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浙江省温州中学2011届高三10月月考 数学理

时间:2010-10-12


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学年第一学期高三月考( 温州中学 2010 学年第一学期高三月考(10 月) 数学试卷 理科) 试卷( 数学试卷(理科)
一.选择题: (本大题共 10 题,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集 U = R , A = { y | y = 2 x + 1} , B = {x | ln x < 0} ,则 (CU A) ∩ B = ( )

1 < x ≤ 1} C. {x | x < 1} D. {x | 0 < x < 1} 2 2. 已知 a, b, c 满足 c < b < a 且 ac < 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( ) ...
A. φ B. {x |

ba b2 a2 >0 C. > c c c 2 3. 函数 f ( x ) = ln( x + 1) 的零点所在的区间是( ) x 1 A. ( ,1) B. (1, e 1) C. (e 1,2) 2
A.

c b < a a

B.

D.

ac <0 ac

D. (2, e)

4. 如果对于任意实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 例如 [3.27 ] = 3 , [ 0.6 ] = 0 . 那么“ [ x ] = [ y ] ”是“ x y < 1 ”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 函数 y = sin(2 x + )(0 < < 值为( A. ) B.

π

) 图象的一条对称轴在 ( , ) 内,则满足此条件的一个 2 6 3
C.

π π
5π 6

π
12

π
6

π
3

D.

6. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 > 0, S10 < 0 ,则

2 22 29 , , , 中最大的是( a1 a2 a9



2 A. a1
7. 函数 y =

25 B. a5

26 C. a6

29 D. a9


( x a) a x (a > 0且a ≠ 1) 的图像可以是( xa

A

B

C

D

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8. 已知函数 f ( x) = x 2 + ( m + 1) x + m + n + 1 ,若 f (0) > 0 且 f (1) < 0 ,则 u = 值范围是( A. ) B. ( ∞,2] C.

m2 + n2 的取 mn

5 ,2 2

5 , 2 2

D.

5 ,0 2

9. 设函数 y = f ( x) 的定义域为 R,若存在常数 M>0,使 f ( x) ≤ M x 对一切实数都成立,则 称 f ( x ) 是“受局限函数” ,则下列函数是“受局限函数”的为( A. f ( x ) =2 B. f ( x ) = x
2



C. f ( x ) =

x 2x , x ≤ 0 f ( x 1) , x > 0

且满足对一切实数 x1 , x 2 均有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ≤ 2 x1 x 2 成 D. f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 立

1 1 (an > 1) * 10. 已知数列 {an } 满足 a1 = a , an +1 = an 且 , 对任意的 n ∈ N , 总有 an +3 = an 成 2a (a ≤ 1) n n
立,则 a 在 ( 0,1] 内的可能值有( ) D.4 个

A.1 个 B.2 个 C.3 个 二.填空题: (本大题共 7 题,每题 4 分,共 28 分) 11. 若 sin(

π

1 π + α ) = ,则 cos( 2α ) 的值等于 4 3 2 5 ,则等比数列 {an } 的公比 q 的值为 4

12. 已知在等比数列 {an } 中, a1 + a3 = 10, a4 + a6 = 13. 若函数 f ( x ) = log a ( x + ______________ ___

a ( 4) , a > 0 且 a ≠ 1 )的值域为 R,则实数 a 的取值范围是 x

x 4 y + 3 ≤ 0, 14. 若实数 x , y 满足不等式组 3 x + 5 y 25 ≤ 0, 且目标函数 z = 4 x 2 y 的最小值是 2 ,则实 x a ≥ 0. 数 a 的值是
15.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到 达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔, 其方向是北偏东 65°,那么 B、C 两点间的距离是 海里 16.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 与公差 d 均为自然数,已知集合

M = (a1 , d ) S11 < 143 且a1 , a2 , a4成等比数列 , 若函数 f ( x ) = log 1 ( x + a ) + b 恰好经过集
2

