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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第四节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用课件文_图文

时间:2017-02-26

第四节

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y= Asin(ωx+ φ) (A>0, ω>0), A 振幅 周期 频率 相位 初相

2π 1 ω ωx+φ ω T=___ f= = T 2π ______

φ

2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五 个关键点,如下表所示:
x ωx+φ y= Asin(ωx + φ) 0 A 0 -A 0

φ -ω

φ π -ω+ 2ω
π 2

π- φ ω

3π φ - 2ω ω

2π-φ ω

0

π

3π 2



3.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的两种方法

[小题体验 ] 2 ?1 π? 1. (教材习题改编)函数 y= sin ? x+ ?的振幅、周期、初相 3 ?2 3? 分别为 ________.
2 π 解析:由振幅和初相的定义可知振幅为 ,初相为 ,周 3 3 2π 期为 = 4π. 1 2 2 π 答案: 、 4π、 3 3

π 2.(教材习题改编)将函数 y= sin 2x 的图象向左平移 个单位 4 长度,再向上平移 1 个单位长度,所得图象的函数解析式 是 ________.

π 解析:将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,得 4 到函数 y=sin
? π? 2?x+ ?的图象,即 4? ? ? π? y=sin?2x+ ?=cos 2? ?

2x,

再向上平移 1 个单位长度,所得图象的函数解析式为 y= 1+cos 2x. 答案:y=1+cos 2x

3.如图,它表示电流 I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)在一 个周期内的图象,则 I = Asin(ωt + φ) 的解析式为 ________.

T 1 1 3 解析:由图可知A= 3, = - = , 2 20 50 100
?100π ? 3 2π 100π 所以T= ,ω= T = ,即I= 3sin? 3 t+φ?, 50 3 ? ? ?1 ? 2π ? ? 把 50,0 代入得 +φ=π+2kπ,k∈Z, 3 ? ?

π π 即φ= +2kπ,k∈Z,可取φ= , 3 3 于是I=
?100π π? 3sin? 3 t+3?. ? ? ?100π π? 3sin? 3 t+3 ? ? ?

答案:I=

4.用五点法作函数y=sin

? π? ?x- ? 6? ?

在一个周期内的图象时,

主要确定的五个点是________、________、 ________、________、________.
?π ? 答案:?6,0? ? ? ?2π ? ? ,1? ?3 ? ?7π ? ? ,0 ? ?6 ? ?5π ? ? ,-1? ?3 ? ?13π ? ? ,0? ? 6 ?

1.函数图象变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图象, 得到哪个函数的图象; 2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应 先利用诱导公式化为同名函数; 3. 由 y=Asin ωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时, 需平
?φ ? 移的单位数应为?ω?,而不是|φ|. ? ?

[小题纠偏 ] 1.函数
? π? π ? ? f(x)= sin 2x- 的图象向左平移 个单位长度, 3? 3 ?

再将图象上的各点的横坐标缩短为原来的一半,那么 所得图象的函数表达式为 ________________.

? π? π ? ? 解析:将函数f(x)=sin 2x-3 的图象向左平移 个单位长 3 ? ?

度得到函数y=sin

? ? ? π? π ? π? ? ? ? - ? =sin ?2x+3 ? 的图象,再将 ?2?x+3 ? ? 3? ? ? ?

它的图象上各点横坐标缩短为原来的
? π? sin?4x+3 ?的图象. ? ? ? π? 答案:y=sin?4x+3? ? ?

1 2

,得到函数y=

2.将函数y=sin x的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长 度后,得到函数y=sin ________.
? π? ?x- ? 6? ?

的图象,则φ等于

解析:将函数y=sin x的图象向左平移φ个单位长度后, π 得到y=sin(x+φ)的图象,所以φ=2kπ- (k∈Z).又 6 11π 0≤φ<2π,所以φ= . 6 11π 答案: 6

3.要得到函数y=sin 2x的图象,只需把函数y=
? π? sin?2x+3?的图象向右平移______个单位长度. ? ?

