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江苏省南京市高三数学二轮复习讲座3 数列二轮复习建议

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列二轮复习建议数
一、高考地位与考查要求 (一)数列地位 数列是刻画离散现象的数学模型, 数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用 价值具有重要的意义,是高中代数的重要内容之一.在高考中承载着对高中数学抽象概括能 力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察.因此,在历届高考中, 数列作为必考题,其难度属于中、高档难度. 江苏《考试说明》中的考查要求 内容 要求 A 数列有关概念 数 列 等差数列 等比数列 (二)考查动向 在 2011 年全国 18 套高考试卷中,考查数列基本量和基本性质的有天津、上海、全国、 湖南、重庆、北京、广东、福建(解答题) 、辽宁(解答题) 、全国新课标(解答题) 、山东 理(解答题) , 考查数列递推的有四川、江西、安徽、江苏(解答题) 、安徽(解答题) 、广 东(解答题) ,考查数列综合问题有四川、福建、湖北、江苏、北京(解答题) 、湖北(解答 题) 、全国(解答题) 、上海(解答题) 、四川(解答题) 、天津(解答题) 、浙江(解答题) 、 湖南(解答题) 、陕西(解答题). 江苏 08-11 数列高考题考查方向: 08 填空题:第 10 题,关于等差数列的数阵求下标号(实际求 n) ;解答题:倒数第 2 √ √ √ B C

题(考试说明上的始终不变的题). 09 和求 n). 10 填空题:第 8 题,与切线结合的等比数列求和;解答题:倒数第 2 题(等差数列求 填空题:第 10 题,关于等比数列求 q;解答题:第 17 题(关于等差数列求基本量

基本量及与不等式的综合问题). 11 填空题:第 13 题,等差、等比与不等式的综合;解答题:最后一题(等差数列求基

本量及递推问题). 分析近两年数列高考题出现的频率和位次, 发现数列在江苏高考中始终不变的是一小一 大,小题为中难度题,解答题几乎都为难题,考查内容都是关于等比及等差数列的问题,小

题几乎都涉及到等比数列,大题几乎都为等差数列,而且 09、10 和 11 都围绕同一个数列

an=2n-1 来展开设计, 值得深思.这些分析说明, 江苏高考数列题目与考试说明上的 C 级要求
是一致的,即系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题,因此 数列是江苏数学高考的一个重要的内容.高考题型一般有三种: 1、关于等差、等比数列的基本量问题,一般是求项、求和,较高的要求是求项数 n(如 2009 第 17 题); 2、通过递推或探索来判断数列及其性质的问题,常用的方法有累加、累乘法; 3、等差、等比数列与方程、不等式或简单的整数问题的综合(一般不与函数综合). 如果数列问题出现在最后一两题,则是综合性很强的问题,大多以数列为考查平台,综 合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识,通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、 等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题 的能力和数学探索创新的能力. 二、基本题型与基本策略 基本题型一:运用基本量思想解决等差、等比数列的求项、求和问题 例 1.(1) (2011 辽宁理 17) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10.

? an ? ①求数列{ an }的通项公式;②求数列 ? n ?1 ? 的前 n 项和. ?2 ?
说明:这是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题,根据 a2=0,a6+a8=-10,可以 列出关于 a1和d 的方程两个二元一次方程方程,通过加减消元或带入消元接出 a1和d 的值; 同时注意到个方程数列项下标特征,根据等差数列的性质 a6+a8=2a7=-10,得到 a7=-5,从而

d= ( a7- a2)=-1.
变式: (2010 全国卷Ⅰ理科数学 4)已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1a2 a3 =5,

1 5

a7 a8a9 =10,则 a4a5a6 ? ________.
说明:表面看这是一道可以用基本量思想解决的问题,但在实际操作过程中发现,使用 基本量列出方程组计算量较大,要得到结果还需借助指数幂的运算性质,易出错.如果仔细 观察已知条件与所求结论的关系,不难发现 a42 ? a1a7 , a52 ? a2a8 , a62 ? a3a9 ,运用等 比数列的性质可以很快得到 a4a5a6 ? 5 2. 选择恰当的方法有时可以大大简化我们的计算, 为考试赢得宝贵的时间,而恰当方法的选择,借助于我们认真审题和知识的融会贯通.

