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2018届湖南省重点名校新高三大联考(入学考试)理科数学试卷

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湖南省重点名校 2018 届新高三大联考(入学考试) 理科数学试卷
考试时间:120 分钟;满分:150 分

姓名:___________班级:___________考号:________
祝考试顺利!

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项最符合题意。) 1、设复数 z ? 1 ? bi ? b ? R ? 且 z 2 ? ?3 ? 4i ,则 z 的虚部为( ) D. 4

A. ﹣2 B. ﹣4 C. 2 2、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如:

他们研究过图 1 中的 1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数; 类似的,称图 2 中的 1,4,9,16,…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方 形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 3、70 年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一 个数学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数 N ,并且按照以下的规律进行变换:如 果是个奇数,则下一步变成 3 N ? 1 ;如果是个偶数,则下一步变成
N .不单单是学生,甚至连 2

教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰?因为人们发现,无 论 N 是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底 1.准确地说,是无法逃出落入底部的 4 ? 2 ? 1 循环,永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这种运算,自然数 27 经过 十步运算得到的数为 A. 142 D. 107
x2 y 2 4、已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 F2 关于双曲 a b

(

) B. 71 C. 214

线 C 的一条渐近线的对称点 A 在该双曲线的左支上,则此双曲线的离心率为( A.

) D.

2

B.

3
-1-

C. 2

5
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? 5、已知向量 OA ? 3 , OB ? 2 ,OC ? mOA ? nOB ,若 OA 与 OB 的夹角为 60°,且 OC ? AB ,
则实数 A.
1 6 m 的值为( n

) B.
1 4

C. 6
20 ,则图中 x 的值为 3
2

D. 4

6、某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 ( A. 3 D.
5 2

x 2 正视图 x 侧视图

) B. C. 2

y ?? ? 7 、已知函数 f ? x ? ? 2sin? x ? 2cos? x(? ? 0) ,若 y ? f ? x ? ? 的图象与 4? ?

俯视图

?? ?? ? ? y ? f ? x ? ? 的图象重合,记 ? 的最大值为 ?0 ,函数 g ? x ? ? cos ? ?0 x ? ? 的 4? 3? ? ?
单调递增区间为( )

第 6 题图
E

? k? ? ? ? k? A. ? ? ? ,? ? ?k ? Z ? 12 2 ? ? 3 2 ?
? ? ? ? C. ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ? k ? Z ? 12 ? 3 ?

? ? k? ? k? ? B. ? ? ? , ? ?k ? Z ? A ? 12 2 6 2 ? ?

D

F

? ? ? ? D. ? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ? k ? Z ? 6 ? 12 ?

B

C

8 、对定义在 R 上的连续非常函数 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? ,如果 g 2 ? x ? ? f ? x ? ? h ? x ? 总成立,则称

f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 成等比函数 . 若 f ? x ? , g ? x ? , h ? x ? 成等比函数,则下列说法中正确的个数是
( )

①若 f ? x ? , h ? x ? 都是增函数,则 g ? x ? 是增函数;②若 f ? x ? , h ? x ? 都是减函数,则 g ? x ? 是减函 数; ③若 f ? x ? , h ? x ? 都是偶函数,则 g ? x ? 是偶函数;④若 f ? x ? , h ? x ? 都是奇函数,则 g ? x ? 是奇函 数; A. 0 B. C. 2 D. 3 )

?2 x ? y ? 3 ? 0, x? y ? 9、设 x , y 满足约束条件 ?2 x ? 2 y ? 1 ? 0, 若 的最大值为 2,则 a 的值为( x? y ? x ? a ? 0, ?
-2-

A.

1 2

B.

1 4

C.

3 8

D.

5 9

10 、 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c, O 是 ?ABC 外 接 圆 的 圆 心 , 若

2? cosB ? 2c ? b ,且
A.
2 4

? cosC ???? ???? cosB ??? AB ? AC ? m AO ,则 m 的值是( sinC sinB

) D. 2 2

B.

2 2

C.

2

11、定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? 2 x ? x f ? ? x ? ,其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, 则下列不等式中,一定成立的是( A. f ?1? ? C. f ?1? ?
f ? 2 ? f ? 3? ? 2 3 f ? 2 ? f ? 3? ? 2 3

?

?

) B.
f ?1? f ? 4 ? f ? 9 ? ? ? 2 3 4 f ?1? f ? 4 ? f ? 9 ? ? ? 2 3 4

D.

