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福建省三明市清流一中2014-2015学年高一上学期第三次段考数学试卷 Word版含解析

时间:2016-07-26


福建省三明市清流一中 2014-2015 学年高一上学期第三次段考数 学试卷
一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分,每小题有且只有一个正确答案) 1.若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于() A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3} 2.sin600°的值是() A. B. C. D.

3.函数 A. B.

的最小正周期是() C.2π D.5π

4.已知角 α 终边上一点 A 的坐标为 A. B. C.

,则 sinα=() D.

5.下列命题正确的是() A.单位向量都相等 B. 若 与 是共线向量, 与 是共线向量,则 与 是共线向量 C. D.

6.设 a=log A.a<b<c

2,b=log

3,c=( ) ,则() C.b<c<a D.b<a<c

0.3

B.a<c<b

7.将函数 y=sinx 的图象向左平移 正确的是() A.y=f(x)是奇函数 B. y=f(x)的周期为 π C. y=f(x)的图象关于直线 x=

个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法

对称

D.y=f(x)的图象关于点(﹣

,0)对称

8.函数 y=Acos(ωx+φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为()

A.y=2cos(2x+ y=2cos(2x+ )

) B.y=2cos(2x﹣



C.

y=2cos( ﹣

) D.

9.半径为 10cm,面积为 100cm 的扇形中,弧所对的圆心角为() A.2 B. C. D.10

2

10.将函数 y=sin(x﹣ 将所得的图象向左平移 A. B.

)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再 个单位,得到的图象对应的解析式是() C. D.

11.f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

() A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

12.如图为一半径为 3m 的水轮,水轮中心 O 距水面 2m,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮 上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(t)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2 则()

A.ω=

,A=5

B.ω=

,A=5

C.ω=

,A=3

D.ω=

,A=3

二、填空题: (每小题 3 分,共 12 分) 13. =.

14.记符号 f (x)为函数 f(x)的反函数,且 f(3)=0,则 f (x+1)的图象必经过点. 15.求函数 取最大值时自变量的取值集合.

﹣1

﹣1

16.对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,使得 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x)为“局 x 部奇函数”.若 f(x)=2 +m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范 围是.

三、解答题. (共 6 个大题,总分 52 分) 17. .

18.计算 (1)已知 tanx=2,求 的值;

(2)

?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α) .

19.已知集合 A={x∈R|mx ﹣2x+1=0},在下列条件下分别求实数 m 的取值范围: (Ⅰ)A=?; (Ⅱ)A 恰有两个子集; (Ⅲ)A∩( ,2)≠?

2

20.已知函数 (1)写出它的振幅、周期、频率和初相;

(2)在直角坐标系中,用“五点法”画出函数 y=f(x)一个周期闭区间上的图象; (3)求函数 f(x)的单调递增区间.

21.已知函数 f(x)=1﹣

,x∈(b﹣3,2b)是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数; (3)若 f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数 m 的取值范围. 22.对于定义域为 D 的函数 f(x) ,若同时满足下列条件:①f(x)在 D 内有单调性;② 存在区间[a,b]?D,使 f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称 f(x)为 D 上的“和 谐”函数,[a,b]为函数 f(x)的“和谐”区间. 3 (Ⅰ)求“和谐”函数 y=x 符合条件的“和谐”区间; (Ⅱ)判断函数 (Ⅲ)若函数 是否为“和谐”函数?并说明理由. 是“和谐”函数,求实数 m 的取值范围.

福建省三明市清流一中 2014-2015 学年高一上学期第三 次段考数学试卷
一、选择题: (每小题 3 分,共 36 分,每小题有且只有一个正确答案) 1.若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于() A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3} D.{x|2≤x≤3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由于两集合已是最简,直接求它们的交集即可选出正确答案 解答: 解:∵P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3}, ∴P∩Q={x|3≤x<4}. 故选 A. 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2.sin600°的值是() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题.

分析: 把原式的角度 600°变形为 2×360°﹣120°,然后利用诱导公式化简,再把 120°变为 180°﹣60°,利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出值. 解答: 解:sin600°=sin(2×360°﹣120°) =﹣sin120°=﹣sin(180°﹣60°) =﹣sin60°=﹣ .

