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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2017-2018学年高二上学期期末考

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辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才 学校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学(文)试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 对于常数 m、n ,“ mn ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 的曲线是双曲线“的”( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. a 2 ? b 2 )

2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中错误 的是( .. A.

1 1 ? a ?b a

B.

1 1 ? a b


C. a ? b

3.下列函数中,最小值为 4 的是( A. y ? log3 x ? 4log x 3 C. y ? sin x ?

B. y ? e x ? 4e? x D. y ? x ?

4 ?0 ? x ? ? ? sin x

4 x


? y ? 2x ? 4.已知实数 x, y 满足 ? y ? ?2 x ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是( ?x ? 3 ?

A. ?9

B.15

C. 0 )

D. ? 10

5.下列命题中,说法错误 的是( ..

A.“若 p ,则 q ”的否命题是“若 ?p ,则 ?q ” B.“ p ? q 是真命题”是“ p ? q 是真命题”的充分不必要条件 C.“ ?x ? 2, x2 ? 2 x ? 0 ”的否定是“ ?x ? 2, x 2 ? 2 x ? 0 ” D.“若 b ? 0 ,则 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c 是偶函数”的逆命题是真命题 6.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 a 与 32b 的等比中项,则 A.5 B.6 C. 7 D.8

2 1 ? 的最小值为( a b



7.已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 是以 F1 F2 为直径的圆与该椭圆的一个交 a 2 b2


点,且 ?PF1 F2 ? 2?PF2 F1 ,则这个椭圆的离心率是(

A. 3 ? 1

B. 2 ? 3

C.

3 ?1 2

D.
S8 ?( S4

2? 3 2

8.设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? 8a5 ? 0 ,则 A.



17 16

B.

1 2

C. 2

D.17

9.在等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项和, a1 ? ?11, A.11 B. ?11 C. 10

S10 S8 ? ? 2 ,则 S11 ? ( 10 8



D. ? 10

10.设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左右焦点,点 M ? a, b ? .若 a 2 b2
) D. 3

?MF1F2 ? 30? ,则双曲线 C 的离心率为(

A.

3 2

B. 2

C. 2

11.设 ?an ? 为等差数列,若 的 n 值为( A.18 ) B.19

a11 ? ?1 ,且它的前 n 项和 Sn 有最小值,那么当 Sn 取得最小正值时 a10

C. 20

D.21

12.已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,当 x ? 0 时, f ? x ? 满足,
2 f ? x ? ? xf ? ? x ? ? xf ? x ? ,则 f ? x ? 在 R 上的零点个数为(



A.5

B.3

C. 1 或 3

D.1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

2 3 13.函数 f ? x ? ? ? x3 ? x2 ? x 的递增区间为 3 2

. .

3 7 14.在数列 ?an ? 中, a2 ? , a3 ? ,且数列 ?nan ? 1? 是等比数列,则 an ? 2 3
15.已知函数 f ? x ? ? 值范围是

ex ? a ? a ? R ? ,若函数 f ? x ? 在区间 ? 2, 4? 上是单调增函数,则实数 a 的取 x


16.抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,已知点 A, B 为抛物线上的两个动点,且满足
?AFB ? 120? ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,则

MN AB

的最大值为

. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17. 若数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1, an ? 2an?1 ? 1 n ? N * , n ? 2 . (1)求证:数列 ?an ? 1? 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;
? 1 ? * (2)设 bn ? log2 ?1 ? an ? ,若数列 ? ? ? n ? N ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1 . ? bn ?1bn ?

?

?

18. 已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? ?a ? 1? x ? 1?a ? 0 ? . (1)若 f ? x ? ? 2 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 . 19.已知过点 A ? ?4,0 ? 的动直线 l 与抛物线 G : x2 ? 2 py ? p ? 0? 相交于 B, C 两点.当直线 l 的斜 率是

1 时, AC ? 4 AB . 2

(1)求抛物线 G 的方程; (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b ,求 b 的取值范围. 20.已知数列 ?an ? , ?bn ? , Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a2 ? 4b1 , Sn ? 2an ? 2 ,

nbn?1 ? ? n ? 1? bn ? n2 ? n ? n ? N * ? .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;
?b ? (2)证明 ? n ? 为等差数列. ?n?

? an bn ? , n为奇数 ? ? 2 (3)若数列 ?cn ? 的通项公式为 cn ? ? ,令 pn ? c2n?1 ? c2n . Tn 为 ? pn ? 的前 n 项的 ? an bn , n为偶数 ? ? 4

和,求 Tn . 21.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点为 A ,右焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 B, C 两点. 4 3

(1)求该椭圆的离心率; (2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x ? 4 交于点 M , N ,问: x 轴上是否存在定点 P 使得
MP ? NP ?乳品存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

22.已知函数 f ? x ? ? b ln x, g ? x ? ? ax2 ? x ? a ? R ? (1)若曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 在公共点 A ?1,0? 处有相同的切线,求实数 a , b 的值;

(2)若 a ? 0, b ? 1 ,且曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 总存在公共的切线,求正数 a 的最小值.

