力”,因此,

立体几何历年都是高考重点内容之一.2011 年各地高考,多数是一大一小两道立体几何题,

有的是一大两小,江苏卷是正题和附加题各一道大题.最近五年江苏高考中的立体几何题的

基本情况如下表:

2011 年 2010 年 2009 年 2008 年 2007 年

填空题


8.类比正三角形面积 判断正四面体体积. 12.线面关系四个命 题正确命题序号.

4.线面关系四个命题 正确命题的序号(选 择题). 14.正三棱锥底面顶 点到侧面的距离.

解答题

附加题

16.条件:四棱锥,面面垂直, 22.条件:正四棱柱,

中点.

二面角.

结论:(1)线面平行;

结论:(1)求线段 AM 长;

(2) 面面垂直.

(2) 求线段 CM 长.

16.条件:四棱锥(底面是直

角梯形),线面垂直. 结论:(1)线线垂直;



(2)点到面的距离.

16.条件:直三棱柱,线线垂

直,中点. 无
结论:(1)线面平行;

(2) 面面垂直.

16.条件:四面体,线线垂直, 22.P 是正方体的对角

中点. 结论:(1)线面平行; (2) 面面垂直.

线 BD1 上一点,记DD11BP =λ .当∠APC 为钝角 时,求λ 的取值范围.

18.条件:正方体. 结论:(1)四点共面; (2)线面垂直; (3)求二面角正切值.

小题主要考查空间概念,空间想象能力,点线面位置关系判断等,难度中等(偶有中等

偏上);大题除 07 年外,都是 2 问,是以一个多面体为载体,重点考查平行与垂直的证明,

难度中等,或中等偏下.但是,学生考试情况并没有想象的那么好,比较突出的问题有:空

间想象能力不强,不能正确地分析图形中基本元素及其关系;推理论证能力不强(比如:有

的学生判定定理与性质定理不熟悉,有的学生平面几何应用水平低,有的学生不知道正方体、

直棱柱等几何体中哪些结论可以作为推理的依据哪些要经过证明);书写不规范等.

2012 年,我们应该做好应对一个填空题一个解答题的准备,二轮复习中既要巩固基本

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题型和基本方法,又要提高空间想象能力和推理论证能力,有条件的要适当训练非标准图形 的识别、平面图形的翻折等,适当改变解答题问的形式(落脚点还是平行与垂直),提高应变 能力.在理科附加题中,要更加熟练地运用空间向量证明平行与垂直、计算空间的角,包括 规范地建立空间直角坐标系,分清向量夹角与异面直线所成角、线面角、二面角.

基本题型一:空间几何体的认识及表面积与体积的计算(填空题)

例 1.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7,这个正四棱锥的侧面积是



说明:本题主要考查正四棱锥的结构特征、空间几何体侧面积的计算方法,属容易题.

例 2.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3 ,则

棱锥 O—ABCD 的体积为



说明:本题主要考查球的几何特征以及相应的运算.球与其它几何体的组合问题,对空

间想象能力要求较高,解决的关键是确定球心.

基本策略:涉及柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题,要在正确

理解概念的基础上,画出符合题意的图形或辅助线(面),分析几何体的结构特征,选择合适 的计算公式,另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用.

基本题型二:空间中点线面位置关系的判断(填空题)

例 3.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题:

(1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β;

(2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行;

(3)设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直;

(4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直.

上面命题中,真.命.题.的序号是

.(写出所有真命题的序号)

说明:这类题为高考常考题型,其实质为多项选择题.主要考查空间中线面之间的位置

关系,要求熟悉有关公理、定理及推论,并具备较好的空间想象能力,做到不漏选、多选、

错选,有一定难度.

例 4.α、β 为两个互相垂直的平面,a、b 为一对异面直线,下列四个条件中是 a⊥b 的

充分条件的有



① a//α,b ? β;②a⊥α,b//β;③a⊥α,b⊥β;

④a//α,b//β 且 a 与 α 的距离等于 b 与 β 的距离.

说明:与例 3 一样,本题主要考查空间线面之间的位置关系,特别是判断平行与垂直的

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常用方法. 基本策略:正确转换符号语言、图形语言与文字语言;构造并利用具体模型(比如长方
体),直观感知,操作确认;熟练运用 4 条公理、3 条推论和 10 条定理来判断空间位置关系, 通过证明或举反例来确定命题的真假.注意不要把平面几何结论简单类比到空间.

基本题型三:线线、线面、面面平行与垂直的证明(解答题)

例 5.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D.
(1) 求证:AD⊥平面 BB1C1C; (2)如果 E 是边 B1C1 的中点,求证:A1E∥平面 ADC1. 说明:这是《必修 2》62 页第 17 题,考查正三棱柱

A1 B1

中的线面垂直和线面平行,实际上,还可以证明平面 A

A1EB∥平面 ADC1,平面 ADC1⊥平面 BB1C1C 等.