故选 D 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值, 熟练掌握诱导公式是解本题的关键, 同时注意 角度的灵活变换.

3.函数 A. B.

的最小正周期是() C.2π D.5π

考点: 三角函数的周期性及其求法. 分析: 根据 T= 可得答案.

解答: 解:T=

=5π

故选 D. 点评: 本题主要考查三角函数的最小正周期的求法.属基础题. 4.已知角 α 终边上一点 A 的坐标为 A. B. C. ,则 sinα=() D.

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得 x=﹣2,y=2 ,r=4,由 sinα= ,运算求得结果. ,

解答: 解:由题意可得 x=﹣2,y=2 ∴r= ∴sinα= = =4, ,

故选:C 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 5.下列命题正确的是() A.单位向量都相等 B. 若 与 是共线向量, 与 是共线向量,则 与 是共线向量

C. D.

考点: 向量的三角形法则;单位向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: A.单位向量的方向不一定相同,因此不一定相等; B.取 = ,则 与 不一定是共线向量; C. ≠0;

D.利用向量的三角形法则即可判断出. 解答: 解:A.单位向量的方向不一定相同,因此不一定相等,不正确; B.虽然 与 是共线向量, 与 是共线向量,但是取 = ,则 与 不一定是共线向量,不 正确; C. D. ,因此不正确; = ,正确.

故选:D. 点评: 本题考查了单位向量、向量的三角形法则、共线向量,考查了推理能力,属于基础 题.

6.设 a=log A.a<b<c 考点: 专题: 分析: 解答: log

2,b=log

3,c=( ) ,则() C.b<c<a D.b<a<c

0.3

B.a<c<b

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 直接判断对数值的范围,利用对数函数的单调性比较即可. 解:∵a=log 2<0,b=log 3<0, 2<log 2<log 3,

2<log
0.3

c=( ) >0. ∴b<a<c. 故选:D. 点评: 本题考查对数函数的单调性,对数值的大小比较,基本知识的考查.

7.将函数 y=sinx 的图象向左平移 正确的是() A.y=f(x)是奇函数 B. y=f(x)的周期为 π C. y=f(x)的图象关于直线 x= D.y=f(x)的图象关于点(﹣

个单位,得到函数 y=f(x)的函数图象,则下列说法

对称 ,0)对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用函数图象的平移法则得到函数 y=f(x)的图象对应的解析式为 f(x)=cosx, 则可排除选项 A,B,再由 cos =cos(﹣ )=0 即可得到正确选项. 个单位,得 y=sin(x+ )=cosx.

解答: 解:将函数 y=sinx 的图象向左平移

即 f(x)=cosx. ∴f(x)是周期为 2π 的偶函数,选项 A,B 错误; ∵cos =cos(﹣ )=0, ,0) 、 ( ,0)成中心对称.

∴y=f(x)的图象关于点(﹣

故选:D. 点评: 本题考查函数图象的平移,考查了余弦函数的性质,属基础题. 8.函数 y=Acos(ωx+φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为()

A.y=2cos(2x+ y=2cos(2x+ )

) B.y=2cos(2x﹣



C.

y=2cos( ﹣

) D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 由图易知 A=2,T=

=π,可求得 ω,再利用“五点作图法”,知 2(﹣

)+φ=0,

可求得 φ,从而可得此函数的解析式. 解答: 解:由图知,A=2, 所以 T= =π, = ﹣(﹣ )= ,

解得:ω=2. 由“五点作图法”知,2(﹣ )+φ=0,解得:φ= ) , ,

所以,此函数的解析式为:y=2cos(2x+

故选:A. 点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,利用“五点作图法”确定 φ 的值是难点,考查转化思想. 9.半径为 10cm,面积为 100cm 的扇形中,弧所对的圆心角为() A.2 B. C. D.10
2

考点: 专题: 分析: 解答: 则 100=

弧长公式. 三角函数的求值. 利用弧长公式与扇形的面积计算公式即可得出. 解:设弧所对的圆心角为 α. ,

解得 α=2. 故选:A. 点评: 本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式,属于基础题.

10.将函数 y=sin(x﹣ 将所得的图象向左平移 A. B.

