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高中数学必修5-优秀复习课PPT课件

时间:2018-07-01


三角恒等变换 公式 复习
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(一)和角与差角公式 S? ? ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? S? ?? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
C? ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

C? ?? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? tan ? ? tan ? T? ? ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? T? ?? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

(二)二倍角公式
C2? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? 2 tan ? T2? tan 2? ? 1 ? tan ?
2

S 2? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos2? =cos ? ? sin ? 2 cos2? =2cos ? ? 1
2 2

cos2? =1-2sin ?
2
2

1 ? cos 2 x ? 2sin x
2

1+cos2x=2cos x

(二)二倍角公式变形
降幂公式

1 ? cos 2 x 1 1 cos x ? ? ? cos 2 x 2 2 2 1 ? cos 2 x 1 1 2 sin x ? ? ? cos 2 x 2 2 2
2

1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )

2

合成Asin(?x+? )的常见形式: ? (1) 3 sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 6? (2)sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? )

(3)sin x ? cos x ? 2 sin( x ? )
4

?

3

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2 11 例3.已知? , ? 均为锐角, cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? 7 14
2 解: ?? 是锐角,且 cos ? ? 7
2

求 cos ?的值

? cos? =cos[(? +? )-? ] =cos(? +? )cos? +sin(? +? )sin?

11 又由? , ? 为锐角得0<? ? ? ? ? , 且 cos (? ? ? ) ? ? 14 11 2 5 3 ?sin(? ? ? ) ? 1 ? (? ) ? 14 14

2 2 3 5 ?sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? 7 7

11 2 5 3 3 5 15 15 ? 22 ? (? ) ? ? ? ? 14 7 14 7 98

3 5 练习3.已知? , ? 均为锐角, cos ? ? , cos(? ? ? ) ? ? 5 13
3 解: ?? 是锐角,且 cos ? ? 5
2

求sin ?的值

? sin? =sin[(? +? )-? ] =sin(? +? )cos? -cos(? +? )sin?
12 3 5 4 56 ? ? ? (? ) ? ? 13 5 13 5 65

5 又由? , ? 为锐角得0<? ? ? ? ? , 且 cos (? ? ? ) ? ? 13 5 2 12 2 ?sin(? ? ? ) ? 1 ? (cos ? ) = 1 ? (? ) ? 13 13

3 2 4 ?sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ? 5 5

(1)求y的最大值,并写出相应x的集合.(2)求函数的递增区间. 3 1 ? ? 解:(1)y ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? 2(sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 2 6 6 ? 2 ? 2sin(2 x ? ) ?函数的最大值是2. 6 ? ? 相应的x的集合是{x | 2 x ? ? ? 2?? , ? ? Z } ? 6 2
? ? (2) ? y ? 2sin z的递增区间是[2?? ? , 2?? ? ] 2? 2 ? ? ? ? 2?? ? ? 2 x ? ? 2?? ? ? 2 2 6 2

例1: 已知y= 3 sin 2 x ? cos 2 x

? {x | x ?

6

? ?? , ? ? Z }

y

2
0

y=2sinz

? ? 得?? ? ? x ? ?? ? 3 6

? ?2 2

z

?函数y的递增区间是[?? ?

?

, ?? ? ](? ? Z ) 3 6

?

例2.已知y ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x (1)求周期,最小值,以及相应x的集合. (2)求递减区间.

解:(1)y ? sin x ? 2sin 2 x cos x ?2cos x ? 2cos x
2 2 2

?周期是? , 最小值是- 2, 相应的x的集合是 ? ? ? {x | 2 x ? ? 2?? ? , ? ? Z } ? {x | x ? ?? ? , ? ? Z } 4 2 ? 8 3? (2) ?函数y ? 2sinz的递减区间是[2k? + , 2k? ? ] 2 2 ? ? 3? 3? 7? ? 2?? ? ? 2x- ? ? 2?? 得?? ? ? x ? ?? ? 2 4 2 8 8

? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin(2 x ? ) 4

? sin 2x ? (cos x ? sin x)

2
?

y

y= 2 sin z
? 2
3? 2

?
2

0

z

? 2

3? 7? ? 递减区间是[?? ? , ?? ? ](? ? Z ) 8 8

数列
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等差数列:
1.定义:an ? an?1 ? d (n ? 2)
2.通项公式:an ? a1 ? (n ?1)d

推广 an ? am ? (n ? m)d

an ? am ?d ? n?m

an ? dn ? b ? 数列{an }等差(充要条件).

