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2008数学理科答案解析 辽宁卷

时间:2015-07-23


2008 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学 答案解析
一、选择题 1.已知集合 M ? x ? ? x | A. M

? ?

x?3 ? ? 0?,N ? ? x | x ≤ ?3? ,则集合 ?x | x ≥1? =( x ?1 ?
C. ?R (M



N

B. M

N

N)

D. ?R (M

N)

【答案】C 【解析】 本小题主要考查集合的相关运算知识。 依题, ∴ M ? N ? {x | x ? 1} ,?R (M 2. lim

N) ?
)

1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) 等于( n ?? n(2n ? 1)
1 4
B.

A.

1 2

C. 1

D. 2

【答案】B 【 解 析 】 本 小 题 主 要 考 查 对 数 列 极 限 的 求 解 。 依 题

1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1) n2 1 lim ? lim 2 ? . n ?? n ?? n(2n ? 1) 2n ? n 2
3.圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是(
2 2

)

A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) 【答案】C

B. k ? (??, ? 2) D. k ? (??, ? 3)

( 2, ??) ( 3, ??)

【解析】本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公
2 2

共点 ? d ?

2 1? k 2

? 1 ? k ? (? 3,3).

4.复数

1 1 ? 的虚部是( ) ?2 ? i 1 ? 2i 1 1 1 1 A. i B. C. ? i D. ? 5 5 5 5 1 1 1 1 ? ? ? ? i. ∴ ?2 ? i 1 ? 2i 5 5

【答案】B 【解析】本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念。依题:

虚部为 .

1 5

5.已知 O, A, B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C ,满足 2 AC ? CB ? 0 ,则 OC 等于 ( ) A. 2OA ? OB B. ?OA ? 2OB C.

2 1 OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

1 3

2 OB 3

【答案】A 【解析】本小题主要考查平面向量的基本定理。 依题 OC ? OB ? BC ? OB ? 2 AC ? OB ? 2(OC ? OA). ∴ OC ? 2OA ? OB.

6. 设 P 为曲线 C : y ? x 2 ? 2 x ? 3 上的点 , 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围是

[0, ] ,则点 P 横坐标的取值范围是( ) 4 1 A. [ ?1, ? ] B. [?1, 0] C. [0,1] 2
【答案】A

?

D. [ ,1]

1 2

【解析】 本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。 依题设切点 P 的横坐标为 x0 , 且 y ' ? 2 x0 ? 2 ? tan ? ( ? 为点 P 处切线的倾斜角) ,又∵ ? ? [0, ∴ x0 ? [ ?1, ? ]. 7.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的 数字之和为奇数的概率为( ) A.

?
4

] ,∴ 0 ? 2 x0 ? 2 ? 1,

1 2

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【答案】C 【解析】 本小题主要考查等可能事件概率求解问题。 依题要使取出的 2 张卡片上的数字之和 为奇数, 则取出的 2 张卡片上的数字必须一奇一偶, ∴取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数
1 1 C2 ? C2 4 2 的概率 P ? ? ? . 2 C3 6 3

8.将函数 y ? 2 ? 1 的图象按向量 a 平移得到函数 y ? 2
x

x ?1

的图象,则 a 等于(

)

A. (?1, ?1) 【答案】A

B. (1, ?1)

C. (1,1)

D. (?1,1)

【解析】本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数 y ? 2 ? 1 的图象
x

得到函数 y ? 2x?1 的图象,需将函数 y ? 2x ? 1 的图象向左平移 1 个单位,向下平移 1 个单 位;故 a ? (?1 , ?1). 9.生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲乙丙等 6 名工人中安排 4 人分别 照看一道工序,第一道工序只能从甲乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲丙两工人中 安排 1 人,则不同的安排方案有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.72 种 【答案】B 【解析】本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成,则第四道工序必由
2 丙来完成,故完成方案共有 A4 ? 12 种;若第一道工序由乙来完成,则第四道工序必由甲、 1 2 丙 二 人 之 一 来 完 成 , 故 完 成 方 案 共 有 A2 ? A4 ? 24 种 ; ∴ 则 不 同 的 安 排 方 案 共 有 2 1 2 A4 ? A2 ? A4 ? 36 种。

10.已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点 (0, 2) 的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( A. ) C. 5 D.

