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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题

时间:2017-09-25


第 2 课时
题型一 范围问题

范围、最值问题

例 1 (2015·天津)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离心率为
2

x2 y2 a b

3 ,点 M 3

b 4 3 2 2 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c,|FM|= . 4 3
(1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围.

c 1 解 (1)由已知,有 2= , a 3
又由 a =b +c ,可得 a =3c ,b =2c . 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),F(-c,0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+c). 由已知,有? 解得 k=
2 2 2 2 2 2 2

2

? kc ?2 ?c?2 ?b?2 ? +? ? =? ? , 2 ? k +1? ?2? ?2?

3 . 3

x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为 2+ 2=1,直线 FM 的方程为 y= (x+c),两个方程联立,消去 3c 2c 3 y,整理得 3x2+2cx-5c2=0,解得 x=- c 或 x=c.
5 3

? 2 3 ? 因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为?c, c?. 3 ? ?
由|FM|= ?c+c? +?
2

?2 3 ?2 4 3 . c-0? = 3 ? 3 ?
x2 y2

解得 c=1,所以椭圆的方程为 + =1. 3 2 (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t, 得 t=

y

x+1

,即直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立,

y=t?x+1?, ? ? 2 2 ?x y + =1, ? ?3 2
又由已知,得 t=

消去 y,整理得 2x +3t (x+1) =6,

2

2

2

6-2x 2> 2 , 3?x+1?

2

3 解得- <x<-1 或-1<x<0. 2

1

y 2 2 2 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理得 m = 2- . x x 3

? 3 ? ①当 x∈?- ,-1?时,有 y=t(x+1)<0, ? 2 ?
因此 m>0,于是 m= 2 ? 2 2 3? - ,得 m∈? , ?. x 3 3 ? ?3 2
2

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0. 因此 m<0,于是 m=- 2 3? ? 得 m∈?-∞,- ?. 3 ? ? 2 3? ? 2 2 3 ? ? 综上,直线 OP 的斜率的取值范围是?-∞,- ?∪? , ?. 3 ? ?3 3 ? ? 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量 关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的 取值范围. (2016·余姚模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 -y =1 的离心率 a b 3 互为倒数,且直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M,N 两点,且直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数 列,求△OMN 面积的取值范围. 解 (1)∵双曲线的离心率为 ∴椭圆的离心率 e= = 2 3 , 3 2

x2 3

2 - ,

x2 y 2

x2

2

c a

3 . 2

又∵直线 x-y-2=0 经过椭圆的右顶点, ∴右顶点为(2,0),即 a=2,c= 3,b=1, ∴椭圆方程为 +y =1. 4 (2)由题意可设直线的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0),

x2

2

2

M(x1,y1),N(x2,y2). y=kx+m, ? ? 2 联立?x 2 +y =1, ? ?4
消去 y,并整理得(1+4k )x +8kmx+4(m -1)=0, 8km 4?m -1? 则 x1+x2=- , 2,x1x2= 2 1+4k 1+4k 于是 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k x1x2+km(x1+x2)+m . 又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列, 故 · =
2 2 2 2 2 2

y1 y2 k2x1x2+km?x1+x2?+m2 x1 x2 x1x2
2 2

8k m 2 2 =k ? - 2+m =0. 1+4k 1 1 2 由 m≠0 得 k = ,解得 k=± . 4 2 又由 Δ =64k m -16(1+4k )(m -1) =16(4k -m +1)>0,得 0<m <2, 显然 m ≠1(否则 x1x2=0,x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM,ON 中至少有一个斜率不存在, 与已知矛盾). 设原点 O 到直线的距离为 d, 1 则 S△OMN= |MN|d 2 1 |m| 2 = · · 1+k ·|x1-x2| 2 2 1+k 1 2 = |m| ?x1+x2? -4x1x2 2 = -?m -1? +1. 故由 m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1). 题型二 最值问题 命题点 1 利用三角函数有界性求最值 例2 (2016·锦州模拟)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 是坐 )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( A.2 B. 2 答案 C C.4 D.2 2