{

}

合 M 中的两个点,则满足条件的函数有



17.在区间 [t , t + 1] 上满足不等式 x 3 3 x + 1 ≥ 1 的解有且只有一个,则实数 t 的取值范围为

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三.解答题: (本大题共 5 题,共 72 分) 18.已知命题 P:函数 y = log a

x+2 在 (1, +∞) 内单调递增;命题 Q:不等式 x 1

(a 3) x 2 + (2a 6) x 5 < 0 对任意实数 x 恒成立,若 P ∨ Q 是真命题, P ∧ Q 是假命题,求
实数 a 的取值范围。 19. 设函数 f ( x ) = sin( x + (Ⅰ)求 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)记 A BC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a, b, c, 若f ( B ) = 1, b = 1, c = 20. 已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求证:数列 {

π
6

) + 2 sin 2

x , x ∈ [0, π ] 2

3 , 求a 的值。

3x * ,数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = f ( an ), n ∈ N , 2x + 3

1 } 是等差数列; an m 2002 * 对一切 n ∈ N 2

(Ⅱ) bn = an 1 an ( n ≥ 2) , 1 = 3 ,S n = b1 + b2 + + bn , S n < 令 b 若 成立,求最小正整数 m。 21. 已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数,
x

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) = log 4 ( a 2
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3
a 2n ln x 恒存在极小值 an ( a > 0 ) , x

数 a 的取值范围。 22. 已知对任意正整数 n,函数 f n ( x ) = x (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 an 并判断数列 {an } 的单调性; (Ⅲ)是否存在 m ∈ N ,使 am > 0 ,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由。
*

…………………………

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学年第一学期高三月考( 第一学期高三月考 温州中学 2010 学年第一学期高三月考(10 月) 数学答题纸(理科) 数学答题纸(理科)
选择题(每题 5 分,共 50 分) 一、选择题 1 2 3 4 题号 选项 填空题(每题 4 分,共 28 分) 二、填空题 11、 12、 13、 5 6 7 8 9 10

14、

15、 16、 解答题(共 72 分) (请写出必要的步骤、过程) 三、解答题 18、 (本题 14 分)已知命题 P:函数 y = log a

17、

x+2 在 (1, +∞) 内单调递增;命题 Q:不等式 x 1

(a 3) x 2 + (2a 6) x 5 < 0 对任意实数 x 恒成立,若 P ∨ Q 是真命题, P ∧ Q 是假命题,求
实数 a 的取值范围。

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19、 (本题 14 分)设函数 f ( x ) = sin( x + (Ⅰ)求 f (x ) 的值域;

π
6

) + 2 sin 2

x , x ∈ [0, π ] 2

(Ⅱ)记 A BC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a, b, c, 若f ( B ) = 1, b = 1, c =

3 , 求a 的值。

20、 (本题 14 分)已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求证:数列 {

3x * ,数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = f ( an ), n ∈ N , 2x + 3

1 } 是等差数列; an m 2002 * 对一切 n ∈ N 2

(Ⅱ) bn = an 1 an ( n ≥ 2) , 1 = 3 ,S n = b1 + b2 + + bn , S n < 令 b 若 成立,求最小正整数 m。

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21、 (本题 15 分)已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数,
x

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) = log 4 ( a 2
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3

数 a 的取值范围。

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22、 (本题 15 分) 已知对任意正整数 n, 函数 f n ( x ) = x (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 an 并判断数列 {an } 的单调性;

a 2n ln x 恒存在极小值 an( a > 0 ) , x

(Ⅲ)是否存在 m ∈ N ,使 am > 0 ,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由。
*

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学年第一学期高三月考( 第一学期高三月考 温州中学 2010 学年第一学期高三月考(10 月) 数学答案(理科) 数学答案(理科)
选择题(每题 5 分,共 50 分) 一、选择题 1 2 3 4 题号 D C C A 选项 填空题(每题 4 分,共 28 分) 二、填空题 5 A 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B