12、定义在 R 上的函数 f ? x ? 的图象关于 y 轴对称,且 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减,若关于 x 的 不等式 f ? 2mx ? lnx ? 3? ? 2 f ? 3? ? f ? ?2mx ? lnx ? 3? 在 x ? ?1,3? 上恒成立,则实数 m 的取值范围 为( )
? 1 1n6 ? 6 ? B. ? , 3 ? ?e ? ? 1 1n3 ? 6 ? C. ? , 3 ? ?e ?

? 1 1n6 ? 6 ? A. ? , 6 ? ? 2e ? ? 1 1n3 ? 6 ? , ? 6 ? ? 2e ?

D.

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题纸的对应位置上。)
1? ? 13、 ? x 2 ? x ? 1 ? ? x? ?
4

? 1? ?1 ?1 ? ? 的展开式中 x 的系数为__________(用数字填写答案). ? x?

? an ? , 当an为偶数时, 14、已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数), an ?1 ? ? 2 若 a6=1 ,则 m ?3an ? 1, 当an为奇数时。 ?

所有可能的取值为__________。(把你认为正确的答案全部写上) 15、体积为 18 3 的正三棱锥 A ? BCD 的每个顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上,球心 O 在此 三棱锥内部,且 R : BC ? 2 : 3 ,点 E 为线段 BD 上一点,且 DE ? 2 EB ,过点 E 作球 O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是__________.

-3-

16、对于函数 f ? x ? ? { 1

sin? x, x ? ? 0, 2? f ? x ? 2 ? , x ? ? 2, ?? ?
,下列 5 个结论正确的是__________(把你认为正

2
确的答案全部写上).

(1)任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 ; (2)函数 y ? f ? x ? 在 ? 4,5? 上单调递增; (3) f ? x ? ? 2kf ? x ? 2k ? ? k ? N ? ? ,对一切 x ? ? 0, ?? ? 恒成立; (4)函数 y ? f ? x ? ? ln ? x ? 1? 有 3 个零点; (5)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m(m ? 0) 有且只有两个不同的实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? 3 .

三、解答题(本大题共 7 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、(本小题满分 10 分) 1 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数)。 2 (Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?
n ?1 5n 的大小,并予以证明。 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 n 2n ? 1

18、 (本小题满分 10 分) 2016 年底,某城市地铁交通建设项目已经基本完成,为了解市民对该项目的满意度,分别从 不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分 100 分),绘制如下频率分布直方图, 并将分数从低到高分为四个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 60 分 不满意 60 分到 79 分 基本满意 80 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

已知满意度等级为基本满意的有 680 人. (Ⅰ)若市民的满意度评分相互独立,以满意度样本估计全市市民满意度.现从全市市民中 随机抽取 4 人,求至少有 2 人非常满意的概率; 1 (Ⅱ)在等级为不满意市民中,老年人占 .现从该等级市民中按年龄分层抽取 15 人了解不满 3 意的原因,并从中选取 3 人担任整改督导员,记 X 为老年督导员的人数,求 X 的分布列及数 学期望 E(X); (Ⅲ)相关部门对项目进行验收,验收的硬性指标是:市民对该项目的满意指数不低于 0.8, 否则该项目需进行整改,根据你所学的统计知识,判断该项目能否通过验收,并说明理由 .

-4-

满意程度的平均分? ? ?注:满意指数= ? 100 ? ?

19、(本小题满分 12 分) 如图,已知矩形 ABCD 中, E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, BE ? CF ? 1 , BC ? 2 ,

AB ? CD ? 3 , P 、 Q 分别是 DE 、 CF 的中点,现沿着 EF 翻折,使得二面角 A ? EF ? B 大小

2? . 3

(Ⅰ)求证: PQ ∥ 平面 BCD ; (Ⅱ) 求二面角 A ? DB ? E 的余弦值.

20、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,动圆经过

N ? 0, t ? 2 ? , P ? ?2,0 ? . 点 M ? 0, t ? 2 ? ,
其中 t ? R . (Ⅰ)求动圆圆心 E 的轨迹方程;(4 分)

-5-

(Ⅱ)过点 P 作直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A, B ,直线 OA 与直线 OB 分别交直线 x ? 2 于 两点 C , D ,记 △ACD 与 △BCD 的面积分别为 S1 , S2 . 求 S1 ? S2 的最小值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? ? x 2 ? 2ax ? lnx ? 2ax ?
1 2 x ,其中 a ? R . 2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,且曲线 f ? x ? 在 x ? t 处的切线过原点,求直线的方程;(3 分) (Ⅱ)求 f ? x ? 的极值; (Ⅲ)若函数 f ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,证明 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
1 2 a ? 3a . 2

-6-

22、 (本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已 知 曲 线 C 的极坐标方程为: ? ?
x ? 2 ? tcos? 4cos? ,直线的参数方程是 { (为参 数 , 2 y ? 2 ? tsin? 1 ? cos ?