3

2 2 解析 设直线 AB 的倾斜角为 θ ,可得|AF|= ,|BF|= ,则|AF|·|BF| 1-cos θ 1+cos θ = 2 2 4 × = ≥4. 2 1-cos θ 1+cos θ sin θ

命题点 2 数形结合利用几何性质求最值 例 3 (2015·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x -y =1 右支上的一个动点. 若 点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立,则实数 c 的最大值为 _______________________________________________________________________. 答案 2 2
2 2 2 2

解析 双曲线 x -y =1 的渐近线为 x±y=0,直线 x-y+1=0 与渐近线 x-y=0 平行,故 两平行线的距离 d= |1-0| 1 +?-1?
2

2



2 .由点 P 到直线 x-y+1=0 的距离大于 c 恒成立, 2

得 c≤

2 2 ,故 c 的最大值为 . 2 2

命题点 3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例 4 (2016·山东)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 2.

x2 y2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段

PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B.
①设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k′,证明 ②求直线 AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为 c. 由题意知 2a=4,2c=2 2. 所以 a=2,b= a -c = 2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 (2)①证明 设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m).
2 2

k′ 为定值; k

x2 y2

4

2m-m m 所以直线 PM 的斜率 k= = .

x0

x0

-2m-m 3m 直线 QM 的斜率 k′= =- .

x0

x0

此时

k′ k′ =-3.所以 为定值-3. k k

②解 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 直线 PA 的方程为 y=kx+m. 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m.

y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y + =1, ? ?4 2
整理得(2k +1)x +4mkx+2m -4=0, 2m -4 2?m -2? 由 x0x1= 2 ,可得 x1= , 2 2k +1 ?2k +1?x0 2k?m -2? 所以 y1=kx1+m= +m. 2 ?2k +1?x0 2?m -2? -6k?m -2? 同理 x2= ,y2= +m. 2 2 ?18k +1?x0 ?18k +1?x0 2?m -2? 2?m -2? 所以 x2-x1= - 2 2 ?18k +1?x0 ?2k +1?x0 = -32k ?m -2? , 2 2 ?18k +1??2k +1?x0 -6k?m -2? 2k?m -2? +m- -m 2 2 ?18k +1?x0 ?2k +1?x0
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2-y1=

-8k?6k +1??m -2? = , 2 2 ?18k +1??2k +1?x0 所以 kAB= 1? y2-y1 6k2+1 1? = = ?6k+ ?, k? x2-x1 4k 4?

由 m>0,x0>0,可知 k>0, 1 6 所以 6k+ ≥2 6,当且仅当 k= 时取“=”. k 6 因为 P(x0,2m)在椭圆 + =1 上, 4 2 所以 x0= 4-8m ,故此时 14 ,符合题意. 7 6 . 2
5
2

x2 y2

6 = , 6 4-8m -0
2

2m-m

即 m=

所以直线 AB 的斜率的最小值为

思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用几何 法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用 代数法, 即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式), 然后利 用函数方法、不等式方法等进行求解. (2016·开封摸底)已知圆(x-a) +(y+1-r) =r (r>0)过点 F(0,1),圆心 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设 P 为直线 l:x-y-2=0 上的点,过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA,PB,当点 P(x0,y0) 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值. 解 (1)依题意,由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x =4y. 1 2 1 2 (2)抛物线 C 的方程为 x =4y,即 y= x ,求导得 y′= x. 4 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)(其中 y1= ,y2= ), 4 4 1 1 则切线 PA,PB 的斜率分别为 x1, x2, 2 2 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1), 2 即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB 均过点 P(x0,y0), 所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以(x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程?
? ?x0x-2y-2y0=0, ?x =4y, ?
2 2 2 2 2

x2 1

x2 2

x1

x1

x2 1

消去 x 整理得 y +(2y0-x0)y+y0=0,
2 2

2

2

2

由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2=x0-2y0,y1y2=y0, 所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=y0+x0-2y0+1.
6
2 2

又点 P(x0,y0)在直线 l 上,所以 x0=y0+2, 1 2 9 2 2 2 所以 y0+x0-2y0+1=2y0+2y0+5=2(y0+ ) + , 2 2 1 9 所以当 y0=- 时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为 . 2 2

