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江苏省南师附中2012届高考数学模拟卷(十)(最后一卷)试题

时间:2012-06-01


2012 届高三模拟考试试卷(十) (南师附中) 数
2012.5 参考公式: 1 锥体的体积公式为 V= Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 2 1. 设集合 U=R,集合 M={x|x -x≥0},则?UM=______________. 2. 高三(1)班共有 48 人,学号依次为 1,2,3,?,48,现用系统抽样的方法抽取一 个容量为 4 的样本,已知学号 5,29,41 在样本中,那么还有一个同学的学号应为 ______________.



(满分 160 分,考试时间 120 分钟)

(第 4 题) 3. 已知 i 为虚数单位,?

?a+i?=2,则正实数 a=________________. ? ? i ?

1 4. 执行右图所示的算法流程图,若输出的结果为 ,则输入的 x 为________________. 2 5. 在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y=- 3x 上,且 x>0,则 sinα =____________. 6. 从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为 a,从集合{2,3,4}中随机选取一 个数记为 b,则 b>a 的概率是__________. ?x-2y+2≥0, 7. 已知向量 a=(x-z, b=(2, 1), y-z), a⊥b.若 x, 满足不等式组?x+2y-2≥0, 且 y

?

?x≤2, ?

则 z 的取值范围是______________. x 2 -a 8. “a=1”是“函数 f(x)= x 在其定义域上为奇函数”的____________条件.(填 2 +a “充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

(第 9 题) 9. 已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120°,底面圆的半径为 1, 则该圆锥的体积为__________. 2 2 x y 10. 已知 F 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,B1B2 是双曲线的虚轴,M 是 a b → → OB1 的中点, F、 的直线交双曲线 C 于 A, =2MA, 过 M 且FM 则双曲线 C 离心率是______________.
1

11. 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2 =b2 ,3a5 =b3 ,若存在常数 u,v 对任意正整数 n 都有 an =3logubn +v,则 u+v= ______________. ? 1 ? 3 12. 已知函数 f(x)=loga(x -ax)(a>0 且 a≠1),如果函数 f(x)在区间?- ,0?内单 ? 2 ? 调递增,那么 a 的取值范围是____________.

(第 13 题) 13. 如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E、F 在边长不小于 1 的正方形 ABCD 的四边上滑 动. E、 沿着正方形的四边滑动一周时, 的中点 M 所形成的轨道为 G.若 G 的周长为 l, 当 F EF 其围成的面积为 S,则 l-S 的最大值为____________. 2 a +2asinθ +2 14. 记 F(a,θ )= 2 ,对于任意实数 a、θ ,F(a,θ )的最大值与最小值 a +2acosθ +2 的和是__________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) ?π ? 已知函数 f(x)=Asin(x+φ )(A>0,0<φ <π ),x∈R 的图象有一个最高点? ,1?. 3 ? ? (1) 求 f(x)的解析式; 1 (2) 若 α 为锐角,且 f(α )= ,求 f(-α )的值. 3

16.(本小题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直.EF∥BD,AB= 2EF.求证: (1) BF∥平面 ACE; (2) BF⊥BD.

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB.现欲在弧 AB 上取不同于 A、B 的点 C,用渔网沿着弧 AC(弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上)、半径 OC 和线段 CD(其中 CD∥OA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若 OA π =1 km,∠AOB= ,∠AOC=θ . 3 (1) 用 θ 表示 CD 的长度; (2) 求所需渔网长度(即图中弧 AC、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

3

18. (本小题满分 16 分) x y 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 C: + =1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 16 15 (1) 求抛物线 D 的方程; (2) 过椭圆 C 右顶点 A 的直线 l 交抛物线 D 于 M、N 两点. ① 若直线 l 的斜率为 1,求 MN 的长; ② 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 MA 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值?如果存在, 求出 m 的方程;如果不存在,说明理由.
2 2

4

19. (本小题满分 16 分) 2 已知函数 f(x)=mx -x+lnx. (1) 当 m=-1 时,求 f(x)的最大值; (2) 若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D, 使得该函数在区间 D 上为减函数, m 的取 求 值范围; (3) 当 m>0 时,若曲线 C:y=f(x)在点 x=1 处的切线 l 与 C 有且只有一个公共点, 求 m 的值.