B

C1 E
C D

09 年江苏卷第 16 题:

A1

如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、 A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.
求证:(1)EF∥平面 ABC;

(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

A

F E

C1 D B1
C

B
例 6.如图,四棱锥 P?ABCD 的底面是矩形,且 AB= 2BC ,E、F 分别是棱 AB、PC 的
中点.
P
(1) 求证:EF∥平面 PAD;

(2)若点 P 在平面 ABCD 内的正投影 O 在直线
F
AC 上,求证:平面 PAC⊥平面 PDE.

说明:第(1)问方法较多,比较容易想到的有: ①取 PD 中点,构造平行四边形,证明线线平行; ②延长 CE 与 DA 相交,利用三角形中位性质证明线 A

D
O E

C B

线平行;

③取 CD 中点,证明面面平行.

第(2)问中有关平面几何结论,一定要按照初中平面几何的要求,严格论证,不跳步.

例 7.如图,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC=2,F 为 CE 上的点,且 BF⊥

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平面 ACE.

(1)求证:AE⊥BE;

(2)求三棱锥 D-AEC 的体积;

D

C

(3)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线

段 CE 上确定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

说明:以多面体为载体,考查线线、线面、面面平行

F

与垂直的判定与性质,是高考的常见题型.此类题既可以 A
考查几何体的概念和性质,又能考查空间的线面关系,还

M

B

有可以结合一些简单的运算,比较全面地考查学生的能

E

力.本题中非常规放置的几何体及探究式的第 3 问,增加

了难度.

基本策略:证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系,一要熟练掌

握所有判定定理与性质定理,梳理好几种位置关系的常见证明方法,如证明线面平行,既可

以构造线线平行,也可以构造面面平行.而证明线线平行常用的是三角形中位线性质,或构

造平行四边形;二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路;三要注意表述规范,推

理严谨,避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论.有条件时,可以适当涉及一些

简单的计算,或是添加探究性的小问,或是在图形上作一点变化,但一定要控制难度,且最

终的落脚点一定是平行与垂直.

11 年三模第 16 题:

如图,在矩形 ABCD 中,AD=2,AB=4,E、F 分别是边 AB、AD 的中点,现将△ADE

沿 DE 折起,得四棱锥 A?BCDE.

(1) 求证:EF∥平面 ABC; (2) 若平面 ADE⊥平面 BCDE,求四面体 FDCE 的体积.

A

E

B

F

A

F

E

B

D

C

D

C

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基本题型四:运用空间向量证明与计算(理科附加题)

例 8.如图,在四棱锥 P?ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD?平面 ABCD,且 PD

=DC,E 是 PC 的中点,F 是 PB 上一点,且 EF?PB. P

(1) 求证:PA∥平面 EDB;

F

(2) 求证:PB⊥平面 EFD;

(3) 求二面角 C?PB?D 的余弦值大小.

E

说明:立体几何所讨论的问题主要有两类:一类 C

B

是位置关系,判断线线、线面、面面平行或垂直关系;

另一类是度量关系,求长度和角度.运用向量的方法 D

A

是讨论这两类问题的通性通法.在本例中,可以利用

几何体中的两两垂直的三条直线合理建立空间直角坐标系,用坐标表示有关向量,运用“算”

的方法证明空间中的平行与垂直、计算二面角大小,也可以不建系,选三个不共线的向量组

成基底,用来表示其它向量,再用“算”的方法证明平行与垂直、计算二面角大小.

例 9.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的 E
平面互相垂直,AB= 2,AF=1.
(1)求二面角 A—DF—B 的大小; C
(2)在线段 AC 上找一点 P,使 PF 与 AD 所成的角
为 600. D
说明:本类题主要考查寻找三条两两垂直的三条直

F B
A

线合理建立空间直角坐标系,通过向量计算解决空间中的夹角问题(包括线线角、线面角与

二面角)的能力,是高考的常见题型.

基本策略:空间向量的基础知识可以类比于《必修 4》中平面向量的相关知识进行整理

与记忆;通过建立适当的坐标系,用向量来表示点,刻画直线和平面的“方向”;理解用向

量判定空间位置关系、求角的原理,并掌握一般解题步骤,其中,线线角、线面角与二面角

是本类题型中的重点考查对象,应加强训练.此外,在计算平面的法向量、探究点的位置等

问题中,要善于运用“待定系数法”合理设出坐标,寻找满足条件的方程(组)来解决问题.

二轮专题与课时建议:

第一课时 第二课时

专题 空间几何体及其表面 积与体积 空间中点线面之间的

内容说明 多面体与旋转体、直观图、表面积和体积 以小题训练为主,有条件时,训练一点展开与折叠 点、线、面之间的位置关系,线线、线面、面面平

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第三课时

位置关系 空间向量与立体几何

行与垂直的定义、判定和性质,平行与垂直的证明 与探究 以大题训练为主(强调书写规范),有条件时,采 用板演和面批的方法,有针对地解决问题 空间向量的概念及运算、应用(判定平行与垂直、 计算空间的角) 以大题训练为主,抓满分率

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