1.设抛物线 y =8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线

2

l 的斜率的取值范围是(

) B.[-2,2] D.[-4,4]

? 1 1? A.?- , ? ? 2 2?
C.[-1,1] 答案 C

解析 Q(-2,0), 设直线 l 的方程为 y=k(x+2), 代入抛物线方程, 消去 y 整理得 k x +(4k -8)x+4k =0, 由 Δ =(4k -8) -4k ·4k =64(1-k )≥0, 解得-1≤k≤1.
2 2 2 2 2 2

2 2

2

x y → → → → 2.已知 P 为双曲线 C: - =1 上的点,点 M 满足|OM|=1,且OM·PM=0,则当|PM|取得 9 16
最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为( 9 12 A. B. 5 5 答案 B → → 解析 由OM·PM=0,得 OM⊥PM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小 值, 当|OP|取得最小值时, 点 P 的位置为双曲线的顶点(±3,0), 而双曲线的渐近线为 4x±3y 12 =0,∴所求的距离 d= ,故选 B. 5 3.已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,对于左支上任意一点 P 都 有|PF2| =8a|PF1|(a 为实半轴长),则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,3] 答案 C B.(2,3] D.(1,2]
2

2

2

)

C.4 D.5

x2 y2 a b

)

7

解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义, |PF2| 4a 得|PF2|=2a+|PF1|,所以 =|PF1|+ +4a=8a, |PF1| |PF1| 所以|PF1|=2a,|PF2|=4a, 在△PF1F2 中,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|, 即 2a+4a≥2c,所以 e= ≤3. 又 e>1,所以 1<e≤3.故选 C. 4.(2017·成都质检)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中点和左焦点,点 P 为椭圆上的 9 8 → → 任意一点,则OP·FP的最小值为________. 答案 6 解析 点 P 为椭圆 + =1 上的任意一点, 9 8 设 P(x,y)(-3≤x≤3,-2 2≤y≤2 2), → → 依题意得左焦点 F(-1,0),∴OP=(x,y),FP=(x+1,y), 72-8x → → 2 2 ∴OP·FP=x(x+1)+y =x +x+ 9 1 ? 9?2 23 = ·?x+ ? + . 9 ? 2? 4 3 9 15 ∵-3≤x≤3,∴ ≤x+ ≤ , 2 2 2 9 ? 9?2 225 ∴ ≤?x+ ? ≤ , 4 ? 2? 4 1 1? 9?2 225 ∴ ≤ ?x+ ? ≤ , 4 9? 2? 36 1 ? 9?2 23 ∴6≤ ·?x+ ? + ≤12, 9 ? 2? 4 → → 即 6≤OP·FP≤12.故最小值为 6. 5.(2016·邢台摸底)已知 M 是抛物线 x =4y 上一点,F 为其焦点,点 A 在圆 C:(x+1) + (y-5) =1 上,则|MA|+|MF|的最小值是________. 答案 5 解析 依题意,由点 M 向抛物线 x =4y 的准线 l:y=-1 引垂线,垂足为 M1,则有|MA|+ |MF|=|MA|+|MM1|, 结合图形(图略)可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心 C(-1,5)到 y=-1 的距离再减去圆 C 的半径,即 6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是 5.
2 2 2 2 2 2 2

c a

x2 y2

x2 y2

8

6.(2016·郑州质量预测)已知椭圆 C1:

- =1 与双曲线 C2: + =1 有相同的焦点, m+2 n m n

x2

y2

x2 y2

则椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围为________. 答案 ( 2 ,1) 2 - =1, m+ 2 n
2

解析 ∵椭圆 C1:
2 2

x2

y2

∴a1=m+2,b1=-n,c1=m+2+n,

m+2+n n e2 =1+ . 1= m+2 m+2
∵双曲线 C2: + =1,∴a2=m,b2=-n,c2=m-n, ∴由条件知 m+2+n=m-n,则 n=-1, ∴e1=1-
2

x2 y2 m n

2

2

2

1 . m+2 1

由 m>0 得 m+2>2, ∴1- ∴ 1

m+2 2

1 1 1 < ,- >- , m+2 2

m+2 2

1 2 1 > ,即 e1> ,而 0<e1<1, 2

2 <e1<1. 2
2

7.(2016·浙江五校联考)已知抛物线 y =4x,焦点为 F,过点(2,0)且斜率为正数的直线交 → → 抛物线于 A,B 两点,且FA·FB=-11.

