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新课标数学必修五3.5.2

时间:2016-11-21


高一数学学案

3.5.2 简单线性规划
一、问题导入
1. 复习二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示的平面区域 2.“最优化”问题 在生产与营销活动中,我们常常需要考虑:怎样用现有的资源(人力、物力、资金??), 取得最大收益,或者,怎样以最小的资源投入去完成一项给定的任务 ,这类任务就称为“最优 化”问题。 引例:某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品都需要两种原料,生产甲产品每吨需 要 A 种原料和 B 种原料各 4 吨;生产乙种产品每吨需要 A 种原料 1 吨, B 种原料 3 吨。现有 A 种原料 10 吨, B 种原料 20 吨,如果生产甲产品每吨的平均利润是 2 万元,生产乙产品每 吨的平均利润是 1 万元,问甲、乙两种产品各生产多少吨能使利润的总额最大?最大利润是 多少?

二、新知探究
分析:上述问题,依照题意可列表如下: 原料 A 数量 (吨) 甲产品每吨 乙产品每吨 限 制 原料 B 数量 (吨) 利 润 (万元)

可设甲种产品生产 x 吨,乙种产品生产 y 吨,获得的利润总额为 P = 则 x 、 y 满足的条件是: ? ?
? ? ? ? ?

不等式组是一组对变量 x 、 y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于 x 、 y 的一次不 等式,所以又可称其为线性约束条件.欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x 、 y 的解析式, 我们把它称为目标函数. 上述问题转化为 ?4 x ? y ? 10 ? 在约束条件 ?4 x ? 3 y ? 20 下,如何求目标函数 P ? 2 x ? y 的最大值? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0 解答:首先,作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域,如图(1)所示. 其次,将目标函数 P ? 2 x ? y 变形为 y ? ?2 x ? P 的形式,它表示一条直线,斜率为-2, 且在 y 轴上的截距为 P .

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高一数学学案 平移直线 y ? ?2 x ? P ,当它经过两直线 4 x ? y ? 10 与 4 x ? 3 y ? 20 的交点 A( ,5) 时, 直线在 y 轴上的截距最大,如图(2)所示. 因此,当 x ? 别生产

5 4

5 5 , y ? 5 时,目标函数取得最大值 2 ? ? 5 ? 7.5 ,即当甲、乙两种产品分 4 4

5 t 和 5t 时,可获得最大利润 7.5 万元. 4

这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,通常称为线性规划问 题.其中 ( ,5) 使目标函数取得最大值,它叫做这个问题的最优解.对于只含有两个变量的简 单线性规划问题可用图解法来解决. 说明:平移直线 y ? ?2 x ? P 时,要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点) .

5 4

三、应用示例
例 1.投资生产 A 产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,需场地 200 平方米,可获利润 300 万元;投资生产 B 产品时,每生产 100 米需要资金 300 万元,需场地 100 平方米,可获利 润 200 万元.现某单位可使用资金 1400 万元,场地 900 平方米,问:应作怎样的组合投资, 可使获利最大? 分析:这是一个二元线性规划问题,可先将题中数据整理成下表,以方便理解题意: 资 金 场 地 利 润 (百万元) (平方米) (百万元) A 产品 2 2 3 B 产品 3 1 2 限 制 14 9 然后根据此表数据,设出未知数,列出约束条件和目标函数,最后用图解法求解

说明: (1)解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件(要注意考虑数 据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一) ;③建立目标函数;④求最优解. (2)对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形 区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.
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? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2.设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?

? x ? 4 y ? ?3 ? 变式:设 z ? 6 x ? 10 y ,式中 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值和最小值. ?x ? 1 ?

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?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3.已知 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 x ? y 取最大值的整数 x , y . ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

四、高考链接 五、课后作业:教材 P94 练习 A ;P96 习题 3-5 第 A/B.

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3.5.2 简单线性规划
一、选择题: 1.以下四个命题中,正确的是( ) A.原点与点(2,3)在直线 2x+y-3=0 的同侧 B.点(3,2)与点(2,3)在直线 x-y=0 同侧 C.原点与点(2,1)在直线 2y-6x+1=0 异侧 D.原点与点(2,1)在直线 2y-6x+1=0 同侧 2.不等式 x+3y-1<0 表示的平面区域在直线 x+3y-1=0 的( ) A.右上方 B.右下方 C. 左下方 D.左上方 3.在坐标平面上,不等式组 ?

? y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?3 x ? 1
C.



A. 2 一.填空题:

B.

3 2

3 2 2

D.2

? x? y ?5 ? 4. 若 x、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 6 , 则目标函数 z=6x+8y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
5.若实数 x、y 满足 ?

, 最小值为



?4 ? x ? 2 y ? 6 ,则 x+y 的范围是 ?2 ? 2 x ? y ? 8 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ,则 x+3y 的最大值是 ? x ? y ?3? 0



6.非负实数 x、y 满足 ?



? x? y?2?0 y ? 7.设实数 x、y 满足条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ? 2y ? 3 ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? 8.设实数 x、y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x-y 的最大值为( ?x ? y ? 1 ? 0 ?