17 2

B. 3

9 2

【答案】A 【解析】 本小题主要考查抛物线的定义解题。 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P ' ,抛物线的 焦点为 F ,则 F ( , 0) ,依抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为 | PP ' |?| PF | ,则点 P 到 点

1 2

A( 0 , 的 2 距 ) 离 与 P

到 该 抛 物 线 准 线 的 距 离 之 和

1 17 d ?| PF | ? | PA |?| AF |? ( )2 ? 22 ? . 2 2
11. 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , E , F 分别为棱 AA1 , CC1 的中点 , 则在空间中与三条直 线 A1D1 , EF , CD 都相交的直线( )

A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 【答案】D 【解析】本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题,考查 学生的空间想象能力。 在 EF 上任意取一点 M,直线 A1D1 与 M 确 定一个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N, 当 M 取不 同的位置就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直

线 MN 与这 3 条异面直线都有交点的.如右图: 12.设 f ( x ) 是连续的偶函数 ,且当 x ? 0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x ) ? f ( 有 x 之和为( ) A. ?3 B. 3 【答案】C C. ?8

x?3 ) 的所 x?4

D. 8

【解析】本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。依题当满足 f ( x ) ? f (

x?3 2 时 , 得 x ? 3x ? 3? 0, 此 时 x1 ? x2 ? ?3. 又 f ( x ) 是 连 续 的 偶 函 数 , ∴ x?4 x?3 x?3 2 f (? x) ? f ( ) ,即 ? x ? f (? x) ? f ( x,∴另一种情形是 ) ,得 x ? 5 x ? 3 ? 0 , x?4 x?4 x?3 ) 的所有 x 之和为 ?3 ? (?5) ? ?8. ∴ x3 ? x4 ? ?5. ∴满足 f ( x ) ? f ( x?4 x?

x?3 ) 时,即 x?4

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
二、填空题 13.函数 y ? ?

? x ? 1, x ? 0 的反函数是____________________. x ? e , x …0 ? x ? 1,x ? 1, ?ln x, x ≥1.

【答案】 y ? ?

【解析】 本小题主要考查求反函数基本知识。 求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求 解以及反函数的定义域问题。 14. 在体积为 4 3? 的球的表面上有 A, B, C 三点 , AB ? 1, BC ? 2, A, C 两点的球面距离



3 ? ,则球心到平面 ABC 的距离为______________. 3
3 2

【答案】

【解析】本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为 R ,则

4 3 C 两点对球心张角为 ? , V ? ? R 3 ? 4 3? ,∴ R ? 3. 设 A 、 C ? R ? ? 3? ? ?, 则A 3 3
∴? ?

?
3

,∴ AC ? 3 ,∴ AC 为 ABC 所在平面的小圆的直径,∴ ?ABC ? 90 ,设 ABC 所 ABC 的 距 离 为

在 平 面 的 小 圆 圆 心 为 O' , 则 球 心 到 平 面

d ? O 'O ? R2 ? BO ' ?2 3 ? (

3 3 ) ? 2. 2 2

15.已知 (1 ? x ? x )( x ?
2

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N * , 2 剟n 3 x

8 ,则 n ? ______.

【答案】5 【解析】本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。依题 ( x ?

1 n ) 对 n ? N * , 2 剟n x3
2

8

中,只有 n ? 5 时,其展开式既不出现常数项,也不会出现与 x 、 x 乘积为常数的项。

? x? 16. 已知 f ( x) ? sin(
14 3

?

最大值,则 ? ? __________. 【答案】

)( ? ? 0), f ( ) ? f ( ) , 且 f ( x ) 在区间 ( , ) 有最小值 , 无 3 6 3 6 3

?

?

? ?

【解析】本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。依题

f ( x) ? sin(? x ? ) (? ? 0), f ( ) ? f ( ) 且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值,无最大值,∴ 3 6 3 6 3

?

?

?

? ?

? ? ? , ) 为 f ( x) 的一个半周期的子区间,且知 f ( x) 的图像关于 x ? 6 3 ? 对称, 6 3 2 4 ? ? 3? 14 , k ? Z ,取 K ? 0 得 ? ? . ∴ ? ? ? ? 2 k? ? 4 3 2 3
区间 ( 三、解答题 17.在 △ ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c .已知 c ? 2, C ? ⑴若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; ⑵若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 说明:本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函 数有关知识的能力.满分 12 分. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

?

?

?

?
3

.