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20. (本小题满分 16 分) 如果无穷数列{an}满足下列条件:①
*

an+an+2 ≤an+1;② 存在实数 M,使得 an≤M,其中 2

n∈N ,那么我们称数列{an}为Ω 数列. n (1) 设数列{bn}的通项为 bn=5n-2 ,且是Ω 数列,求 M 的取值范围; 1 7 (2) 设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= ,证明:数列{Sn} 4 4 是Ω 数列; (3) 设数列{dn}是各项均为正整数的Ω 数列,求证:dn≤dn+1.

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2012 届高三模拟考试试卷(十) 数学附加题(满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.若多 做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修 41:几何证明选讲) 从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD.从 A 点作弦 AE 平行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F.求证:BE 平分 CD.

B. (选修 42:矩阵与变换) ?a 3? ? 1? 已知二阶矩阵 A=? ?,矩阵 A 属于特征值 λ 1=-1 的一个特征向量为 α 1=? ?. ?c 1? ?-1? (1) 求矩阵 A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量; ?-1? 4 (2) 若向量 m=? ?,求 A m. ?-4?

C. (选修 44:坐标系与参数方程) π? ? 在极坐标系中,点 A?2 2,- ?,圆 O1:ρ =4cosθ +4sinθ . 4? ? (1) 将圆 O1 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 判断点 A 与圆 O1 的位置关系.

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D. (选修 45:不等式选讲) 1 1 x y 已知 a,b,x,y 均为正数,且 > ,x>y.求证: > . a b x+a y+b

【必做题】 第 22、23 题,每小题 10 分,共 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤. 22. 文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项.已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 7 人,现从文娱队中选 2 人,设 X 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(X>0)= . 10 (1) 求文娱队的总人数; (2) 计算 E(X).

23.已知 fn(x)=(1+ x) ,n∈N . 2 (1) 若 g(x)=f4(x)+2f5(x)+3f6(x),求 g(x)中含 x 项的系数; (2) 若 pn 是 fn(x)展开式中所有无理项的系数和,数列{an}是各项都大于 1 的数组成的 数列,试用数学归纳法证明:pn(a1a2?an+1)≥(1+a1)(1+a2)?(1+an).

n

*

8

2012 届高三模拟考试试卷(十)(南师附中) 数学参考答案及评分标准 1. (0,1) 9. 2 2π 3 5π 14. 4 4 π ?π ? 15. 解:(1) 由题意,A=1,sin? +φ ?=1,又 0<φ <π ,所以 φ = , 6 ?3 ? ? π? 所以 f(x)=sin?x+ ?.(6 分) 6? ? π? 1 1 π ? π? ? ? π? (2) 由题意,sin?α + ?= < ,又 α ∈?0, ?,所以 α + ∈?0, ?, 6? 3 2 2? 6? 6 ? ? ? 10. 11. 6 13. π? 2 2 ? 所以 cos?α + ?= ,(10 分) 6? 3 ? π ?? π? π? π π ?π ? ? ? 所 以 f( - α ) = sin ?-α + ? = sin ? -?α + ?? = sin cos ?α + ? - cos 6 ?? 6? 6? 3 3 ? ? ?3 ? π? ? sin?α + ? 6? ? 3 2 2 1 1 2 6-1 × - × = .(14 分) 2 3 2 3 6 16. 证明:(1) AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO. = 5 2 2. 17 3. 3 4. -2 5. - 3 2 6. 2 5 7. 1 ≤z≤2 3 8. 充分不必要

?3 ? 12. ? ,1? ?4 ?

