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题目高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法

时间:2018-07-01


题目 高中数学复习专题讲座 关于不等式证明的常用方法 高考要求 不等式的证明,方法灵活多样,它可以和很多内容结合 高考解答题 中,常渗透不等式证明的内容,纯不等式的证明,历来是高中数学中的一个 难点, 本节着重培养考生数学式的变形能力, 逻辑思维能力以及分析问题和 解决问题的能力 重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法,它们是证明 不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向 是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整 理为关于某一个变量的二次式,则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果,而分析法是执果索因,两法相互转换,互相渗 透,互为前提,充分运用这一辩证关系,可以增加解题思路,开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数 单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换,均值代换 两种,在应用换元法时,要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最 重要的变形方法之一, 放缩要有的放矢, 目标可以从要证的结论中考查 有 些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法 凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法 证明不等式时, 要依据题设、 题目的特点和内在联系, 选择适当的证明方法, 要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 典型题例示范讲解 1 1 1 + +L+ < 2 n (n∈N*) 例 1 证明不等式 1 + 2 3 n 命题意图 本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目, 考查学生观察能力、构造能力以及逻辑分析能力 知识依托 本题是一个与自然数 n 有关的命题,首先想到应用数学归 纳法,另外还涉及不等式证明中的放缩法、构造法等 错解分析 此题易出现下列放缩错误
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1+

1 1 1 1 1 1 n + +L + < + +L + = = n<2 n 2 3 n 144 n2444n n 4 n 3
n个
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这样只注重形式的统一,而忽略大小关系的错误也是经常发生的 技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从 n=k 到 n=k+1 的过渡采用 了放缩法 证法二先放缩,后裂项,有的放矢,直达目标 而证法三运用 函数思想,借助单调性,独具匠心,发人深省 证法一 (1)当 n 等于 1 时,不等式左端等于 1,右端等于 2,所以不等
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式成立







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(2)假设 n=k(k≥1)时,不等式成立,即 1+

1 2

+

1 3

+L+

1 k

<2 k ,

则1 + =

1 2

+

1 3

+L+ <

1 k +1 k +1
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

<2 k +

1 k +1

2 k ( k + 1) + 1 k +1

k + ( k + 1) + 1

= 2 k + 1,

∴当 n=k+1 时,不等式成立 综合(1)、(2)得
源 源 源

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当 n∈N*时,都有 1+
源 源 源

1 2

+

1 3

+L+

1 n

<2 n

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另从 k 到 k+1 时的证明还有下列证法

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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Q 2( k + 1) ? 1 ? 2 k ( k + 1) = k ? 2 k ( k + 1) + ( k + 1) = ( k ? k + 1 ) 2 > 0, ∴ 2 k (k + 1) + 1 < 2(k + 1), Q k + 1 > 0,∴ 2 k + 1 k +1 < 2 k + 1. 2 k +1 + k > 2 k +1 + k +1 = 1 k +1 ,

又如 :Q 2 k + 1 ? 2 k = ∴2 k +
证法二
源 源 源

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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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< 2 k + 1. k +1 对任意 k∈N*,都有 2 < 2

1







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= 2( k ? k ?1), k+ k k + k ?1 1 1 1 因此 + 1 + + L+ < 2 + 2( 2 ? 1) + 2( 3 ? 2 ) + L+ 2( n ? n ? 1) = 2 n . 2 3 n k
证法三
源 源 源

1

=

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源 源 源 源 源 源 源 源















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设 f(n)= 2 n ? (1 +
源 源 源

1 2

+

1 3

+L+

1 n

),

那么对任意 k∈N* 都有

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f ( k + 1) ? f ( k ) = 2( k + 1 ? k ) ? = = 1 k +1 1 k +1
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1 k +1

[2( k + 1) ? 2 k (k + 1) ? 1] ? [(k + 1) ? 2 k ( k + 1) + k ] = ( k + 1 ? k )2 k +1 >0

