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【高中数学竞赛】2018 年湖南省高中数学联赛(A)卷试题(及答案)

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【高中数学竞赛】2018年湖南省高中数学联赛(A)卷试题 参考答案与评分细则 一、填空题(本题满分70 分,每小题 7 分) 1.已知 A B ? {a1 , a2 , a3 } , 当 A ? B 时,( A , B ) 与( B , A) 视为不同的对, 则这样的( A , B ) 个. 对的个数有 解:由集合 A , B 都是 A B 的子集, A ? B 且 A B ? {a1 , a 2 , a3 } . 当 A ? ?时,B 有1 种取法; 当 A 为一元集时,B 有2 种取法; 当 A 为二元集时, B 有4 种取法;当 A 为三元集时,B 有7 种取法. 故不同的( A , B ) 对有 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? 7 ? 26 (个). 2.若不等式 x ? ax ? 3 的解集是(4,b),则实数a= ,b= . 2 解 :方 法 一 :设 x ? t , 则 x ? t 2 , t ? (2, b ) ,则 不 等 式 at 2 ? t ? 3 ? 0 的 解 集 为 且 (2, b ) , , 3 ?? a ? t ? ? 0 的两根,即? 2 ? 2 ?? b ? 3 , ? 2a ?? ? 2 ?? b? 1 2 所以2, b 是方程at 2 解得a ? 1 ,b=36. 8 3 2 3 的解集是 (4, b) ,可得两函数 2 方法二:设 y1 ?? x , y2 ? ax ? , 由不等式 x ? ax ? y1 ? x , y2 ? ax ? 3 在同一坐标系中的图象. 2 b ) ,所以2 ? 4 a ? 3 3 , b ? ab ? . 2 2 设两函数图象的交点为A,B,则 A(4, 2), B (b, 解得a ? 1 ,b=36. 8 3.从-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 八个数字中, 任取三个不同的数字作为二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的系数,若二次函数的图象过原点,且其顶点在第一象限或第三象限,这样的二次函数有 个? 解: 可将二次函数分为两大类: 一类顶点在第一象限; 另一类顶点在第三象限, 然 后由顶点 坐标的符号分别考查. ∵图象过坐标原点, 第 页 1 页 共 7 ∴c=0.∴二次函数可写成f(x)=ax 2 +bx 的形式. 又∵f(x)=a(x+ b 2 b2 b b2 ,∴其顶点坐标是() , ). 2a 2a 4a 4a b b 2 >0.故a<0,b>0. >0,2a 4a 若顶点在第一象限,则有- 因此,这样的二次函数有A 1 3 · A 1 4=12 个. 若顶点在第三象限,则有- b b 2 <0.故 a>0,b>0.这样的二次函数有A 2 =12 个. <0,4 2a 4a 由加法原理知,满足条件的二次函数共有A 1 3 · A1 4 +A 2 4 =24 个. 4.已知n 为正整数, 若 n ? 3n ? 10 是一个既约分数, 那么这个分数的值等于 2 n 2 ? 6n ? 16 . 解: n 2 ? 3n ? 10 (n ? 5)(n ? 2),而当n-2=± 1 时,若(n+8,n+5)=(n+5,3)=1, ? 2 n ? 6n ? 16 (n ? 8)(n ? 2) 则 n 2 ? 3n ? 10 是一个既约分数,故当n=3 时,该分数是既约分数. n 2 ? 6n ? 16 8 . 11 ∴ 这个分数为 5.函数 f ( x ) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ?0,2?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点, 则k 的取值范围是 解 f ( x ) ? ?? . ?? 3sin x, x ?[0, ?] ,作出其图像,可知有两个交点时的k 的范围为 1 ? k ? 3 . ? ? sin x, x ? (?, 2?] 6.设 实 数 a , b 满 足 不 等 式|| a | ?( a ? b) |?| a ? | a ? b || , 则 a , b 的 正 、 负 符 号 分 别 为 . 解:由已知得 [| a | ?( a ? b )] 2 ? ( a ? | a ? b |) 2 ?? a 2 ? 2 | a | .(a ? b) ? (a ? b ) 2 ? a 2 ? 2a | a ? b | ? (a ? b) 2 ? a. | a ? b |?| a | .(a ? b) , 由于 | x |? x ,因此立得a ? 0 ? ?( ? a ). | a ? b |?| a | .(a ? b) , 约去-a 得? | a ? b |? a ? b ? a ? b ? 0 ? b ? ? a ? 0 ,a 为负数且b 为正数. 第 页 2 页 共 7 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为AB 中点, F 为 CC1 中点,异面直线 EF 与AC1 所成角的 余弦值是 . 解:设正方体棱长为 1,以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系,则 1 1 E(1, ,0),F(0,1, ) ,A(1,0,1),C1(0,1,1) 2 2 → 1 1 → EF=(-1, , ),AC1=(-1,1,1), 2 2 ∴cosθ= EF AC 2 1 =2 | EF | | AC1 | 3 . 8.四次多项式 x 4 ? 18 x3 ? kx 2 ? 200 x ? 1984 的四个零点中有两个零点的积为 -32 , 则实数 k= 4 . 3 2 解:设多项式x ? 18 x ? kx ? 200 x ? 1984 的四个根为x1 , x2 , x3 , x4 . 则由韦达定理,得 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 18, ??x x ? x x ? x x ? x x ? x

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