11、



7 9

12、

1 2

13、

(0, ) ∪ (1, 1 4]

14、

1 9

15、 10 2 16、 21 解答题(共 72 分) (请写出必要的步骤、过程) 三、解答题 18、 (本题 14 分)已知命题 P:函数 y = log a

17、

(0, 3 1)

x+2 在 (1, +∞) 内单调递增;命题 Q:不等式 x 1

(a 3) x 2 + (2a 6) x 5 < 0 对任意实数 x 恒成立,若 P ∨ Q 是真命题, P ∧ Q 是假命题,求
实数 a 的取值范围。 解∵命题 P 函数 y = log a ∴ 0 < a <1 又∵命题 Q 不等式 (a 3) x 2 + (2a 6) x 5 < 0 对任意实数 x 恒成立;

x+2 在定义域上单调递增; x 1

2 < a ≤ 3
∵ P ∨ Q 是真命题且 P ∧ Q 是假命题, ∴ a 的取值范围是 2 < x ≤ 0或1 ≤ x ≤ 3 19、 (本题 14 分)设函数 f ( x ) = sin( x + (Ⅰ)求 f (x ) 的值域; (Ⅱ)记 A BC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a, b, c, 若f ( B ) = 1, b = 1, c = 解: (I) f ( x ) = sin( x +

π
6

) + 2 sin 2

x , x ∈ [0, π ] 2

3 , 求a 的值。

π
6

) + 2 sin 2

x 3 1 = sin x + cos x + 1 cos x 2 2 2

=

3 1 π sin x cos x + 1 = sin( x ) + 1 2 2 6

∵ x ∈ [0, π ],∴ x

π
6

∈ [

π 5π
6 ,

(II)由 f ( B ) = 1, 得 sin( B

π
6

6

]

1 ∴ f ( x ) ∈ [ , 2] 2

) = 0, 故B =

π

6

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解法一:由余弦定理 b = a + c 2a cos B,
2 2 2 2 得 a 2a + 2 = 0, 解得a = 1或2

解法二:由正弦定理 当C =

b c 3 π 2π = ,C = 或 , 得 sin C = sin B sin C 2 3 3

π

3 2 2π π π 时, A = , 又B = , 从而a = b = 1 当C = 3 6 6
故 a 的值为 1 或 2 20、 (本题 14 分)已知函数 f ( x ) = (Ⅰ)求证:数列 {

,A=

π

, 从而a = b 2 + c 2 = 2

3x * ,数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = f ( an ), n ∈ N , 2x + 3

1 } 是等差数列; an m 2002 * 对一切 n ∈ N 2

(Ⅱ) bn = an 1 an ( n ≥ 2) , 1 = 3 ,S n = b1 + b2 + + bn , S n < 令 b 若 成立,求最小正整数 m。 答: (Ⅰ) an =

3 ; 2n + 1
9 1 1 ( ) 2 2n 1 2n + 1

(Ⅱ)当 n ≥ 2 时, bn = an 1an =

当 n = 1 时,上式同样成立

∴ S n = b1 + b2 + + bn =

9 1 1 1 1 1 9 1 (1 + + + ) = (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n + 1 2 2n + 1 m 2002 9 1 m 2002 * ∴ Sn < ,即 (1 )< 对一切 n ∈ N 成立, 2 2 2n + 1 2 9 1 9 1 9 又 (1 ) 随 n 递增,且 (1 )< 2 2n + 1 2 2n + 1 2 9 m 2002 ∴ ≤ ,∴ m ≥ 2011 ,∴ m最小 = 2011 2 2
x

21、 (本题 15 分)已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数, (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) = log 4 ( a 2
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3

数 a 的取值范围。 解(Ⅰ) ∵ 函数 f ( x) = log 4 ( 4 x + 1) + kx (k ∈ R) 是偶函数 ∴ f ( x) = log 4 (4 x + 1) kx = log 4 (
1+ 4x ) kx 4x