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∴f(k+1)>f(k) 因此,对任意 n∈N* 都有 f(n)>f(n-1)>…>f(1)=1>0, 1 1 1 + +L+ < 2 n. ∴1 + 2 3 n 例 2 求使 x +
源 源 源

y ≤a x + y (x>0,y>0)恒成立的 a 的最小值

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

命题意图 本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析 能力 知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目,所求 a 的最值蕴含于恒 成立的不等式中, 因此需利用不等式的有关性质把 a 呈现出来, 等价转化的 思想是解决题目的突破口,然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值 错解分析 本题解法三利用三角换元后确定 a 的取值范围,此时我们
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习惯是将 x、y 与 cosθ、sinθ来对应进行换元,即令 x =cosθ, y =sin ),这样也得 a≥sinθ+cosθ,但是这种换元是错误的 其原 2 因是 (1)缩小了 x、y 的范围 (2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1” 这样一个条件,显然这是不对的 技巧与方法 除了解法一经常用的重要不等式外,解法二的方法也很 典型,即若参数 a 满足不等关系,a≥f(x),则 amin=f(x)max 若 a≤f(x),则 amax=f(x)min,利用这一基本事实,可以较轻松地解决这一类不等式中所含参 数的值域问题 还有三角换元法求最值用的恰当好处,可以把原问题转化 解法一 由于 a 的值为正数,将已知不等式两边平方,得
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
源 源 源

θ(0<θ<
新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

π







新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源









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新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王







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源 源 源 源 源 源 源 源















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新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王







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源 源 源 源 源 源 源 源











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源 源 源 源 源 源 源 源

























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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源









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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源





















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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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x+y+2 xy ≤a2(x+y),即 2 xy ≤(a2-1)(x+y), ∴x,y>0,∴x+y≥2 xy , 当且仅当 x=y 时,②中有等号成立 比较①、②得 a 的最小值满足 a2-1=1,
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

① ②

∴a2=2,a= 2 (因 a>0),∴a 的最小值是 2 设u =

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

解法二







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源 源 源 源 源 源 源 源















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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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x+ y x+ y





新新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源













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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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=

( x + y )2 x + y + 2 xy 2 xy = = 1+ x+ y x+ y x+ y

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

∵x>0,y>0,∴x+y≥2 xy (当 x=y 时“=”成立),

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2 xy 2 xy ≤1, 的最大值是 1 x+ y x+ y

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

从而可知,u 的最大值为 1 + 1 = 2 , 又由已知,得 a≥u,∴a 的最小值为 2 解法三
源 源 源

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

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∵y>0,

∴原不等式可化为

x +1≤a y

x +1 , y



x π =tanθ,θ∈(0, ) y 2
源 源 源

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

∴tanθ+1≤a tan 2 θ + 1

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源 源 源 源 源 源 源 源















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即 tanθ+1≤asecθ

∴a≥sinθ+cosθ= 2 sin(θ+ 又∵sin(θ+

π
4

),



π
4

)的最大值为 1(此时θ=
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

π
4

)

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

由③式可知 a 的最小值为 2

例 3 已知 a>0,b>0,且 a+b=1
源 源 源

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

求证







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源 源 源 源 源 源 源 源















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(a+

1 1 25 )(b+ )≥ a b 4

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证法一 (分析综合法) 欲证原式,即证 4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0,
新新 新新 新新 新新
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即证 4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证 ab≤

1 或 ab≥8 4 ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8 不可能成立 1 ∵1=a+b≥2 ab ,∴ab≤ ,从而得证 4 证法二 (均值代换法) 1 1 设 a= +t1,b= +t2 2 2 1 1 ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|< ,|t2|< 2 2
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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1 1 a 2 + 1 b2 + 1 ∴ (a + )(b + ) = × a b a b 1 1 1 1 2 2 ( + t1 ) 2 + 1 ( + t 2 ) 2 + 1 ( + t1 + t1 + 1)( + t 2 + t 2 + 1) 2 2 4 4 = × = 1 1 1 1 + t1 + t2 ( + t1 )( + t 2 ) 2 2 2 2 1 1 5 2 2 2 2 ( + t1 + t1 + 1)( + t 2 + t 2 + 1) ( + t 2 ) 2 ? t 2 4 4 4 = = 1 1 2 2 ? t2 ? t2 4 4 25 3 2 25 4 + t2 + t2 16 2 16 = 25 . = ≥ 1 1 2 4 ? t2 4 4 1 显然当且仅当 t=0,即 a=b= 时,等号成立 2 证法三 (比较法) 1 ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2 ab ,∴ab≤ 4
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1 1 25 a 2 + 1 b 2 + 1 25 4a 2 b 2 + 33ab + 8 (1 ? 4ab)(8 ? ab) (a + )(b + ) ? = ? ? = = ≥0 4 4 4ab 4ab a b a b 1 1 25 ∴ (a + )(b + ) ≥ a b 4
证法四
源 源 源

