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江苏省南京市2012届高三数学二轮复习讲座7——附加题归类分析及应对策略

时间:2019-05-29

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附加题归类分析及应对策略
一、附加题的两点共识
1.数学附加题的 40 分与 I 卷的 160 分对理科同学同等重要. 2.数学附加题得很高的分数不容易,但要得到基本分还是不困难的.原因:
(1)考试说明要求附加题部分易、中、难题的占分比例控制在 5:4:1 左右,即中低档题 占总分的 90%左右.
(2)考试时间仅有 30 分钟,因此运算量与思维量都会控制. (3)准确定位,合理取舍.

二、各模块归类分析及应对策略
附加题的知识内容比较多,根据江苏高考说明,考查选修系列 2 中的内容,主要有:曲 线方程与抛物线,空间向量与立体几何,复合函数的导数,数学归纳法,排列组合与二项式 定理,离散型随机变量的分布列、期望与方差,以及选修 4 系列中的《4-1 几何证明选讲》, 《4-2 矩阵与变换》,《4-4 坐标系与参数方程》,《4-5 不等式选讲》.

矩阵与 变换

2008 年 曲线与变换

坐标系与 参数方程
22 题 23 题

椭圆的参数方程 的应用
向量的夹角 组合恒等式证明

四年高考考查内容

2009 年

2010 年

2011 年

逆矩阵

矩阵与矩阵、矩阵 矩阵与矩阵、矩阵 与列向量的乘法 与列向量的乘法

参数方程化普通 极坐标方程化直角 参数方程化普通

方程

坐标方程

方程

直线与抛物线

概率

二面角的计算

概率与不等式

数学归纳法

组合计数

(一)矩阵与变换
考点一:二阶矩阵与平面列向量的乘法、二阶矩阵的乘法. 例 1(南京市 2008-2009 学年度第一学期期末调研)在直角坐标系中,已知△ABC 的顶点
坐标为 A(0,0),B(-1,2),C(0,3).求△ABC 在矩阵???01 -10???作用下变换所得到的图形的
面积.

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答案:S△A′B′C′=23.

变化 1:(2010 年江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,
1).设 k 为非零实数,矩阵 M=???0k 01???,N=???01 10???,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下
得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 的面积是△ABC 面积的 2 倍,求 k 的值.
答案:2 或-2.

变化 2:(2011 年江苏高考)已知矩阵 A=???12 答案:?=???-21???.

11???,向量?=???12???,求向量?,使得 A2?=?.

应对策略:熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则,注意不能将列向量写在二阶矩阵 左边;使用待定系数法过程中务必注意解方程或方程组的准确性,检验是一个好习惯.

考点二:二阶矩阵与平面变换
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A=???20 01???对应的变换作用下得到
曲线 F,求 F 的方程. 答案:x2+y2=1.

变化 1:(南京市 2009-2010 学年度第一学期期末调研测)求直线 2x+y-1=0 在矩阵???10

2 2

???

作用下变换得到的直线的方程.

答案:4x – 3y – 2 = 0. 说明:直线变换为直线,直接用两点变换相对简单.

应对策略:除了某些情形下使用点的变换代替曲线的变换外,应熟练掌握这类问题一般处理 步骤.例如已知曲线 C 的方程,求变换后的曲线 C1 的方程的过程分三步:1.利用矩阵与列 向量乘法将目标曲线 C1 上的任意一点(x,y)的坐标用源曲线上的对应点(x′,y′)的坐标表 示;2.用 x,y 反表示 x′,y′;3.将 x′,y′带回曲线 C 的方程,得到 x,y 的等式,该等式即 所求曲线 C1 的方程.
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变化 2:(南京市 2010 届第三次模拟)如果曲线 x2+4xy+3y2=1 在矩阵???b1
换得到曲线 x2-y2=1,求 a+b 的值. 答案:2. 说明:也可以通过特殊点的变换得到 a,b 的方程组.

1a???的作用下变

变化 3:已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于 x 轴的反射变换,再将所 得图形绕原点逆时针旋转 90°.
(1)分别求两次变换所对应的矩阵 M1,M2; (2)求点 C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标.
答案:(1)M1=??10 -01??,M2=??10 -01??;
(2)(1,2). 说明:可以依次计算两次变换下的对应点,也可以利用矩阵乘法将连续两次变换等效为一次 变换,应注意该变换对应的矩阵应该是第二次变换对应的矩阵左乘第一次变换对应的矩阵, 在本题中即 M2 M1,矩阵乘法是不满足交换律的.

考点三: 逆矩阵

例 3(2009 年江苏高考)求矩阵 A=???23 12???的逆矩阵.

答案:A-1=??-1 ?2

-23???



