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高中数学 4.2.3直线与圆的方程的应用课件 新人教A版必修2

时间:2012-11-12


第四章

圆与方程

第二节 直线、圆的位置关系 直线与圆的方程的应用

1.掌握直线方程?圆的方程,进一步提高知识运用能力.

2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.

在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能 力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法 解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:

建立适当的直角坐标系 第一步:______________________,用坐标和方程表示问题
中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题. 代数运算 第二步:通过__________,解决代数问题. 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论. 数形结合思想 注意:______________方法的灵活运用.

1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)

第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一般坐标原
点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适 当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将 几何问题转化为代数问题. 第二步:用代数运算解决代数问题. 第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 2.要灵活运用数形结合的思想方法.

对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.

题型一 数形结合思想方法的应用 例1:(1)方程 y ? 9 ? x 2 表示的曲线是什么?

(2)若方程
解:(1)

9 ? x2 ? x ? b 有解,求实数b的取值范围.

y ? 9 ? x 2 等价于x2+y2=9(y≥0),



y ? 9 ? x2

表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x

轴上方的半圆(包括两个端点).

(2)方程 9 ? x2 ? x ? b 有解,即半圆 y ? 9 ? x 2 与直线
y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3≤b≤3

2时,方程

9 ? x2 ? x ? b 有解.

x y 变式训练1 若直线 a ? b ? 1 与圆x2+y2=1有公共点,则(

)

A.a2+b2≤1
C. 1 1 ? 2 ≤1 2 a b

B.a2+b2≥1
D. 1 1 ? 2 ≥1 2 a b

答案:D

题型二 用坐标法求圆的方程
? 例2:如下图所示,点M是弓形弧 OMA 的中点,弦|OA|=8,弓 形的高为2 m,求此弧所在圆的方程.

分析:只需要求圆心坐标及半径即可.

解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,
那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2. 由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上

解得:b=-3,r2=25.

所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角

坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建
立的坐标系不同,所求得的方程不同.

变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点
P分别作圆O1,圆O2的切线PM?PN(M,N分别为切点),使得
PM ? 2PN

,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直

角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

由已知 PM ? 2PN , 因为圆的半径为1,所以: PO21-1=2(PO22-1),

得PM2=2PN2,

设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

题型三 与圆有关的综合问题 例3:已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO内

切圆上一点,求以|PA|?|PB|?|PO|为直径的三个圆面积之
和的最大值与最小值. 分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值. 由于P是△ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从 △ABO内切圆的方程入手.

解:如下图,建立直角坐标系,使A?B?O三点的坐标分别为 A(4,0)?B(0,3)?O(0,0).

易求得△ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).

故内切圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=1. 化简为x2+y2-2x-2y+1=0,① 设P(x,y),则 |PA|2+|PB|2+|PO|2 =(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2 =3x2+3y2-8x-6y+25.②

由①可知x2+y2-2y=2x-1, 将其代入②有 |PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25 =-2x+22.

∵x∈[0,2],故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18,
三个圆面积之和为
| PA | 2 | PB | 2 | PO | 2 ? ) ??( ) ??( ) ? (| PA |2 ? | PB |2 ? 2 2 2 4 | PO |2 ). 11? , 最小值为 9? . ∴所求面积的最大值为 2 2

?(

规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问

题,将几何问题转化为代数问题.

变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的 台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是 半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40 km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

解:如图所示:

以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐 标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所

对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置
x y 坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为 ? ? 1, 7 4

即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离
d? | 28 | 42 ? 7 2 ? 28 ? 3, 而 65

r=3,∴d>r,∴直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.

易错探究
例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的 位置关系.

得4x-3y-4=0,即

y?

4x ? 4 . 3

代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10x+1=0.

∵Δ=100-4×25=0,
∴两圆只有一个公共点,故两圆相切.

错因分析:两圆方程联立,Δ=0说明两圆只有一个公共点,此时 两圆有可能外切,也有可能内切. 正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为 (x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,

∴两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4),
半径r1=1,r2=4. ∴圆心距|C1C2|= (3 ? 1) 2 ? (?4 ? 1) 2 =5=r1+r2.∴两圆相外切.

技能演练 基础强化 1.已知直线ax-by+c=0(abc≠0),与圆x2+y2=1相切,则三条边

长分别为|a|,|b|,|c|的三角形(
A.是锐角三角形 C.是钝角三角形 解析:直线与圆相切,则 ∴a2+b2=c2. 答案:B
d?

)
B.是直角三角形 D.不存在
|c|

a ?b
2

2

? 1.

