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上海市徐汇区2015届高三上学期学习能力诊断(一模)数学(理)试题

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2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科)
2015.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 3 1.已知 sin ? ? ? ,则 cos 2? ? __ ___. 5
2.若实数 x, y 满足 xy ? 4 ,则 x ? 4 y 的最小值为
2 2

. . .

3.设 i 是虚数单位,复数 z 满足 (2 ? i ) ? z ? 5 ,则 z ? 4.函数 f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 的反函数 f
2 2 ?1

( x) ?
2

5.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 x ?
2

y ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 3

为 . 6.若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 2 ,高为 4 ,则异面直线 BD1 与 AD 所成角 的大小是______________. (结果用反三角函数值表示) 7.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , S n ? 为 .

1 an ?1 ? 0(n ? N * ) ,则 ?an ? 的通项公式 2

x ?1 1 8.若全集 U ? R ,不等式 1 ? 1 的解集为 A ,则 CU A = ?1 x
2 2



9.已知圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ,方向向量 d ? (1,1) 的直线 l 过点 P (0, 4) ,则圆 C 上的 点到直线 l 的距离的最大值为 .

10.如图:在梯形 ABCD 中, AD / / BC 且 AD ?

1 BC , AC 与 2

BD 相 交 于 O , 设 AB ? a , DC ? b , 用 a, b 表 示 BO , 则

BO =



11.已知函数 f ( x ) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位

后得到函数 y ? g ( x ) 的图像.若 y ? g ( x ) 的图像上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小 值为 1 ,则 ? 的值为 .
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12.已知函数 f n ( x) ? 1 ?

1 1 2 ?( ) ? 2 2

1 n2 ? ( )n ? 2 ( x ? 1) ,其中 n ? N * . 2 n ? 2015
n ??

当n ?1 时, f n ( x) 的零点依次记作 x1, ,,, 2 3 x2, x3, ,则 lim xn ?



13.在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,若 A, B 关于 原点对称,则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f ? x ? 的一组“奇点对” (规定 ? A, B ? 与 ? B, A ? 是相

1 ? lg ? x ? 0? ? ? x 同的“奇点对” ) .函数 f ? x ? ? ? 的“奇点对”的组数是 1 ?sin x ? x ? 0 ? ? ? 2
14.设集合 A ?



?? x , x , x ,
1 2 3

, x10 ? | xi ? ??1, 0,1? , i ? 1, 2,3,

,10? ,则集合 A 中满足条件


“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ?

? x10 ? 9 ”的元素个数为

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则 一律得 0 分. 1 15. “ a ? ”是“实系数一元二次方程 x 2 ? x ? a ? 0 有虚数根”的( ) 4
(A)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件

16.已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,则下列给出的条件中

一定能推出 m ? ? 的是 (
(A) ? ? ? 且 m ? ?

) (B) ? ? ? 且 m // ? (D) m ? n 且 n // ?
*

? (C) m // n 且 n ? ?

17.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有 n 类 (n ? N ) , 分别编号为 1, 2,

, n ,买家共有 m 名 (m ? N * , m ? n) ,分别编号为 1, 2,

, m .若

?1, 第i名买家购买第j类商品 aij ? ? 1 ? i ? m,1 ? j ? n ,则同时购买第 1 类和第 2 ?0, 第i名买家不购买第j类商品
类商品的人数是( (A)a11 ? a12 ? )

? a1m ? a21 ? a22 ? ? am1am 2

? a2 m(B)a11 ? a21 ?

? am1 ? a12 ? a22 ? ? a1m a2 m

? am 2

(C) a11a12 ? a21a22 ? 18.对于方程为

(D) a11a21 ? a12 a22 ?

1 1 + =1 的曲线 C 给出以下三个命题: |x| | y|
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(1)曲线 C 关于原点中心对称; (2)曲线 C 既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,且 x 轴和 y 轴是曲线 C 仅有的两条对称轴; (3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q 都在曲线 C 上,则四边形 MNPQ 每一条边的边长都大于 2. 其中正确的命题是( ) (A)(1) (2) (B)(1) (3) (C)(2) (3) (D)(1) (2) (3)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? . 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2 (k ? R ) .
x ?x

(1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 k 的值;

(2)若函数 f ( x) 在 ? ??, 2? 上为减函数,求 k 的取值范围.