说明:方法一,根据 A A-1=E,利用待定系数法求解;方法二:直接利用公式计算.

应对策略:待定系数法,运算量比较大,直接利用公式计算简便,但公式不能出错,另外为

了防止缺少解题过程之嫌,最好将公式书写一遍.

变化 1:已知 ???11 20??? B=???- 4 4-31??? ,求二阶矩阵 B. 答案:B=??-44-32??.
变化 2:已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下,点 A(1,2)变成了点 A′(7,10),点 B(2,
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0)变成了点 B′(2,4),求矩阵 M 的逆矩阵 M-1.
?-2 32? ?? ?? 答案:M-1= 1 -12 .
说明:可以先求矩阵 M,再求 M-1,也可以直接利用逆变换直接求 M-1.

变化 3:(2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市教学情况调查)已知直角坐标平面 xOy 上的一个 变换是先绕原点逆时针旋转 45°,再作关于 x 轴反射变换,求这个变换的逆变换的矩阵.
答案:???-2222 --2222???.
说明: (M2M1)-1=M1-1 M2-1.

考点 4:特征值与特征向量
例 4 已知矩阵 A=???-11 24???,向量?=???74???. (1)求 A 的特征值?1、?2 和特征向量?1、?2;
(2)计算 A5?的值.
答案:(1)?1=2,?1=???21???;?1=3,?2=???11???;(2)???433359???.
说明:(2)中出现错误的一种原因是忽视了特征值与特征向量的对应性. 应对策略:一、记忆特征多项式,和这类问题的求解步骤;二、理解特征值与特征向量理论.

理论: ???ca

db???

???xy???=????xy???,即???(-λ-cxa+)x(-λ-byb=)y=0,0.方程组有不全为

0

的解,即???

λ-a -c

b λ-d

???

=0.

变化 1:(盐城市 2011 届第二次模拟)已知矩阵 M=???12 2x???的一个特征值为 3,求其另一个
特征值.
答案:-1.
变化 2:(南通市 2011 届第二次模拟)已知二阶矩阵 A=???ac db???,矩阵 A 属于特征值?1=-1

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的一个特征向量为?1=???-11???,属于特征值?2=4 的一个特征向量为?2=???23???.求矩阵 A. 答案:A=???22 13???.
教材中的几种常见变换矩阵一般不要求记忆,但如果能识别一下矩阵,可以简化一些运

算,上述选题中有不少这样的问题.

以下内容最好能记忆:

?cos? -sin??

1.旋转变换矩阵??sin?

cos

?

?.记忆三部分特征:第一列平方和是 ?

1,且类似单位圆的参

数方程;主对角线上两数相等,副对角线上两数互为相反数.

2.二阶矩阵 M=???ac

d

?? db??? 的 逆 矩 阵 为

M-1=

ad-bc -c

??ad-bc

-b

? ad-bc ? a

=|M1 |

?d ??-c

-a b??? . 其 中

?? ad-bc

???-dc -ab???是矩阵 M 主对角线上两数交换,副对角线上两数变为相反数得到.

3.矩阵???ac db???特征多项式 f(?)=????--c a ?--db???.

(二)坐标系与参数方程 考点 1:极坐标化为与直角坐标 例 1(2010 年高考题)在极坐标系中,已知圆 ρ=2cosθ 与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 相切, 求实数 a 的值. 答案:a=2,或 a=-8.
例 2(盐城市 2011 届第二次模拟)若两条曲线的极坐标方程分别为?=1 与?=2cos(?+π3), 它们相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长. 答案: 3.
应对策略:1.熟练掌握极坐标方程化为与直角坐标方程的公式???ρρcsionsθθ==yx,, 不能出现类似 ???2=x2+y2.
于 ρcosθ=y 的错误,应注意一些不能套用公式转化的特殊情形.
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变化 1:(南京市、盐城市 2010-2011 学年度第三次调研)极坐标系中,已知圆 C:?=2 2cos? 和直线 l:?=?4(??R)相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长. 答案:2.

2.应了解点的极坐标的形式和意义. 变化 2:在极坐标系中,O 为极点,已知两点 M、N 的极坐标分别为(4,23π),( 2,14π).求 △OMN 的面积. 答案: 3+ 2.

变化 3:(南通市 2011 届高三第三次调研测试)在极坐标系中,求经过三点 O(0,0),A(2,

π2),B(2 2,π4)的圆的极坐标方程.

P

A

B

答案:?=2 2cos(?-π4).

x

说明:方法一:先求出圆的直角坐标方程,再转化为极坐标方程; O

方法二:直接利用图形得极坐标方程.

