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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高一上学期期末考

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2017-2018 学年度上学期期末考试 高一年级数学试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | ( x ? 1)(x ? 3) ? 0} ,则 M ? N ? ( ) A. (?1,3)
?

B. (?1,??)

C. (0,3)

D. [0,3)

2.倾斜角为 60 ,在 y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是( ) A. 3x ? y ?1 ? 0 D. 3x ? 3 y ?1 ? 0 3.函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 8 满足条件 f (?1) ? f (3) ,则 f ( 2) 的值( ) A. 5 B. 6 C. 8 D.与 a , b 值有关
?

B. 3x ? y ? 1 ? 0

C. 3x ? 3 y ?1 ? 0

4.正四棱锥底面正方形的边长为 4 ,高与斜高的夹角为 30 ,则该四棱锥的侧面积( ) A. 32 B. 48 C. 64 D.

32 3

5.直线 3x ? 3 y ? 4 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.位置关系不确定

6.下列命题中真命题的个数为( ) ①平行于同一平面的两直线平形;②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两直线平行;④垂直于同一平面的两平面垂直; A. 0 个 B. 1 个
3

C. 2 个

D. 3 个

7.一个容器装有细沙 acm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出, t min 后剩余 的细沙量为 y ? ae
?bt

(cm3 ) ,经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( )min ,

容器中的沙子只有开始时的八分之一. A. 8 B. 16 C. 24 D. 32

8.如图,网格纸上的小正方形边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体 积为( )

A. 5

B.

13 2

C. 7

D.

15 2

9.已知三点 A(1,3), B(4,2), C (1,?7) ,则 ?ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A. 10 B. 4 6 C. 5 D. 5

10.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑,若三棱锥 P ? ABC 为鳖 臑,PA ? 平面 ABC, PA ? 3, AB ? 4, AC ? 5 , 三棱锥 P ? ABC 的四个顶点都在球 O 的球面 上,则球 O 的表面积为( ) A. 17? B. 25? C. 34? D. 50?

11.已知函数 f ( x)(x ? R) 是奇函数且当 x ? (0,??) 时是减函数,若 f (1) ? 0 ,则函数

y ? f ( x 2 ? 2 | x |) 的零点共有( )
A. 4 个 B. 5 个 C. 6 个 D. 7 个

12.已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,若将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折叠为三棱锥

A ? BCD ,则在折叠过程中,不能出现( )
A. BD ? AC D. AB ? CD 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若直线 2 x ? my ? 2m ? 4 ? 0 与直线 m x ? 2 y ? m ? 2 ? 0 平行,则实数 m ? 14.已知幂函数 y ? (m2 ? 2m ? 2) xm 数 m 的值为 .
2

B.平面 ABD ? 平面 CBD

C. VA?CBD ?

2 3



?4m

的图象关于原点对称且与 x 轴、 y 轴均无交点,则整

15.已知圆 C : ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 和两点 A(0, m), B(0,?m)(m ? 0) ,若圆 C 上存在点 P , 使得 ?APB ? 90 ,则实数 m 的取值范围为
?



16.已知函数 f ( x) ?| loga | x ?1 || (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,且

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则

1 1 1 1 ? ? ? ? x1 x2 x3 x4



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知三个集合 A ? {x ? R | log3 ( x 2 ? 5x ? 9) ? 1}, B ? {x ? R | 2 x
2

?4

? 1},

C ? {x ? R | x 2 ? ax ? a 2 ?19 ? 0} .
(1)求 A ? B ; (2)已知 A ? C ? ?, B ? C ? ?,求实数 a 的取值范围. 18. 如图, 四棱锥 P ? ABCD , 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直, 底面 ABCD 是 ?ABC ? 60 的棱形, M 为 PC 的中点.
?

(1)求证: PC ? AD ; (2)求 VD ? MAC .
x ?x 19. 设函数 f ( x) ? (2k ?1)a ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )是定义域为 R 的奇函数.

(1)求 k 的值; (2)若 f (1) ? ? 值. 20. 已知两个定点 A(?4,0), B(?1,0) , 动点 P 满足 | PA |? 2 | PB | .设动点 P 的轨迹为曲线 E , 直线 l : y ? kx ? 4 . (1)求曲线 E 的轨迹方程;

5 ,不等式 f (3x ? t ) ? f (?2 x ? 1) ? 0 对 x ?[?1,1] 恒成立,求实数 t 的最小 6

(2)若 l 与曲线 E 交于不同的 C , D 两点,且 ?COD ? 90 ( O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜
?