试卷答案 一、选择题 1-5: CABAC 二、填空题
?1 ? 13. ? ,1? ?2 ?

6-10: DAABC

11、12:CD

14.

2n ? 1 n

2 15. ? ??e , ??

?

16.

3 3

三、解答题 17. 解:(1)证明:∵ an ? 2an?1 ? 1 ∴ an ? 1 ? 2 ? an ?1 ? 1? ,又∵ a1 ? ?1 ,∴ a1 ? 1 ? ?2 ∴数列 ?an ? 1? 是首项为 ?2 ,公比为 2 的等比数列 ∴ an ? 1 ? ? ?2? ? 2n?1 ? ?2n ∴ an ? 1 ? 2n

(2)由(1)知:∴ bn ? log2 ?1 ? an ? ? log2 2n ? n ∴
1 1 1 1 ? ? ? ,所以 bn bn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1 1 ? 1 n ?1 ?? ? ? ?1. ? ? 1? n n ? 1 n ? 1 n ?1 ? ?

? 1? ?1 1? Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3?

18.解:(1)∵ f ? x ? ? 2 在 R 上恒成立,即 ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,

? ?a ? 0 所以 ? ? ?3 ? 2 2 ? a ? ?3 ? 2 2 2 ? ?? a ? 1? ? 4a ? 0
(2) f ? x ? ? 0 ? ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 ? ? ax ? 1?? x ? 1? ? 0 ?*?
1? 1 ? 当 0 ? a ? 1 时, ?*? 式等价于 ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ? 1 ? x ? ; a a ? ?

当 a ? 1 时, ?*? 式等价于 ? x ? 1? ? 0 ? x ?? ;
2

1? 1 ? 当 a ? 1 时, ?*? 式等价于 ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ? ? x ? 1 ; a? a ? 1? 1 ? 当 a ? 0 时, ?*? 式等价于 ? x ? ? ? x ? 1? ? 0 ? x ? 或 x ? 1 a? a ?

? 1? 综上,当 0 ? a ? 1 时, f ? x ? ? 0 的解集为 ? 1, ? ; ? a?

当 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 的解集为 ? ;
?1 ? 当 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 的解集为 ? ,1 ? ; ?a ? 1? ? 当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 的解集为 ? ??, ? ? ?1, ?? ? . a? ?

19.解:(1)设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,当直线 l 的斜率是
? x 2 ? 2 py 即 x ? 2 y ? 4 ,由 ? 得: 2 y 2 ? ?8 ? p ? y ? 8 ? 0 x ? 2 y ? 4 ?

1 1 时, l 的方程为 y ? ? x ? 4? , 2 2

∴ ? ? ?8 ? p ? ? 64 ? p ? p ? 16? ? 0 ,
2

y1 y2 ? 4 ①, y1 ? y2 ?

8? p ②, 2

又∵ AC ? 4 AB ,∴ y2 ? 4 y1 ③, 由①②③及 p ? 0 得: p ? 2 ,得抛物线 G 的方程为 x 2 ? 4 y . (2)设 l : y ? k ? x ? 4? , BC 的中点坐标为 ? x0 , y0 ? ,

? x2 ? 4 y ? 由? 得 x 2 ? 4kx ? 16k ? 0 ④ y ? k x ? 4 ? ? ? ?
∴ x0 ?

xC ? xB ? 2k , y0 ? k ? x0 ? 4? ? 2k 2 ? 4k . 2 1 ? x ? 2k ? , k
2

∴线段 BC 的中垂线方程为 y ? 2k 2 ? 4k ? ?

∴线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为: b ? 2k 2 ? 4k ? 2 ? 2 ? k ? 1?

对于方程④,由 ? ? 16k 2 ? 64k ? 0 得 k ? 0 或 k ? ?4 ,∴ b ? ? 2, ?? ? .
? Sn ? 2an ? 2 ? an ? 2an ? 2an ?1 ? an ? 2an ?1 20.解:(1)当 n ? 1 时, ? ? Sn ?1 ? 2an ?1 ? 2

当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ? a1 ? 2 , 综上, ?an ? 是公比为 2,首项为 2 的等比数列, an ? 2n . (2)∵ a2 ? 4b1 ,∴ b1 ? 1 ,∵ nbn?1 ? ? n ? 1? bn ? n2 ? n ,∴

bn?1 bn ? ?1 n ?1 n

?b ? 综上, ? n ? 是公差为 1,首项为 1 的等差数列. ?n? b (3)由(2)知: n ? 1 ? n ? 1 ? bn ? n2 n

∴ pn ? c2n?1 ? c2n

??