3.极坐标转化为直角坐标后,往往就是研究直线与圆以及圆与圆的问题,我们应熟悉相关 的位置关系的判别,以及一些距离或长度的计算.

考点 2:参数方程转化普通方程

?x= t- 1 ,

?? 例 3(2009 年高考题)已知曲线 C 的参数方程为

t y=3(t+1t )

(t 为参数,t>0).求曲线 C

的普通方程. 答案:3x2-y+6=0.

应对策略:掌握一些消元的常见方法,一般有以下几种①代入消元法;②加减消元法;③利 用代数恒等式或三角恒等式.消元后要注意字母的取值范围是否发生变化.

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考点 3:参数方程的应用 例 4(2008 年江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是椭圆x32+y2=1 上的一个动

点,求 S=x+y 的最大值.

答案:2.

变化 1:(南京市 2010 届第二次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

?x=2+2t, ??y=1-t (t

为参数),椭圆

C

的参数方程为???xy==2sicnoθsθ,(θ

为参数),试在椭圆

C

上求一点

P,

使得点 P 到直线 l 的距离最小.

答案:( 2, 22).

应对策略:掌握用角参数表示椭圆上动点的方法,并掌握三角函数 y=asinx+bcosx 求最值 的方法.

(三)概率

基本题型:附加题概率考查两个方面问题:

(1)随机事件的概率的计算,考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率;

(2)离散型随机变量分布列及其数学期望、方差计算.

基本策略:

1.解好概率问题的关键是理解题意,审题务必仔细.把复杂事件说明确是解题第一步;

例 1(2010 年江苏高考)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率

为 20%;乙产品的一等品率为 90%,二等品率为 10%.生产 1 件甲产品,若是一等品则获

得利润 4 万元,若是二等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万

元,若是二等品则亏损 2 万元.设生产各种产品相互独立.

(1)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列;

(2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率.

答案:(1)

X 10

5

2

-3

P 0.72 0.18 0.08 0.02

(2)0.8192.

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2.复杂问题简单化的方法有两种:一是将复杂事件分拆为几个简单的互斥事件,二是转化 为其对立事件.分拆事件时一定要做到“不重不漏”.特别应注意“至多”、“至少”、“恰有” 等词语.

例 2 将甲、乙两所大学共 6 名大学生志愿者随机平均分配到某地从事 A,B,C 三个岗位服

务,且 A 岗位至少有一名甲大学志愿者的概率是53.

(1)求 6 名志愿者中来自甲大学的是几人;

(2)求 A 岗位恰好甲、乙两所大学各一人的概率;

(3)设随机变量 ζ 为在 B 岗位服务的甲大学志愿者的人数,求 ζ 分布列及期望. 答案:(1)2;(2)185;
(3)

ζ

0

P

2 5

E(ζ)=32.

1

2

8

1

15

15

例 3(南京市 2008 届高三摸底考试)甲投篮命中的概率为 0.5,每次投篮之间没有影响.甲

连续投篮若干次,直到投中 2 次时停止,且最多投 5 次.

(1)记甲投篮的次数为 X,求随机变量 X 的概率分布;

(2)求随机变量 X 的数学期望 E(X)和方差 V(X).(本题结果用最简分数表示)

解(1)

X

2

3

4

5

P

1 4

1

3

5

4

16

16

(2)E(X)=5176,V(X)=325516.

说明:求 P(X=5)是该题的难点,回避难点的方法是求其对立事件 P(X≤4)的概率,但这样做

必须保证前几个概率都正确.

3.概率中常犯的错误不仅表现为复杂事件分拆过程中“重”或“漏”(表现为基本事件的不 互斥或不对立),独立事件与独立重复事件混同(表现为漏乘相应的组合数),也表现为对古
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典概型模型本质理解不透彻.

例 4 盒子中装着有标数字 1,2,3,4,5 的上卡片各 2 张,从盒子中任取 3 张卡片,按 3

张卡片上最大数字的 8 倍计分,每张卡片被取出的可能性都相等,用?表示取出的 3 张卡片

上的最大数字,求:

(1)取出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率;

(2)随机变量?的概率分布和数学期望;

(3)计分不小于 20 分的概率. 答案:(1)23;
(2)

?

2

3

4

5

P

1 30

2 15

3 10

8 15

E(?)=133.

(3)2390.

说明:解答(1)时的一种典型错误是认为“取得两张 1 和一张 2”及“取得一张 1 一张 2

一张 3”是等可能的基本事件.

解答(2)中 P(?=2)时的一种典型错误是认为事件“取出的 3 张卡片中最大数字

为 2”仅含两个基本事件:“取得两张 1 和一张 2”和“取得两张 2 和一张 1”.