率; (3)若 k ?

1 , Q 是直线 l 上的动点,过 Q 作曲线 E 的两条切线 QM , QN ,切点为 M , N ,探 2

究:直线 MN 是否过定点. 21. 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为棱形, ?PAD ? ?PAB, AC 交 BD 于 O .

(1)求证:平面 PAC ? 平面 PBD ; (2)延长 BC 至 G ,使 BC ? CG ,连结 PG, DG .试在棱 PA 上确定一点 E ,使 PG // 平面

BDE ,并求此时

AE 的值. EP

22. 设函数 f ( x) ? loga ( x ? 3a)( a ? 0 且 a ? 1 ) ,当点 P( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的点 时,点 Q( x ? 2a,? y) 是函数 y ? f ( x) 图象上的点. (1)写出函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)把 y ? f ( x) 的图象向左平移 a 个单位得到 y ? h( x) 的图象,函数

F ( x) ? ?[a ?h( x) ]2 ? 2a ?h( x) ,是否存在实数 m, n(m ? n) ,使函数 F ( x) 的定义域为 (m, n) ,
值域为 (m, n) .如果存在,求出 m, n 的值;如果不存在,说明理由; (3)若当 x ? [a ? 2, a ? 3] 时,恒有 | f ( x) ? g ( x) |? 1,试确定 a 的取值范围.

试卷答案 一、选择题 1-5:BACAB 二、填空题 13. ? 2 三、解答题 17.解: (1)? A ? {x ? R | x 2 ? 5x ? 9 ? 3} ? {2,3} . 14. ? 1 15. [1,3] 16. 2 6-10:CBCDC 11、12:DD

B ? {x ? R | x 2 ? 4 ? 0} ? {2,?2}
A ? B ? {2}
(2)? A ? C ? ?, B ? C ? ?,

? 2 ? C,?2 ? C,3 ? C

?C ? {x ? R | x 2 ? ax ? a 2 ?19 ? 0}
?a 2 ? 2a ? 15 ? 0 ? 2 ?a ? 2a ? 15 ? 0 ?a 2 ? 3a ? 10 ? 0 ?
? ?3? a ? 5 ? 即 ? ? 5 ? a ? 3 解得 ? 3 ? a ? ?2 . ?a ? 5或a ? ?2 ?
所以实数 a 的取值范围是 [?3,?2) . 18.解: (1)取 AD 中点 O 连接 OP, OC, AC , 依题意可知 ?PAD, ?ACD 均为正三角形,

?OC ? AD, OP ? AD
又 OC ? OP ? O, OC ? 平面 POC, OP ? 平面 POC

? AD ? 平面 POC
又 PC ? 平面 POC

? PC ? AD
(2)由(1)可知 OP ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD 平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD, OP ? 平面 PAD

? PO ? 平面 ABCD
即 OP 为三棱锥 P ? ACD 的高 又 ?PAD 是边长为 2 的正三角形,? PO ? 3 由 VP ? ACD ? 又 ?ADC ?

1 S ?ACD ? PO 3

3 2 ? 2 ? 3,?VP ? ADC ? 1 4

又 M 为 PC 的中点

1 1 ?VD ? MAC ? VM ? ADC ? VP ? ADC ? . 2 2
19.解: (1)? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,

? f (? x) ? ? f ( x) 对于任意的实数 x 恒成立,
即 (2k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 对于任意的实数 x 恒成立,

? k ? 1.

5 1 5 ,所以 a ? ? ? , 6 a 6 2 3 2 x 3 x 解得 a ? 或 a ? ? (舍去) ,故 f ( x) ? ( ) ? ( ) 3 2 3 2
x ?x (2)由(1)知 f ( x) ? a ? a ,因为 f (1) ? ?

