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18-19学年高中数学 第二章 圆锥曲线 4 平面截圆锥面 5 圆锥曲线的几何性质 选修4-1_图文

时间:

§4 & §5
平面 第 截圆 二 锥面 章 圆锥
曲线 的几 何性


理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练

自主学习 合作探究
考点一 考点二 考点三

§4 & §5

平面截圆锥面 圆锥曲线的几何性质

[自主学习]
1.平面截圆锥面 (1)当截面β与圆锥面的轴l垂直时,所得交线是一个 圆 . (2)任取一平面β,它与圆锥面的轴l所成的夹角为θ(β与l平 行时,记θ=0°),当θ>σ(σ为圆锥母线与轴交角)时,平面截圆 锥面所得交线为_椭__圆__;当θ=σ时,交线为_抛__物__线__;当θ<σ 时,交线为 双曲线 .

2.圆锥曲线的几何性质 抛物线、椭圆、双曲线都是平面上到定点的距离与到定 直线的距离之比为常数e(离心率)的动点的轨迹,此时定点称 为 焦点 ,定直线称为 准线 . 当e=1时,轨迹为 抛物线 ; 当0<e<1时,轨迹为 椭圆 ; 当e>1时,轨迹为 双曲线 .

[合作探究]

1.当平面β与圆锥面的轴l所成的夹角为θ=

π 2

时,其交线

应为什么?

提示:圆

2.由圆锥曲线的统一定义可知,椭圆、双曲线的准线有

几条?定义e时,定点与定直线有怎样的关系?

提示:因为椭圆、双曲线各有两个焦点,故其准线有两

条.定义e时,定点与定直线是对应的.即右焦点应对应右准

线、左焦点对应左准线.

圆锥曲线的探讨
[例1] 在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点, 夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面, 任取平面γ,若它与轴l的交角为β(当γ与l平行时,记β=0),求 证:β=α时,平面γ与圆锥的交线是抛物线.
[思路点拨] 本题主要考查平面截圆锥面的曲线的讨论问 题.解题时,注意利用条件,结合图形利用抛物线的定义求解.

[精解详析] 如图,设平面γ与圆锥内切球相切于点F,球与 圆锥的交线为S,过该交线的平面为γ′,γ与γ′相交于直线m.
在平面γ与圆锥的截线上任取一点P,连接PF.过点P作PA ⊥m,交m于点A,过点P作γ′的垂线,垂足为B,连接AB, 则AB⊥m,∴∠PAB是γ与γ′所成二面角的平面角.连接点P

与圆锥的顶点,与S相交于点Q,连接BQ,则∠BPQ=α,∠ APB=β.
在Rt△APB中,PB=PAcos β. 在Rt△PBQ中,PB=PQcos α. ∴PPAQ=ccooss αβ. 又∵PQ=PF,α=β,∴PPAF=1, 即PF=PA,动点P到定点F的距离等于它到定直线m的距 离,故当α=β时,平面与圆锥的交线为抛物线.

已知平面与圆锥面的轴的夹角为β,曲线与轴的夹角为 α,当α=β时,平面与圆锥的交线为抛物线.β<α时为双曲 线,β>α时为椭圆.讨论曲线类型时注意结合图形.

1.一圆锥面的母线和轴线成 30°角,当用一与轴线成 60°的不

过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是

()

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.两条相交直线

解析:如图可知应为椭圆.

答案:A

圆锥曲线的几何性质
[例2] 如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面γ与轴线 夹角为β,焦球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面γ与圆 锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.

[思路点拨] 本题主要考查圆锥曲线的几何性质.由β>α 知截线为椭圆.通过数形结合转化到相应平面中求解.
[精解详析] 如图,在Rt△O1F1O中, OF1=tan∠O1OF11OF1=tanr β. 在Rt△O2F2O中,OF2=tan∠O2OF22OF2=taRn β. ∴F1F2=OF1+OF2=tRa+n βr. 同理,O1O2=Rsi+n βr.在Rt△O1O2H中,

O1H=O1O2·cos α=Rsi+n βr·cos α.又O1H=A1A2,由切线定 理,容易验证G1G2=A1A2,∴G1G2=Rsi+n βr·cos α.
已知圆锥曲线的结构特点,解决有关计算问题,通常利 用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系,列出方程来解决.

2.已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面γ与轴夹角为45°,则平

面γ与圆锥交线的离心率是

,该曲线的形状





解析:e=ccooss 4650°°= 2. ∵e>1,∴曲线为双曲线.

答案: 2 双曲线

圆锥曲线的统一定义

[例3] 已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,

线段BF的延长线交C于点D,且BF=2FD,则C的离心率





[精解详析] 法一:如图,|BF|= b2+c2 =a,作DD1⊥y轴于点D1,则由BF=2FD,得 ||DODF1||=||BBDF||=23,
所以|DD1|=32|OF|=32c,

即xD=32c,由椭圆的第二定义得|FD|=e(ac2-32c)=a-32ca2.

又由|BF|=2|FD|,

得a=2a-3ac2?e=

3 3.

法二:设椭圆方程为第一标准形式xa22+by22=1,

设D(x2,y2),F分BD所成的比为2, xc=01++22x2?x2=32xc=32c;

yc=b1++22y2?y2=3yc2-b=3×02-b=-b2,

代入椭圆方程得:49ac22+14bb22=1?e=

3 3.