正方形 ABCD 中, 2BO=AB,又因为 AB= 2EF, ∴ BO=EF,又因为 EF∥BD,∴ EFBO 是平行四边形 ∴ BF∥EO,又∵ BF ?平面 ACE,EO ?平面 ACE, ∴ BF∥平面 ACE.(7 分) (2) 正方形 ABCD 中,AC⊥BD,又因为正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, BD ?平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 ACE=AC,∴ BD⊥平面 ACE,∵ EO ?平面 ACE ∴ BD⊥EO,∵ EO∥BF,∴ BF⊥BD.(14 分) π 17. 解:(1) 由 CD∥OA,∠AOB= ,∠AOC=θ ,得∠OCD=θ , 3 2π π ∠ODC= ,∠COD= -θ . 3 3 在△OCD 中,由正弦定理, 2 ?π ? ? π? 得 CD= sin? -θ ?,θ ∈?0, ?(6 分) 3? ?3 ? ? 3 (2) 设渔网的长度为 f(θ ).由(1)可知, 2 ?π ? f(θ )=θ +1+ sin? -θ ?.(8 分) ? 3 ?3

9

所以 f′(θ )=1-

2

π ?π ? ? π? ? π? cos? -θ ?,因为 θ ∈?0, ?,所以 -θ ∈?0, ?, 3? 3? 3 ?3 ? ? ? 3

3 π π π ?π ? 令 f′(θ )=0,得 cos? -θ ?= ,所以 -θ = ,所以 θ = . 3 6 6 ?3 ? 2 π? π π π? ?0, ? , θ ? ? ?6 3? 6? 6 ? ? ? f′(θ ) + 0 - f(θ ) ? 极大值 ?

? π +6+2 3? 所以 f(θ )∈?2, ?. 6 ? ? ? π +6+2 3? 故所需渔网长度的取值范围是?2, ?.(14 分) 6 ? ? 2 2 2 18. 解:(1) 由题意,可设抛物线方程为 y =2px(p>0).由 a -b =4-3=1,得 c=
1. ∴ 抛物线的焦点为(1,0),∴ p=2.∴ 抛物线 D 的方程为 y =4x.(4 分) (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2). ? ?y=x-4, 2 ① 直线 l 的方程为:y=x-4,联立? 2 整理得 x -12x+16=0. ? ?y =4x, 2 2 M(6-2 5,2-2 5),N(6+2 5,2+2 5),∴ MN= (x1-x2) -(y1-y2) = 4 10.(9 分) ?x1+4,y1?,过 M 作直线 x=a 的垂线,垂 ② 设存在直线 m:x=a 满足题意,则圆心 M? 2? ? 2 ? 2 2 2 足为 E,设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G.可得|EG| =|MG| -|ME| ,(11 分) 2 2 (x1-4) +y1 ?x1+4 ?2 2 2 2 -a? 即|EG| =|MA| -|ME| = -? 4 ? 2 ? 2 2 1 2 (x1-4) -(x1+4) 2 = y1+ +a(x1+4)-a 4 4 2 2 =x1-4x1+a(x1+4)-a =(a-3)x1+4a-a .(14 分) 2 当 a=3 时,|EG| =3,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 2 3. 因此存在直线 m:x=3 满足题意.(16 分) 2 19. 解:(1) 当 m=-1 时,f(x)=-x -x+lnx, 1 (2x-1)(x+1) 所以 f′(x)=-2x-1+ =- , x x 1 1 所以当 0<x< ,f′(x)>0,当 x> ,f′(x)<0, 2 2 1? 1 3 ? 因此当 x= 时,f(x)max=f? ?=- -ln2.(3 分) 2 4 ?2? 2 1 2mx -x+1 2 (2) f′(x)=2mx-1+ = ,即 2mx -x+1<0 在(0,+∞)上有解. x x ① m≤0 显然成立; 1 1 ② m>0 时,由于对称轴 x= >0,故Δ =1-8m>0 ? m< , 4m 8 1 综上,m< .(8 分) 8 (3) 因为 f(1)=m-1,f′(1)=2m, 所以切线方程为 y-m+1=2m(x-1),即 y=2mx-m-1, 2 从而方程 mx -x+lnx=2mx-m-1 在(0,+∞)上只有一解. 2 令 g(x)=mx -x+lnx-2mx+m+1,则
10
2