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1 , T2 组成,陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具有 公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的 且 T1 , T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴 所成角 ? ? arctan

1 , 3

2 . 若陀螺 T2 中圆锥的底面半径为 3

r ? r ? 0? .
(1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周 上一点 P 转动到点 P 1 ,求 P 与 P 1 之间的距离. 22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

x2 2 已知椭圆 ? : 2 ? y ? 1(常数 a ? 1 )的左顶点为 R ,点 A(a,1), B( ?a,1) ,O 为坐标原点. a
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(1)若 P 是椭圆 ? 上任意一点, OP ? mOA ? nOB ,求 m 2 ? n 2 的值; (2)设 Q 是椭圆 ? 上任意一点, S ? 3a, 0 ? ,求 QS ? QR 的取值范围; ( 3 )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是椭圆 ? 上的两个动点,满足 kOM ? kON ? kOA ? kOB ,试探究

?OMN 的面积是否为定值,说明理由.

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知有穷数列 {a n } 各项均不相等 ,将 {a n } 的项从大到小重新排序后相应的项数 构成新 .... ..... 数列 { pn } ,称 { pn } 为 {a n } 的“序数列” .例如数列: a1 , a 2 , a 3 满足 a1 ? a 3 ? a 2 ,则其序 数列 { pn } 为 1,3,2 . (1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 , L , an 的序数列 { pn } ; (2)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {c n } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) n ( n ? N * ),

3 5

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ),且 {bn } 的序数列与 {c n } 的序数列相同,求实数 t 的取值范
围; (3)若有穷数列 {d n } 满足 d 1 ? 1 , | d n ?1 ? d n |? ( ) n (n ? N ) ,且 {d 2 n ?1 } 的序数列单调
*

1 2

递减, {d 2 n } 的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式.

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理科参考答案 一、填空题: (每题 4 分) 1.

7 25

2.

16
7.

3.

5

4.

? x ? 2( x ? ?2)
8.

5.

x ? ?2
9.

6.

arctan 5
4r 2r ? a? b 3 3

?1, n ? 1 an ? ? n ? 2 * ?2 ? 3 , n ? 2, n ? N
11.

? ?1, 0?
14.

3 2

10.

?
6

12.

?3

13.

3

58024

二、选择题: (每题 5 分) 15. B 16. C 17. 三、解答题

C

18.

B

3 3 19、解: (1) f ( 5? ) ? A sin( 5? ? ? ) ? 3 , A ? ? ……………………..2’

12

12

4

2

2

2

? A ? 3 ; ……………………..4’
(2) f (? ) ? f ( ?? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin( ?? ? ? ) ? 3 ,

4 4 2 ? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (? sin ? ? cos ? )] ? 3 ,……………………..6’ 2 2 2 ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,……………………..8’ 2 4 ? 10 , ……………………..10’ 2 又 ? ? (0, ) ,? sin ? ? 1 ? cos ? ? 4 2 3 f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 30 .……………………..12’ 4 4 x ?x 20、 解: (1)f ( x) ? f ( ? x) ? (k ? 1)(2 ? 2 ) ? 0 对一切的 x ? R 成立, ……………………..4’ 所以 k ? ?1 ……………………..6’ (2)若 k ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ? ??, 2? 单调递增(舍)……………………..8’
当 k ? 0 时,令 t ? 2 ? ? 0, 4? ,……………………..9’
x

则函数 g (t ) ? t ?

k 在 ? 0, 4? 上单调递减……………………..10’ t

所以 k ? 4 ,……………………..13’ 即 k ? 16 ……………………..14’ 21、解: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h ,则 得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为
2

r 2 3 ? ,即 h ? r ……………………..2’ h 3 2

r ……………………..3’ 3

?r? r 1 V柱 =? ? ? ? ? r 3 ……………………..5’ ? 3 ? 3 27
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1 3 1 V椎 = ? r 2 r ? ? r 3 ……………………..7’ 3 2 2 29 3 VT2 ? V柱 ? V椎 ? ? r ……………………..8’ 54
(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O , 则 PP 1 ? 2? r ,……………………..10’ 得 ?POP 1 ?

PP 2? r 4? 1 ? ? ……………………..12’ OP 3 r 3 2
3 3 r ……………………..14’ 2

在 ?POP 3OP ? 1 中, PP 1 ?

22、解: (1) OP ? mOA ? nOB ? ? ma ? na, m ? n ? , 得 P ? ma ? na, m ? n ? ……………………..2’

?m ? n? ? ?m ? n?
2

2

? 1 ,即 m 2 ? n 2 ?

1 ……………………..4’ 2

(2)设 Q ? x, y ? ,则 QS ? QR ? ? 3a ? x, ? y ?? ? a ? x, ? y ?

