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17.1一元二次方程的概念

时间:2017-10-29


判断
x 2是二次根式. x 2 ? 3是二次根式.
2x ? 3 ? a

? a是一个常数 ?,是方程.
(a是一个常数), 是一元一次方程.

ax ? 3 ? 2

回忆:什么叫一元一次方程?
? 只含有一个未知数 ? 未知数的最高次数为1 ? 整式方程

绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开 辟面积为1200平方米的一块长方形绿地,并且宽为30 米,那么绿地的长为多少米?(要求列方程计算)

楼房 绿苑小区住宅设计,准备在 每两幢楼房之间,开辟面积为 1200平方米的一块长方形绿地, 并且长比宽多10米,那么绿地的 长和宽各为多少?

绿地 楼房

思考1:以上方程与一元一次方程的区别在哪里? 思考2:它们有什么共同点呢? 思考3:你能类比一元一次方程给上面个方程起个名

称吗? 思考4:根据以上讨论的结果,你能说出什么方程是
一元二次方程吗?

只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的 整式方程,叫做一元二次方程.

一元二次方程通常写成如下一般形式: ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0), 其中ax2叫做二次项,a是二次项系数; bx叫做一次项,b是一次项系数; c叫做常数项.

判断下列方程是否为一元二次方程.

?1? x

3

?4 ? 0
2

4 ? 2? x ? ? 4 x
2

? 3?

2x ?1 ? y

? 4?

3 y ? y ? 2? ? 5

练习1:判断下列方程哪些是一元二次方程:

?1? x

2

? 16 ? 0;

? 2? 3 y

2

? 4 y ? 0;

1 1 2 ? 3? x ? ? 0; ? 4 ? 3x ? x ? 1 ? 0; x 3 ? 5?? x ? 1?? x ? 4 ? ? x ? x ? 2 ? ;

? 6 ?? x ? 3?? x ? 3? ? 4 ? 0.

判断下列方程是否为一元二次方程.

?5??3 ?10x? x ? 2x

2

? 9 ? 6 x ? 8x

2

?6? ax
? 7? a x

2

? bx ? c ? 0, a, b, c均为实数.
? 2 ? x ? 4? ? ?2x ? 9, a是常数.
2

2 2

2 2 2 8 a x ? 2 x ? 4 ? 2 x ? 9, a是常数. ? ? ? ?

例题1:把下列用一元二次方程化成一般式,并写出 方程中各项与各项的系数.

?1? ? 2?

2 x( x ? 1) ? 3x ? 4 y ? 3 ? 2( y ? 2)
2

例2: 判断下列关于x的方程是不是一元二次方 程

(9)(m ? 1) x ? 2 x ? 6 ? 0
2

例3:若关于x的方程

(m ? 1) x

|m|?1

? 2x ? 6 ? 0
1

是一元二次方程,则m=

例4

(1)关于x的方程 x ? nx ? 7 ? n 中,有一个根为2,则n的值.
2

(2)关于x的一元二次方程

?m ? 1?x

2

? x ? m ?1 ? 0
2

有一个解为0,求m的值.

例2 判断2、5、-4是不是一元二次方程x2+x=8-x的根. 1.能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做 方程的解。只含有一个未知数的方程,它的解又叫 做方程的根。

2.从这个一元二次方程看到,它的根的个数与一元 一次方程是不同的

在下列方程中,哪些方程有一个根为0?哪些方 程有一个根为1?哪些方程有一个根为-1?

(1)2 x ? x ? 0
2
2

(2)5x ? 4 x ? 0
2

(3)3x ? 2x ? 5 ? 0 (4) x ? 7 x ? 6 ? 0
2

(5) x ? 5x ? 4 ? 0 (6)2x ? 3x ? 5 ? 0
2

2

思考:一个根为0、1、-1的一元二次方程的项的 系数及常数项有什么特征?

进阶练习:
? 当m为何值时,关于x的方程:
2 2 ? ? ? m ? 1? ?? m ? 1? x ? x ? ? m ? 4 ? 2 x

1.是一元二次方程? 2.是一元一次方程? 3.有一个根为0,求m.

比较与思考:
? 判断2、-4是不是下列方程的根?

x ? x ? 8? x
2

2 ?1 ? x ? ? 2x ? ?2 ? x

1.必做题:练习册17.1
2.选做题:


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