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n ( a ? a ) 1 n 3.前n项和公式: Sn ? 2



1 S n ? na1 ? n(n ? 1)d 2

d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2 ? 2 Sn ? An ? Bn ? 数列{an }等差
2

?d

4.性质:
(1)序和相等项和也相等. a1 ? a9 ? a2 ? a8 ? a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? a5 ? a5 ? 2a5 Sn S2n ? Sn S3n ? S2n (2)段和等差. Sn , S2n -Sn,S3n ? S2n (3)知Sn求an
①Sn ? An ? Bn ? 数列{an }等差
2

②Sn ? An2 ? Bn ? C(C ? 0) ? 数列从第二项起等差. ? A? B?C , n?1 n A(2n?1)? B, n?2 (求通项)

an ? Sn ? Sn?1 ? A(2n ?1) ? B (求通项)

?

a ?{

a ? c ? 2b 6.三数等差设元法: a ? d , a, a ? d (公差是d)

5.三数a, b, c等差,则b叫a与c的等差中项.

练习3
三数成等差数列,其和为12,积为48,求此三数.

解:设这三个为a-d,a,a+d,则 ?(a ? d ) ? a ? (a ? d ) ? 12 ? (a ? d ) ? 48 ?(a ? d )?a? 解得a=4,d=2或a=4,d=-2 ∴此三数是2,4,6 或6,4,2.

已知等差数列?an ? , 满足a3 ? a7 ? 12, a3 ? a7 ? 8 求数列?an ?的通项公式.

例4

?a3 ? a7 ? 8 解: ? ?a3a7 ? 12

an=am+(n-m)d.

解得a3=2,a7=6 或a3=6,a7=2
∴ d=1 或 d=-1
∴当a3=2,d=1时,

通项公式是an=a3+(n-3)1=n-1. 当a3=6,d=-1时, 通项公式是an=a3+(n-3)d=-n+9.

例:已知Sn=2n2-3n,求an
解:当n>1时,

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 1)
即an=4n-5

=2[n2-(n-1)2]-3[n-(n-1)] =2(2n-1)-3

当n=1时,a1=S1=-1,上式也适合. ∴通项公式是an=4n-5 练习:P44例3

例1、已知Sn=2n2-62n,当Sn最小时,求n的值

例1变式

31 2 31 2 Sn ? 2(n ? 31n) ? 2(n ? ) ? 2 ? ( ) 解: 2 1 2 31 2 2 =2(n-15 ) -2 ?( ) 2 2
2

∴当n=15或=16时,Sn最小.

例2、已知Sn=-2n2+25n,当Sn最大时,求n的值 25 1 2 25 2 2 解:Sn ? ?2(n ? n) ? ?2(n ? 6 ) ? 2 ? ( ) 2 4 4
∴当n=6时,Sn最大.

等比数列:

an 1.定义: ? q (n ? 2, Q q ? 0, ? 无0项) an?1
n?1

2.通项公式:an ? a1q
推广:an ? amq
n ?m

an ? 求公比q ? am n a1 ? an q a1 (1 ? q ) 3.前n项和:Sn ? , Sn ? ,q ?1 1? q 1? q
n?m

a1 (q ? 1) n 4.变式:Sn ? ? A(q ? 1) q ?1
n

5.性质:序和相等项积也相等.
段和等比:

a1a9 ? a2a8 ? a3a7 ? a4a6 ? a5a5 ? a
Sn
S2n ? Sn
S3n ? S2n

2 5

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n

6.三数a, b, c等比,b叫a、c的等比中项.

三数a, b, c等比 b =ac (b ? ? ac )
2

a 2 8.四数等比设法: , a, aq, aq . q

a 7.三数等比设法: , a, aq. q

已知正数等比数列?an ? , 满足a3 ? a7 ? 16, a4 ? a6 ? 10

例2

a ? a ? 10 ? 4 6 解: ∵a3a7=a4a6 ? ? ?a4 a6 ? 16

求数列?an ?的通项公式.

解得a4=2,a6=8 或a4=8,a6=2

∴ q=2 或 q=1/2 ∴通项公式是an=a4qn-4=2×2n-4=2n-3 或an=a6qn-6=2×26-n=27-n.

答:通项公式是an=2n-3 或an=27-n.

性质:序和相等,项积也相等.