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源 源 源 源 源 源 源 源















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(综合法)

∵a+b=1, a>0,b>0,∴a+b≥2 ab ,∴ab≤

1 4

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

25 ? 2 ?(1? ab) +1 ≥ 16 (1? ab)2 +1 25 1 3 9 ? ∴1? ab ≥ 1? = ? (1? ab)2 ≥ ? ? ? ≥ 4 4 16 ? 1 ab 4 ≥4 ? ab ?
1 1 25 即(a + )(b + ) ≥ a b 4 证法五 (三角代换法)
源 源 源

新新 新新 新新 新新
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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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∵ a>0,b>0,a+b=1,故令 a=sin2α,b=cos2α,α∈(0,

π
2

)

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新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

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新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

1 1 1 1 ( a + )(b + ) = (sin 2 α + )(cos 2 α + ) 2 a b sin α cos 2 α sin 4 α + cos 4 α ? 2 sin 2 α cos 2 α + 2 (4 ? sin 2 α ) 2 + 16 = = 4 sin 2 2α 4 sin 2 2α Q sin 2 2α ≤ 1,∴ 4 ? sin 2 2α ≥ 4 ? 1 = 3. 2 4 ? 2 sin 2 2α + 16 ≥ 25? 2 2 25 ? ( 4 ? sin 2α ) ≥ ?? 1 1 2 4 4 sin 2α ≥ ? sin 2 2α 4 ? 1 1 25 即得( a + )(b + ) ≥ . 4 a b
学生巩固练习
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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a b + =1,x+y 的最小值为 _ x y 2 设正数 a、b、c、d 满足 a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则 ad 与 bc 的 大小关系是_________ 3 若 m<n,p<q,且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则 m、n、 p、q 的大小顺序是__________ 4 已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1 求证 1 (1)a2+b2+c2≥ 3
1 已知 x、y 是正变数,a、b 是正常数,且
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王





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(2) 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 ≤6 5
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

已知 x,y,z∈R,且 x+y+z=1,x2+y2+z2=
源 源 源

1 , 2

证明
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

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x,y,z∈[0,
源 源 源

2 ] 3

6 证明下列不等式 (1)若 x,y,z∈R,a,b,c∈R+,
新新 新新 新新 新新
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b+c 2 c+a 2 a+b 2 x + y + z ≥2(xy+yz+zx) a b c (2)若 x,y,z∈R+,且 x+y+z=xyz, y+z z+x x+ y 1 1 1 则 + + ≥2( + + ) x y z x y z 7 已知 i,m、n 是正整数,且 1<i≤m<n

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

(1)证明 (2)证明
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(1+m)n>(1+n)m
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

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8 若 a>0,b>0,a3+b3=2,求证 a+b≤2,ab≤1 参考答案 a b 1 解析 令 =cos2θ, =sin2θ,则 x=asec2θ,y=bcsc2θ, y x
源 源 源

新新 新新 新新 新新
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∴x+y=asec2θ+bcsc2θ=a+b+atan2θ+bcot2θ ≥a+b+2 a tan 2 θ ? b cot 2 θ = a + b + 2 ab 答案 2
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
源 源 源

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a+b+2 ab
源 源 源

解析 由 0≤|a-d|<|b-c| ? (a-d)2<(b-c)2 ? (a+b)2-4ad<(b+c)2-4bc ? ∵a+d=b+c,∴-4ad<-4bc,故 ad>bc 答案 ad>bc 3 解析 把 p、q 看成变量,则 m<p<n,m<q<n 答案 m<p<q<n
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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王







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4

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(1)证法一 =







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a2+b2+c2-

1 1 = (3a2+3b2+3c2-1) 3 3

1 [3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2] 3 1 = [3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc] 3 1 1 = [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0 ∴a2+b2+c2≥ 3 3 2 2 2 2 证法二 ∵(a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc ≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 1 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥ 3
源 源 源