π 答案: 6

考点一

求函数y=Asin?ωx+φ?的解析式 ?基础送分型考点——自主练透?
[题组练透]

1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+b

? π? ?A>0,ω>0,0<φ< ? 2? ?

的最大

π π 值为4,最小值为0,最小正周期为 ,直线x= 是其图象 2 3 的一条对称轴,则函数的解析式为________________.

解析:由函数y=Asin(ωx+φ)+b的最大值为4,最小值为 π 2π 0,可知b=2,A=2.由函数的最小正周期为 ,可知 ω = 2 π π π ,得ω=4.由直线x= 是其图象的一条对称轴,可知4× 2 3 3 π 5π π +φ=kπ+ ,k∈Z,从而φ=kπ- ,k∈Z.又0<φ< ,所 2 6 2
? π? π 以φ= ,故函数解析式是y=2sin?4x+6?+2. 6 ? ? ? π? 答案:y=2sin?4x+6?+2 ? ?

? π? 2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ?x∈R,ω>0,0<φ<2 ? 的部 ? ?

分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.

?11π 5π? 解析:由题图知,最小正周期T=2×? 12 -12 ?=π, ? ?

2π 所以ω= T =2.
?5π ? ? 因为点 12,0?在函数图象上, ? ? ? ? 5π ? 所以Asin 2×12+φ?=0, ? ? ?5π ? ? 即sin 6 +φ?=0. ? ?

π 5π 5π 4π 5π π 又0<φ< ,所以 < +φ< .从而 +φ=π,即φ= .又点(0,1)在 2 6 6 3 6 6 ? π? π ? 函数图象上,所以Asin =1,得A=2.故f(x)=2sin 2x+6 ?. 6 ? ? ? π? ? 答案:f(x)=2sin 2x+6 ? ? ?

[谨记通法] 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A= M-m M+m , b= ; 2 2 2π (2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω= T ; (3)求φ:常用的方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已 知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升 区间上还是在下降区间上).

②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的 某一个点为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx+φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)时ωx+φ= π 2 ;“第三

点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx+φ=π;“第四 3π 点”(即图象的“谷点”)时ωx+φ= ;“第五点”时ωx 2 +φ=2π.

考点二 函数y=Asin?ωx+φ?的图象?题点多变型考点——纵引横联?

[典型母题]

(2015· 湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx
? π? +φ)?ω>0,|φ|<2 ?在某一个周期内的图象时,列表并填入了 ? ?

部分数据,如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; π (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 个单位长度,得 6 到 y=g(x)的图象, 求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心. π [解] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- , 6

数据补全如下表:
ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13π 12 0

? π? 且函数解析式为f(x)=5sin?2x-6?. ? ? ? π? ? (2)由(1)知f(x)=5sin 2x-6 ?, ? ? ? ? ? π? π ? π? ? ? ? ? ? 因此g(x)=5sin 2 x+6 - =5sin 2x+6 ?. ? 6? ? ? ? ?

因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z, π kπ π 令2x+ =kπ,k∈Z,解得x= - ,k∈Z, 6 2 12
?kπ ? π ? 即y=g(x)图象的对称中心为 2 -12,0?,k∈Z, ? ? ? π ? 其中离原点O最近的对称中心为?-12,0?. ? ?

[类题通法] 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的2种作法 π 3π (1)五点法:设z=ωx+φ,由z取0, ,π, ,2π来求出 2 2 相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=

Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与 “先伸缩后平移”.

[提醒]

平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本

身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.

[越变越明] [变式 1] 在母题条件下,试作出它在长度为一个周期

的闭区间上的图象.
解:由母题数据作出的图象如图所示:

[变式2] 在母题条件下,若将y=f(x)图象上所有点向左平 行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=
?5π ? g(x)图象的一个对称中心为?12,0?,求θ的最小值. ? ?