0 ? ? ? ? ). (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程;(2 分)
(Ⅱ)设直线与曲线 C 交于两点 A, B ,且线段 AB 的中点为 M ? 2, 2 ? ,求 ? .(至少用 2 种方 法解答才能得满分。写出一种得 3 分,两种得 5 分。两种以上的每多一种加 3 分。成绩计入 总分。)

23、 (本小题满分 7 分) 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知 a ? b ? c ? 1 ,证明:

? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? c ? 1?
2 2

2

?

16 ;(3 分) 3

(Ⅱ)若对任意实数 x ,不等式 x ? a ? 2 x ? 1 ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.(4 分)

-7-

参考答案
1. A 4. D 5.A 6.C 2.C 3.C

?? ?? ?? ? ? ? 7.A 【解析】 f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? , y ? f ? x ? ? 的图象与 y ? f ? x ? ? 的图象重合,说明函 4? 4? 4? ? ? ?
数 的 周 期

?
2

, 由 于
? ?

??0



T?

2?

?

??

2?

?

?

?
2



? ? ?4



?0 ? ?4 , g ? x ? ? cos ? ?4 x ?
2 k? ? ? ? 4 x ?

??

?? ? ? ? cos ? 4 x ? ? , 3? 3? ?
k? ? k? ? ? ?x? ? , k ? Z ,选 A 2 3 2 12

?
3

? 2k? ,则

8.A 9.C

10 、 C 解 析 : 因 为 2acosB ? 2c ? b , 由 余 弦 定 理 得 2a ?

a 2 ? c2 ? b2 ? 2c ? b , 整 理 得 2ac

b2 ? c2 ? a 2 2 ? ,即 A ? ,因为 O 是 ?ABC 的外心,则对于 ? 2bc 2 4 ??? ? ? ? ? cosA ??? cosB ??? cosC ??? 平面内任意点 P ,均有: PO ? PA ? PB ? PC ,令 P 与 A 重合, 2sinBsinC 2sinAsinC 2sinAsinB

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ,所以 cosA ?

???? ? cosC ???? ? cosC ???? ? cosB ??? 2 ? cosB ??? , ∵ AO ? AB ? AC ? AB ? AC ? ? 4 2 ? sinC sinB 2sinC 2sinB ? ? cosC ???? ???? cosB ??? AB ? AC ? m AO ,∴ m ? 2 .故选 C. sinC sinB 三角形的四心与向量关系: ??? ? ??? ? ???? ? ( 1 ) O 是 ?ABC 重 心 ? OA ? OB ? OC ? 0 , P 是 平 面 ABC 内 任 一 点 ,

A?

?



??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? O 是 ?ABC 垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA , (2 ) PG ? PA ? PB ? PC ? G 是 ?ABC 重心. 2 ??? ? ??? ? ???? ? 若 O 是 ?ABC 垂心,则 tanAOA ? tanBOB ? tanCOC ? 0 .

?

?

??? ? ??? ? ???? ( 3 ) O 是 ?ABC 外 心 ? OA ? OB ? OC

, 若 O 是 ?ABC 外 心 , 则

??? ? ??? ? ???? ? sin2 AOA ? sin2 BOB ? sin2COC ? 0 .
若 O 是 ?ABC 外 心 , 则 对 于 平 面 内 任 意 点 ??? ? ? ? ? cosA ??? cosB ??? cosC ??? PO ? PA ? PB ? PC . 2sinBsinC 2sinAsinC 2sinAsinB
-8-

P

, 均 有 :

??? ? ? (4) O 是 ?ABC 内心 ? OA ? ? ? ?

??? ? ???? ? ? ? AB AC ? ??? ??? ? ? ???? ? OB ? ? ? AB AC ? ? ?

??? ? ??? ?? ? BA BC ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ? OC ? ? BA BC ? ? ?

??? ? ??? ?? CA CB ? ??? ? ? ??? ? ?0 CA CB ? ?

