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广东省汕头市金山中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题

时间:2016-05-19


2015-2016 学年度金中下学期高一期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 ) 1、对于实数 a, b, c ,下列结论中正确的是( )

A.若 a ? b ,则 ac ? bc
2

2

1 1 ? B.若 a ? b ? 0 ,则 a b 1 1 ? D.若 a ? b , a b ,则 ab ? 0


a b ? C.若 a ? b ? 0 ,则 b a

2、 已知 ?ABC 中, A ? 45?, a ? 2, b ? 2 ,那么 ? B 为( A. 30 ? B. 60 ? C. 30 ? 或 150? )

D. 60 ? 或 120?

3、下列各函数中,最小值为 2 的是 ( A. y ?

x?

1 x

B. y ? sin x ?

1 1 , x ? (0, ) sin x 2

C. y ?

x2 ? 3 x2 ? 2

D. y ? x ?

1 x


4、设数列 ?an ?是等差数列,且 a2 ? ?8, a15 ? 5, Sn是数列 ?an ?的前 n 项和,则(

S10 ? S11 ;

B. S10 ? S11 ;

C. S9 ? S10 ;

D.S9<S10.

x ?1 ?0 5、不等式 2 x ? 1 的解集为( 1 ( ? ,1] A. 2 1 [ ? ,1] B. 2



1 (??, ? ) ? [1, ??) 2 C.
)

1 (??, ? ] ? [1, ??) 2 D.

1 1 6、已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e C.有最大值 e 7. 在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 对“等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差比数列;
*

B.有最小值 e D.有最小值 e

an+2-an+1 =k(k 为常数),则称{an}为“等差比数列”.下面 an+1-an

1

③等比数列一定是等差比数列; ④通项公式为 an=a?b +c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为( A.①② ) C.③④ D.①④
n

B.②③

8、设 f ( x) 是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x 、 y ? R ,都有 f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ,若

a1 ?

1 , an ? f (n) ( n ? N * ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2
?1 ? A. ? , 2 ? ?2 ? ?1 ? B. ? , 2 ? ?2 ?
2



?1 ? C. ? ,1? ?2 ?

?1 ? D. ? ,1? ?2 ?
)

9、已知等比数列{an}中,an>0,a1,a99 为方程 x -10x+16=0 的两根,则 a20?a50?a80 的值为( A.32 B.64 C.256 D.±64 )

10、如果 0 ? a ? 1 ,那么下列不等式中正确的是 ( A. (1 ? a) ? (1 ? a) C. (1 ? a) ? (1 ? a)
3
1 3 1 2

B. log(1?a ) (1 ? a) ? 0 D. (1 ? a)
1? a

2

?1

11、设 M 是 ?ABC内一点 , 且AB ? AC ? 2 3, ?BAC ? 30?, 定义f (M ) ? (m, n, p), 其中 m、n、p 分别是 ?MBC , ?MCA, ?MAB的面积, 若f ( M ) ? ( , x, y )则 ? 的最小值是 ( A.8

1 2

1 x

4 y

) B.9 C.16 D.18 3 2 12、若关于 x 的不等式 a≤ x -3x+4≤b 的解集恰好是[a,b](a<b),则 a+b 的值为( 4 8 16 A.5 B.4 C. D. 3 3

)

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分。 )

?x ? y ? 2 ? 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 Z ? 2 x ? y 的取值范围是__________; ?0 ? y ? 3 ?
14 、 已 知 等 差 数 列 {an } 的 前

n

项 和 为 S n , 若 (a2 ? 1) ? 5(a2 ? 1) ? 1 ,
3

(a2010 ? 1) 3 ? 5(a2010 ? 1) ? ?1 ,则 a2 ? a2010 ?

S 2011 ?

2

15.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,某三角形三边之比为 a2 : a3 : a4 ,则该三角形最大角的大小 是 .
2 2

16、若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C,则 cos C 的最小值是________. 17、若关于 x 的不等式(2x-1) <ax 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 65 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (本小题满分 12 分)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个, 生产一个卫兵需 5 分钟,生产一个骑兵需 7 分钟,生产一个伞兵需 4 分钟,已知总生产时间不超过 10 小时.若生产一个卫兵可获利润 5 元,生产一个骑兵可获利润 6 元,生产一个伞兵可获利润 3 元. (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元); (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?

19、 (本小题满分 12 分)今日必看 已知 A,B,C 为△ABC 的内角,tan A,tan B 是关于 x 的方程 x + 3px-p+1=0(p∈R)的两个实 根. (1)求 C 的大小; (2)若 AB=3,AC= 6,求 p 的值.
2

20、 (本题满分 13 分)已知数列{an}满足:a1=1,a2=a(a>0).数列{bn}满足 bn=anan+1(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,且 b3=12,求 a 的值及{an}的通项公式; (2)若{an}是等比数列,求{bn}的前 n 项和 Sn; (3)当{bn}是公比为 a-1 的等比数列时,{an}能否为等比数列?若能,求出 a 的值;若不能,请说明 理由. 21、 (本题满分 14 分) 已知 O 为坐标原点, OA ? (2cos2 x,1) , OB ? (1, 3sin 2x ? a) ( x ? R, a ? R , a 是常数) , 若 y ? OA ? OB (1)求 y 关于 x 的函数关系式 f ( x ) ; (2)若 f ( x ) 的最大值为 2 ,求 a 的值; (3)利用(2)的结论,用“五点法”作出函数 f ( x ) 在长度为一个周期的闭区间上的简图,并指 出其单调区间。

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

3

22、 (本题满分 14) 一个公差不为零的等差数列{an}共有 100 项, 首项为 5, 其第 1、 4、 16 项分别为正项等比数列{bn} 的第 1、3、5 项. 记{an}各项和的值为 S. ⑴求 S (用数字作答); ⑵若{bn}的末项不大于

S ,求{bn}项数的最大值 N; 2

⑶记数列 {cn } , cn ? an bn (n ? N *, n ? 100) .求数列 {cn } 的前 n 项的和 Tn .