(1)求直线 AB 的方程; (2)设点 C 是抛物线 ? AB (不含 A,B 两点)上的动点,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)设直线 AB 为 x=my+2(m>0),A( ,y1), 4

y2 1

B( ,y2),F(1,0),
4 联立?
? ?x=my+2, ?y =4x, ?
2 2

y2 2

消 x,得 y -4my-8=0,

9

Δ =16m +32>0, ? ? 则?y1+y2=4m, ? ?y1·y2=-8.

2

y2 y1 y2 y1y2 y1+y2 → → y1 则FA·FB=( -1,y1)·( -1,y2)=( -1)( -1)+y1y2= - +1+y1y2 4 4 4 4 16 4
16m +16 =4- +1-8=-11, 4 得 m =1,又因为 m>0,故 m=1, 即直线 AB 的方程为 x=y+2,即 x-y-2=0.
?x=y+2, ? y2 0 (2)设 C( ,y0),联立? 2 4 ? ?y =4x,
2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

解得 y1,2=2±2 3,

故 2-2 3<y0<2+2 3, 点 C 到直线 AB 的距离为 1 2 | -y0-2| | ?y0-2? -3| 4 4 d= = , 2 2 3 2 当 y0=2 时,dmax= ,此时|AB|= 2× 48=4 6, 2 1 故 S△ABCmax= |AB|dmax=6 3. 2 8.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M,N,且线段 MN 的垂直平 分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). 由已知得 a= 3,c=2, 又 a +b =c ,得 b =1, ∴双曲线 C 的方程为 -y =1. 3
2 2 2 2 2 y0

x2 y2 a b

x2

2

y=kx+m, ? ? 2 (2)联立?x 2 -y =1, ? 3 ?
整理得(1-3k )x -6kmx-3m -3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,
2 2 2

10

?1-3k ≠0, ? ∴? 2 2 ? ?Δ =12?m +1-3k ?>0,

2

1 2 2 2 可得 m >3k -1 且 k ≠ ,① 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0), 6km x1+x2 3km 则 x1+x2= = 2,∴x0= 2, 1-3k 2 1-3k ∴y0=kx0+m= 2. 1-3k 由题意,AB⊥MN,
2+1 1-3k 1 ∴kAB= =- (k≠0,m≠0). 3km k 2 1-3k

m

m

整理得 3k =4m+1,② 将②代入①,得 m -4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 2 又 3k =4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4
2

2

? 1 ? ∴m 的取值范围是?- ,0?∪(4,+∞). ? 4 ?
9.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设点 P 在抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上,C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M,N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.
2

y2 x2 a b

b=1, ? ? 解 (1)由题意,得? b2 2· =1. ? ? a y2

从而?

?a=2, ? ? ?b=1.

因此,所求的椭圆 C1 的方程为 +x =1. 4 (2)如图,设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t +h),
2

2

11

则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y′|x=t=2t . 直线 MN 的方程为

y=2tx-t2+h.
将上式代入椭圆 C1 的方程中, 得 4x +(2tx-t +h) -4=0, 即 4(1+t )x -4t(t -h)x+(t -h) -4=0.① 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 Δ 1=16[-t +2(h+2)t -h +4]>0.② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3, 则 x3=
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x1+x2 t?t2-h? = . 2 2 2?1+t ? t+1
2 .

设线段 PA 的中点的横坐标是 x4,则 x4= 由题意,得 x3=x4, 即 t +(1+h)t+1=0.③
2

由③式中的 Δ 2=(1+h) -4≥0,得 h≥1 或 h≤-3. 当 h≤-3 时,h+2<0,4-h <0, 则不等式②不成立,所以 h≥1. 当 h=1 时,代入方程③得 t=-1, 将 h=1,t=-1 代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为 1.
2

2

12


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