)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再 个单位,得到的图象对应的解析式是() C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的图象的平移法则, 依据原函数横坐标伸长到原来的 2 倍可得到新的 函数的解析式, 进而通过左加右减的法则, 依据图象向左平移 ﹣ ],整理后答案可得. 个单位得到 y=sin[ (x+ )

解答: 解:将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 可得函数 y=sin( x﹣ 得函数 y=sin[ (x+ ) ,再将所得的图象向左平移 )﹣ ],即 y=sin( x﹣ ) , 个单位,

故选:C. 点评: 本题主要考查了三角函数的图象的变换.要特别注意图象平移的法则.

11.f(x)=

是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为

() A.(1,+∞)

B.[4,8)

C.(4,8)

D.(1,8)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据当 x≤1 时,f(x)是一次函数且为增函数,可得一次项系数为正数,再根据 x 当 x>1 时,f(x)=a 为增函数,可得底数大于 1,最后当 x=1 时,函数对应于一次函数的 取值要小于指数函数的取值.综合,可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≤1 时,f(x)=(4﹣ )x+2 为增函数 ∴4﹣ >0?a<8 又∵当 x>1 时,f(x)=a 为增函数 ∴a>1 同时,当 x=1 时,函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值 ∴(4﹣ )×1+2≤a =a?a≥4 综上所述,4≤a<8 故选 B 点评: 本题以分段函数为例, 考查了函数的单调性、 基本初等函数等概念, 属于基础题. 解 题时,应该注意在间断点处函数值的大小比较. 12.如图为一半径为 3m 的水轮,水轮中心 O 距水面 2m,已知水轮每分钟旋转 4 圈,水轮 上的点 P 到水面距离 y(m)与时间 x(t)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2 则()
1 x

A.ω=

,A=5

B.ω=

,A=5

C.ω=

,A=3

D.ω=

,A=3

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;已知三角函数模型的应用问题. 专题: 应用题. 分析: 根据题意,水轮旋转一周所用的时间为一个周期,由周期公式,T= 最大振幅,由图象知到最高点时即为 A 值. 解答: 解:已知水轮每分钟旋转 4 圈 ∴ω= 又∵半径为 3m,水轮中心 O 距水面 2m, ∴最高点为 5,即 A=3, 故选 D. 点评: 本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅. 二、填空题: (每小题 3 分,共 12 分) 13. =6. 求解;A 为

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用指数式和对数式的运算性质和运算法则,把 转化为 4﹣1+3,由此能够求出结果. 解答: 解: =4﹣1+3 =6. 故答案为:6. 点评: 本题考查指数式和对数式的运算性质和运算法则,是基础题.解题时要认真审题, 仔细解答. 14.记符号 f (x)为函数 f(x)的反函数,且 f(3)=0,则 f (x+1)的图象必经过点 (﹣1,3) . 考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(3)=0,可得 f (0)=3,令 x+1=0,解得 x 即可得出. 解答: 解:∵f(3)=0, ∴f (0)=3, 令 x+1=0,解得 x=﹣1. ∴f (x+1)的图象必经过点(﹣1,3) ,
﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1 ﹣1

等价

故答案为: (﹣1,3) . 点评: 本题考查了互为反函数的性质,属于基础题. +4kπ,k∈Z}.

15.求函数

取最大值时自变量的取值集合{x|x=

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接根据正弦函数的最值进行求解. 解答: 解:∵函数 ∴当 sin( =2kπ+ ∴x= ,

)=1 时,函数取得最大值 1,此时 ,k∈Z,

+4kπ,k∈Z, +4kπ,k∈Z}.

∴自变量的取值集合{x|x= 故答案为:{x|x=

+4kπ,k∈Z}.