参考答案: 1-12D A A C A B D C B A D A

13.

[?5, 7]

14 、 2

;

2011

15.

2 ? 3

16 、

6- 2 4

17 、

18. (本小题满分 12 分)解:)依题意每天生产的伞兵个数为 100-x-y, 所以利润 w=5x+6y+3(100-x-y)=2x+3y+300. 5x+7y+4?100-x-y?≤600, ? ? (2)约束条件为?100-x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0,

x+3y≤200, ? ? 整理得?x+y≤100, ? ?x≥0,y≥0.
目标函数为 w=2x+3y+300. 作出可行域.如图所示:

初始直线 l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点 A 时,w 有最大值.

4

由?

?x+3y=200, ? ?x+y=100, ?

得?

?x=50, ? ?y=50. ?

最优解为 A(50,50),所以 wmax=550 元. 所以每天生产卫兵 50 个,骑兵 50 个,伞兵 0 个时利润最,最大为利润 550 元. 19、解 (1)由已知,方程 x + 3px-p+1=0 的判别式 Δ =( 3p) -4(-p+1)=3p +4p-4≥0, 2 所以 p≤-2,或 p≥ , 3 由根与系数的关系,有 tan A+tan B=- 3p,tan Atan B=1-p, 于是 1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0, tan A+tan B 3p 从而 tan(A+B)= =- =- 3, 1-tan Atan B p 所以 tan C=-tan(A+B)= 3, 所以 C=60°. (2)由正弦定理,得 sin B=
2 2 2

ACsin C 6sin 60° 2 = = , AB 3 2

解得 B=45°,或 B=135°(舍去),于是 A=180°-B-C=75°, 则 tan A=tan 75°=tan(45°+30°) 3 1+ 3 tan 45°+tan 30° = = =2+ 3, 1-tan 45°tan 30° 3 1- 3 所以 p=- 1 (tan A+tan B)=- (2+ 3+1)=-1- 3. 3 3 20、(1)∵{an}是等差数列,a1=1,a2=a, ∴an=1+(n-1)(a-1). 又∵b3=12,∴a3a4=12, 5 即(2a-1)(3a-2)=12,解得 a=2 或 a=- . 6 ∵a>0,∴a=2.∴an=n. (2)∵数列{an}是等比数列,a1=1,a2=a(a>0), ∴an=a ∵
n-1

1

.∴bn=anan+1=a

2n-1

.

bn+1 2 2 =a ,∴数列{bn}是首项为 a,公比为 a 的等比数列. bn

当 a=1 时,Sn=n;

5

当 a≠1 时,Sn=

a?a2n-1? a2n+1-a = 2 . a2-1 a -1

3)数列{an}不能为等比数列. ∵bn=anan+1,∴ 则

bn+1 an+1an+2 an+2 = = , bn anan+1 an

an+2 =a-1.∴a3=a-1. an

假设数列{an}能为等比数列. 由 a1=1,a2=a,得 a3=a . ∵a =a-1,∴此方程无解. ∴数列{an}一定不能为等比数列.
2 2

21、 解: (1)∵ OA ? (2cos 2 x,1) , OB ? (1, 3sin 2x ? a) ∴ y ? OA ? OB

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? a
(2)由(1)得 y ? 2cos2 x ? 3 sin 2x ? a

3分

? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 1
1 3 ? 2( cos 2 x ? sin 2 x) ? a ? 1 2 2
? 2(sin

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x) ? a ? 1

? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6

?

(3)由(2)得, y ? 2sin(2 x ?

?
6

)
0

10 分

2x ?

?
6

? 2

?

3? 2

2?
6

x
y ? 2sin(2 x ? ) 6
Y

?

?

? 12
0

? 6
2

5? 12
0

2? 3
?2

11? 12
0

2

?

? 12
?2

? 6

5? 12

2? 3

11? 12

X

13 分 14 分
2

增区间是: [?

?
3

? k? ,

?

? 2? ? k? ](k ? Z ) ,减区间是: [ ? k? , ? k? ](k ? Z ) 6 6 3

22、(本题满分 14)解 (1)设 {an } 的公差为 d ( d ? 0 ),由 b1 , b3 , b5 成等比数列,得 b3 ? b1b5

(5 ? 3d ) 2 ? 5(5 ? 15d ) ? d ? 0(舍)or d ? 5 . 所以 an ? 5n ( n ? N *, n ? 100)
S ? 5 ? 100 ?
--------4 分 (2)由 b1 ? 5, b3 ? 20 ? q 2 ? 4(q ? 0) ,所以 q ? 2, bn ? 5 ? 2 n?1 由 bn ?

100 ? 99 5 ? 25250 --------------------------------------------------------2

S ? 2 n ? 5050 ,所以 n 的最大值为 12.又 bn?1 ? bn ,所以 2 S S b1 ? b2 ? ?b12 ? , n ? 13 时 bn ? ,所以 N ? 12 .------------------------------------8 2 2
2 n ?1 ? ? Tn ? 25(1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ) 2 n ?1 n ? ? 2Tn ? 25 [ 2 ? 2 ? 2 ? ?(n ? 1) ? 2 ? n ? 2 ]

分 (3) cn ? 25n ? 2 n?1 , ? 得

? Tn ? 25(1 ? 2 ? ?22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ) = 25[(1 ? n)2 n ? 1] Tn ? 25[(n ? 1)2n ? 1](n ? N*,n ? 100) ------------------------------------14



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