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? O 是 ?ABC 内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 , O 是 ?ABC 内心 ? sinAOA ? sinBOB ? sinCOC ? 0 .
11、B 12 D 【 解 析 】 由 于 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 函 数 f ? x ? 为 偶 函 数. f ? ?2mx ? lnx ? 3? ? f ? 2mx ? lnx ? 3? ,原不等式化为: f ? 2mx ? lnx ? 3? ? f ? 3? 偶 函 数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上 单 调 增 , 则 在 ? ??, 0 ? 上 单 调 减 , 图 象 关 于 y 轴 对 称 , 则 :

2mx ? lnx ? 3 ? 3 , ?3 ? 2mx ? lnx ? 3 ? 3 , 0 ? 2mx ? lnx ? 6 , 故 lnx ? 2mx ? lnx ? 6



lnx lnx ? 6 lnx 1 ? lnx 1 ,设 g ? x ? ? , g? ? x? ? ,易知当 x ? e 时, g ? x ?max ? ,则 ? 2m ? 2 x x x x e 1 1 lnx ? 6 lnx ? 5 ;令 h ? x ? ? , h? ? x ? ? ? , x ? ?1,3? , h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 2m ? ? m ? e 2e x x2 ln3 ? 6 ln3 ? 6 ln3 ? 6 ,则 2m ? ,综上可得: ?m? ?1,3? 上是减函数, h ? x ?min ? h ? 3? ? 3 3 6 1 ln3 ? 6 ,选 D. ?m? 2e 6

1? ? 13、-29 解:由题意可知: ? x 2 ? x ? 1 ? ? x? ?
项公式为:

4

? 1 ? ? x ? 1? ? x ? 1? ?1 ? ? ? x5 ? x?
9

4

,其中分子的展开式的通

? ?1?

n

n 13? m ? n C9mC4 x ? 0 ? m ? 9, 0 ? n ? 4 ? ,满足题意时,分子为取 x 4 ,此时:

m ? n ? 9 ,则实数 m, n 的取值可以是:

? 9, 0 ? , ?8,1? , ? 7, 2 ? , ? 6,3? , ? 5, 4 ?
4

,据此可得系数为:

? ?1?

0

9 0 8 1 7 2 6 3 5 4 C9 C4 ? ? ?1? C9 C4 ? ? ?1? C9 C4 ? ? ?1? C9 C4 ? ? ?1? C9 C4 ? ?29 . 1 2 3

14、【答案】4、5、32(不全不得分) a a m m 【解析】(1)若 a1 ? m 为偶数,则 1 为偶, 故 a2 ? a3 ? 2 ? 2 2 2 4 m m m m ①当 仍为偶数时, a4 ? ??????a6 ? 故 ? 1 ? m ? 32 4 8 32 32 3 3 m ?1 m ?1 m 3 ②当 为奇数时, a4 ? 3a3 ? 1 ? m ? 1 ?????? a6 ? 4 故4 ? 1 得 m=4。 4 4 4 4 3m ? 1 (2)若 a1 ? m 为奇数,则 a2 ? 3a1 ? 1 ? 3m ? 1 为偶数,故 a3 ? 必为偶数 2 3m ? 1 3m ? 1 ,所以 =1 可得 m=5 ?????? a6 ? 16 16

-9-

15.

?8? ,16? ?















R ? 2k , BC ? a ? 3k (k ? 0) ,如图,设 ?BCD 的中心

为 O1 , 连接 O1 D .设三棱锥 A ? BCD 的高为 h ,在中, 由 勾 股 定 理 可 得 OD 2 ? OO12 ? O1 D 2 , 即

? 3a ? 2 , 即 h 2 ? 4kh ? 3k 2 ? 0 又 h ? 2k , , 所 以 h ? 3k , 所 以 R ?? ? 3 ? ? ? ?h ? R? ? ?
2

2

1 3 2 1 3 2 VA? BCD ? ? a h? ? ? 3k ? ? 3k ? 18 3 ,解得 k ? 2 ,故 R ? 4, a ? 6 易得 3 4 3 4

O1 E ? 2 ,所以 OE ? 2 2 ,当截面与 OE 垂直时,截面圆的面积有最大值,此时截面圆的半径

r ? R 2 ? OE 2 ? 2 2 ,此时截面圆的面积为 8? ,当截面经过平均发展速度时,截面圆的面积
最大 ,且最大值为 16? . 16 【 答 案 】 ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) 【 解 析 】 由 题 意 , 得

f ? x ? ? {1 2

sin? x, x ? ? 0, 2? f ? x ? 2 ? , x ? ? 2, ?? ?
的图象如图所示, 由图象

f ? x ?max ? 1, f ? x ?min ? ?1 ,则任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,都有
f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 故(1)正确;函数

y ? f ? x? 在
f ? x ? 2k ? ?

? 4,5?