点评: 本题重点考查了正弦函数的单调性和最值,属于中档题. 16.对于函数 f(x) ,若在定义域内存在实数 x,使得 f(﹣x)=﹣f(x) ,则称 f(x)为“局 部奇函数”.若 f(x)=2 +m 是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,则实数 m 的取值范 围是[﹣ ,﹣1].
x

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用局部奇函数的定义,建立方程关系,然后判断方程是否有解即可. 解答: 解: 根据局部奇函数的定义, ( f x) =2 +m 时, ( f ﹣x) =﹣( f x) 可化为 2 +2 +2m=0, x ﹣x 因为 f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程 2 +2 +2m=0 在[﹣1,1]上有解, 令 t=2 ∈[ ,2],则﹣2m=t+ ,
x x x
﹣x

设 g(t)=t+ ,则 g'(t)=1﹣

=



当 t∈(0,1)时,g'(t)<0,故 g(t)在(0,1)上为减函数, 当 t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故 g(t)在(1,+∞)上为增函数, 所以 t∈[ ,2]时,g(t)∈[2, ].所以﹣2m∈[2, ],即 m∈ 故答案为: . .

点评: 本题主要考查新定义的应用,利用新定义,建立方程关系,然后利用函数性质进行 求解是解决本题的关键,考查学生的运算能力 三、解答题. (共 6 个大题,总分 52 分) 17. .

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 证明题. 分析: 先利用向量的减法法则将向量 明出结论. 解答: 证明:∵ ∴ , . 表示成 ,再将条件代入化简即可证

点评: 点评: 本题考查向量在几何中的应用、 两个向量的加减法的法则, 以及其几何意义, 实数与向量乘积公式的应用. 18.计算 (1)已知 tanx=2,求 的值;

(2)

?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α) .

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得所给式子的值. 解答: (1)解: .

(2)

?sin(α﹣2π)?cos(2π﹣α)

=

?sinα?cosα=

?sinα?cosα=sin α.

2

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题. 19.已知集合 A={x∈R|mx ﹣2x+1=0},在下列条件下分别求实数 m 的取值范围: (Ⅰ)A=?; (Ⅱ)A 恰有两个子集; (Ⅲ)A∩( ,2)≠?
2

考点: 集合关系中的参数取值问题;子集与真子集. 专题: 综合题. 2 分析: (Ⅰ)若 A=?,则关于 x 的方程 mx ﹣2x+1=0 没有实数解,则 m≠0,由此能求出 实数 m 的取值范围. (Ⅱ)若 A 恰有两个子集,则 A 为单元素集,所以关于 x 的方程 mx ﹣2x+1=0 恰有一个实 数解,分类讨论能求出实数 m 的取值范围. (Ⅲ)若 A∩( ,2)≠?,则关于 x 的方程 mx =2x﹣1 在区间( ,2)内有解,这等价于 当 x∈( ,2)时,求值域:m= ﹣ =1﹣( ﹣1) ,由此能求出实数 m 的取值范围.
2 2 2 2

解答: 解: (Ⅰ)若 A=?,则关于 x 的方程 mx ﹣2x+1=0 没有实数解,则 m≠0, 且△ =4﹣4m<0,所以 m>1; 2 (Ⅱ)若 A 恰有两个子集,则 A 为单元素集,所以关于 x 的方程 mx ﹣2x+1=0 恰有一个实 数解, 讨论:①当 m=0 时,x= ,满足题意; ②当 m≠0 时,△ =4﹣4m,所以 m=1. 综上所述,m 的集合为{0,1}. (Ⅲ)若 A∩( ,2)≠?则关于 x 的方程 mx =2x﹣1 在区间( ,2)内有解, 这等价于当 x∈( ,2)时,求值域:m= ﹣ =1﹣( ﹣1)
2 2

∴m∈(0,1] 点评: 本题考查实数 m 的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意分析法、讨论法和 等价转化法的合理运用.

20.已知函数

(1)写出它的振幅、周期、频率和初相; (2)在直角坐标系中,用“五点法”画出函数 y=f(x)一个周期闭区间上的图象; (3)求函数 f(x)的单调递增区间. 考点: 正弦函数的图象;五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)直接结合所给函数的解析式进行求解即可; (2)直接根据“五点法”画图的步骤进行求解; (3)直接根据正弦函数的单调性进行求解. 解答: 解: (1)∵函数 振幅为 3,周期是 4π,初相是 , ,

(2)利用五点法,计算是你如下所示: 当 当 当 当 当 时,x=﹣ 时,x= 时,x= 时,x= 时,x= ,y=0, ,y=3, ,y=0, ,y=﹣3, ,y=0,

函数在一个周期内的图象如下图所示:

(3)令﹣

+2kπ≤



+2kπ,k∈Z,

∴﹣ ∴增区间为[﹣

≤x≤ ,

, ],k∈Z,

点评: 本题重点考查了三角函数的图象与性质、 三角函数中有关量之间的关系等炸死, 属 于基础题.解题关键是灵活运用有关性质进行求解.

