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【成才之路】2015-2016学年高中数学 模块综合检测 新人教A版选修2-3

时间:2016-10-10


模块综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1. (2015·福州市八县高二期末)某机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析, 得到如下数据: 记忆能力 x 识图能力 y 4 3 6 5 8 6 10 8

^ 4 ^ 由表中数据,求得线性回归方程为y= x+a,若某儿童记忆能力为 12,则他的识图能 5 力为( ) B.9.8 D.10

A.9.2 C.9.5 [答案] C

- 1 - 1 [解析] ∵ x = (4+6+8+10)=7; y = (3+5+6+8)=5.5, 4 4 ∴样本的中心点坐标为(7,5.5), 4 ^ 代入回归方程得:5.5= ×7+a, 5 ^ ∴a=-0.1. ^ ∴y=0.8x-0.1, ^ 当 x=12 时,y=0.8×12-0.1=9.5,故选 C. 2.若(2x+ 3) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ,则(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值是( A.1 C.0 [答案] A [解析] 令 x=1,得 a0+a1+?+a4=(2+ 3) , 令 x=-1,
4 4 2 3 4 2 2

)

B.-1 D.2

a0-a1+a2-a3+a4=(-2+ 3)4.
所以,(a0+a2+a4) -(a1+a3) =(2+ 3) (-2+ 3) =1. 3.一袋中有 5 个白球、3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )
2 2 4 4

1

10?3?10?5?2 A.C12? ? ? ? ?8? ?8? 9 ?5?9?3?2 C.C11? ? ? ? ?8? ?8?

9 ?3?9?5?23 B.C12? ? ? ? ?8? ?8? 8 9 ?3?10?5?2 D.C11? ? ? ? ?8? ?8?

[答案] D [解析] “X=12”表示第 12 次取到的球为红球,前 11 次中有 9 次取到红球,2 次取 到白球, 5 2 3 9 3 9 ∴P(X=12)=C11( ) ·( ) · 8 8 8 5 2 9 3 10 =C11( ) ·( ) ,故选 D. 8 8 4.随机变量 ξ 的概率分布规律为 P(X=n)=

a (n=1、2、3、4),其中 a 为常 n?n+1?

?9 13? 数,则 P? <X< ?的值为( 4? ?4
2 A. 3 4 C. 5 [答案] D [解析] 因为 P(X=n)=

) 3 B. 4 5 D. 16

a a a a a 5 (n=1,2,3,4),所以 + + + =1,所以 a= . n?n+1? 2 6 12 20 4

5 1 5 1 5 ?9 13? 因为 P? <X< ?=P(X=2)+P(X=3)= × + × = ,故选 D. 4? 4 6 4 12 16 ?4 5.若随机变量 ξ ~N(-2,4),则 ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在下列哪 个区间上取值的概率( A.(2,4] C.[-2,0) [答案] C [解析] 此正态曲线关于直线 x=-2 对称,∴ξ 在区间(-4,-2]上取值的概率等于 ξ 在[-2,0)上取值的概率. 6.(2015·四川理,6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的偶数共有( A.144 个 C.96 个 [答案] B [解析] 据题意,万位上只能排 4、5.若万位上排 4,则有 2×A4个;若万位上排 5,则
2
3

) B.(0,2] D.(-4,4]

) B.120 个 D.72 个

有 3×A4个.所以共有 2×A4+3×A4=5×24=120 个.选 B. 7.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5); 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1).r1 表示 变量 Y 与 X 之间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 [答案] C [解析] 画散点图, 由散点图可知 X 与 Y 是正相关, 则相关系数 r1>0, U 与 V 是负相关, 相关系数 r2<0,故选 C. ?D?X?? 8.设随机变量 X 服从二项分布 X~B(n,p),则 2等于( ?E?X?? A.p
2 2

3

3

3

)

B.0<r2<r1 D.r2=r1

)

B.(1-p)

2

C.1-p [答案] B

D.以上都不对

[解析] 因为 X~B(n,p),(D(X)) =[np(1-p)] ,(E(X)) =(np) ,所以 [np?1-p?] 2 = =(1-p) .故选 B. 2 ?np?
2

2

2

2

2

?D?X?? 2 ?E?X??

