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湖北省武汉市武昌区2013届高三五月供题训练 数学理

时间:2013-10-12


武昌区 2013 届高三年级五月供题训练

理科数学试卷
本试题卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题.满分 150 分.考试用时 120 分钟.

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置.用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑. 2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在 试题卷、草稿纸上无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的 2B 铅笔涂黑.考生应根 据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸 上无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.复数

i 在复平面内对应的点位于 2i ? 1
C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 2.下列命题中错误的是

A.命题“若 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ” B.若 x, y ? R ,则“ x ? y ”是“ xy ? (

x? y 2 ) ”成立的充要条件 2

C.已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 和 q 中必一真一假 D.对命题 p : ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,则 x 2 ? x ? 1 ? 0 3.已知函数 f ( x) ? cos ?x ( x ? R , ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ? x ? ? sin(?x ? 象,只要将 y ? f ? x ? 的图象 A.向左平移 C.向左平移
开始

?
4

) 的图

? ?
8

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

? ?
8 4

S=0,n=1,a=3

个单位长度
S=S+a

4

个单位长度

n=n+1 a=a+2 否 是 输出 S 结束

4.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则 判断框中应填 A. n ? 7 ? B. n ? 7 ? C. n ? 6?
第 1 页 共 10 页

D. n ? 6?

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 5.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? b (a, b ? 0) 的最大值是 12,则 a 2 ? b 2 的 ? x, y ? 0, ?
最小值是 A.

6 13

B.

36 5

C.

6 5

D.

36 13

6. ?OAB 中,?AOB ? 120 ? ,OA ? 2 ,OB ? 1 , C 分别是线段 AB 和 OB 的中点, OD ? AC ? 在 D、 则 A. ? 2 B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

3 4

7.如图,已知三棱锥的俯视图是边长为 2 的正三角形,侧视图是有一直角边长为 2 的直角三角形,则该 三棱锥的正视图可能为 2 2 2 俯视图

2 1 1 B. 1 1 C.

2 1

2 1 D.

2 侧视图

1

1 A.

8.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船 中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A.

9 16

B.

1 2

C.

7 16

D.

3 8

9.设点 P 是双曲线

x2 y 2 2 2 ? ? 1 右支上一动点, M , N 分别是圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 和 ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 上 9 7

的动点,则 PM ? PN 的取值范围是 A. ? 4,8? B. ? 2, 6?

C. ? 6,8?

D. ?8,12?

1? 1? 10. f ? x ? 是定义在 ? ?1, 上的函数,对于 ?x, y ? ? ?1, ,有 f ? x ? ? f ? y ? ? f (
x ? ? ?1,0 ? 时, f ? x ? ? 0 .给出下列命题:
① f ? 0? ? 0 ; ③函数 f ? x ? 只有一个零点; ②函数 f ? x ? 是偶函数; ④ f( )? f( )? f( ).

x? y ) 成立,且当 1 ? xy

1 2

1 3

1 4

其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D .4 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位 ....... 置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题)
第 2 页 共 10 页

11.已知函数 f ? x ? ? ? 12.若 (2 x ?

? 1 ? x 2 ,?1 ? x ? 1, ? ?e x , x ? 1, ?



?

2

?1

f ( x)dx =__________.

1 n ) 的展开式中仅第 4 项的二项式系数最大,则它的第 4 项系数是________. x 1 13.如图是斯特林数三角阵表,表中第 r 行每一个 1 1 数等于它左肩上的数加上右肩上的数的 r ? 1 倍,
则此表中: (Ⅰ)第 6 行的第二个数是______________; (Ⅱ)第 n ? 1 行的第二个数是___________. (用 n 表示) 2 6 11 3 6 1 1 24 50 35 10 1 ……………………………

14.已知直角三角形 ABC 的三内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且不等式

1 1 1 ? ? a b c

?

m 恒成立,则实数 m 的最大值是___________. a?b?c

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) 15.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,A,B 是圆 O 上的两点,且 OA⊥OB,OA=2,C 为 OA 的中点,连结 BC 并延长交圆 O 于点 D,则 CD= . 16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 2t , ( t 为参数),以坐标原点为 ? y ? 1 ? 2t


极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 为 ? cos ? ? sin ? .设直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,则 OA ? OB =
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2 sin x cos 2 (Ⅰ)求 φ 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1,b= 2,f(A)= 3 ,求角 C. 2

?
2

? cos x sin ? ? sin x ( 0 ? ? ? ? )在 x ? ? 处取最小值.