1 2mx -(2m+1)x+1 (2mx-1)(x-1) g′(x)=2mx-1-2m+ = = ,(10 分) x x x 1 所以 1° m= ,g′(x)≥0, 2 所以 y=g(x)在 x∈(0,+∞)单调递增,且 g(1)=0, 2 所以 mx -x+lnx=2mx-m-1 只有一解.(12 分) 1? 1 ? ?1 ? g′(x) 2° 0<m< , x∈(0, 1), g′(x)>0; ?1, ?, x∈ g′(x)<0; ? ,+∞?, x∈ 2 ? 2m? ?2m ? >0

2

?1? 由 g(1)=0 及函数单调性可知 g? ?<0, ?2m? 1 ? ? 1?? ? 1? 因为 g(x)=mx?x-?2+ ??+m+lnx+1,取 x=2+ ,则 g?2+ ?>0. m ? ? m?? ? m? ?1 ? 2 因此在? ,+∞?方程 mx -x+lnx=2mx-m-1 必有一解从而不符题意(14 分) ?2m ? 1? 1 ? ?1 ? 3° m> ,x∈?0, ?,g′(x)>0;x∈? ,1?,g′(x)<0;x∈(1,+∞),g′(x) 2m? 2 ? ?2m ?
>0 1? ? 2 同理在?0, ?方程 mx -x+lnx=2mx-m-1 必有一解,不符题意, ? 2m? 1 综上所述 m= .(16 分) 2 n 20. (1) 解:∵ bn+1-bn=5-2 ,∴ n≥3,bn+1-bn<0,故数列{bn}单调递减;(3 分) 当 n=1,2 时,bn+1-bn>0,即 b1<b2<b3, 则数列{bn}中的最大项是 b3=7,所以 M≥7.(4 分) 1 7 (2) 证明:∵ {cn}是各项正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= , 4 4 c3 c3 7 设其公比为 q>0,∴ 2+ +c3= .(6 分) q q 4 1 1 2 整理,得 6q -q-1=0,解得 q= ,q=- (舍去). 2 3 1 1 ∴ c1=1,cn= n-1,Sn=2- n=Sn+2,S<2.(8 分) 2 2 Sn+Sn+2 1 1 1 * 对任意的 n∈N ,有 =2- n- n+2<2- n=Sn+2,且 Sn<2, 2 2 2 2 故{Sn}是Ω 数列.(10 分) (3) 证明:假设存在正整数 k 使得 dk>dk+1 成立,有数列{dn}的各项均为正整数, dk+dk+2 可得 dk≥dk+1+1,即 dk+1≤dk-1.因为 ≤dk+1, 2 所以 dk+2≤2dk+1-dk≤2(dk-1)-dk=dk-2. 由 dk+2≤2dk+1-dk 及 dk>dk+1 得 dk+2<2dk+1-dk+1=dk+1,故 dk+2≤dk+1-1. dk+1+dk+3 因为 ≤dk+2,所以 dk+3≤2dk+2-dk+1≤2(dk+1-1)-dk+1=dk+1-2≤dk-3, 2 * 由此类推,可得 dk+m≤dk-m(m∈N ).(14 分) 又存在 M,使 dk≤M,∴ ? m>M,使 dk+m<0,这与数列{dn}的各项均为正数矛盾,所 * 以假设不成立,即对任意 n∈N ,都有 dk≤dk+1 成立.(16 分)

11

2012 届高三模拟考试试卷(十)(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 选修 41:几何证明选讲