2

9.(2013·大庆实验中学高二期中)把 15 个相同的小球放入编号为 1、2、3 的三个不同 盒子中,使盒子里的球的个数大于它的编号数,则不同的放法种数是( A.56 C.28 [答案] C [解析] 先给 1 号盒子放入 1 球,2 号盒子放入 2 球,3 号盒子放入 3 球,再将剩余 9 个小球排成一列, 之间形成 8 个空档, 从中任意选取 2 个空档用插板隔开, 依次对应放入 1、 2、3 号盒子中,则不同放法种数为 C8=28 种. 10.通过随机询问 72 名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下列 联表: 性别与读营养说明列联表 女 读营养说明 不读营养说明 总计 16 20 36 男 28 8 36 合计 44 28 72 )
2

)

B.72 D.63

请问性别和读营养说明之间在多大程度上有关系?( A.99%的可能性

B.99.75%的可能性
3

C.99.5%的可能性 [答案] C

D.97.5%的可能性

[解析] 由题意可知 a=16,b=28,c=20,d=8,a+b=44,c+d=28,a+c=36,

b+d=36,n=a+b+c+d=72,
代入公式 K = ≈8.42, 由于 K ≈8.42>7.879, 我们就有 99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系, 即性别和读营养说明之间有 99.5%的可能是有关系的. 11.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且各引擎是否有故障是 独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 个引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使 4 个引擎飞机更安全,则 p 的取值范围是 ( )
2 2 2 n?ad-bc?2 72×?16×8-28×20? 2 得 K= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 44×28×36×36

?2 ? A.? ,1? ?3 ? ? 2? C.?0, ? ? 3?
[答案] B

?1 ? B.? ,1? ?3 ? ? 1? D.?0, ? ? 3?
3 3 4,

[解析] 4 个引擎飞机成功飞行的概率为 C4p (1-p)+p 2 个引擎飞机成功飞行的概率 1 2 3 3 4 2 为 p ,要使 C4p (1-p)+p >p ,必有 <p<1. 3 12. 如图,用 6 种不同的颜色把图中 A、B、C、D 四块区域分开,若相邻区域不能涂同 一种颜色,则不同的涂法共有( )

A.400 种 C.480 种 [答案] C

B.460 种 D.496 种

[解析] 涂 A 有 6 种涂法,B 有 5 种,C 有 4 种,因为 D 可与 A 同色,故 D 有 4 种,∴ 由分步乘法计数原理知,不同涂法有 6×5×4×4=480 种,故选 C. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.随机变量 X 的分布列如下表,且 E(X)=1.1,则 D(X)=________.

X

0

1

x

4

P
[答案] 0.49

1 5

p

3 10

1 1 3 1 ?1 3 ? 1 [解析] p=1-? + ?= ,E(X)=1.1=0× +1× + x,解得 x=2,所以 D(X)= 5 2 10 5 ?5 10? 2 1 3 2 2 2 ×(0-1.1) + ×(1-1.1) + ×(2-1.1) =0.49. 2 10 14.(2015·山东理,11)观察下列各式: C1=4 ; C3+C3=4 ; C5+C5+C5=4 ; C7+C7+C7+C7=4 ; ?? 照此规律,当 n∈N 时, C2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=________. [答案] 4
n-1
0 1 2 * 0 1 2 3 3 0 1 2 2 0 1 1 0 0

n-1

[解析] 第 n 个等式左边是 n 项组合数的和, 组合数 Cm的构成规律是下标为 m=2n-1, 上标 k 的取值依次从 0 到 n-1,即 C2n-1+C2n-1+?+C2n-1,等式右边为 4 故由归纳推理的思想得: C2n-1+C2n-1+C2n-1+?+C2n-1=4
0 1 2 0 1

k

n-1

n-1

.

n-1

n-1

,所以答案应填 4

n-1

.

15.(2015·辽宁葫芦岛市一模)给出如下四个结论: ①若随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ )且 P(ξ ≤4)=0.84,则 P(ξ ≤-2)=0.16; -x -x+1 + ②? a∈R ,使得 f(x)= -a 有三个零点; x e ^ ③设线性回归方程为y=3-2x,则变量 x 每增加一个单位时,y 平均减少 2 个单位; ④若命题 p:? x∈R,e >x+1,则綈 p 为真命题; 以上四个结论正确的是________.(把你认为正确的结论都填上) [答案] ①③④ [解析] 由正态分布曲线得 P(ξ ≤-2)=P(ξ ≥4)=1-P(ξ ≤4)=0.16,①正确;令
x
2 2

g(x)=

-x -x+1 x -x-2 , 得 g′(x)= ,当 x∈(-∞, -1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增, x x e e