任取 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,则

2 3 2 3 2 2 3 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ) x1 ? ( ) x1 ? [( ) x2 ? ( ) x2 ] ? [( ) x1 ? ( ) x2 ] ? [( ) x1 ? ( ) x2 ] 3 2 3 2 3 3 2 2 2 x 2 x 3 x 3 x 由指数函数的单调性知, ( ) 1 ? ( ) 2 , ( ) 1 ? ( ) 2 3 3 2 2

? f ( x1 ) ? f ( x2 )
故函数 f ( x) 是 R 上的减函数

? f (3x ? t ) ? f (?2 x ? 1) ? 0 ,由函数 f ( x) 为奇函数且单调递减,知 ? f (3x ? t ) ? f (2 x ? 1),3x ? t ? 2 x ? 1 ,

即 t ? x ? 1 在 [ ?1,1] 上恒成立 则 t ? 2 ,即实数 t 的最小值是 2 . 20.解: (1)设点 P 坐标为 ( x, y )
2 2 2 2 由 | PA |? 2 | PB | ,得: ( x ? 4) ? y ? 2 ( x ? 1) ? y

整理得:曲线的 E 轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 4 (2)依题意 d ?

|4| 1? k 2

? 2

?k ? ? 7
(3)由题意可知: O, Q, M , N 四点共圆且在以 OQ 为直径的圆上,设 Q (t , 其方程为 x( x ? t ) ? y ( y ?

1 t ? 4) , 2

1 t t ? 4) ? 0 ,即: x 2 ? tx ? y 2 ? ( ? 4) y ? 0 2 2

又 M , N 在曲线 E : x 2 ? y 2 ? 4 上,

t lMN ? tx ? ( ? 4) y ? 4 ? 0 2

y 1 ? ? y ?x ? ? 0 ? x ? 即 ( x ? )t ? 4( y ? 1) ? 0 ,由 ? 得? 2 2 , 2 ? ? ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?1 1 ? 直线 MN 过定点 ( ,?1) . 2
21.解: (1)? ?PAD ? ?PAB, AD ? AB

? ?PAD ? ?PAB ,得 PB ? PD ,

? O 为 BD 中点,? PO ? BD ,

? 底面 ABCD 为菱形,? AC ? BD,? AC ? PO ? O,? BD ? 平面 PAC ,
? BD ? 平面 PBD , ? 平面 PAC ? 平面 PBD .
(2)连接 AG 交 BD 于 M ,在 ?PAG 中,过 M 作 ME // PG 交 PA 于 E ,连接 ED 和 EB ,

? PG ? 平面 BDE, ME ? 平面 BDE,? PG // 平面 BDE

? AD // BG , BG ? 2 AD , ?ADM ~ ?BGM ? ? PG // ME ,? EA MA 1 AE 1 ? ? ,即 ? . EP MG 2 EP 2

AM AD 1 ? ? , GM BG 2

22.(1)解:设点 Q 的坐标为 ( x?, y?) , 则 x? ? x ? 2a, y? ? ? y ,即 x ? x? ? 2a, y ? ? y? .

? 点 P( x, y) 在函数 y ? loga ( x ? 3a) 图象上,
?? y? ? loga ( x? ? 2a ? 3a) ,即 y? ? log a
? g ( x) ? log a 1 x?a 1 x? ? a

(2) F ( x) ? ? x 2 ? 2 x( x ? 0) ,

? F ( x) ? (??,1],? (m, n) ? (??,1] ,故 n ? 1

?F (m) ? m ? F ( x) 在 (m, n) 上单调递增, ? ,即 m、n 为 F ( x) ? x 的两相异的非负的实数 ? F (n) ? n
即 ? x ? 2 x ? x ,解得 m ? 0, n ? 1
2

(3)函数 f ( x) ? g ( x) ? log a ( x ? 3a ) ? log a

1 x?a

由题意 x ? [a ? 2, a ? 3] ,则 (a ? 2) ? 3a ? ?2a ? 2 ? 0 , 又 a ? 0 ,且 a ? 1,? 0 ? a ? 1

| f ( x) ? g ( x) |?| log a ( x ? 3a) ? log a

1 |?| log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) | x?a

? | f ( x) ? g ( x) |? 1??1 ? loga ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) ? 1 ,
又 r ( x) ? x ? 4ax ? 3a 对称轴为 x ? 2a
2 2

? 0 ? a ? 1? a ? 2 ? 2a ,则 r ( x) ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 在 [a ? 2, a ? 3] 上为增函数,

? 函数 u( x) ? loga ( x2 ? 4ax ? 3a2 ) 在 [a ? 2, a ? 3] 上为减函数,
从而 [u( x)]max ? u(a ? 2) ? loga (4 ? 4a).[u( x)]min ? u(a ? 3) ? loga (9 ? 6a) 又 0 ? a ? 1 ,则 ?

?loga (9 ? 6a) ? ?1 ? loga (4 ? 4a) ? 1

?0 ? a ?

9 ? 57 . 12
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