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全国高中数学联赛预赛试题(模拟)201307

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全国高中数学联赛预赛试题(模拟) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、 若函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R , 则实数 a 的取值范围是 ( A 、 ? 4, ??? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4? ; D 、 ? ??, ?1? ? ? ) . ? 4, ??? . 2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆 a x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则 的 b 6 2 取值范围是( ). C 、 ? ??, ?1? ? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ??1,1? ; ? 2 2? ?1, ??? ; D 、 ? ?2, 2? . 3 、四面体 ABCD 的六条棱长分别为 7,13,18, 27,36, 41 ,且知 AB ? 41 ,则 CD ? A 、7 ; . B 、 13 ; C 、 18 ; D 、 27 . 4 、若对所有实数 x ,均有 sin k x ? sin kx ? cosk x ? cos kx ? cosk 2 x ,则 k ? ( A 、6 ; B 、5 ; ). C 、4 ; D 、3 . 5 、设 an ? 2 ? 7 ? ? 2 n ?1 , bn 是 an 的小数部分,则当 n ? N * 时, anbn 的值( ) . A 、必为无理数; B 、必为偶数; C 、必为奇数; D 、可为无理数或有理数. 6 、设 n 为正整数,且 3n ? 1 与 5n ? 1 皆为完全平方数,对于以下两个命题: (甲). 7 n ? 13 必为合数; (乙). 8 ?17n 2 ? 3n ? 必为两个平方数的和. 你的判断是( ) A.甲对乙错; B. 甲错乙对; 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7 、过点 P ?1,1? 作直线 l ,使得它被椭圆 C.甲乙都对; D.甲乙都不一定对. x2 y 2 ? ? 1 所截出的弦的中点恰为 P ,则 9 4 直线 l 的方程为 . 8 、设 x ? R ,则函数 f ? x ? ? x 2 ? 1 ? ? x ?12? 2 ? 16 的最小值为 . 9 、四面体 ABCD 中,面 ABC 与面 BCD 成 60 0 的二面角,顶点 A 在面 BCD 上的 射 影 H 是 ?BCD 的 垂 心 , G 是 ?ABC 的 重 心 , 若 AH ? 4 , AB ? AC , 则 GH ? . 10 、 sin 200 ? sin 400 ? sin 800 ? . 11 、数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 ,且对每个 n ? N * , an , an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的 1 两根,则 ? bk ? k ?1 20 . 12 、从前 2008 个正整数构成的集 M ? ?1, 2, , 2008? 中取出一个 k 元子集 A ,使 . 得 A 中任两数之和不能被这两数之差整除,则 k 的最大值为 三、解答题: 13 、 ( 20 分) AD 是直角三角形 ABC 斜边 BC 上的高, ( AB ? AC ) , I1 , I 2 分别是 ?ABD, ?ACD 的内心,?AI1I 2 的外接圆 O 分别交 AB, AC 于 E , F ,直线 EF , BC 交于点 M ; 证明: I1 , I 2 分别是 ?ODM 的内心与旁心. 14 、 ( 20 分)设 x, y, z 为非负实数,满足 xy ? yz ? zx ? 1 ,证明: 1 1 1 5 ? ? ? . x? y y?z z?x 2 15 、 ( 20 分)对于 2n 元集合 M ? ?1,2, ,2n? ,若 n 元集 A ? ?a1, a2 , n n , an ? , B ? ?b1, b2 , , bn ? 满足: A B ? M , A B ? ? ,且 ? ak ? ? b k ,则称 A B 是集 k ?1 k ?1 M 的一个“等和划分” ( A B与B A 算是同一个划分) . 试确定集 M ? ?1,2, . ,12? 共有多少个“等和划分” 试题解答 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、 若函数 f ? x ? ? lg ax 2 ? 4 x ? a ? 3 的值域为 R , 则实数 a 的取值范围是 ( A 、 ? 4, ??? ; B 、 ? 0, 4? ; C 、 ? 0, 4? ; D 、 ? ??, ?1? ? ? ) . ? 4, ??? . 答案: B . 解:欲使 f ? x ? 的值域为 R ,当使真数 ax2 ? 4 x ? a ? 3 可取到一切正数,故或者 a ? 0 ;或者 a ? 0 且 42 ? 4a ? a ? 3? ? 0 ,解得 0 ? a ? 4 2 2 、设 a 2 ? b2 ? 1 ,? b ? 0 ? ,若直线 ax ? by ? 2 和椭圆 a x2 y 2 ? ? 1 有公共点,则 的 b 6 2 取值范围是( ). C 、 ? ??, ?1? ? 1 1? A 、 ? ? , ? ; B 、 ??1,1? ; ? 2 2? ?1, ??? ; D 、 ? ?2, 2? . 答: C . 解:将 y ? 2 ? ax 代入椭圆方程并整理得, ? 3a 2 ? b 2 ? x 2 ? 12ax ? 12 ? 6b 2 ? 0 , b 2 因直线和椭圆有公共点,则判别式 ?12a ? ? 4 ? 3a 2 ? b 2 ??12 ? 6b 2 ? ? 0 ,利用 a 2 ? b2 ? 1 ,化简得 a 2 ? b 2 ,所以 a a ? 1 .

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