例 5(2011 届高三学情调研)袋中装着标有数字 1,2,3,4 的卡片各 1 张,甲从袋中任取 2 张卡片(每张卡片被取出的可能性都相等),并记下卡面数字和为 X,然后把卡片放回,叫 做一次操作.

(1)求在一次操作中随机变量 X 的概率分布和数学期望 E(X);

(2)甲进行四次操作,求至少有两次 X 不大于 E(X)的概率.

答案:(1)

X

3

4

5

6

7

P

1 6

1 6

1 3

1 6

1 6

E(X)=5.

(2)98.

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4.特别要注意的:(1)答题的基本规范:①交待一些基本事件;②写出基本事件发生的概
n
率;③求其它事件发生的概率、写出概率分布列等;④答.(2)养成利用 ∑Pi=1 检验计算 i=1
是否正确的习惯.

(四)空间向量与立体几何

考点 1:空间向量的坐标运算

例 1(2008 年江苏高考)如图,设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的对角线 BD1

上,记DD11BP=λ,当∠APC 为钝角时,求 λ 的取值范围. 答案:(31,1).

D1 A1

C1 B1

应对策略:1.掌握平面向量相关的坐标运算,并类比到空间中.

D

2.建立合适坐标系(右手系),并能准确书写点的坐标(第一种 A
方法是直接观察;第二种方法是利用共线向量的关系;第三种方

法是将点投影到坐标平面内)和向量坐标.

P C
B

考点 2:空间向量的应用 1.判别线面位置关系; 2.计算异面直线所成角,直线与平面所成角,二面角. 例 2(2011 年江苏高考) 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2,AB=1,点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上,设二面角 A1-DN-M 的大小为?.
(1)当?=90°时,求 AM 的长; (2)当 cos?= 66时,求 CM 的长. 答案:(1) 551;(2)21.

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例 3 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,N 是 BC

A1
P

的中点,点 P 在直线 A1B1 上,且满足→ A1P =?A→ 1B1.

B1

(1)当?取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角?最大?

(2)若平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45°,试确

C1

A

M

定点 P 的位置. B
答案:(1)12;(2)点 P 在 B1A1 的延长线上,且 A1P=12.

C N

应对策略:1.求平面的法向量是重要的基本功,有现成垂线的时候一定要利用,一般利用 垂直于平面内的两条互相垂直的直线来求解法向量.法向量求解过程中一定要注意方程组求 解的准确性,并使法向量的形式尽可能简单.

2.要掌握以下关系:异面直线所成角的余弦等于两条异面直线方向向量夹角余弦的绝对值; 线面所成角的正弦等于平面的法向量与直线方向向量夹角余弦的绝对值;二面角平面角余弦 与二面角两平面法向量夹角的余弦绝对值相等,其正负可以通过观察二面角是锐角还是钝角 进行确定.

(五)圆锥曲线与方程 考点 1:曲线方程. 考点 2:直线与抛物线. 例 1(2009 年江苏高考)在平面直接坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A (2,2),其焦点 F 在 x 轴上. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且与直线 OA 垂直的直线方程; (3)设过点 M(m,0)(m>0)的直线交抛物线 C 于 D,E 两点,ME=2DM,记 D 和 E 两点 间的距离为 f (m),求 f (m)关于 m 的表达式.
答案:(1)y2=2x;(2)x+y-12=0;(3)f (m)=23 m2+4m (m>0).

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到直线 x=-2 的距离比它到点 F(1,0)的距离大 1.

(1)求动点 P 的轨迹 C;

(2)直线 l

过点(1,0)且与曲线 C 交于 A,B

两点,若△AOB 的面积为

4 ,求直线 3

l 的斜率.

答案:(1)y2=4x;(2)± 3.

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三、二轮专题和课时建议:
专题

第 1 课时

矩阵与变换

第 2 课时
第 3 课时 第 4~5 课时
第 6 课时 第 7 课时
第 8 课时
第 9 课时

参数方程与坐标系
排列组合 概率及概率分布
二项式定理 空间向量与立体几何
圆锥曲线与方程
数学归纳法

内容说明(核心) 矩阵的运算;矩阵与变换;逆矩
阵;特征值与特征向量. 极坐标与直角坐标互化、参数方 程与普通方程的互化;圆、椭圆
的参数方程应用. 两个计数原理、排列组合 互斥事件、独立事件、独立重复 试验,概率分布及期望、方差 二项式展开,系数与二项式系数 空间向量的坐标运算,三种角的
计算 轨迹方程;抛物线的标准方程及
几何性质;直线与抛物线 数学归纳法原理及简单应用

采取专题与 考试、讲评 相结合的方 法,最终形 成完整的知 识结构,突 出重点专 题,控制难 度,提高解 题速度和运 算的准确性

N

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