上 先 增 后 减 , 故 ( 2 ) 错 误 ; 当 x ? ? 0, 2? 时 ,

1 1 f ? x ? 2k ? 2 ? ? 2 f ? x ? 2k ? 4 ? 2 2 1 ? ??? ? k f ? x ? ,即 f ? x ? ? 2k f ? x ? 2k ? , x ? N* ,故(3)错误;在同一坐标系中作出 f ? x ? 2

和 y ? ln ? x ? 1? 的图象,可知两函数图象有三个不同公共点,即函数 y ? f ? x ? ? ln ? x ? 1? 有 3 个 零点,故(4)正确; 在同一坐标系中作出 f ? x ? 和 y ? m 的图象,由图象可知当且仅当 ?1 ? m ? ? 程 f ? x ? ? m(m ? 0) 有且只有两个不同的实根 x1 , x2 ,且 x1 , x2 关于 x ? (5)正确
1 17. (I) 在 S n ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 中, 令 n=1, 可得 S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 , 2 1 即 a1 ? 2
- 10 -

1 时,关于 x 的方 2

3 对称,即 x1 ? x2 ? 3 ;故 2

n?2 1 n?2 1 S n ?1 ? ?an ?1 ? ( ) ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 2 2 1 n ?1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1, 即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1





又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 ?bn ? 是首项和公差均

n . 2n n ?1 1 1 1 1 1 (II)由(I)得 cn ? an ? (n ? 1)( ) n ,所以 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n n 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 n ?1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 由 ① ② 得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? K ? ( ) n ? ( n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) 2 2 2 1? Tn ? ? 3? n ? ? 2 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1) n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 5n 于是确定 Tn与 的大小关系等价于比较 2n 与2n ? 1 的大小 2n ? 1

为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?

由 2 ? 2 ?1 ? 1; 22 ? 2 ? 2 ? 1; 23 ? 2 ? 3 ? 1; 2 4 ? 2 ? 4 ? 1; 25 ? 2 ? 5; K

2n ? 2n ? 1. 证明如下:证法 1:(1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 可猜想当 n ? 3时,
(2)假设 n ? k ? 1 时 2k ?1 ? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2( k ? 1) ? 1 ? (2k ? 1) ? 2( k ? 1) ? 1 所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立综合(1)(2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2n ? 2n ? 1. 证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n ?1 n 0 1 n ?1 n 2n ? (1 ? 1) n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 综 上 所 述 , 当

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1 18[解] (1)由频率分布直方图可知则 10×(0.035+a+0.020+0.014+0.004+0.002)=1, 1 所以 a=0.025,所以市民非常满意的概率为 0.025×10= .2 分又市民的满意度评分相互独 4 立, 1 3 189 67 ?1?0?3?4 1? ?1? ?3 故所求事件的概率 P=1-C0 = .4 分 4? ? ? ? -C4? ? ? ? =1- 256 256 ?4? ?4? ?4? ?4?

n ? 1, 2时 Tn ?

- 11 -

1 (2)按年龄分层抽样抽取 15 人进行座谈,则老年市民抽 15× =5 人,从 15 3 3 人中选取 3 名整改督导员的所有可能情况为 C15,由题知 X 的可能取值为 2 C3 24 C1 45 10 5C10 0,1,2,3,P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C15 91 C15 91 2 1 3 C5C10 20 C5 2 P(X=2)= 3 = ,P(X=3)= 3 = ,6 分 C15 91 C15 91 X 分布列为 X 0 1 2 3 24 2 错误! 错误! P 91 91 24 45 20 2 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× =1.8 分 91 91 91 91 (3)由频率分布直方图,得(45×0.002+55×0.004+65×0.014+75×0.02+85×0.035+95 ×0.025)×10=80.7,所以估计市民满意度程度的平均得分为 80.7.因此市民满意度指数为 80.7 =0.807>0.8,所以该项目能够通过验收.12 分 100 19、Ⅰ)取 EB 的中点 M ,连接 PM , QM ,又 P 为 DE 的 中点,所以 PM ∥ BD , PM ? 平面 BCD , BD ? 平面

BCD , 所以 PM ∥ 平面 BCD , 同理可证 MQ ∥ BC , MQ ∥
平面 BCD ,又因为 PM ? MQ ? M ,所以平面 PMQ ∥ 平面