(2)等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和

S 20 .
说明: 这也是一道典型的运用基本量思想求数列和的问题, 同时也是一道简单地将等差 数列和等比数列组合在一起的问题, 通过 a4 ? 10 和 a3,a6,a10 成等比数列可以直接列出两 个关于基本量 a1和d 的方程组: ?

?a1 ? 3d ? 10
2 ?(a1 ? 5d ) ? (a1 ? 2d )(a1 ? 9d )

,此方程组是由一个二

元一次与一个二元二次方程组合而成, 宜采先化简再带入消元法的方法求解, 第二个方程可 化简为 a1d ? 7d 2 , 学生特别容易将 d 直接消去, 导致漏解的错误.最终结果 S 20 =200 或 330. 此种题型方法常规,思路明确,计算量适中,属容易题. 例 2. ( 2011 全 国 新 课 标 理 17 ) 已 知 等 比 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 , 且

2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .
①求数列 {an} 的通项公式;②设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

1 ? log3 an ,求数列 { } 的前 bn
1 .由条件可知 9

n 项和.
2 2 3 2 说明:①设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以 q ?

q>0,故 q ?

1 . 3 1 1 .故数列{an}的通项式为 an = n .②略. 3 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1+3a1q=1,所以 a1 ?

例 3. (江苏 2010、19、 (本小题满分 16 分))设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和 为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 (用 n, d 表示) ;②略. 说明: 解决这个问题的关键是学生要弄清楚哪个数列是等差数列, 是 所以问题求解应围绕着等差数列
2

? S ?是公差为 d 的等差数列。①求数列 ?a ?的通项公式
n
n

? S ?,不是 ?a ?,
n
n

? S ?展开,因为
n

Sn = S1 + (n-1)d ,所以 Sn=[ S1 +

(n-1)d] , 基 本 量 应 是 S1 和 d , 由 题 意 d 是 已 知 量 , 故 只 需 求 出 S1 , 把 题 目 条 件
2 代入 Sn=[ S1+(n-1)d] 2a2 ? a1 ? a3 转换为 2( S2 ? S1 ) ? S1 ? S3 ? S2 即 3S2 ? 3S1 ? S3 ,

得, 3( S1 ? d )2 ? 3S1 ? ( S1 ? 2d )2 ,化简,得: S1 ? d 2 ,

Sn ? d ? (n ? 1)d ? nd , Sn ? n2d 2
an ?
?1 n





n?2





S ?2

( Sn 2 ?

1 n

2 n2 ? ,适合 . n ) ? d ?1(情形 n . 故所求 2 ?an 2? d (2 1 n ? 1)? d2 )

d

第一问对南京的大部分学生是有难度的,但是作为数列的第一问又是必须要掌握的. 基本策略:等差、等比数列是两类最基本的数列,它们的通项公式、前 n 项和的公式中 均含有两个基本量, 因此数通过基本量思想求解等差等比的通项和前 n 项和是高考考查的重 点也是热点.在运用基本量思想解决问题时,要注意以下两个方面: 1、基本两思想在解决问题时比较程序化,认真审题选择恰当的方法是关键,有两个性 质有时可以简化我们的计算(在等差数列中,若 m? n ? p? q ( m , n , p , q ? *N)则 , ; am ? an ? ap ? aq 在等比数列中若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N * ), 则 am ? an ? ap ? aq ) 2、在计算过程中注意观察表达式的特征,灵活地运用计算方法.在等差数列求和的问 题中,首先是确定通项,选择恰当的求和公式,在等比数列求和中要注意 q =1 的情况单独 讨论. 3、 应不断强化学生头脑中的等差及等比数列的意识, 认真分析题目中的条件, 看清 “谁” 是等差或等比数列,那么解题中就应紧紧抓住这个数列不放. 基本题型二:与递推有关的数列问题 例 4. ( 2011 四 川 理 8 ) 数 列 ?an ? 的 首 项 为 3 , ?bn ? 为 等 差 数 列 且

bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? _______.
说明:由已知知 bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3