? ? x ? 3a ?? x ? a ? ? y 2 ? ? x ? 3a ?? x ? a ? ? 1 ? a2 ?1 2 ? 2 x ? 2ax ? 1 ? 3a 2 a

x2 ……………………..5’ a2

a2 ?1 ? a 3 ? 4a 4 ? 4a 2 ? 1 ? 2 ?x? 2 ? ? ? ?a ? x ? a ? ……………………..6’ a ? a ?1 ? a2 ?1
由 a ? 1 ,得

2

a3 ? a ……………………..7’ a2 ?1

∴ 当 x ? ? a 时, QS ? QR 最大值为 0 ;……………………..8’ 当 x ? a 时, QS ? QR 最小值为 ?4a ;……………………..9’
2

即 QS ? QR 的取值范围为 ? ? ?4a , 0 ? ? ……………………..10’
2

(3) (解法一)由条件得,

y1 y2 1 ? ? 2 ,……………………..11’ x1 x2 a

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平方得 x1 x2 ? a y1 y2 ? (a ? x1 )(a ? x2 ) ,
2 2 4 2 2 2 2 2 2

即 x1 ? x2 ? a ……………………..12’
2 2 2

S ?OMN ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ……………………..13’ 2

?

1 x2 x2 2x 2 x 2 1 x12 y2 2 ? x2 2 y12 ? 2 x1 x2 y1 y2 = x12 (1 ? 22 ) ? x2 2 (1 ? 12 ) ? 1 2 2 2 a a a 2
1 a x12 ? x2 2 ? ……………………..15’ 2 2 a ……………………..16’ 2 a ……………………..11’ 2

?

故 ?OMN 的面积为定值

(解法二)①当直线 MN 的斜率不存在时,易得 ?OMN 的面积为 ②当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? kx ? t

? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? ?1 ? a 2 k 2 ? x 2 ? 2kta 2 x ? a 2 ? t 2 ? 1? ? 0 ……………………..12’ a ? ? y ? kx ? t ?
a 2 ? t 2 ? 1? ?2kta 2 由 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,可得 x1 ? x2 ? , , x1 x2 ? 1 ? a2k 2 1 ? a2k 2

t 2 ? a2k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? k x1 x2 ? kt ? x1 ? x2 ? x ? t ? 1 ? a2k 2
2 2

又 kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? 2 ,可得 2t 2 ? a 2 k 2 ? 1 ……………………..13’ x1 x2 a

因为 MN ? 1 ? k 2 ? x1 ? x2 ,……………………..14’ 点 O 到直线 MN 的距离 d ?

t 1? k 2

……………………..15’

S ?OMN

t t 1 ? ? MN ? d ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

t 2

?

4a 2 ?1 ? a 2 k 2 ? t 2 ?

?1 ? a k ?
2

2 2

?

a 2

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综上: ?OMN 的面积为定值

a ……………………..16’ 2

23、解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1, L , 2,1 ;……………………..2’ 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2, L , n ? 1, n ……………………..4’ (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) ?
n

3 5

3 ? 2n ,……………………..5’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn ?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 3 4 , b3 ? 3 ? ( ) , b4 ? 4 ? ( ) , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ? L ? bn , 故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4, L , n ,……………………..8’ 所以对于数列 {c n } 有 2 ?

t 5 ? , 2 2

解得: 4 ? t ? 5 ……………………..10’ (3) 由于 {d 2 n ?1 } 的序数列单调递减,因此 {d 2 n ?1 } 是递增数列,故 d 2 n ?1 ? d 2 n ?1 ? 0 ,于是

( d 2 n ?1 ? d 2 n ) ? ( d 2 n ? d 2 n ?1 ) ? 0 ,
而( )

1 2

2n

1 ? ( ) 2 n ?1 ,所以 | d 2 n ?1 ? d 2 n |?| d 2 n ? d 2 n ?1 | ,从而 d 2 n ? d 2 n ?1 ? 0 , 2
(1) ……………………..12’

1 ( ?1) 2 n d 2 n ? d 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?1 ? 2 n ?1 2 2

因为 {d 2 n } 的序数列单调递增,所以 {d 2 n } 是递减数列,同理可得 d 2 n ?1 ? d 2 n ? 0 ,故

1 (?1) 2 n ?1 d 2 n ?1 ? d 2 n ? ?( ) 2 n ? 2 22 n

(2) ……………………..14’

( ?1) n ?1 由(1)(2)得: d n ?1 ? d n ? ……………………..15’ 2n
于是

d n ? d 1 ? ( d 2 ? d 1 ) ? ( d 3 ? d 2 ) ? ? ? ( d n ? d n ?1 ) ……………………..16’

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1 1 ? ( ? ) n ?1 1 1 ( ?1) 1 2 ……………………..17’ ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? 1 2 2 2 2 1? 2 n 4 1 ( ?1) ? ? ? n ?1 3 3 2
n

即数列 {d n } 的通项公式为 d n ?

4 1 ( ?1) n ? ? n ?1 ( n ? N * )……………………..18’ 3 3 2

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