[答案]

3 3

由圆锥曲线的统一定义可知它沟通了焦半径与e的关 系,故涉及焦半径问题可考虑使圆锥曲线的定义进行转 化.同时注意数形结合思想的应用.

3.点A(x0,y0)在双曲线

x2 4



y2 32

=1的右支上,若点A到右焦点

的距离等于2x0,则x0=

.

解析:由题知a=2,b=4 2,

则c= a2+b2=6, 所以右准线为x=ac2=23,

由双曲线的第二定义知2dx0=e,

即x20-x023=3,所以2x0=3x0-2,故x0=2.

答案:2

本课时考点常用客观题的形式考查圆锥曲线的统一定义及几何

性质,属中档题.

[考题印证]

过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|

=2152,|AF|<|BF|,则|AF|=

.

[命题立意]

本题主要考查直线与抛物线的位置关系及抛物线定义的应用.

[自主尝试] 设过抛物线焦点的直线为

y=k???x-12???,联立得?????yy=2=k2???xx-,12???, 整理得k2x2-(k2+2)x+14k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=k2k+2 2,x1x2=14. |AB|=x1+x2+1=k2k+2 2+1=2152,得k2=24, 代入k2x2-(k2+2)x+14k2=0得12x2-13x+3=0,

解之得x1=13,x2=34, 又|AF|<|BF|, 故|AF|=x1+12=56. 答案:56

一、选择题 1.椭圆x42+y32=1的右焦点到直线y= 3x的距离为

A.12 C.1

B.

3 2

D. 3

解析:右焦点为(1,0),∴距离为

3 2.

答案:B

()

2.平面γ与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平

面与圆锥面交线的离心率是

()

A.2

B.12

C.

3 2

D.2 3

解析:e=ccoossαβ=11=2. 2

答案:A

3.平面γ与圆锥的母线平行,那么它们交线的离心率是( )

A.1

B.2

C.12

D.无法确定

解析:由定义知交线为抛物线.

答案:A

4.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则M的纵坐标



()

A.1176

B.1156

C.78

D.0

解析:设M的纵坐标为y,则y+116=1,∴y=1156.

答案:B

二、填空题

5.设圆锥面V是由直线l′绕直线l旋转而得,l′与l交点为

V,l′与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面

γ与圆锥面V相交,设轴l与平面γ所成的角为β,则



时,平面γ与圆锥面的交线为圆;



时,平面γ与圆锥面的交线为椭圆;



时,平面γ与圆锥面的交线为双曲线;



时,平面γ与圆锥面的交线为抛物线.

答案:β=90° α<β<90° β<α β=α

6.已知椭圆两准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长





??2a=10, 解析:由???2ca2=20

?a=5,c=52.

∴2b=2 a2-c2=5 3.

答案:5 3

7.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率

为 2,且过点(4,- 10),则双曲线方程为



解析:∵e= 2,∴可设双曲线方程为x2-y2=λ. ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即λ=6, ∴双曲线方程为x2-y2=6.

答案:x2-y2=6

8.已知双曲线

x2 a2



y2 b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,

F2,P是准线上一点,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双

曲线的离心率是



解析:∵PF1⊥PF2, ∴P在以F1F2为直径的圆上.

??x2+y2=c2, ∴点P(x,y)满足???x2=?ac2?2.

解得y2=c4-c2 a4.

∵|PF1|·|PF2|=|F1F2|·|y|, ∴4ab=2c· c4-c2 a4,解得e= 3.

答案: 3

三、解答题 9.如图,讨论其中抛物线的准线与离心率.
解:由抛物线结构特点知,抛物线上的任意一点 P 到焦点的 距离 PF1 与到平面 γ 与 γ′的交线 m 的距离 PA 相等, ∴e=PPFA1=1. ∴抛物线的准线是 m,离心率 e=1.

10.已知双曲线两顶点间距离为 2a,焦距为 2c,求两准线间的 距离.
解:如图,l1,l2 是双曲线的准线,F1,F2 是 焦点,A1,A2 是顶点,O 为中心. 由离心率定义AA11HF11=ac, ∴A1H1=acA1F1. 又 A1F1=OF1-OA1=c-a, ∴A1H1=a?c-c a?.

∴OH1=OA1-A1H1, ∴a-a?c-c a?=ac2. 由对称性,得 OH2=ac2, ∴H1H2=2ca2.

11.如图,一个焦球与圆锥面的交线为圆 S,记圆 S 所在的平面 为 γ′,设 γ 与 γ′的交线为 m.在椭圆上任取一点 P,连接 PF1,在 γ 中过 P 作 m 的垂线,垂足为 A,过 P 作 γ′的垂 线,垂足为 B,连接 AB,AB 是 PA 在平面 γ′上的射影.在 Rt△ABP 中,∠APB=β.

(1)求平面 γ 与 γ′所成二面角的大小; (2)在所截椭圆上任取一点 P,求证:|PPFA1|为定值. 解:(1)由已知 PB⊥γ′,平面 γ′∩平面 γ=m. ∴m⊥PB.又 PA⊥m, ∴m⊥面 PAB, ∴∠PAB 是 γ 与 γ′所成二面角的平面角. 又∠APB=β, ∴∠PAB=π2-β. (2)证明:由已知 PB=PF1, ∴PPFA1=PPAB=sin∠PAB=cos β 为定值.


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