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2016届(新课标)高考数学(理)大一轮课件:第三章 三角函数、解三角形第八节 正弦定理和余弦定理的应用

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第八节 正弦定理和余弦定理的应用 基础盘查 实际应用中的常用术语(仰角与俯角、方位角、方向角) (一)循纲忆知 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题. (二)小题查验 1.判断正误 ? π? (1)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 ?0 , 2 ? ? ? ( × ) (2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点 之间的位置关系 (√ ) ? π? (3)方位角大小的范围是[0,2π) ,方向角大小的范围一般是?0,2? ? ? (√ ) 2.(北师大版教材习题改编)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB= 10 n mile,从 A 望 C 和 B 成 60° 视角,从 B 望 C 和 A 成 75° 视角,则 BC= A.10 3 n mile C.5 2 n mile 10 6 B. n mile 3 D.5 6 n mile ( ) 3.(2015· 北京朝阳区模拟)如图,在 水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1. 已知从 塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰 角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶 部的仰角的 2 倍,从两塔底部连 线中心 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔 BB1 的底 部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为________;塔 BB1 的高为 ________ m. 解析:设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为 α, 则 AA1=60tan α,BB1=60tan 2α, ∵从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角, AA1 30 ∴△A1AC∽△CBB1,∴ = , 30 BB1 ∴AA1 · BB1=900, ∴ 3 600tan αtan 2 α= 900, 1 3 ∴tan α= ,tan 2α= ,BB1=60tan 2α=45. 3 4 1 答案: 3 45 考点一 测量高度问题 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角,目标视线在水平视 线上方时叫仰角,目标视线在水平视 线下方时叫俯角.(如图). [典题例析] (2014· 新课标全国卷Ⅰ )如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座 山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN= 60° , C 点的仰角∠ CAB= 45° 以及∠ MAC= 75° ;从 C 点测得∠ MCA= 60° ,已知山高 BC= 100 m,则山高 MN= ________m. 解析:在 Rt△ABC 中,AC=100 2 m, MA AC 在△MAC 中,由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° 解得 MA=100 3 m, 在 Rt△MNA 中,MN=MA · sin 60° =150 m. 即山高 MN 为 150 m. 答案:150 [类题通法] 求解高度问题应注意 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角; (2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图; (3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问 题的答案,注意方程思想的运用. [演练冲关] 要测量电视塔 AB 的高度, 在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° , 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠ BCD= 120° , CD=

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