证明:连结 OF、OP、OB. ∵ AE∥CD,∴ ∠PFB=∠AEB. ∵ PA,PB 是切线,∴ ∠POB=∠AEB. ∵ ∠PFB=∠POB,∴ O,F,B,P 四点共圆.(5 分) 又∵ ∠OBP=90°,∴ ∠OFP=90°,由垂径定理可知 CF=DF.(10 分) B. 选修 42:矩阵与变换 ?a 3?? 1? ? 1? 解:(1) 由题意,? ?? ?=-1×? ?, ?c 1??-1? ?-1? ?a=2, a-3? ?-1? ? ? ∴ ? ?=? ?,∴ ? ?c=2. ?c-1? ? 1 ? ? λ -2 -3? ? 特征方程? ?=(λ -2)(λ -1)-6=0,解得 λ =-1,4. ?-2 λ -1? ?3? 属于特征值 λ 2=4 的一个特征向量为 α 2=? ?.(5 分) ?2? ?-1? ? 1? ?3? (2) m=? ?=2? ?-? ?. ?-4? ?-1? ?2? 1? 4?3? 1? 3 ? 2? 3 ?-766? 4 4? 4? 4? ? 4? ? ∴ A m=2A ? ?-A ? ?=2(-1) ? ?-4 ? ?=? ?-4 ? ?=? ?.(10 分) ?-1? ?2? ?-1? ?2? ?-2? ?2? ?-514? C. 选修 44:坐标系与参数方程 解:(1) 圆 O1:ρ =4cosθ +4sinθ 2 2 2 ?ρ =4ρ cosθ +4ρ sinθ ? x +y =4x+4y.(5 分) π? ? (2) A?2 2,- ?? A(2,-2). 4? ? AO1= (2-2) +(-2-2) =4>2 2=R,点在圆外.(10 分) D. 选修 45:不等式选讲 x y x(y+b)-y(x+a) bx-ay 证明:∵ - = = , x+a y+b (x+a)(y+b) (x+a)(y+b) 又 b>a>0,x>y>0,∴ (x+a)(y+b)>0,bx>ay,即 bx-ay>0, x y x y ∴ - >0,即 > .(10 分) x+a y+b x+a y+b 2 C2n-7 7 22. 解:(1) 设总人数为 n 个,则 P(X>0)=1-P(X=0)=1- 2 = . Cn 10 ∵ 2n-7≥2,∴ n≥4.5. * ∵ 2<n<7,n∈N ? n=5,6,逐个代入,得 n=5.(5 分) 7 3 (2) P(X=0)=1-P(X>0)=1- = , 10 10 2 C2 1 P(X=2)= 2= , C5 10 1 3 6 3 P(X=1)=1- - = = , 10 10 10 5
12
2 2

3 1 3 4 E(X)=0× +2× +1× = .(10 分) 10 10 5 5 2 4 4 4 23. (1) 解:g(x)中含 x 项的系数为 C4+2C5+3C6=1+10+45=56.(3 分) n-1 (2) 证明:由题意,pn=2 .(5 分) ① 当 n=1 时,p1(a1+1)=a1+1,成立; ② 假设当 n=k 时,pk(a1a2?ak+1)≥(1+a1)(1+a2)?(1+ak)成立, 当 n=k+1 时, k-1 (1+a1)(1+a2)?(1+ak)(1+ak+1)≤2 (a1a2?ak+1)(1+ak+1) k-1 =2 (a1a2?akak+1+a1a2?ak+ak+1+1).(*) ∵ ak>1,a1a2?ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即 a1a2?akak+1+1≥a1a2?ak+ak+1, k 代入(*)式得(1+a1)(1+a2)?(1+ak)(1+ak+1)≤2 (a1a2?akak+1+1)成立. * 综合①②可知,pn(a1a2?an+1)≥(1+a1)(1+a2)?(1+an)对任意 n∈N 成立.(10 分)

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