一般地,使用累加法求通项的递推形式为 an?1 ? an ? f (n) ,使用累乘法求通项的递推 形式为

a n ?1 ? f (n) ,使用错位相减法求和的通项公式为 cn ? (an ? b) ? qn (a ? 0, q ? 0,1) . an
2

例 5. (江苏 2010、8)函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标 为 ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=________. 说明:此题不难,但题目很长,等差还是等比要通过层层运算才能确定,需要学生具备 较好的运算能力,

2

由题意,在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?
2

ak , 2

所以 ak ?1 ?

ak , 又 a1=16,所以数列{an}为等比数列,a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 .对于这 2

样不难但运算很长的题目,也是南京不少学生的薄弱环节,平时在教学中要告诫学生,要 静下心来认真运算,那怕慢一点,也要确保正确.

的首项a1 ? 1 ,前 n 例 6. (2011 江苏 20)设M为部分正整数组成的集合,数列 {an }
项和为 S n ,已知对任意整数 k ? M,当整数 n ? k时, S n?k ? S n?k ? 2(S n ? S k ) 都成立

{an } 的通项公式. 设①设 M ? {1}, a2 ? 2, 求a5 的值;②设 M ? {3,4}, 求数列
说明:①由题设知,当

n ? 2时, Sn?1 ? Sn?1 ? 2(Sn ? S1 ) ,在表达式中同时出现 a ,S ,但 n n

题目是求 a5,所以采用的方法是运用公式 an ? ?

? S1 (n ? 1) ,将表达式转化为都关于 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

an 的式子,然后再进行求解.

所以

(Sn?1 ? Sn ) ? (Sn ? Sn?1 ) ? 2S1 ,

又a2 ? 2, n ? 2时, a 从而 an?1 ? an ? 2a1 ? 2, 所以数列 {故当 an}是等差数列 . n ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ?

an?1 ? an ? 2a1 ? 2, 又a2 ? 2, 故当n ? 2时, an ? a2 ? 2(n ? 2) ? 2n ? 2. 所以 a5 的值为 8. ②略.
基本策略:一般数列的求项求和问题大多以递推通项为背景,通过常见的公式、累加、 累乘、构造等方法对递推公式进行变形,最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进 行求解, 有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法, 但最后的目的还是将未知的数列转 化为我们已知的数列进行求解. 公式 an ? ?

? S1 (n ? 1) 要求每一个学生都掌握并会运 S ? S ( n ? 2) n ?1 ? n

用,其它类型的递推,由于类型较多,根据江苏教学要求及历年高考中考查的问题,一般要 求不高, 复习时建议不同层次的学校根据学生特点进行复习, 几种基本的递推模型人人掌握, 对于变形巧妙,难度较大的问题,讲解时可预设台阶或视学生情况选讲. 基本题型三:数列的综合问题(与不等式、方程等知识的综合) 例 7. 数列 ?an ?是等比数列, a1 =8,设 bn ? log 2 an ( n ? N? ) ,如果数列 ? bn ?的前 7 项和 S7 是它的前 n 项和组成的数列 ?Sn ?的最大值,且 S7 ? S8 ,求 ?an ?的公比 q 的取值范 围. 说明:这是一道较为简单的数列与函数、不等式结合的问题,解题步骤如下:

因为{ an }为等比数列,设公比为 q,由 a1 ? 8 则 an ? 8 ? qn?1 , bn ? log2 (8 ? qn?1 ) ? (n ?1)log2 q ? 3 ∴{ bn }为首项是 3,公差为 log 2 q 的等差数列;由 s 7 最大,且 s 7 ∴ s6

? s8

? s 7 ? s8

∴ s6

? s6 ? b7 ? s6 ? b7 ? b8

∴ 0 ? b7 且 b8 ? 0 ∴?

3? 6log 2 q ?0 ∴ 3? 7log 2 q ?0
∴2
? 1 2

?

1 3 ? log 2 q ? ? 2 7

?q?2

?