= log 4 (4 x + 1) ( k + 1) x = log 4 (4 x + 1) + kx 恒成立
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∴ (k + 1) = k ,则 k =

1 2

4 a) , 3 函数 f (x) 与 g (x) 的图象有且只有一个公共点,即 方程 f ( x) = g ( x) 只有一个解

(Ⅱ) g ( x) = log 4 ( a 2 x

由已知得 log 4 (4 x + 1) ∴ log 4

1 4 x = log 4 (a 2 x a ) 2 3

4x + 1 4 = log 4 ( a 2 x a) x 3 2

4 x a 2 3 a > 0 方程等价于 x 4 + 1 = a 2x 4 a 2x 3
4 设 2 x = t (t > 0) ,则 (a 1)t 2 at 1 = 0 有一解 3
4 若 a 1 > 0 ,设 h( x) = (a 1)t 2 at 1 ,∵ h(0) = 1 < 0 ,∴恰好有一正解 3

∴ a > 1 满足题意 若 a 1 = 0 ,即 a = 1 时,不满足题意
4 3 若 a 1 < 0 ,即 a < 1 时,由 = ( a ) 2 + 4(a 1) = 0 ,得 a = 3 或 a = 3 4

当 a = 3 时, t = 当a =

1 满足题意 2

3 时, t = 2 (舍去) 4

综上所述实数 a 的取值范围是 {a | a > 1或a = 3}
(本题 15 分) 已知对任意正整数 n, 函数 f n ( x ) = x 22、 (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求 an 并判断数列 {an } 的单调性; (Ⅲ)是否存在 m ∈ N ,使 am > 0 ,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由。
*

a 2n ln x 恒存在极小值 an( a > 0 ) , x

解: (Ⅰ) f n′ ( x) = 1 +
2

a 2n x 2 2nx + a = x2 x x2
2

由条件得:方程 x 2nx + a = 0 必有两根,则 = 4n 4a > 0 , 得 a < n ,对一切正整数 n 都成立
2

所以, a 的取值范围是 0 < a < 1 。 (Ⅱ)方程 x 2nx + a = 0 的两根为 x1,2 = n ± n a
2

2

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函数的极小值

an = f (n + n 2 a ) = n + n 2 a = 2 n2 a 2n ln(n + n 2 a )

a n+ n a
2

2n ln(n + n 2 a )

设 g ( x) = 2 x a 2 x ln( x +
2

x 2 a ) ,( x ≥ 1 ),则
2x x+ x a
2

g ′( x) = = 2x x a
2

2x x a
2

2 ln( x + x 2 a ) 2x

(1 +

2x 2 x2 a

)

2 ln( x + x 2 a )

x a
2

= 2 ln( x + x 2 a )

因为 x ≥ 1 ,所以 ln( x +

x 2 a ) > 0 ,得 g ′( x) < 0 ,

所以 g ( x ) 在 [1, +∞ ) 上单调递减,故 {an } 是递减数列。 (Ⅲ)假设存在 m ∈ N ,使 am > 0 ,
*

由(Ⅱ)知 {an } 是递减数列,先考虑第一项

a1 = 2 1 a 2 ln(1 + 1 a )
令 t = 1 a ,则 t ∈ (0,1) , a1 = (t ) = 2t 2 ln(1 + t ) ,则

′(t ) = 2

2 > 0, 1+ t

(t ) 单调递增, (t ) > (0) = 0 ,所以 a1 > 0 ;
再考虑第二项

a2 = 2 4 a 4 ln(2 + 4 a )
令u =

4 a ,则 u ∈ ( 3, 2) , a2 = h(u ) = 2u 4 ln(2 + u ) ,则
4 2u = >0 2+u 2+u

h′(u ) = 2

h(u ) 单调递增, h(u ) < h(2) = 4 4 ln 4 < 0 ,所以 a2 < 0 ,
故存在 m=1 符合题意。

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