2.已知点A?B分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-5)2=9上,则 A?B两点之间的最短距离为( )

A.2 5 C.2 5 ? 4

B.2 5 ? 2 D.2

解析:两圆心之间的距离为 (2 ? 0)2 ? (5 ? 1) 2 ? 2 5 ? 4 ? r1 ? r2 , ∴两圆相离,∴A、B两点之间的最短距离为 2 5 ? 4. 答案:C

3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是(

)

A.都是两个点
B.一条直线和一个圆 C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆 D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆

解析:x(x2+y2-1)=0

x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线 ?
2 2 2 2

x=0和一个圆x2+y2=1; x2-(x2+y2-1)2=0

?(x+x +y -1)(x-x -y +1)=0,
1 2 5 4

∴x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0, 即 ( x ? )2 ? y 2 ? 或( x ? )2 ? y 2 ? ,
1 2 5 4

它表示两个圆.因此,选C.
答案:C

4.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限, 则该直线的方程是(
A. y ? 3x C. y ? 3 x 3

)
B. y ? ? 3x D. y ? ? 3 x 3

解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(2,0)到直线y=kx的距离为1, ∴
| ?2k | k 2 ?1 ? 1.? k ? ? 3 . 3
k? 3 . 3

又∵切点在第三象限,∴
答案:C

5. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P?Q两点,且
∠POQ=120°(其中O为原点),则k的值为(
A. ? 3或 3 C. ? 2或 2
| 0 ? 0 ? 1| 1 ? ,? k ? ? 3 2 k 2 ?1

)

B. 3 D. 2
1 2

解析:∵∠POQ=120°,∴点O到直线y=kx+1的距离 d ? , 又 d?

答案:A

6. 圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是
(x-1)2+(y-1)2=2 ___________________.
|1 ? 1 ? 4 | ? 2 2

解析:半径

r?

则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

7.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为

?2 5或0 _____________________.
解析:当两圆内切时有
当两圆外切时,有
42 ? a2 =4,∴a=0.
42 ? a 2 ? 6, ∴a=± 2 5.

8.与圆x2+y2=4切于点

x ? 3y ? 4 ? 0 P(?1, 的切线方程为__________. 3)

解析:圆心(0,0), kOP ? ? 3,
3 , 又切点为 (?1, 3 ∴切线方程为 y ? 3 ? 3 ( x ? 1), 3

∴切线的斜率 k ?

3),

即 x ? 3 y ? 4 ? 0.

能力提升 9.已知圆C:(x-2)2+y2=2. (1)求与圆C相切,且在x轴?y轴上截距相等的直线方程; (2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点, 且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.

解:(1)设横?纵截距相等的切线方程为 kx-y=0,与x+y+c=0,则 与
|2?c| ? 2, 2
| 2k | 1? k
2

? 2,

解得k=±1,c=-4或c=0.

故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0. (2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得
[( x ? 2) 2 ? y 2 ] ? 2 ? x 2 ? y 2 ,
1 , 要使|PM|最小,即要使|PO|最 2
1

化简得点P的轨迹为直线 x ?
小,过O作直线
x? 1 2

的垂线.∴垂足 P( 2 , 0) 是所要求的点.

10.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,
y (1)求 x

的最值;

(2)求y-x的最值; (3)求x2+y2的最值. 解:(1)∵圆的标准方程为(x-2)2+y2=3,其圆心为(2,0),半径为
3. 设
| 2k ? 0 | k ?1
2

y ? k, x

即y=kx.

当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值和最小值.此时
, ? 3,

解得k=± 3.
3, 最小值为 ? 3.



y 的最大值为 x

(2)设y-x=b,即y=x+b.当y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最
|2 大值和最小值,此时 ? 0 ? b | ? , 2 3,

即b=-2± 6. ∴y-x的最大值为 ?2 ? 6, 最小值为-2- 6.
(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识 可知,它在过原点的连心线与圆的交点处取得最大值和最 小值.又圆心到原点的距离为2, ∴x2+y2的最大值为 (2 ? 3)2 ? 7 ? 4 3, 最小值为
(2 ? 3)2 ? 7 ? 4 3.

品味高考 11. 直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A?B两点,则 |AB|=________. 2 3 解析:圆心到该直线的距离 d ?
5 ? 5. 5

∴弦长= 2 (2 2) 2 ? ( 5) 2 ? 2 3.

11.(2010·四川理14)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A?B

2 3 两点,则|AB|=________.
解析:圆心到该直线的距离 ∴弦长=
5 d? ? 5. 5

2 (2 2) 2 ? ( 5) 2 ? 2 3.

12. 已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过点A且与圆O相切的
25 直线与坐标轴围成的三角形面积等于________. 4

解析:依题意过点A(1,2)作圆的切线方程为x+2y=5,在x轴上 的截距为5,在y轴上的截距为, 积? 1 ? 5 ? 5 ? 25 . S 2 2 4
5 2

切线与坐标轴围成的面


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