2

2

当 x∈(-1,2)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,当 x∈(2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递 1 5 -2 增,得 g(x)极大值=g(-1)=e,g(x)极小值=g(2)=-5e ,且 g(- ± )=0,x→+∞时, 2 2

g(x)<0,∴g(x)的图象如图所示
5

故②错误;由回归直线方程的定义知③正确;④中当 x=0 时,e >1 错误,故 p 为假命 题,綈 p 为真命题,④正确. 16.(2014·山东青岛质检)平面内有 10 个点,其中 5 个点在一条直线上,此外再没有 三点共线,则共可确定________________条直线;共可确定________个三角形. [答案] 36;110 [解析] 设 10 个点分别为 A1、A2、?、A10,其中 A1、A2、?、A5 共线,Ai(i=1,2,?, 5)与 A6、A7、?、A10 分别确定 5 条直线,共 25 条;

0

A1、A2、?、A5 确定 1 条; A6、A7、?、A10 确定 C2 5=10 条,
故共可确定 36 条直线. 在 A1、A2、?、A5 中任取两点,在 A6、A7、?、A10 中任取一点可构成 C5C5=50 个三角形; 在 A1、A2、?、A5 中任取一点,在 A6、A7、?、A10 中任取两点可构成 C5C5=50 个三角形; 在 A6、A7、?、A10 中任取 3 点构成 C5=10 个三角形,故共可确定 50+50+10=110 个 三角形. 三、 解答题(本大题共 6 个大题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)8 人围圆桌开会,其中正、副组长各 1 人,记录员 1 人. (1)若正、副组长相邻而坐,有多少种坐法? (2)若记录员坐于正、副组长之间,有多少种坐法? [解析] (1)正、副组长相邻而坐,可将此 2 人当作 1 人看,即 7 人围一圆桌,有(7- 1)!=6!种坐法,又因为正、副组长 2 人可换位,有 2!种坐法.故所求坐法为(7-1)! ×2!=1440 种. (2)记录员坐在正、副组长中间,可将此 3 人视作 1 人,即 6 人围一圆桌,有(6-1)! =5!种坐法,又因为正、副组长 2 人可以换位,有 2!种坐法,故所求坐法为 5!×2!= 240 种. 1 n 18. (本题满分 12 分)已知( x- ) 的展开式中, 前三项系数的绝对值依次成等差数 2 x 列. (1)求展开式中的常数项;
3 1 2 2 1

6

(2)求展开式中所有整式项. [解析] (1)Tr+1=Cn·( x)
r n-r

·(

1 2 x

) ·(-1) ,

r

r

1 1 1 2 0 ∴前三项系数的绝对值分别为 Cn, Cn, Cn, 2 4 1 2 1 0 由题意知 Cn=Cn+ Cn, 4 1 * ∴n=1+ n(n-1),n∈N , 8 解得 n=8 或 n=1(舍去), ∴Tk+1=C8·( x)
k
8-k

1 k ·(- ) 2 x

1 k k 4-k, =C8·(- ) ·x 0≤k≤8, 2 令 4-k=0 得 k=4, 1 4 35 4 ∴展开式中的常数项为 T5=C8(- ) = . 2 8 (2)要使 Tk+1 为整式项,需 4-k 为非负数,且 0≤k≤8,∴k=0,1,2,3,4. 35 4 3, 2 ∴展开式中的整式项为:x ,-4x 7x ,-7x, . 8 19.(本题满分 12 分)(2013·湖北理,20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从 正态分布 N(800,50 )的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为
2

p0.
(1)
2

求 p0 的值;

(参考数据:若 X~N(μ ,σ ),有 P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.6826,

P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.9544,P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=0.9974.)
(2)某客运公司用 A、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每 天往返一次.A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的营运成本分别 为 1600 元/辆和 2400 元/辆,公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不 多于 A 型车 7 辆.若每天要以不小于 p0 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地 去乙地的营运成本最小,那么应配备 A 型车、B 型车各多少辆? [解析] (1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,50 ),故有 μ =800,σ =50,
2

P(700<X≤900)=0.9544.
由正态分布的对称性,可得

p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)

7

1 1 = + P(700<X≤900)=0.9772. 2 2 (2)设 A 型、B 型车辆的数量分别为 x、y 辆,则相应的营运成本为 1600x+2400y 依题 意,x、y 还需满足 x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0 由(1)知,p0=P(X≤900),故 P(X≤36x+60y)≥p0 等价于 36x+60y≥900.

x+y≤21, ? ?y≤x+7, 于是问题等价于求满足约束条件? 36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x,y∈N.
且使目标函数 z=1600x+2400y 达到最小的 x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12),Q(7,14),R(15,6).

