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高中数学人教版选修2-1教学课件:3.2.2立体几何中的向量方法(二)_图文

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立体几何中的向量方法(二) 立体几何中的向量方法(二) 立体几何要解决的主要问题是空间图形的形 状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面 之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、 平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重 要问题. 上一节 , 我们认识了直线的方向向量及平面 的法向量的概念 , 发现可以利用这两个向量的运 算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平 行、垂直、夹角等问题. 问题 : 已知不共线的三点坐标 , 如何求经过这三点的 平面的一个法向量? 在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , ? C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n ? (4, 3, 6) ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) 3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? 3 ? z? x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6) ? ∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量. 方法小结 问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0 ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 练习巩固 练习: ??? ? ??? ? 1. 已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位 1 2 2 1 2 2 法向量. ( , ? ,) ? ) 或 (? , , . 3 3 3 3 3 3 2. 若 两 个 平 面 ? , ? 的 法 向 量 分 别 是 ? ? u ? (1,0,1), v ? (?1, ?1,0) , 则这两个平面所成的锐二面 ? z 角的度数是________. 60 思考题.如图,PA⊥平面 ABC, AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值. y x 1详细答案 思考题 练习: ??? ? ??? ? 1. 已 知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5, 3), 求 平 面 ABC 的单位法向量. ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ? ??? ? 则 n ? AB , n ? AC . ? y ? ?2 x ?( x, y, z ) ? (2, 2,1) ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ∴ ? ① ∴? 即? z ? 2x ? ?( x, y, z ) ? (4,5, 3) ? 0 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 1 ∵ x ? y ? z ? 1 ②∴由①②得 x ? ? 3 1 2 2 1 2 2 ? ,) ? ). ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( , 或 (? , , 3 3 3 3 3 3 2 2 2 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. z 分析: 若用几何法本题不太好处 理,注意到适当建立空间直角坐 标系后各点坐标容易处理,可考 虑尝试用向量法处理 ,从而把问 x 题转化为向量运算问题. 解:建立坐标系如图, y ?? 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z), 1答案 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP =(0,0,1), AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), CP ? (0, ?1,1) , 方法小结 思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1, BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 解:建立坐标系如图, z 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), y ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AP =(0,0,1), AB ? ( 2,1,0), CB ? ( 2,0,0), CP ? (0, ?1,1) , ??x ??? ? ?? ? ? m ? AP ? 0 设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),则 ? ?? ??? ? m ? AB ?0 ? ? ?? ( x , y , z ) ? (0, 0,1) ? 0 ? ? ? ? y ? ? 2x ∴? ∴? ,令 x=1,则 m =(1, ? 2,0) , ? ??? ? ? ? n ? CB ? 0 ? 设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x?, y?, z?) , 则 ? ? ??? ? n ? CP ?0 ? ? ? ? ? ? ? ? x ?0 ? ?( x , y , z ) ? ( 2,1, 0) ? 0 ? ? z?0 3 ? ? m?n 3 ∴cos ? m, n? ? ? ? ? ,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为 3 | m || n | 3 ?( x , y , z ) ? ( 2,0,0) ? 0 ? ∴? 令 y? ? ?1, n ? (0, ?1, ?1) ? y? ? z ? ?1,1)

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