第 3 页 共 10 页

18. (本小题满分 12 分) 某车站每天上午安排 A、B 两种型号的客车运送旅客,A 型车发车时刻可能是 8:00,8:20,8:40; B 型车发车时刻可能是 9:00,9:20, 9:40.两种型号的车发车时刻是相互独立的.下表是该车站 最近 100 天发车时刻统计频率表: 频 A 型车 8:00 发车 A 型车 8:20 发车 A 型车 8:40 发车 B 型车 9:00 发车 B 型车 9:20 发车 B 型车 9:40 发车 25 m 25 25 50 25 数 频 率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 n

(Ⅰ)直接写出表中的 m,n 的值; (Ⅱ)某旅客 8:10 到达车站乘车,根据上表反映出的客车发车规律, (ⅰ)求该旅客能乘上 A 型客车的概率; (ⅱ)求该旅客候车时间 ? (单位:分钟)的分布列和数学期望. (注:将频率视为概率)

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a5 ? 6 ,且 a1 , a 3 , a 7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 4 n ? ( ?1) n ? ? 2 n ( n ? N* ) ,问:是否存在非零整数 ? ,使数列 ?bn ?为递增数列.
a

第 4 页 共 10 页

20. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N 分别是 CC1, BC 的中点,点 P 在线段 A1B1 上. (Ⅰ)证明:AM⊥PN; (Ⅱ)是否存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30? ,若存在,试确定点 P 的位置, 若不存在,请说明理由. A1 P B1 C1

A

M

B 21. (本小题满分 13 分) 已知平面内一动点 P 到椭圆

N

C

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F 的距离与到直线 x ? ?2 的距离相等. 9 5

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 M (m,0) ( m ? 0 )作倾斜角为 60 ? 的直线与曲线 C 相交于 A , B 两点,若点 F 始终在以 线段 AB 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)过点 M (m,0) ( m ? 0 )作直线与曲线 C 相交于 A , B 两点,问:是否存在一条垂直于 x 轴的 直线与以线段 AB 为直径的圆始终相切?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由﹒

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小值; (Ⅱ)设 x1 , x2 ? 0, p1 , p2 ? 0, 且 p1 ? p2 ? 1, 证明: p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x 2 ? ? f ( p1 x1 ? p2 x 2 ) ; (Ⅲ)设 x1 , x 2 , ? , x n ? 0 , p1 , p2 , ? , pn ? 0 ,且 p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1 ,如果

p1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ? e ,证明: p1 f ( x1 ) ? p 2 f ( x 2 ) ? ? ? p n f ( x n ) ? e .

第 5 页 共 10 页

武昌区 2013 届高三年级五月供题训练

理科数学参考答案及评分细则
一、选择题: 1.D 2.C 二、填空题: 11. 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.C 9.A 10.C

?
2

? e2 ? e

12. ?160

13.274; ? 1 ?

? ?

1 1? ? ? ? ? n! 2 n?

14. 5+3 2

15.

3 5 5

16. 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1+cosφ 17.解: (Ⅰ)f(x)=2sinx· +cosxsinφ-sinx 2 =sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin(x+φ). ∵f(x)在 x=π 处取最小值, ∴sin(π+φ)=-1,∴sinφ=1, π ∵0<φ<π,∴φ= .……………………………………………………6 分 2 π 3 3 (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=sin(x+ )=cosx.由 f(A)= ,得 cosA= . 2 2 2 π ∵角 A 是△ ABC 的内角,∴A= . 6 a b 1 2 2 由正弦定理 = ,得 = ,∴sinB= . sinA sinB π sinB 2 sin 6 π 3π ∵b>a,∴B= ,或 B= . 4 4 π π π 7π 当 B= 时,C=π-A-B=π- - = ; 4 6 4 12 3π π 3π π 当 B= 时,C=π-A-B=π- - = . 4 6 4 12 7π π 故 C= ,或 C= .…………………………………………………………12 分 12 12 18.解: (Ⅰ)m=50,n=0.25. ………………………………2 分 (Ⅱ) (ⅰ)设某旅客 8:20,8:40 乘上车事件分别为 A,B,则 A,B 互斥.

? P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? ?

1 1 3 ? ? . …………………………………5 分 2 4 4

(ⅱ)可能取值为 ? ? 10,30,50, 70,90 ,则

P ?? ? 10 ? ?

