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高中不等式的基本性质知识点

时间:2019-04-22

高中不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点

1.不等式的定义:a-b>0

a>b, a-b=0

a=b, a-b<0

a<b。

①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。 它是本章的基础, 也是证明不等 式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景, 来认识作差法比大小的理论基础是 不等式的性质。 作差后,为判断差的符号,需要分解因式,以便使用实数运算的符号法则。 如证明 y=x3 为单增函数,

设 x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2,f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[(x1+

)2

+

x22]

再由(x1+

)2+

x22>0, x1-x2<0,可得 f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。

2.不等式的性质: ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有: (1) a>b b<a (对称性) a>c (传递性)

(2) a>b, b>c (3) a>b

a+c>b+c (c∈R) ac>bc ac<bc。

(4) c>0 时,a>b c<0 时,a>b

运算性质有: (1) a>b, c>d a+c>b+d。 ac>bd。

(2) a>b>0, c>d>0 (3) a>b>0

an>bn (n∈N, n>1)。

(4) a>b>0

>

(n∈N, n>1)。

应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“ ”和“ ”即推出关系和等价 关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系 列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题: (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。


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