BCD , PQ ? 平面 PQM ,所以 PQ ∥ 平面 BCD .
(Ⅱ)在平面 DFC 内,过点 F 作 FC 的垂线,易证明这条 2? 垂线垂直平面 EBCF ,因为二面角 A ? EF ? B 大小为 , 3 2? 所以 ?DFC ? , 建立空间直角坐标系 F ? xyx 如图所示, 则 E ? 2, 0, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , B ? 2,1, 0 ? , 3 ??? ? ??? ? ??? ? D 0, ?1, 3 , A 2, ?1, 3 ,则 BD ? ?2, ?2, 3 , AB ? 0, 2, ? 3 , EB ? ? 0,1, 0 ? ,

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ??? m ? BD ? 0 ?2 x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? 设平面 DAB 的一个法向量 m ? ? x, y, z ? ,根据 { ? ??? ,令 z ? 3 ,则 ? { ? m ? AB ? 0 2 y ? 3z ? 0 ? ? ??? n ? BD ?0 ? 3 ? ? 3 ? x ?0, y ? , 所以 m ? ? 0, , 3 ? , 设平面 DBE 的一个法向量 n ? ? x1 , y1 , z1 ? , 根据 { ? ??? ? ? 2 ? 2 ? n ? EB ? 0

?2 x ? 2 y1 ? 3 z1 ? 0 3 ? ?3 ? { 1 ,令 z1 ? 3 ,则 y1 ? 0 , x1 ? ,所以 n ? ? , 0, 3 ? , 2 y1 ? 0 ?2 ?

? ? m?n ? ? 所以 cos? m, n ? ? ? ? ? ? m n

3 9 9 ?3? ?3 4 4

?

4 3 4 ? ,所以二面角 A ? DB ? E 的余弦值为 . 21 7 7 4
- 12 -

变式 如图,直角三角形 ABC 中,∠A=60°,∠ ABC=90°,AB=2,E 为线段 BC 上一点,且 BE 1 = BC, 沿 AC 边上的中线 BD 将△ABD 折起到△PBD 3 的位置. (1)求证:BD⊥PE; (2)当平面 PBD⊥平面 BCD 时,求二面角 C?PB?D 的余弦值. [解] 由已知得 DC=PD=PB=BD=2,BC=2 3.1 分(1)证明:取 BD 的中点 O,连接 OE,PO. 2 3 3 ∵OB=1,BE= 且∠OBE=30°,∴OE= ,∴OE⊥BD.3 分∵PB=PD,O 为 BD 的中点, 3 3 ∴PO⊥BD.又 PO∩OE=O,∴BD⊥平面 POE.∵PE? 平面 POE,∴BD⊥PE.5 分 (2)∵平面 PBD⊥平面 BCD,平面 PBD∩平面 BCD=BD,PO⊥BD,∴PO⊥平面 BCD,∴OE, OB,OP 两两垂直,如图以 O 为坐标原点,以 OE,OB,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系, → → 则 B(0,1,0),P(0,0, 3),C( 3,-2,0),∴BP=(0,-1, 3),BC=( 3,-3,0).7 ? ?-y+ 3z=0, 分设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),则? ? 3x-3y=0, ?

?z= 3y, 3 ∴? ?x= 3y,

不妨令 y 3 13 , 13

= 3, 得 n=(3, 3, 1).10 又平面 PBD 的一个法向量为 m=(1,0,0), ∴cos 〈m, n〉 = 故二面角 C?PB?D 的余弦值为 3 13 .12 13

20、解: (1)设动圆的圆心为 E(x,y)则 PE ? (

MN 2

)2 ? x2 即:(x ? 2)2 ? y2 ? 4 ? x2 ∴

y2 ? ?4x 即:动圆圆心的轨迹 E 的方程为 y2 ? ?4x ????.4 分
(2)当直线 AB 的斜率不存在时,AB⊥x 轴,此时, A(?2,2 2),B(?2, ?2 2) ∴ AB ? CD ? 4 2 ∴ S1 ? S2 ? 8 2 ∴ S1 ? S2 ? 16 2 ??????????.5 分 当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的斜率为 k, 则k ? 0, k ? 0. 直线 AB 的方程是 y ? k(x ? 2) ,

?y ? k(x ? 2) 2 2 设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y 2 ),联立方程 ? 2 ,消去 y,得: k (x ? 2) ? 4x ? 0(k ? 0), ? y ? ?4x

4(k2 ? 1) 即: k x ? 4(k ? 1)x ? 4k ? 0(k ? 0)∴ ? ? 16(2k ? 1) ? 0 , x1 ? x2 ? ? , k2
2 2 2 2 2

x1x2 ? 4

- 13 -

由 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y 2 )知,直线 AC 的方程为 y ?

y1 y x ,直线 AC 的方程为 y ? 2 x ,∴ x1 x2

C(2,

k(x2 ? x1 ) y y 2y1 2y 1 ),D(2, 2 )∴ CD ? 2 1 ? 2 ? 2 ∴ S1 ? (2 ? x1 ) ? CD , x1 x2 x1x2 x1 x2 2
1 (2 ? x 2 ) ? CD 2 ????..9 分

S2 ?