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证法三







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源 源 源 源 源 源 源 源















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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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a2 + b2 + c2 a+b+c a+b+c ≥ ∴a2+b2+c2≥ 3 3 3 1 3
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

∴a2+b2+c2≥ 证法四
源 源 源

1 1 1 +α,b= +β,c= +γ 3 3 3 ∵a+b+c=1,∴α+β+γ=0 1 1 1 ∴a2+b2+c2=( +α)2+( +β)2+( +γ)2 3 3 3
新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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设 a=

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1 2 + (α+β+γ)+α2+β2+γ2 3 3 1 1 = +α2+β2+γ2≥ 3 3 1 ∴a2+b2+c2≥ 3
=

( 2)证法一 :Q 3a + 2 = (3a + 2) × 1 < 同理 3b + 2 <

3a + 2 + 1 , 2

3b + 3 3c + 3 , 3c + 2 < 2 2 3(a + b + c ) + 9 ∴ 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 < =6 2
∴原不等式成立 证法二
源 源 源

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3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 (3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) ≤ 3 3 3( a + b + c ) + 6 = 3 3

=

∴ 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 ≤ 3 3 <6 ∴原不等式成立 5
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

证法一







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源 源 源 源 源 源 源 源















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由 x+y+z=1,x2+y2+z2=
源 源 源

1 1 ,得 x2+y2+(1-x-y)2= ,整理成关 2 2

于 y 的一元二次方程得

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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2y2-2(1-x)y+2x2-2x+

1 =0,∵y∈R,故Δ≥0 2 1 2 2 ∴4(1-x)2-4×2(2x2-2x+ )≥0,得 0≤x≤ ,∴x∈[0, ] 2 3 3 2 同理可得 y,z∈[0, ] 3 1 1 1 证法二 设 x= +x′,y= +y′,z= +z′,则 x′+y′+z′=0, 3 3 3 1 1 1 1 于是 =( +x′)2+( +y′)2+( +z′)2 2 3 3 3 1 2 = +x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′) 3 3
源 源 源

新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源















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1 1 ( y′ + z ′) 2 1 3 +x′2+y′2+z′2≥ +x′2+ = + x′2 3 3 2 3 2 1 1 1 2 2 ,x∈[0, ] ,同理 y,z∈[0, ] 故 x′2≤ ,x′∈[- , ] 9 3 3 3 3 2 证法三 设 x、y、z 三数中若有负数,不妨设 x<0,则 x >0,
=
源 源 源

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源 源 源 源 源 源 源 源















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1 2 2 2 2 ( y + z ) 2 (1 ? x) 2 3 1 1 =x +y +z ≥x + = + x 2 = x 2 ? x + > ,矛盾 2 2 2 2 2 2 2 2 x、y、z 三数中若有最大者大于 ,不妨设 x> , 3 3 1 2 2 2 2 ( y + z ) 2 2 (1 ? x) 2 3 2 1 =x +y +z ≥x + =x + = x -x+ 2 2 2 2 2 3 2 1 1 = x(x- )+ > 矛盾 2 3 2 2 2 故 x、y、z∈[0, ] 3 b+c 2 c+a 2 a+b 2 6.(1)证明 :Q x + y + z ? 2( xy + yz + zx ) 2 b c b a c b a c = ( x 2 + y 2 ? 2 xy ) + ( y 2 + z 2 ? 2 yz ) + ( z 2 + x 2 ? 2 zx ) a b b c c a

源 源 源

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a c 2 b 2 b a 2 c x) ≥ 0 y? z) + ( z? y) + ( x? c c a b a b a+b 2 b+c 2 c+a ∴ x + y+ z ≥ 2( xy + yz + zx ) b c a ( 2)证明 : 所证不等式等介于 y+z z+x x+ y x2 y2z2 ( + + ) ≥ 2( xy + yz + zx ) 2 x y z =( ? xyz ? [ yz ( y + z ) + zx ( z + x ) + xy ( x + y )] ≥ 2( xy + yz + zx ) 2 ? ( x + y + z )( y 2 z + yz 2 + z 2 x + zx 2 + x 2 y + xy 2 ) ≥ 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 4( x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ) ? y 3 z + yz 3 + z 3 x + zx 3 + x 3 y + xy 3 ≥ 2 x 2 yz + 2 xy 2 z + 2 xyz 2 ? yz ( y ? z ) 2 + zx( z ? x ) 2 + xy ( x ? y ) 2 + x 2 ( y ? z ) 2 + y 2 ( z ? x ) 2 + z 2 ( x ? y ) 2 ≥ 0
∵上式显然成立,∴原不等式得证 7
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