? π? 解:因为f(x)=5sin?2x-6 ?, ? ? ? π? 则g(x)=5sin?2x+2θ-6 ?. ? ?

因为函数y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z, π kπ π 令2x+2θ- =kπ,k∈Z,解得x= + -θ,k∈Z. 6 2 12
?5π ? 由于函数y=g(x)的图象关于点?12,0?成中心对称, ? ?

kπ π 5π kπ π 所以令 + -θ= ,k∈Z,解得θ= - ,k∈Z. 2 12 12 2 3 π 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值 . 6

[变式 3] 在母题条件下, 说明函数 f(x)的图象可由
π 解:把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度, 6 得到
? π? y=sin?x-6 ?的图象, 再把 ? ? ? π? y=sin?x-6?的图象上的点的 ? ?

y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到的.

? π? 1 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin?2x-6 ?的 2 ? ?

图象, 最后把

? π? y=sin?2x-6 ?上所有点的纵坐标伸长到原来的 ? ? ? π? y=5sin?2x-6?的图象. ? ?

5 倍(横坐标不变),即可得到

[破译玄机]

由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ) 的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.要注意两者不同,后者可利用 确定平移的单位长度.
? φ? ωx+φ=ω?x+ω?来 ? ?

考点三

三角函数模型及其应用?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领] (2014· 湖北高考)某实验室一天的温度(单位: ℃)随时间 t(单位: π π h)的变化近似满足函数关系: f(t)= 10- 3cos t-sin t, t 12 12 ∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃, 则在哪段时间实验室需要 降温?

? 3 π 1 π ? ? 解:(1)因为f(t)=10-2? cos t+ sin t? 12 2 12 ? (2)依题意,当f(t)>11 ? 2 时实验室需要降温. ? ?π π? ?π ? =10-2sin?12t+3 ?, π ? (t)=10 ? -2sin? t+ ?, 由(1)得f

又0≤t<24,

?12

3?

?π π? ? π π ? π π π 7π ? sin?,t+ ?≤1. 所以 ≤ - t+ < ? ,- 1≤ 故有 3? 3 10 12 2sin 3 3?12t+3 ?>11 ?12 ?π ? π ? πsin? π ?t+ ? 1 当t=2时, =1; 12 3 ? ? ? ? 即sin 12t+3 <- . 2 ? ? ?π π? 当t=14时,sin?12t+3 ?=-1. ? ? 7π π π 11π 又 t<24 ,因此 < t+ < ,即10< 于是 f0 (t≤ )在 [0,24) 上取得最大值 8. t<18. 6 12 12,取得最小值 3 6

故实验室这一天最高温度为12 ℃, 最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.

在10时至18时实验室需要降温.

[由题悟法] 三角函数模型在实际应用中体现的2个方面 (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题, 其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应 法则; (2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模 型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.

[即时应用]
如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮逆时针旋转且 每分钟转动 5 圈. 如果当水轮上点 P 从水 中浮现时(图中点 P0)开始计算时间. (1)将点 P 距离水面的高度 z m 表示为时间 t s 的函数,求 其解析式; (2)求点 P 第一次到达最高点时所需要的时间.

解:(1)以水平方向为x轴,竖直方向为y轴,建立直角坐标系,
? π ? 设角φ ?-2 <φ<0? 是以Ox为始边,OP0为终边的角,OP每分钟内 ? ?

5×2π π 所转过的角为5×2π,v= t= t, 60 6 ?π ? 得z=4sin?6t+φ?+2, ? ? 1 π 当t=0时,z=0,得sin φ=- ,即φ=- , 2 6 ?π π? 故所求的函数关系式为z=4sin?6t-6 ?+2. ? ? ?π π? ?π π? ? ? (2)令z=4sin 6t-6 +2=6,得sin?6t-6 ?=1, ? ? ? ? π π π 所以 t- = ,得t=4, 6 6 2 故点P第一次到达最高点大约需要4秒.


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