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ?ab ? 4,
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ab sin C ? 2 3

18.某批发市场对某种商品的周销售量(单位:吨)进行统计,最近 100 周的统计结果如下表所 示: 周销售量 频数 2 20 3 50 4 30

⑴根据上面统计结果,求周销售量分别为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率; ⑵已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两周销售利润的和(单位:千元),若 以上述频率作为概率,且各周的销售量相互独立,求 ? 的分布列和数学期望. 说明:本小题主要考查频率、概率、数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题 的能力.满分 12 分. 【解析】 (Ⅰ)周销售量为 2 吨,3 吨和 4 吨的频率分别为 0.2,0.5 和 0.3. · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ) ? 的可能值为 8,10,12,14,16,且 P( ? =8)=0.22=0.04, P( ? =10)=2× 0.2× 0.5=0.2, P( ? =12)=0.52+2× 0.2× 0.3=0.37, P( ? =14)=2× 0.5× 0.3=0.3, P( ? =16)=0.32=0.09.

? 的分布列为 ?
P 8 0.04 10 0.2 12 0.37 14 0.3 16 0.09

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

E? =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4(千元) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

19. 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A?B?C ?D? 中 , AP ? BQ ? b (0 ? b ? 1) , 截 面

? D PQEF∥ A ,截面 PQGH ∥ AD? .
H

D?
G

C?
B?

A?

P

Q

⑴证明:平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直; ⑵证明:截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 定值,并求出这个值; ⑶若 D?E 与平面 PQEF 所成的角为 45 ,求 D?E 与平面 PQGH 所成角的正弦值. 说明:本小题主要考查空间中的线面关系,面面关系,解三角形等基础知识,考查空间想象 能力与逻辑思维能力。满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)证明:在正方体中, AD? ? A?D , AD ? ? AB ,又由已知可得

PF ∥ A?D , PH ∥ AD? , PQ ∥ AB ,
所以 PH ? PF , PH ? PQ , 所以 PH ? 平面 PQEF . 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知

D?
H A? P A N D F G B? QM B E

C?

C

PF ? 2 AP,PH ? 2PA? ,又截面 PQEF 和截面 PQGH 都是矩形,且 PQ=1,所以截面
PQEF 和截面 PQGH 面积之和是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ( 2 AP ? 2PA?) ? PQ ? 2 ,是定值. · (III)解:连结 BC′交 EQ 于点 M. 因为 PH ∥ AD? , PQ ∥ AB , 所以平面 ABC ?D? 和平面 PQGH 互相平行,因此 D?E 与平面 PQGH 所成角与 D?E 与平面 ABC ?D? 所成角相等. 与(Ⅰ)同理可证 EQ⊥平面 PQGH,可知 EM⊥平面 ABC ?D ? ,因此 EM 与 D?E 的比值就 是所求的正弦值. 设 AD ? 交 PF 于点 N,连结 EN,由 FD ? 1 ? b 知

D?E ? (1 ? b)2 ? 2,ND? ?

2 2 ? (1 ? b) . 2 2

因为 AD ? ⊥平面 PQEF,又已知 D?E 与平面 PQEF 成 45 角, 所以 D?E ?

2 ND? ,即

? 2 ? 2 2? ? (1 ? b) ? ? (1 ? b) 2 ? 2 , 2 ? 2 ?

解得 b ?

1 ,可知 E 为 BC 中点. 2
3 2 2 ,又 D?E ? (1 ? b) ? 2 ? , 2 4

所以 EM=

故 D?E 与平面 PQCH 所成角的正弦值为

EM 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? D?E 6

解法二: 以 D 为原点,射线 DA,DC,DD′分别为 x,y,z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 D-xyz 由已知得 DF ? 1 ? b ,故

A(1, 0, 0) , A?(1, 0, 1) , D(0, 0, 0) , D?(0, 0, 1) ,
z

P(1, 0,b) , Q(11 , ,b) , E (1 ? b, 1, 0) , F (1 ? b, 0, 0) , G(b, 11) , , H (b, 0, 1) .
(Ⅰ)证明:在所建立的坐标系中,可得 H A? P A x

D?
G B?

C?

PQ ? (01 , ,, 0) PF ? (?b, 0, ? b) , PH ? (b ?1 , 01 , ? b) , AD? ? (?1 , 01) ,, A?D ? (?1 , 0, ?1) .

D F

Q C B E y

因为 AD? PQ ? 0, AD? PF ? 0 ,所以 AD? 是平面 PQEF 的法向量. 因为 A?D PQ ? 0, A?D PH ? 0 ,所以 A?D 是平面 PQGH 的法向量. 因为 AD? A?D ? 0 ,所以 A?D ? AD? , 所以平面 PQEF 和平面 PQGH 互相垂直. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

EF ? PQ ,又 P (Ⅱ)证明:因为 EF ? (0, ?1 , 0) ,所以 EF ∥ PQ, F ?P Q ,所以 PQEF
为矩形,同理 PQGH 为矩形. 在所建立的坐标系中可求得 PH ? 所以 PH ? PF ?