等差数列求和公式:

1 ( n a1 ? an) S n ? na1 ? n(n ? 1)d Sn ? 2 2
d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2

Sn ? An ? Bn
2

等 ? Sn ? na1 (q ? 1 ) 比? n a (1 ? q ) ? 1 数 ? Sn ? (q ? 1) 1? q 列? 求? ? S ? a1 ? an q (q ? 1) 和 n 1? q

特殊数列 的求和
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例.求数列 1+ 2 , 2 + 2 , 3 + 2 , … , n + 2

2

3

n

的前n和 。 n 2 3 Sn=(1+2)+(2+2 )+(3+2 )+…+(n+ 2 ) 解:
=(1+2+3+ …+n)+(2+2 +2 +…+2 )
n(n+1) 2(2 n-1) = 2 + 2-1 n(n+1) n+1 = + 2 -2 2 2 3 n

例3、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0,1)
2 + …… +nxn-1 ① S =1 + 2 x +3 x 解: n xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②

① -②(1-x)Sn =1

+ x + x2+ …… + xn-1 n项 - nxn

nxn

= 1-x n+nxn+1 1-(1+n)x = 1-x
n+nxn+1 1-(1+n)x ∴ Sn= (1-x)2

1-xn

求和 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5 (n ? 1)(n ? 2)

解: ? a ? n

1 1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 1 ? Sn ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 ? ? 2 3

1 1 n ?( ? ) ? 2 n?2 2(n ? 2)

小评:1、此类题的关键是怎样把通项裂项 ,注意要与 原式相等,通常在 前面加系数使其相等。 2、在求和时要注意前后几项抵消的规律。 3、剩下的是哪几项,就可以马上求出。

例4、Sn =

1
1×3

+

1
3×5 1

+……+ 1 2

1
(2n-1)×(2n+1)

解:由通项an=
∴Sn= 1 ( 1

(2n-1)×(2n+1) 1 + 1 1

=



1 2n-1 1

-

1 2n+1 1



+……+ 2 1 3 5 2n-1 ) 3 1 1 n = = (1 ) 2 2n+1 2n+1

2n+1

评:裂项相消法的关键就是将数列的每 一项拆成二项或多项使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

不等式
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不等式的性质:

1.对称性 : a ? b ? b ? a

2.传递性 a ? b, b ? c ? a ? c

3.两边可同加减 a ? b ? a ? c ? b ? c
同向可叠加 a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

可移项 a ? c ? b ? a ? b ? c

4.乘正数方向不变 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

乘负数改变方向 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 正数可叠乘 a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

5.正数可乘方 a ? b ? 0 ? a ? b n n 6.正数可开方 a ? b ? 0 ? a ? b
n n

课堂练习1.解下列不等式
(1)3x2-7x+2<0
(2) –6x2-x+2 ? 0

解:因为⊿=49-24=25>0 解:整理,得6x2+x-2 ? 0 方程3x2-7x+2=0的解是 因为⊿=1+48=49>0 x1=1/3,x2=2 方程6x2+x-2=0的解是 x1= -2/3,x2=1/2 所以原不等式的解集为 ﹛x|1/3<x<2﹜ 所以原不等式的解集 为: ? ? {x|x -2/3或x 1/2 }

(3)4x2+4x+1<0
解:因为⊿=42-4*4=0 方程4x2+4x+1=0的根为 x1=x2=-1/2 所以原不等式的 解集为?

(4)x2-3x+5>0
解:因为⊿=9-20<0 方程x2-3x+5=0无解 所以原不等式的 解集为R

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基本不等式
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基本不等式:
a?b ab ? 2

a ? b ? 2 ab
求最值时的三个条件:
① a>0,b>0; ②ab或a+b是常数; ③当且仅当a=b时,取等号 .

?

a?b 2 ) ? ab ? ( 2

口诀:一正二常三相等.

当堂检测:
2 求y ? x ? ( x ? ?2)的最小值: x?2

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线性规划
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x -4y≤-3
例1:设z=2x-y,式中变量x、y满足下列条件 求z的最大值和最小值。

解:作出可行域如图: 当z=0时,设直线 l0:2x-y=0 平移l0, 当l0经过可行域上点A时,
-z 最小,即z最大。

y
3x+5y=25

3x+5y≤25 x≥1 2x-y=0
C (1,4.4)

平移l0 ,当l0经过可行域上点C时,
-z最大,即z最小。

x-4y=-3

o

B

(5,2)



x=1

x



x-4y=-3

(1,4.4) ; (5,2);由 得A点坐标_____ 得C点坐标_______ 3x+5y=25 3x+5y=25
zmax=2×5-2=8 zmin=2×1-4.4= -2.4

x=1



解线性规划问题的步骤:
1、画出线性约束条件所表示的可行域;
2、求出每一个顶点的坐标 3、把每一个顶点坐标代入目标函数, 找出Z最大最小值 4、作出答案。
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