3 7



7 2 16 ?q? 2 2

从解题的过程可以看出此题运用到对数运算性质、 简单对数不等式的解法, 数列在题中 作为问题的载体,仅用到基本的等差等比通项知识. 例 8. ( 江 苏 2009 、 10) 设 {an } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , | q | ? 1, 令

bn ? an ? 1 (n ? 1, 2, ?), 若数列 {bn } 有连续四项在集合 {?53, ? 23, 19, 37, 82} 中,则
6q ?
.

说明:基础不好的学生会不知所措,找不到下手的地方,若学生能抓住等比数列 {an } 不 放,则问题转化为数列 {an } 有连续四项在集合 {?54, ? 24, 18, 36, 81} 中,到此,学生可 逐一作商寻找,也可利用性质,注意到五个数中有三正两负,根据等比数列的性质,等比 数列的项只能是正负相间, 又 | q | ? 1, 故数列 {an } 的连续四项应为 18, -24, 36, -54. 本 题的命题意图本题主要考查等比数列的基本概念, 对于公比为负的等比数列的基本结构要 有比较清晰的理解;可以直接计算求解,也可利用等比数列的性质求解.考查学生灵活运 用知识的能力.本题属难题. 由于不同层次的学生会选用优劣不一的方法,解题效率上会 有差异,决定了本题具有较好的区分度. 例 9.(江苏 2011、13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数 列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 说明:有等差又有等比,基本量在哪儿,注意到已知 d=1,所以 a2 为等差的基本量,先 用基本量表示已知条件得 1 ? a1 ? a2 ? a1q ? a2 ? 1 ? a1q ? a2 ? 2 ? a1q , 再注意到结论
2 3

为求 q 的最小值, 所以 a2+1、 a2+2 应尽可能的小, 故 a2=a1=1, 可得 1 ? q ? 2 ? q ? 3 ? q ,
2 3

所以 q ? 3 , q ? 2 , q ? 1 ,?qmin ? 3 3 .
3 2

这是一道与不等式结合的数列综合题,要想快速求解需要学生有较好的数学素养,甚至 解题过程还需要直觉的成份, 显然死记硬背式的学习对解决这样的问题是行不通的的, 因此 在数列教学中,我们更要关注学生对数列的深入理解,以及数学素养的教育. 例 10. (1)设 a1,a2,…,an 是各项均不为零的 n (n≥4) 项等差数列,且公差 d≠0, 若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当 n ? 4 时,求

a1 的数值; (ii)求 n 的所有可能值. d

(2)求证:存在一个各项及公差均不为零的 n ( n ≥ 4 ) 项等差数列, 任意删去其中 的 k 项(1≤k≤n-3) ,都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列. 说明:本题以等差数列、等比数列为平台,主要考查学生的探索与推理能力.本题属难 题. 首先证明一个“基本事实” : 一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差 d0=0. 事实上,设这个数列中的连续三项 a-d0,a,a+d0 成等比数列,则 a =( a-d0)( a+
2

d0),
由此得=a -d0 ,故 d0=0. (1) (i)当 n=4 时,由于数列的公差 d≠0,故由“基本事实”推知,删去的项只可 能为 a2 或 a3. ①若删去 a2 ,则由 a1,a3,a4 成等比数列,得 (a1 ? 2d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) . 因 d≠0,故由上式得 a1 ? ?4d ,即 设. ②若删去 a3 ,则由 a1,a2,a4 成等比数列,得 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) . 因 d≠0,故由上式得 a1 ? d ,即 综上可知
2 2

a1 ? ?4 .此时数列为-4d,-3d,-2d,-d,满足题 d

a1 ? 1 .此时数列为 d,2d,3d,4d,满足题设. d

a1 的值为-4 或 1. d

(ii) 当 n≥6 时,则从满足题设的数列 a1,a2,a3, …, an 中删去任意一项后得到的数 列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“基本事实” 知,数列 a1,a2,a3, …, an 的公差必为 0,这与题设矛盾.所以满足题设的数列的项数 n ≤5.又因题设 n≥4,故 n=4 或 5. 当 n=4 时,由(i)中的讨论知存在满足题设的数列.