? 2n ? 1?

2

? 22 n ?1

2

?

? 2n ?

2

? 22 n

4

? ? 4n ? 1? ? 22 n ? 2 ? ? 4n ? 1? ? 4n ?1

Tn ? 3 ? 40 ? 7 ? 41 ? 11? 42 ?

? ? 4n ? 1? 4n?1 ? ? 4n ? 5? 4n?1 ? ? 4n ? 1? ? 4n

∴ 4Tn ? 3 ? 41 ? 7 ? 42 ? 11? 43 ? 两式相减得:

?3Tn ? 3 ? 40 ? 4 ? 41 ? 4 ? 42 ?
4 ?1 ? 4n ?1 ? 1? 4

? 4 ? 4n?1 ? ? 4n ? 1? 4n

∴ ?3Tn ? 3 ? 4 ? ∴ Tn ?

? ? 4n ? 1? ? 4n

7 12n ? 7 n ? ?4 . 9 9

21.解:(1)由椭圆方程可得 a ? 2, b ? 3 ,从而椭圆的半焦距 c ? a 2 ? b2 ? 1 . 所以椭圆的离心率为 e ?

c 1 ? . a 2

(2)依题意,直, BC 的斜率不为 0,设其方程为 x ? ty ? 1 .

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 ? 4 ? 3t 2 ? y2 ? 6ty ? 9 ? 0 4 3 ?6t ?9 设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? . , y1 y2 ? 4 ? 3t 2 4 ? 3t 2 y 易知直线 AB 的方程是 y ? 1 ? x ? 2 ? , x1 ? 2
将其代入
? 6 y1 ? ? 6 y2 ? 从而可得 M ? 4, ? ,同理可得 N ? 4, ?. ? x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?

假设 x 轴上存在定点 P ? p,0 ? 使得 MP ? NP ,则有 PM ? PN ? 0 . 所以 ? p ? 4 ? ?
2

36 y1 y2 ? 0. ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ?
2

将 x1 ? ty1 ? 1, x2 ? ty2 ? 1 代入上式,整理得: ? p ? 4 ? ? 所以 ? p ? 4 ? ?
2

36 y1 y2 ?0 t y1 y2 ? 3t ? y1 ? y2 ? ? 9
2

t ? ?9 ? ? 3t ? ?6t ? ? 9 ? 4 ? 3t 2 ?
2

36 ? ? ?9 ?

? 0,

即 ? p ? 4? ? 9 ? 0 ,解得 p ? 1 或 p ? 7 .
2

所以 x 轴上存在定点 P ?1,0? 或 P ? 7,0 ? ,使得 MP ? NP .

? f ?1? ? 0 ? ?a ? 1 22.解:(1)依据题意: ? g ?1? ? 0 ?? ?b ? 1 ? ? ? f ?1? ? g ? ?1?
(2)当 a ? 0, b ? 1 时, f ? x ? ? ln x , f ? ? x ? ?

1 ? f ? x ? 在点 ? t ,ln t ? 处的切线方程为: x

y ? ln t ?

1 1 ? x ? t ? ,即 y ? x ? ln t ? 1 t t

1 ? 1 ? y ? x ? ln t ? 1 t 由? 得: ax2 ? (1 ? ) x ? ln t ? 1 ? 0 ① t ? y ? ax 2 ? x ?

? 1? ∵ f ? x ? , g ? x ? 总存在公切线,∴①的 ? ? ?1 ? ? ? 4a ? ? ln t ? 1? ? 0 , ? t? ? 1? 即关于 t 的方程 ?1 ? ? ? 4a ? ? ln t ? 1?? t ? 0 ? ②总有解. ? t?
2

2

∵左边 ? 0, a ? 0 ,∴ 1 ? ln t ? 0 ? 0 ? t ? e ,于是,②式 ? 4a ?
2

? t ? 1? ? 0 ? t ? e? 2 t ?1 ? ln t ?
2

令 h ?t ? ?

? t ? 1?? 2ln t ? t ? 1? ? t ? 1? ?0 ? t ? e? ? 0 ? t ? e ? ,则 h? ? t ? ? 2 2 t ?1 ? ln t ? t 3 ?1 ? ln t ?

当 t ? ? 0,1? 时, h? ? t ? ? 0 ;当 t ? ?1, e ? 时, h? ? t ? ? 0 ,∴ h ? t ? 在 ? 0,1? 递减, ?1, e ? 递增. ∴ h ? t ?min ? h ?1? ? 4 ,∴要使②有解,须 4a ? 4 ,即 a ? 1 , 故 amin ? 1 .
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