由图可知,当直线 z=1600x+2400y 经过可行域的点 P 时,直线 z=1600x+2400y 在 y 轴上截距 最小,即 z 取得最小值. 2400 故应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆. 20.(本题满分 12 分)(2014·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响, 某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、 乙两个高 一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学 生的数学期末考试成绩. 甲 0 7 8 9 8 7 3 2 9 8 7 6 5 5 0 0 1 2 1 乙 1 5 6 8 9

z

5 6 6 8 3 5 7 8 9

4 2 8 7

2 1 0 7 6 7

8 7

8

(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同学 至少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请填写下面的 2×2 列联表,并判断有多大 把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表供参考: 乙班 合计

P(K2≥k) k

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841
2

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc? 2 (参考公式:K = ) ?a+b??c+d??a+c??b+d?
[解析] (1)甲班成绩为 87 分的同学有 2 个,其他不低于 80 分的同学有 3 个“从甲班 数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有 C5= 10 个, 7 1 1 2 “抽到至少有一个 87 分的同学”所组成的基本事件有 C3C2+C2=7 个,所以 P= . 10 (2) 甲班 优秀 不优秀 合计
2 2

乙班 14 6 20

合计 20 20 40

6 14 20

K2=

40×?6×6-14×14? =6.4>5.024, 20×20×20×20

因此,我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 21.(本题满分 12 分)(2013·福建理,16)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、 2 2 乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以 3 5 获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚 会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的 概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案 抽奖,累计得分的数学期望较大?
9

2 2 [解析] (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,且两人中奖与否互 3 5 不影响. 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A, 则事件 A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件, 2 2 1 因为 P(X=0)=(1- )×(1- )= , 3 5 5

P(X=2)= ×(1- )= , P(X=3)=(1- )× = ,
11 所以 P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)= , 15 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1,都选择方案乙所获得的累计得 分为 X2,则 X1、X2 的分布列如下: 2 3 2 2 5 15

2 3

2 5

2 5

X1 P

0 1 9

2 4 9

4 4 9

X2 P

0 9 25

3 12 25

6 4 25

1 4 4 8 所以 E(X1)=0× +2× +4× = , 9 9 9 3

E(X2)=0× +3× +6× = .
因为 E(X1)>E(X2),

9 25

12 25

4 12 25 5

所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 22.(本题满分 14 分)(2015·商丘市二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器 最上方的入口处,小球自由下落,小球在下落的过程中,将遇到黑色障碍物 3 次,最后落入

A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率分别是 、 .

1 2 3 3

10

(1)分别求出小球落入 A 袋和 B 袋中的概率; (2)在容器的入口处依次放入 4 个小球,记 ξ 为落入 B 袋中的小球个数,求 ξ 的分布 列和数学期望. [解析] (1)记“小球落入 A 袋中”为事件 M,“小球落入 B 袋中”为事件 N,则事件 M 的对立事件为事件 N. 而小球落入 A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下,

?1?3 ?2?3 1 8 1 故 P(M)=? ? +? ? = + = , ?3? ?3? 27 27 3
1 2 从而 P(N)=1-P(M)=1- = . 3 3 (2)显然,随机变量 ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

? 2? 且 ξ ~B?4, ?. ? 3? ?1?4 1 0?2? 0 故 P(ξ =0)=C4? ? ×? ? = , ?3? ?3? 81
1 3 P(ξ =1)=C1 , 4? ? × ? ? = 3 3

?2? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ?

?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ? ?1? ? ?
ξ

8 81 8 27

2 2 P(ξ =2)=C2 , 4? ? × ? ? = 3 3

3 1 P(ξ =3)=C3 , 4? ? × ? ? = 3 3

32 81 16 81

4 0 P(ξ =4)=C4 . 4? ? × ? ? = 3 3

则 ξ 的分布列为 0 1 81 1 8 81 2 8 27 3 32 81 4 16 81

P

2 8 故 ξ 的数学期望为 E(ξ )=4× = . 3 3

11


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