A. 2 B. 1 C . -2 D. -3 9.已知变量 x、y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2。若目标函数 z=ax+y(其中 a>0) 仅在点(3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围是 。

? x ? 2 y ? 10 ? 2x ? y ? 3 ? 10.设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P(x,y)到直线 x+y=10 距离 0 ? x ? 4 ? ? ? y ?1
的最大值是 二.解答题: 。

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高一数学学案 11.某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机,每台 A 型、B 型电视机所得 的利润分别为 6 和 4 个单位,而生产一台 A 型、B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位;所 需工时分别为 4 和 2 个单位。如果允许使用的原料为 100 个单位,工时为 120 个单位,且 A、 B 型电视机的产量分别不低于 5 台和 10 台,那么生产两种类型电视机各多少台,才能使利润 最大?

12.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的赢利,而且要考虑可能出现的亏损。某投资人 打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大赢利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能 的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的赢 利最大?

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高一数学学案 解答过程 例 1.解:设生产 A 产品 x 百吨,生产 B 产品 y 米,利润为 S 百万元,

?2 x ? 3 y ? 14 ?2 x ? y ? 9 ? 则约束条件为 ? ,目标函数为 S ? 3x ? 2 y . ?x ? 0 ? ?y ? 0
作出可行域(如图) ,

3 3 S x ? ,它表示斜率为 ? ,在 y 轴上截 2 2 2 S 3 S 距为 的直线,平移直线 y ? ? x ? ,当它经过直线与 2 x ? y ? 9 和 2 x ? 3 y ? 14 的交点 2 2 2 13 5 S 13 5 ( , ) 时, 最大,也即 S 最大.此时, S ? 3 ? ? 2 ? ? 14.75 . 4 2 2 4 2 因此,生产 A 产品 3.25 百吨,生产 B 产品 2.5 米,利润最大为 1475 万元. 例 2.解:由题意,变量 x , y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域.由图知,原点 (0, 0) 不在公共区域内,当 x ? 0, y ? 0 时, z ? 2 x ? y ? 0 ,即点 (0, 0) 在直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上, y x ?1 作一组平行于 l0 的直线 l : 2 x ? y ? t , t ? R ,
将目标函数变形为 y ? ? 可知:当 l 在 l0 的右上方时,直线 l 上的点 ( x, y ) 满足 2 x ? y ? 0 ,即 t ? 0 , 而且,直线 l 往右平移时, t 随之增大. 由图象可知, 当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当直线 l 经过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小, 所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 . 变式 解:由题目可知直线 l0 与 AC 所在直线平行, 当 l 与 AC 所在直线 3x ? 5 y ? 25 ? 0 重合时 z 最大,此时满足条件的最优解有无数多个, 当 l 经过点 B(1,1) 时,对应 z 最小,
O

C
A x ? 4y ? 3 ? 0 B

3x ? 5 y ? 25 ? 0

x

∴ zmax ? 6x ? 10 y ? 50 , zmin ? 6 ?1 ? 10 ?1 ? 16 .

l2 : 例 3.解: 不等式组的解集为三直线 l1 : 2x ? y ? 3 ? 0 , 2x ? 3 y ? 6 ? 0 , 3x ? 5 y ? 15 ? 0 l3 :
所围成的三角形内部(不含边界) ,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 , l2 与 l3 交点分别为 A, B, C ,则 A, B, C

15 3 75 12 , ) , B(0, ?3) , C ( , ? ) , 8 4 19 19 作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 ,
坐标分别为 A( 当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为 又由 0 ? x ?

y A
O

l1 l3
C

63 ,但不是整数解, 19

x
l2

75 知 x 可取 1, 2,3 , 19 当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ;
7

B

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高一数学学案 当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴ x ? y ? 2 或 1 ; 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 , 一、选择题 1.C; 2.C;

? y ? x ?1 ? y ? x ?1 ? y ? x ?1 ? ? ? ? y ? ?3 x ? 1 或 ? y ? 3 x ? 1 画出可行域,是两个三角形∴所求 3.B 解析: ? ? x?0 ? x?0 ? y ? ?3 x ? 1 ? ?
面积为

3 。 2

二、填空题: 4.最大值为 40,最小值为 0;5.2.8≤x+y≤5.2 ; 6.最大值为 9;7.最大值为

3 ;8.最大值为 1; 2

9.解析:由约束条件可知可行域,区域为矩形的内部及其边界, (3,1)为其中一个顶点,z 最大时,即平移 y=-ax 时,使直线在 y 轴上的截距最大,∴-a<-1∴a>1 10.解析:画出可行域为一个四边形,到直线 x+y=10 距离最远的点应该是直线 2x+3y=3、y =1 的交点,即点(1,1) ,它到 x+y=10 的距离是 4 2 三、解答题

?2 x ? 3 y ? 100 ?4 x ? 2 y ? 120 ? 11.解析: 设生产 A 型 x 台,B 型 y 台,依题意得约束条件为:? 而目标函数为: x ? 5 ? ? y ? 10 ?
z=6x+4y。画出可行域和直线 3x+2y=0 并平移可得最优解为:x=y=20。 12.解析:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ,目标函数为 z=x+0.5y,画出可行域和直线 x+0.5y=0 并平移得到最优点 ? x ? 0 ? ? y?0 ?
是直线 x+y=10 与直线 0.3x+0.1y=1.8 的交点(4,6)此时 z=7(万元) 。

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