3 1 1 1 3 S1 ? S2 ? [4 ? (x1 ? x 2 )] ? CD ? 4 (2 ? 2 ) (k ? 0) 令 t ? 2 ,则 t ? 0 , S1 ? S2 ? 4(2 ? t) 2 , t ? 0 2 k k

由于 函数 y ? 4(2 ? t) 2 在 (0, ??) 上是增函数?????????????????11 分 ∴ y ? 16 2 ∴ S1 ? S2 ? 16 2 综上所述, S1 ? S2 ? 16 2

3

∴ S1 ? S2 的最小值为 16 2 ???????????????????????????? 12 分 21、(Ⅰ)当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 lnx ?
1 2 x , f ? ? x ? ? 2 xlnx ,???1 分所以切线的斜率 2

k ? f ? ? t ? ? 2tlnt ,又直线过原点,所以 k ?
t?

f ?t ? t

1 1 1 ? tlnt ? t ,由 2tlnt ? tlnt ? t 得 lnt ? ? , 2 2 2

1 1 x ? 1 ? .所以 k ? f ? ? ,故切线的方程为 y ? ? ,即 x ? e y ? 0 .???3 分 ??? e e e ? e?
1 2 x ,可得 f ? ? x ? ? ? 2 x ? 2a ? lnx , 2

(Ⅱ)由 f ? x ? ? ? x 2 ? 2ax ? lnx ?2ax ?

①当 a ? 0 时 f ? ? x ? ? 0 ? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1 , f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增, 在 ? 0,1? 上单调递减, f ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,且 f ?1? ? 2a ? ② 当 0 ? a ? 1 时 f ?? x? ? 0 ?
1 , f ? x ? 没有极大值;.???4 分 2

x ?1 或 0 ? x ? a ,

f ?? x? ? 0

? a ? x ? 1 . f ? x ? 在 ? 0, a ? ,
3 2 a , 2

在 ? a,1? 上单调递减, f ? x ? 在 x ? a 时取到极大值, 且 f ? a ? ? ?a 2 lna ? ?1, ?? ? 上单调递增,

f ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值,且 f ?1? ? 2a ?

1 ;???5 分 2

③当 a ? 1 时 f ? ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上单调递增, f ? x ? 没有极大值也没有极值; 6分 ④当 a ? 1 时 f ? ? x ? ? 0 ? x ? a 或 0 ? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ? 1 ? x ? a , f ? x ? 在 ? 0,1? , ? a, ?? ?
3 上单调递增, 在 ?1, a ? 上单调递减, f ? x ? 在 x ? a 时取到极小值, 且 f ? a ? ? ?a 2 lna ? a 2 . f ? x ? 2
- 14 -

在 x ? 1 时取到极大值,且 f ?1? ? 2a ?

1 .???7 分 2

1 , f ? x ? 没有极大值;当 0 ? a ? 1 时, 2 3 1 f ? x ? 在 x ? a 时取到极大值 ?a 2 lna ? a 2 ,在 x ? 1 时取到极小值 2a ? ;当 a ? 1 时, f ? x ? 没 2 2 3 有极大值也没有极小值;当 a ? 1 时, f ? x ? 在 x ? a 时取到极小值 ?a 2 lna ? a 2 .在 x ? 1 时取到 2 1 极大值 2a ? .???8 分 2

综上可得, 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 x ? 1 时取到极小值 2a ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? 0 且 a ? 1 时, f ? x ? 有两个极值 f ? x ? 点 x1 , x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

f ? a ? ? f ?1?

3 1 ? ?a 2 lna ? a 2 ? 2a ? . 所 以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 2

?1 2 ? ? a ? 3a ? ? ?2 ?

?a 2 lna ? a ?

1 ? 2

1? ? ?a 2 ? lna ? 1 ? ? ,10 分 a? ?

设 g ? a ? ? lna ? 1 ?

1 1 1 a ?1 ,则 g ? ? a ? ? ? 2 ? 2 ,所以 g ? a ? 在 ? 0,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单 a a a a

调 递 增 , 由 a ? 0 且 a ? 1 可 得 g ? a ? ? g ?1? ? 0 , 所 以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?
1 2 1? ? a ? 3a .??12 分 ?a 2 ? lna ? 1 ? ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 2 a? ?