1 1 ? 3? 1 1 , P ?? ? 30 ? ? , P ?? ? 50 ? ? ?1 ? ? ? ? , 2 4 ? 4 ? 4 16

第 6 页 共 10 页

? 3? 1 1 ? 3? 1 1 P ?? ? 70 ? ? ?1 ? ? ? ? , P ?? ? 90 ? ? ?1 ? ? ? ? . ? 4? 2 8 ? 4 ? 4 16

? 的分布列是 ?
P

10
1 2

30

50

70

90

1 1 1 1 4 16 8 16 1 1 1 1 1 ? E? ? 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 30 .…………………12 分 2 4 16 8 16
2 19.解: (Ⅰ)设公差为 d (d≠0) ,由题意,知 a1 ? a 7 ? a3 , a5 ? 6 .

于是 ?

?a1 (a1 ? 6d ) ? (a1 ? 2d ) 2 , ?a1 ? 4d ? 6.

解得 a1 ? 2, d ? 1 .

? a n ? n ? 1 .………………………………………………………4 分
(Ⅱ)∵ an ? n ? 1 ,∴ bn ? 4n ? (?1) n ?1 ? ? 2n ?1 . 要使数列 ?bn ?为递增数列,则 bn ?1 ? bn ( n ? N* )恒成立. ∴ bn ?1 ? bn ? 4n ?1 ? 4n ? ? ?1? ? ? 2n ? 2 ? ? ?1?
n n ?1

? ? 2n ?1 ? 0 恒成立,
? ? 2n ?1 恒成立.

∴ 3 ? 4n ? 3? ? ? ?1?

n ?1

2n ?1 ? 0 恒成立,∴ ? ?1?

n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2n ?1 恒成立,
n?1 当且仅当 n ? 1 时, 2 有最小值为 1,

∴? ?1. (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ?2n ?1 恒成立,当且仅当 n ? 2 时, ?2 ∴ ? ? ?2 . 即 ?2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ?1 . 综上所述,存在 ? ? ?1 ,使数列 ?bn ?为递增数列.…………………………………12 分 20.解:如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系,则: z A1 P B1 C1
n?1

有最大值 ?2 ,

1 1 1 A1 (0,0,1) , b1 (1,0,1) , M (0,1, ) , N ( , ,0) . 2 2 2
由题意,可设 P(? ,0,1) . (Ⅰ)∵ AM ? (0,1, ) , PN ? ( ? ? ,

1 2

1 2

1 ,?1) , 2

? AM ? PN ? 0 ?

1 1 ? ? 0. 2 2
x B

A

M

∴ AM⊥PN.………………………6 分

N

C y

1 1 1 (Ⅱ)设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PMN 的一个法向量, NM ? (? , , ) , 2 2 2
第 7 页 共 10 页

则?

? NM ? n ? 0, ? ? PN ? n ? 0. ?

1 ? 2? 1 1 ? ? 1 ? y ? 3 x, ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? 即? 得? ?( 1 ? ? ) x ? 1 y ? z ? 0, ? z ? 2 ? 2? x. ? 2 ? 2 3 ? ?
令 x=3,得 y=1+2 ? ,z=2-2 ? , ∴ n ? (3,1 ? 2? ,2 ? 2? ) . 若存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30? , 则|cos< m, n >|=

| 2 ? 2? | 9 ? (1 ? 2? ) ? (2 ? 2? )
2 2

?

3 . 2

化简得 4?2 ? 10? ? 13 ? 0 . ∵△ =100-4 ? 4 ? 13=-108<0,方程无解. ∴不存在点 P,使得平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 30? .……………12 分 21.解: (Ⅰ)易知椭圆的右焦点坐标为 F (2,0) . 由抛物线的定义,知 P 点的轨迹是以 F (2,0) 为焦点,直线 x ? ?2 为准线的抛物线. 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 y ? 8 x . ……………………………………4 分
2

(Ⅱ)由题意知,直线 AB 的方程为 y ?
2 2 2

3 ( x ? m) .

代入 y ? 8 x ,得 3 x ? (6m ? 8) x ? 3m ? 0 .

6m ? 8 , x1 x 2 ? m 2 . 3 因为点 F 始终在以线段 AB 为直径的圆内,? ?AFB 为钝角.
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? 又 FA ? ( x1 ? 2, y1 ) , FB ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ,

? FA ? FB ? 0 , ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? y1 y 2 ? 0 .
即 x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 3[ x1 x 2 ? m( x1 ? x 2 ) ? m ] ? 0 ,
2

? 4 x1 x 2 ? (2 ? 3m)( x1 ? x 2 ) ? 4 ? 3m 2 ? 0 .
因此 3m 2 ? 36m ? 4 ? 0 ,?