21.已知函数 f(x)=1﹣

,x∈(b﹣3,2b)是奇函数.

(1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)是区间(b﹣3,2b)上的减函数; (3)若 f(m﹣1)+f(2m+1)>0,求实数 m 的取值范围. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)由于函数 f(x)是奇函数,且 f(0)有意义,则 f(0)=0,定义域关于原点 对称,列出方程,即可得到 a,b; (2)运用单调性的定义,注意作差、变形,同时运用指数函数的单调性,即可判断符号, 得到结论成立; (3)运用奇函数的定义和函数 f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数,得到不等式组,注意 定义域的运用,解出它们即可得到范围. 解答: (1)解:∵函数 ,x∈(b﹣3,2b)是奇函数,

∴ 即 a=2,b=1.

,且 b﹣3+2b=0,

(2)证明:由( I)得 设任意 x1,x2∈(﹣2,2)且 x1<x2, ∴

,x∈(﹣2,2) ,



∵x1<x2∴ 又∵





,∴f(x1)>f(x2) .

∴f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数. (3)解:∵f(m﹣1)+f(2m+1)>0,

∴f(m﹣1)>﹣f(2m+1) ∵f(x)奇函数∴f(m﹣1)>f(﹣2m﹣1) ∵f(x)是区间(﹣2,2)上的减函数



即有

∴﹣1<m<0, 则实数 m 的取值范围是(﹣1,0) . 点评: 本题考查函数的性质和运用, 考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断, 以及运用 解不等式,注意定义域,考查运算能力,属于中档题和易错题. 22.对于定义域为 D 的函数 f(x) ,若同时满足下列条件:①f(x)在 D 内有单调性;② 存在区间[a,b]?D,使 f(x)在区间[a,b]上的值域也为[a,b],则称 f(x)为 D 上的“和 谐”函数,[a,b]为函数 f(x)的“和谐”区间. (Ⅰ)求“和谐”函数 y=x 符合条件的“和谐”区间; (Ⅱ)判断函数 (Ⅲ)若函数 是否为“和谐”函数?并说明理由. 是“和谐”函数,求实数 m 的取值范围.
3

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 3 分析: (Ⅰ)根据“和谐”函数的定义,建立条件关系,即可求 y=x 符合条件的“和谐”区 间; (Ⅱ)判断函数 是否满足“和谐”函数?的条件即可.

(Ⅲ)根据函数 g(x)是“和谐”函数,建立条件关系,即可求实数 m 的取值范围. 3 解答: 解: (Ⅰ)因为 y=x 是单调递增函数,

所以有



即[a,b]=[﹣1,1]或[a,b]=[﹣1,0]或[a,b]=[0,1]. (Ⅱ)函数 在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)单调递增,故 f(x)在(0,

+∞)上不单调,不是“和谐”函数. (Ⅲ)若 设﹣4≤x1<x2, 则 所以 是单调递增函数. 若它是“和谐”函数,则必具备方程 是“和谐”函数.



有两个不相同的实数解,

即方程 x ﹣(2m+1)x+m ﹣4=0 有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4 和 m.若令 h 2 2 (x)=x ﹣(2m+1)x+m ﹣4,

2

2



,解得 m∈(

,﹣4].

另解:方程

有两个不相同的实数解, 的图象有两个不同的交点,当直线过(﹣4,0)时,

等价于两函数 y1=x﹣m 与 m=﹣4; 直线与抛物线相切时 ,∴



若它是“和谐”函数,则必具备方程 有两个不相同的实数解, 2 2 即方程 x ﹣(2m+1)x+m ﹣4=0 有两个不同的实数解且同时大于或等于﹣4 和 m. 2 2 若令 h(x)=x ﹣(2m+1)x+m ﹣4,



,解得 m∈(

,﹣4].

点评: 本题主要考查“和谐”函数的定义及应用,正确理解“和谐”函数的定义是解决本题的 关键.


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