?1 2 ? ? a ? 3a ? ?2 ?

?

22、 (I)曲线 C : ? ? 为: y 2 ? 4 x

4cos? ,即 ? sin 2? ? 4cos? ,于是有 ? 2sin 2? ? 4 ? cos? ,化为直角坐标方程 2 1 ? cos ?

y2 ? 4x 2 (II)方法: {x ? 2 ? tcos? ? ? 2 ? tsin? ? ? 4 ? 2 ? tcos? ? 即 t 2sin 2? ? ? 4sin? ? 4cos? ? t ? 4 ? 0 y ? 2 ? tsin?
由 AB 的 中 点 为 M ? 2, 2 ? 得 t1 ? t2 ? 0 , 有 4sin? ? 4cos? ? 0 , 所以 k ? tan? ? 1 由 0 ? ? ? ? 得

??

?
4

方 法 2: 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 {
kl ? tan? ?

y12 ? 4 x1
2 y2 ? 4 x2

? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? , ∵ y1 ? y2 ? 4, , ∴

? y2 ? ? y2 ? y1 ? y2 ? ? 1 ,由 0 ? ? ? ? 得 ? ? .方法 3: 设 A ? 1 , y1 ? , B ? 2 , y2 ? , ( y1 ? y2 ) ,则由 4 x1 ? x2 ? 4 ? ? 4 ?

- 15 -

2 y12 y2 y ?y ?4 ? ?4 M ? 2, 2 ? 是 AB 的中点得 { 4 ?{ 1 2 , 4 y1 y2 ? 0 y1 ? y2 ? 4

∵ y1 ? y2 ,∴ y1 ? 0, y2 ? 4 ,知 A ? 0, 0 ? , B ? 4, 4 ? ∴ kl ? tan? ? 1 ,由 0 ? ? ? ? 得 ? ?
2

?
4

.

? y2 ? 方 法 4: 依 题 意 设 直 线 l : y ? 2 ? k ? x ? 2 ? , 与 y ? 4 x 联 立 得 y ? 2 ? k ? ? 2 ? , 即 ? 4 ?
ky 2 ? 4 y ? 8k ? 8 ? 0
由 y1 ? y2 ? 23.
2

4 ? ? 4 得 k ? tan? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? . k 4 a ?b ? c ?1 ( Ⅰ ) 证 明 : 因 为
2 2







? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? c ? 1?

? a 2 ? b2 ? c2 ? 2 ? a ? b ? c ? ? 3 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 5

. 所 以 要 证 明

? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? c ? 1?
2 2

2

?

16 1 ,即证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? . 3 3
2

因为 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a ? b ? c ? ? 2 ? ab ? bc ? ca ? ? ? a ? b ? c ? ? 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ,
2 2 1 所以 3 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? a ? b ? c ? .因为 a ? b ? c ? 1 ,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? . 3 16 2 2 2 所以 ? a ? 1? ? ? b ? 1? ? ? c ? 1? ? . 3

?

?

?

?

(Ⅱ)设 f ? x ? ? x ? a ? 2 x ? 1 ,则“对任意实数 x ,不等式 x ? a ? 2 x ? 1 ? 2 恒成立”等价于
?3 x ? a ? 1, x ? a,
1 1 ?1? 1 “? ? f ? x ?? ? min ? 2 ”.当 a ? 2 时, f ? x ? ? {? x ? 1 ? a, a ? x ? 2 , 此时 ? ? f ? x ?? ? min ? f ? 2 ? ? 2 ? a , ? ? 1 3 x ? a ? 1, x ? . 2 1 3 1 1 2 要使 x ? a ? 2 x ? 1 ? 2 恒成立,必须 ? a ? 2 ,解得 a ? ? .当 a ? 时, x ? ? 不可能恒 2 2 2 2 3

成立.

1 ?3 x ? a ? 1, x ? , 2 1 1 1 ?1? 当 a ? 时, f ? x ? ? {x ? a ? 1, ? x ? a, 此时 ? f ? x ?? ? f ? ??a? , ? ? min 2 2 2 ?2? 3 x ? a ? 1, x ? a.
要 使 x ? a ? 2x ?1 ? 2 恒 成 立 , 必 须 a ?
3 5 ? ? ? ??, ? ?? ? , ?? ? . 2 2 ? ?
- 16 -

1 5 ? 2 ,解得 a ? .综上可知,实数 a 的取范为 2 2

- 17 -


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