18 ? 4 21 18 ? 4 21 . ?m? 3 3

综上,实数 m 的取值范围是 (

18 ? 4 21 18 ? 4 21 , ). 3 3
第 8 页 共 10 页

(Ⅲ)设过点 M 的直线方程为 x ? ?y ? m ,代入 y 2 ? 8 x ,得

y 2 ? 8?y ? 8m ? 0 .设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则 y1 ? y 2 ? 8? , y1 y 2 ? ?8m .
于是 x1 ? x 2 ? ? ( y1 ? y 2 ) ? 2m ? 8?2 ? 2m .

? AB 的中点坐标为 (4?2 ? m,4? )
又 AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? ?2 )( y1 ? y 2 ) 2

? (1 ? ?2 )[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] ? (1 ? ?2 )(64?2 ? 32m) .
设存在直线 x ? x 0 满足条件,则 2 | 4?2 ? m ? x 0 |?
2 化简,得 (16 ? 8 x 0 )?2 ? 8m ? m 2 ? x 0 ? 2mx0 ? 0 . 2 所以, (16 ? 8 x 0 )?2 ? 8m ? m 2 ? x 0 ? 2mx0 ? 0 对任意的 ? 恒成立,

(1 ? ?2 )(64?2 ? 32m) .

所以 ?

?16 ? 8 x0 ? 0,
2 2 ?8m ? m ? x0 ? 2mx0 ? 0.

解得 x 0 ? ?2 , m ? 2 . 所以,当 m ? 2 时,存在直线 x ? ?2 与以线段 AB 为直径的圆始终相切.…………13 分 22.解: (Ⅰ) f ?? x ? ? 1 ? ln x .

1 1 ;由 f ?? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? . e e 1 1 ? f ? x ? 在 (0, ) 单调递减; f ? x ? 在 ( ,??) 单调递增. e e 1 1 1 ? f ? x ? 在 x ? 取最小值 f ( ) ? ? .………………………………………………4 分 e e e
(Ⅱ)令 g ? x ? ? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x ? ? f ? p1 x1 ? p2 x ? ,不妨设 x1 ? x ? x2 , 则 g ? ? x ? ? p2 f ? ? x ? ? p2 f ? ? p1 x1 ? p2 x ? .

由 f ?? x ? ? 0 ,得 x ?

? p1 x1 ? p 2 x ? x ? p1 x1 ? p1 x ? 0 , ? p1 x1 ? p 2 x ? x .
而 f ? ? x ? ? 1 ? ln x 是增函数,

? f ? ? x ? ? f ? ? p1 x1 ? p2 x ? . ? g ? ? x ? ? p2 f ? ? x ? ? p2 f ? ? p1 x1 ? p2 x ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 是增函数.
第 9 页 共 10 页

? g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? 0 ,即 p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? f ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? 0 .

? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x 2 ? ? f ( p1 x1 ? p2 x2 ) .………………………………8 分
(Ⅲ)先证明 p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? ? ? pn f ? xn ? ? f ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pn xn ? . 当 n ? 2 时,由(Ⅱ)知不等式成立. 假设当 n ? k 时,不等式成立,即

p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? ? ? pk f ? xk ? ? f ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pk xk ? .
当 n ? k ? 1 时,

f ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pk xk ? pk ?1 xk ?1 ?
? ? p x ? p2 x2 ? ? ? pk xk ? f ? ?1 ? pk ?1 ? 1 1 ? pk ?1 xk ?1 ? 1 ? pk ?1 ? ? ? p x ? p2 x2 ? ? ? pk xk ? ? ?1 ? pk ?1 ? f ? 1 1 ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? 1 ? pk ?1 ? ? ? p1 ? p p2 ? ?1 ? pk ?1 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? k ?1 f ? xk ?1 ? ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? 1 ? pk ?1 1 ? pk ?1 ?1 ? pk ?1 ?

? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? ? pk ?1 f ? xk ?1 ? .
所以,当 n ? k ? 1 时,不等式成立,

? p1 f ? x1 ? ? p2 f ? x2 ? ? ? ? pn f ? xn ? ? f ? p1 x1 ? p2 x2 ? ? ? pn xn ? .
由(Ⅰ) f ? x ? 在 ( ,??) 上单调递增,因此 f ? x ? 在 (e,??) 上也单调递增.

1 e

? p1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ? e ,

? f ( p1 x1 ? p 2 x 2 ? ? ? p n x n ) ? f (e) ? e .
? p1 f ( x1 ) ? p 2 f ( x 2 ) ? ? ? p n f ( x n ) ? e .
……………………………14 分

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