2(1 ? b) , PF ? 2b ,

2 ,又 PQ ? 1 ,

所以截面 PQEF 和截面 PQGH 面积之和为 2 ,是定值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 (Ⅲ)解:由已知得 D?E 与 AD? 成 45 角,又 D?E ? (1 ? b, 1 , ?1), AD? ? (?1 , 01) , 可得

D?E AD? ? D?E AD?


b?2 2 (1 ? b)2 ? 2

?

2 , 2

2?b (1 ? b)2 ? 2
?1 ?2

? 1 ,解得 b ?
? ?

1 . 2

所以 D?E ? ? , 1, ? 1? ,又 A?D ? (?10 , , ?1) ,所以 D?E 与平面 PQGH 所成角的正弦值为

1 ? ?1 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 | cos ? D?E, A?D ?|? 2 ? 3 6 ? 2 2
20.在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3),(0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为 C , 直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点. ⑴写出 C 的方程; ⑵若 OA ? OB ,求 k 的值; ⑶若点 A 在第一象限,证明:当 k ? 0 时,恒有 OA ? OB . 说明: 本小题主要考查平面向量, 椭圆的定义、 标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识, 考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分 12 分. 【解析】 (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长半 轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. · 故曲线 C 的方程为 x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 k ?4 k ?4
2

若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? ? ?1 ? 0 , k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2
2 2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?
2 2

(Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 )
2 2

2 2 ? ( x12 ? x2 ) ? 4(1 ? x12 ?1? x2 )

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )
? 6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4 3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4
2

因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,
2 2

即在题设条件下,恒有 OA ? OB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

21.在数列 ?an ? ,?bn ? 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列. ⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 ?an ? ,?bn ? 的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明:

1 1 ? ? a1 ? b1 a2 ? b2

?

1 5 ? . an ? bn 12

说明:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运 用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分 12 分. 【解析】
2 (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 ,an ?1 ? bnbn?1

由此可得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 . · 猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
2

用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,

那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 故

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ?? ? ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?

综上,原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 22.设函数 f ( x) ?

ln x ? ln x ? ln( x ? 1) . 1? x

⑴求 f ( x ) 的单调区间和极值; ⑵是否存在实数 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) …a 的解集为 (0, ??) ?若存在,求 a 的取值范 围;若不存在,试说明理由. 说明:本小题主要考查函数的导数,单调性,极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学 知识分析问题、解决问题的能力.满分 14 分. 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ln x 1 1 ln x ? ? ? ?? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 x(1 ? x) (1 ? x) x x ?1 (1 ? x)2

1) 时, f ?( x) ? 0 , 故当 x ? (0, x ? (1,∞ ? ) 时, f ?( x) ? 0 .

1) 单调递增,在 (1,∞ ? ) 单调递减. · 所以 f ( x ) 在 (0, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
? ) 的极大值为 f (1) ? ln 2 ,没有极小值.· 由此知 f ( x ) 在 (0,∞ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
(Ⅱ) (ⅰ)当 a ≤ 0 时,

由于 f ( x) ?

(1 ? x) ln(1 ? x) ? x ln x ln(1 ? x) ? x ? ln(1 ? x) ? ln x ? ? ? 0, 1? x 1? x

? ).· 故关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞ · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分
(ⅱ)当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 正整数,且有
n n 1? a 1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ln ?1 ? n ? ? ? n ? e 2 ? 1 ? n ? ? log 2 (e 2 ? 1) . · 2 ? 2 ? 2

ln x ln 2n 1? ? 1? ? ? ln ? 1? ? 知 f (2n ) ? ? ln ?1 ? n ? ,其中 n 为 n 1? x 1? 2 ? x? ? 2 ?

又 n ≥ 2 时,

ln 2n n ln 2 n ln 2 2 ln 2 ? ? ? . n n n(n ? 1) n ? 1 1 ? 2 1 ? (1 ? 1) 2



2 ln 2 a 4 ln 2 ? ?n? ? 1. n ?1 2 n
n 2

取整数 n0 满足 n0 ? ? log2 (e ? 1) , n0 ?

4 ln 2 ? 1 ,且 n0 ≥ 2 , a

则 f (2 0 ) ?
n

n0 ln 2 1 ? ? ln ?1 ? n0 n0 1? 2 ? 2

? a a ? ? ? ? a, ? 2 2

? ). 即当 a ? 0 时,关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集不是 (0,∞ ? ) ,且 a 的取 综合(ⅰ) (ⅱ)知,存在 a ,使得关于 x 的不等式 f ( x) ≥ a 的解集为 (0,∞
值范围为 ? ?∞, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 0? . ·


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