当 n=5 时,若存在满足题设的数列 a1,a2,a3,a4,a5 ,则由“基本事实”知,删去 的 项 只 能 是 a3 , 从 而 a1, a2 , a, a5成 等 比 数 列 , 故 (a1 ? d )2 ? a1 ? (a1 ? 3d ) , 及 4
2 (a1 ? 3d ) ? (a a d. ) 1 ? d )( 1 ? 4

分别化简上述两个等式,得 a1d ? d 2 及 a1d ? ?5d 2 ,故 d ? 0 ,矛盾.因此, 不存在满 足题设的项数为 5 的等差数列.综上可知 n 只能为 4. (2)我们证明:当一个等差数列 b1,b2,…, bn (n≥4) 的首项 b1 与公差 d 之比值为 无理数时,此等差数列满足题设要求. 证明如下: 假设任意删去等差数列 b1,b2,…, bn (n≥4)中的 k(1≤k≤n-3)项后,得到的新数 列(按原来的顺序)构成等比数列,则可令此新数列中的连续三项为


b1 ? m1d ?,b1 ? m2d ?,b1 ? m3d ? ( 0 ≤ m1 < m2 < m3 ≤ n - 1 ) , 于 是 有

(b1 ? m2d ?)2 ? (b1 ? m1d ?)(b1 ? m3d ?) ,
化简得

(m22 ? m1m3 )d ?2 ? (m1 ? m3 ? 2m2 )b1d ? .

(*)

由 b1d ? ? 0 知, m2 2 ? m1m3 与 m1 ? m3 ? 2m2 同时为零或同时不为零. 若 m1 ? m3 ? 2m2 = 0 , 且 m2 2 ? m1 m3= 0 , 则 有 (

m1 ? m3 2 ) ? m1m3 ? 0 , 即 2

(m1 ? m3 )2 ? 0 ,得 m1 ? m3 ,从而 m1 ? m2 ? m3 ,矛盾.
因此,m1 ? m3 ? 2m2 与 m2 ? m1m3 都不为零, 故由 (*) 得
2

m2 2 ? m1m3 b1 . (**) ? d ? m1 ? m3 ? 2m2
b1 是一个无理数, d? b1 为无理数 d?

因为 m1,m2,m3 均为非负整数,所以(**)式右边是有理数,而 所以(**)不成立.

因此, 当一个等差数列 b1,b2,…, bn (n≥4) 的首项 b1 与公差 d 之比值



时,任意删去此等差数列中的 k 项(1≤k≤n-3) ,得到的新数列(按原来的顺序)都不能 构成等比数列. 基本策略:数列与函数、不等式都是高中数学重要内容,一些常见的解题技巧和思想方 法在数列与函数、不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现.以其知识交汇处为主干, 构筑成知识网络型代数推理题,在高考中出现的频率高、难度大.学生遇到此类问题一般具 有为难情绪, 因此, 建议复习时从入口低的问题入手, 让学生找到解决此类问题的基本途径, 建议能力稍弱的学生遇到此类问题不必强求.

三、本单元二轮专题和课时建议 专题 等差等比数列 第一课时 基本量问题 结合等差等比数列的基本性质 空题训练为主 培养学生表达式 重点侧重于几个常见的递推模 递推数列的求通项 第二课时 与求和 组求和法,裂项法,错位相减法 力,以解答题训 练为主 简单的运用函数、 不等式等知识 数列与方程、不等式 第三课时 的综合运用(一) 较大小等问题 合运用能力,以 数列与函数、不等式的综合运 数列与方程、不等式 第四课时 的综合运用(二) 况选讲) 知识与方法的灵 多种题型呈现: 数阵、 周期数列、 活运用,填空题 第五课时 探索型、开放型问题 存在性问题等 与解答题均可出 现 用,适当加大难度(根据学生情 练为主 综合性解答题训 求解数列的表达式、单调性、比 知识的迁移与综 型及几个常用的求和方法, 如分 字母运算的能 的变形与转化和 内容说明 重点侧重于基本量思想的运用, 运算能力,以填 注意事项 注重培养学生的


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