证明







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(1)对于 1<i≤m,且 A im =m·…·(m-i+1),

A im m m ? 1 Ai m ? i +1 n n ?1 n ? i +1 = ? ?L? ,同理 m = ? ?L? , i i m m m n n n m n
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由于 m<n,对于整数 k=1,2,…,i-1,有

n?k m?k > , n m

所以

A in A im > i ,即m i A in > n i A im ni m
源 源 源

(2)由二项式定理有

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源 源 源 源 源 源 源 源















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(1+m)n=1+C 1 m+C 2 m2+…+C n mn, n n n (1+n)m=1+C 1 n+C 2 n2+…+C m nm, m m m 由(1)知 miA in >niA im (1<i≤m ) ,而 C im = ∴miCin>niCim(1<m<n ) ∴m0C 0 =n0C 0 =1,mC 1 =nC 1 =m·n,m2C 2 >n2C 2 ,…, n n n m n m mmC m >nmC m ,mm+1C m+1 >0,…,mnC n >0, n m n n ∴1+C 1 m+C 2 m2+…+C n mn>1+C 1 n+C2mn2+…+C m nm, n m n n m 即(1+m)n>(1+n)m 成立 8 证法一 因 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
源 源 源

A im i A in , Cn = i! i!

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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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即(a+b)3≤23,又 a+b>0,所以 a+b≤2,因为 2 ab ≤a+b≤2, 所以 ab≤1 证法二
源 源 源

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

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?m = a + b 设 a、b 为方程 x2-mx+n=0 的两根,则 ? , ?n = ab

因为 a>0,b>0,所以 m>0,n>0,且Δ=m2-4n≥0 ① 因为 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n) 所以 n=

m2 2 ? 3 3m m2 2 ? )≥0, 3 3m



将②代入①得 m2-4( 即

? m3 + 8 ≥0,所以-m3+8≥0,即 m≤2,所以 a+b≤2, 3m 由 2≥m 得 4≥m2,又 m2≥4n,所以 4≥4n,
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即 n≤1,所以 ab≤1 证法三 因 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) 于是有 6≥3ab(a+b), 从而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=?(a+b)3,所以 a+b≤2,(下略)
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王
源 源 源

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a3 + b3 a+b 3 ?( ) 2 2 (a + b)[4a 2 + 4b 2 ? 4ab ? a 2 ? b 2 ? 2ab] 3(a + b)(a ? b) 2 = = ≥0, 8 8 a3 + b3 a+b 3 所以对任意非负实数 a、b,有 ≥( ) 2 2 a3 + b3 a+b 3 因为 a>0,b>0,a3+b3=2,所以 1= ≥( ) , 2 2 a+b ∴ ≤1,即 a+b≤2,(以下略) 2 证法五 假设 a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+b)ab>2ab,所以 ab<1, 又 a3+b3=(a+b)[a2-ab+b2]=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab) 3 3 因为 a +b =2,所以 2>2(4-3ab),因此 ab>1,前后矛盾, 故 a+b≤2(以下略) 课前后备注
证法四
源 源 源

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因为







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高三数学第一轮复习单元讲座 第31讲 不等式性质及证明...

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案(讲座 ...题的形式出现,解答题以含参 数的不等式的证明、求解为主; 2.利用基本不等式...

...122课时: 课题:不等式问题的题型与方法

不等式问题的题型与方法_高三数学_数学_高中教育_...的方法不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的...常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问 题; 4...

不等式证明中的几种新颖方法

不等式证明中的几种新颖方法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式证明中的几种新颖方法在不等式的证明中有我们熟悉的常用方法,如比较法、分析法、综合法、...